Górnictwo i Geoinżynieria ok 3 Zeyt 8 Jan Gayńki* WPŁYW MPAUY NA KONSOLIDACJĘ OŚODKA POOWAGO NASYCONGO CICZĄ. Wtęp Potreba rowiąywania agadnień wiąanych budownictwem ora inżynierią i ochroną środowika prawia że analia tanów naprężenia i odktałcenia w gruncie pootaje ciągle jednym najcęściej podejmowanych tematów arówno w badaniach ekperymentalnych jak i roważaniach teoretycnych. Zakre tej tematyki jet bardo oberny. Wynika to faktu pojawiania ię problemów geotechnicnych arówno w każdym proceie inwetycyjnym (poadowienie budowli) jak i adaniach wiąanych wykorytaniem środowika gruntowego pry magaynowaniu i tranporcie odpadów ora energii. Do grupy tych agadnień należą problemy prechowywania i tranportu energii cieplnej w ośrodku gruntowym. uch ciepła w gruncie powoduje miany jego temperatury mające wpływ na tan naprężeń. eultatem tego ą odktałcenia mogące mieć wpływ na obiekty poadowione na gruncie. e agadnienia ą predmiotem dalej cęści pracy. oważany jet problem deformacji wartwy gruntu (jako porowatego ośrodka nayconego ciecą) wywołanej obciążeniem ewnętrnym i mianami temperatury. Do rowiąania adania pryjęto model termokonolidacji [ 6 7] baujący na prężeniu pól naprężeń w kielecie ciśnienia wody w porach ora pola temperatury. W cególności dokonano oceny wpływu temperatury na oiadanie wartwy gruntu w jednooiowym tanie odktałcenia. Predtawione rowiąanie jet uogólnieniem wyników uykanych w pracy [5].. ównania termokonolidacji oważana jet konolidująca wartwa gruntu o miążości h pocywająca na nieodktałcalnym podłożu. Proce konolidacji wywołuje równomiernie rołożone obciążenie q. * Wydiał Inżynierii Środowika Politechnika Krakowka Kraków 3
Wpływ na ten proce ma także pole temperatury która w chwili pocątkowej ma określony rokład. Pryjmuje ię że w kielecie gruntowym i ciecy określone jet pole temperatury mające wpływ na tany naprężeń a tym amym na proce konolidacji. Zakłada ię że pola naprężeń w kielecie ciśnień w ciecy i temperatury ą e obą prężone a poób tego prężenia opiuje model termokonolidacji [7]. Stan proceu opiują natępujące funkcje: w premiecenie w kierunku protopadłym do bregu (oiadanie) σ naprężenie w kielecie σ ciśnienie ciecy w porach ϑ temperatura wywołana proceem konolidacji ( ϑ= ) temperatura bewględna w chwili t w chwili pocątkowej t. W jednooiowym tanie deformacji równania tego modelu mają potać: H w σ b ϑ = 3 H σ = σ & w& b ϑ& k k k () ϑ = b b ϑ & b σ & b w& λ λ λ 3 Zwiąki fiycne apiemy w potaci: Q Q σ = w σ b b ϑ σ= θ ϑ Qw b () W równaniach () i () wytępują parametry materiałowe ośrodka: A N Q tałe iota k wpółcynnik prepucalności λ wpółcynnik prewodnictwa cieplnego
α c c α α wpółcynniki liniowej roeralności cieplnej kieletu ciecy ora wpływu roeralności cieplnej kieletu na wydatek ciecy i odwrotnie ρ cv gętość właściwa i ciepło właściwe ośrodka. W artykule pryjęto onacenia: H = Q M Q = A = N M K = A N 3 = H b =ρ cv (3) c ( ) b = Kα Qα 3 c c ( ) b = Qα α Q b3 = b b H b = b b3 b5 = b b b3. owiąane otaną adania: Konolidacja wartwy ośrodka porowatego pod adanym obciążeniem bregu (podtawowe adanie dla oceny odktałceń podłoża gruntowego); Ocena wpływu temperatury na proce konolidacji w tym na tan naprężenia (adanie ważne dla analiy agadnień geotermalnych). 5
Warunki pocątkowe Uwględniając właściwości układu równań () warunki pocątkowe apiano w potaci [ 5 7]: H w σ b ϑ = o o o 3 σ Hw b ϑ = t = t o o o o () b b ϑ b σ b w =. o o o 3 Warunki bregowe Pryjmując poprednio pryjęte ałożenia o obciążeniu wartwy ora fakt że górny breg wartwy jet prepucalny dolny nieprepucalny i podobnie dla temperatury apiemy warunki bregowe dla obydwu adań w potaci: Dla = : σ = qht () o σ= (5) ϑ=ϑ Lt () Dla = h: w = σ = (6) ϑ = ak formułowane agadnienie pocątkowo-bregowe tanowi podtawę do kontrukcji rowiąania adania. 3. owiąanie adania Do rowiąania adania wykorytamy tranformację Laplace a [3]. 6
Po wykonaniu tej tranformacji na układie równań () ora warunkach pocątkowych () i warunkach bregowych (5 6) a także całkowaniu równania ( ) otrymamy: H w σ b3ϑ = qh ( ) H σ = σ w b ϑ k k k (7) ϑ = b b ϑ b σ b w λ λ λ 3 utaj nadkreśleniem onacono tranformaty poukiwanych funkcji. Wyeliminowanie tranformaty premiecenia wyliconej równania (7 ) równań prepływu (7 ) i prewodnictwa (7 3 ) daje po prektałceniach: H σ σ bϑ = qh( ) k k k ϑ b ϑ b σ = b q H( ) λ λ λ 5 3 (8) Jet to prężony układ dwóch niejednorodnych równań różnickowych wycajnych. owiąanie równań (8) najdujemy jako umę całek: cególnej dla równania niejednorodnego i ogólnej równania jednorodnego: Całka cególna układu niejednorodnego pełnia układ równań: H σ σ b ϑ = q H( ) k k k ϑ b ϑ b σ = b q H( ) 5 3 λ λ λ (9) Po rowiąaniu układu (9) mamy: H H bb 3 b5 b3 b σ = qh () ϑ = qh () () b b5 b b5 7
Całka ogólna pełnia układ równań: σ σ b ϑ = og og og k k ϑ b ϑ b σ = og 5 og og λ λ () owiąanie tego układu apiemy w potaci: σ = G bg ϑ = b G og 5 og λ λ () gdie G( ) jet funkcją pełniającą tożamościowo równanie ( ) ora równanie: d b5 d b b5 G( ) k = λ (3) Pierwiatki równania charakterytycnego dla (3) określają wiąki: r = ρ r = ρ () tutaj onacono: λ k ρ = b5 μ k λ λ k ρ = b5 μ k λ (5) λ k μ = b b 5 k λ 8
Funkcja G( ) dana jet wiąkiem: G = c h ρ c ch ρ ch ρ cch ρ 3 (6) Stąd całki ogólne poukiwanych funkcji σ i ϑ og : og σ og = ρ b5 ch ρ cch ρ λ ρ b5 ch 3 ρ cch ρ λ (7) ϑ og = b ch ρ cch ρ λ k k λ λ c3h ρ cch k ρ k λ λ (8) Dalej ajmiemy ię wynaceniem tranformaty premiecenia bregu wartwy konolidującej. Podtawiając otrymane reultaty ( 7 8) do równania (7 ) i całkując wględem miennej otrymamy po prektałceniach: H H w= ρ b5 bb 3 cch ρ ch ρ ρ λ H H ρ b5 bb 3 c3ch ρ ch ρ ρ λ H bb 3 b3 b b5 qh() c b b5 (9) 9
Wytępujące w równaniu (9) wpółcynniki: c c należy wynacyć warunków bregowych. Po ich uwględnieniu i prektałceniach otrymamy: H bb b b b c = 3 3 5 b b5 q hh() ρ λ c = p qh() p qh() ρ ρ ρ ρ λ ϑ ρ b ρ ρ b k 5 L() () ρ λ c = p qh() p qh() ρ ρ ρ ρ λ ϑ ρ b ρ ρ b k 5 L() c = c th ρh c3 = c th ρh gdie p i p dane ą wiąkami: b3 p = b p b b = b 3 H b 5 () Uwględniając otrymane reultaty apiemy tranformatę oiadania bregu wartwy w = w = : konolidującej: ( )
H λ w = pg ( h ρ ρ ) pg( h ρ ρ ) qh( ) k H k bb 3 b5 p G3( h ρ ρ ) p G( h ρ ρ ) qh( ) λ H λ ϑ G( h ρ ρ) bg 5 3( h ρ ρ ) L( ) b k () H k ϑ bb 3 b5 G( h ρ ρ) b5 G3( h ρ ρ ) L( ) b λ H bb b b b b b5 3 3 5 utaj pryjęto onacenia: ( ρ ρ ) G h = ρ ρ hqh () ρth ρh ρth ρh G G ( h ρ ρ ) = ρ ρ ( h ρ ρ ) 3 ρth ρh ρth ρh ρρ = ρρ ρ ρ ρth ρh ρth ρh (3) G ( h ρ ρ ) = ρρ ρ ρ 3 3 ρth ρh ρth ρh
Dla głębiej położonych wartw gruntu uwagi na nacący ciężar nadkładu możemy pryjąć że premiecenia wywołane mianami temperatury ą pomijalne. Stąd można napiać: w = () Powyży warunek powala wynacyć ależność pomiędy temperaturą na bregu wartwy a naprężeniem wynikającym jej mian. Ze wiąków: () i () otrymujemy po prektałceniach: q P () L () ϑ = (5) Pq () H() utaj onacono: H λ Pq () = pg ( hρ ρ ) pg ( hρ ρ ) k H k bb 3 b5 p G3( h ρ ρ ) p G( h ρ ρ ) λ H bb b b b b b5 3 3 5 h H λ P () = G( h ρ ρ) bg 5 3( h ρ ρ ) b k (6) H k bb 3 b5 G( h ρ ρ) b5 G3( h ρ ρ) b λ Dokonując odwrócenia tranformacji Laplace a na () możemy wynacyć oiadanie bregu. Operacja ta wykle wymaga oblicenia łożonych całek [3] tak też jet i w tym prypadku. Ważne reultaty mianowicie oiadanie w chwili pocątkowej i końcowej proceu konolidacji można jednak uykać w tounkowo proty poób.
Wykorytamy do tego celu twierdenia granicne [3] orekające że: lim w = lim w = ( ) lim wt ( ) lt () lim wt () lt (7) Należy więc oblicyć odpowiednie granice dla funkcji (5). Mamy ocywiście: th i =ρ ih i = lim th i = = lim i ρ h ρ h (8) a tąd: ( ) ( ) lim G h ρρ = h lim G h ρρ = ( ) ( ) lim G h ρρ = lim G h ρρ = h 3 (9) ( ) lim G h ρρ = i =... i Stąd otrymujemy pocątkowe i końcowe oiadanie wartwy wywołane obciążeniem ewnętrnym q : H bb 3 b3 b b5 w ( t ) = hq b b5 H ϑ w t hq bb b h ( ) = 3 5 b (3) (3) 3
Zakładając brak wrażliwości ośrodka na miany temperatury otrymamy (3) pry uwględnieniu (3): H H ( ) = hq wt (3) Dla prypadku naprężenia wywołanego mianami temperatury na bregu wartwy mamy () (5) i (3): H ϑ q = bb b 3 5 b (35). Uwagi końcowe Otrymane wyniki tanowią fragment pełnego rowiąania agadnienia bregowego dla wartwy konolidującej niemniej powalają podjąć dykuję o jego właściwościach. ak więc jet widocne że końcowe oiadanie bregu wartwy dane worem (3) opiuje analogicna ależność jak dla ośrodka niewrażliwego na temperaturę uwględnieniem ocywiście jej wpływu. Inacej jet pocątkowym oiadaniem wartwy. Jet ono różne w prypadku ośrodka wrażliwego na temperaturę i niewrażliwego. O wielkości tych różnic decydują termicne właściwości ośrodka. Intereująca jet ależność (33) wiążąca e obą naprężenia i temperaturę która je wywołała. Zwiąek ten może być wykorytany do oacowania naprężeń w gruncie w cególności reakcji podłoża na budowlę pry mianach temperatury. Z potaci tranformaty Laplace a oiadań () wynika że w caie proceu konolidacji wielkość ta ależy od tounku wpółcynników: prepływu ciecy i prewodności. LIAUA [] iot M.A.: General theory of three-dimenional conolidation. J. Appl. Phy. 9 No. 55 [] Couy O.: Mechanic of Porou Continua. John Willey & Son 995 [3] Doetch G.: Praktyka prektałcenia Laplace a. PWN Warawa 96 [] Gayńki J.: Identyfikacja modelu konolidacji iota na podtawie realiacji jednooiowego adania bregowego. Archiwum Hydrotechniki PAN XXXI t. 98. 5 35 [5] Gayńki J.: Konolidacja porowatej wartwy nayconej ciecą uwględnieniem wpływu temperatury. Zeyty Naukowe Politechniki Śląkiej udownictwo nr 756 7 [6] Kowalki S.J.: hermomechanic of Drying Proce of Fluid-Saturated Porou Media. Drying echnology 99 vol. No.. 53 8 [7] Strelecki.: ównania termokonolidacji gruntów i kał. Geotechnika i udownictwo Specjalne AGH XXIX 6. 85 99