Literatura Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K, Wasilewski M., Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna w Zadaniach, cz. I. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III.
Zmienne losowe i ich rozkłady Idea: Zdarzeniom losowym przyporządkowujemy liczby. Np. Ad D1 ( = { ω, ω ω } Ω ): 1 2,..., ω 1 a 1, ω 2 a 2,..., ω 6 a 6. 6
Niech dana będzie przestrzeń probabilistyczna ( Ω, S, P). Def. Zmienną losową nazywamy dowolną funkcję dla dowolnej liczby rzeczywistej c, zbiór: { ω Ω; X ( ω c} A c = ) < naleŝy do zbioru zdarzeń losowych S (tzn. A c S ). X : Ω R taką, Ŝe Uwaga: Jeśli S jest rodziną wszystkich podzbiorów zbioru Ω (tzn. Ω S = 2 ), to warunek A c S jest zawsze spełniony. Ozn. Przez P ( X < c) rozumiemy P A ). ( c
Np. Ad D1: Wówczas: ω 1 a 1, ω 2 a 2,..., ω 6 a 6, tzn.: X (ω i ) = i. P ( X < 2,5) P ) = = P ({ ω Ω; X ( ω) < 2,5} ) P ({ }) ( A 2, 5 = ω 1,ω 2 2 = = 6 1 3
Dystrybuanta zmiennej losowej Def. Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy funkcję F określoną wzorem F ( x) = P( X < x), dla kaŝdego x R. Np. Ad D1: F = P( X < 2,5) np. (2,5) 1 =. 3
Własności dystrybuanty F: d1) F jest funkcją niemalejącą i lewostronnie ciągłą, d2) lim F( x) = 0 x i lim F( x) = 1 x + d3) P( a X < b) = F( b) F( ), a, b R a d4) P( X = a) = lim F( x) F( a) a R. + x a ( F ( ) = 0, F ( + ) = 1 ),
Podział zmiennych losowych: 1) skokowe (dyskretne), 2) ciągłe. Ad 1) Przyjmuje skończoną (lub przeliczalną) liczbę wartości x, x2,..., x,.... 1 n Ad 2) Przyjmuje dowolne wartości w pewnym przedziale ( a, b) (nieprzeliczalną liczbę wartości).
Np. Ad D1) zm. dyskretna, Ad D2) zm. dyskretna, Ad D3) zm. dyskretna, Ad D4) zm. ciągła.
Def. Zmienną losową X nazywamy ciągłą, jeśli jej dystrybuantę F moŝna przedstawić w postaci: x F ( x) = f ( t) dt, dla kaŝdego x R, gdzie f jest pewną nieujemną funkcją rzeczywistą, całkowalną w R. Funkcję f nazywamy funkcją gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej X. Tw. Dystrybuanta zmiennej losowej ciągłej jest funkcją ciągłą.
Własności funkcji gęstości prawdopodobieństwa f: + g1) f ( x) dx =1, ( d 3) g2) P( a X < b) = F( b) F( a) = b a f ( x) dx, ( d 4) a R 0 + x a g3) P( X = a) = lim F( x) F( a) =, g4) P ( a X < b) = P( a X b) = P( a < X b) = P ( a < X < b) b = a f ( x) dx.
Wniosek. Dystrybuanta zmiennej losowej ciągłej spełnia warunek F( x) = P( X x). Tw. KaŜda nieujemna funkcja f spełniająca warunek g1) jest gęstością prawdopodobieństwa pewnej zmiennej losowej. Ilustracja graficzna
Rozkład zmiennej losowej Matematyczny opis zmiennej losowej X : Ω R polega na określeniu: R1) zbioru wszystkich wartości (wariantów) tej zmiennej, R2) prawdopodobieństwa pojawienia się tych wartości.
Np. Ad D1: Warianty zmiennej losowej x i 1 2 3 4 5 6 prawdopodobieństwa 1 p = P X = x ) 6 i ( i 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6
Informacje R1) i R2) tworzą rozkład zmiennej losowej. Niech dana będzie dyskretna zmienna losowa X przyjmująca wartości x, x2,..., x,.... 1 n Def. Rozkładem dyskretnej zmiennej losowej X nazywamy zbiór par {( x, p ); i = 1,2,... } i i, gdzie p i P( X = xi ) zajścia wariantu x i. = jest prawdopodobieństwem Graficzna ilustracja dla D1)
Uwagi: 1) Dystrybuanta zmiennej losowej określa jej rozkład prawdopodobieństwa (na mocy warunku d4: p = P X = x ) = lim F( x) F( x )). i ( i + i x x 2) Jeśli znamy rozkład prawdopodobieństwa dyskretnej zmiennej losowej X, to moŝemy obliczyć jej dystrybuantę: Np. Ad D1): F(2,5) = p i = p 1 + p2 < 2,5 x i F x) ( = p. = x < x i 2 1 =. 6 3 i i
Wniosek p + p +... 1. 1 2 = 3) W przypadku ciągłej zmiennej losowej X powyŝsza definicja nie ma sensu, bo p P( X = x ) = 0. Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej i = i losowej ciągłej określamy przez podanie dystrybuanty lub funkcji gęstości prawdopodobieństwa.
Parametry rozkładu zmiennej losowej Idea: Rozkład zmiennej losowej zawiera pełną informację o zachowaniu się tej zmiennej. Parametry rozkładu charakteryzują tylko pewne własności tej zmiennej.
1) Wartość oczekiwana (średnia) EX Określa poziom zmiennej losowej, wokół której skupia się największa liczba wyników. Obliczanie: a) Zmienna dyskretna: EX = + x i p i, i= 1 + b) Zmienna ciągła: EX = x f ( x) dx.
2 X 2) Wariancja Var (X ) ( V ( X ), σ ( ) ) Określa rozrzut wartości zmiennej losowej wokół wartości oczekiwanej. [ 2 ( X ) ] Var( X ) = E EX. Obliczanie: + i= 1 2 i p i a) Zmienna dyskretna: ( X ) = ( x EX ) Var, + b) Zmienna ciągła: Var( X ) = ( x EX ) f ( x) dx 2.
Def. Parametr σ ( ) = Var( X ) nazywamy odchyleniem x df standardowym zmiennej losowej X. Uwaga: Aby zmienna ciągła miała wartość oczekiwaną/wariancję, to odpowiednie całki (niewłaściwe) muszą być zbieŝne.
Własności wartości oczekiwanej i wariancji: 1) E ( c) = c, Var ( c) = 0, gdzie c jest stałą, 2) E( c X ) = c E( X ), Var( c X ) = c Var( X ), 3) E ( X + Y ) = E( X ) + E( Y ), 4) Var ( X + c) = Var( X ), Ponadto, jeśli zmienne X i Y są niezaleŝne, to: 5) E( X Y ) = E( X ) E( Y ), 6) Var ( X ± Y ) = Var( X ) + Var( Y ). 2
Def. Zmienną losową X, dla której EX = 0 oraz Var ( X ) = 1 nazywamy zmienną losową standaryzowaną.
Podstawowe rozkłady prawdopodobieństwa 1) Rozkłady zmiennych dyskretnych: a) Rozkład zerojedynkowy Zmienna losowa X ma rozkład zerojedynkowy z parametrem p, jeśli przyjmuje tylko dwie wartości: 1; z prawdopodobieństwem p, 0; z prawdopodobieństwem 1 p.
Parametry rozkładu zerojedynkowego: EX = p, Var( X ) = p (1 p).
b) Rozkład dwumianowy (Bernoullego) Zmienna losowa X ma rozkład dwumianowy z parametrami n oraz p, jeśli przyjmuje wartości k = 0,1, 2,..., n z prawdopodobieństwami danymi wzorami: p k n k n k = P( X = k) = p (1 p), dla k = 0,1, 2,..., n. k Parametry rozkładu dwumianowego: EX = p, Var( X ) = p (1 p).
c) Rozkład Poissona Zmienna losowa X ma rozkład Poissona z parametrem λ > 0, jeśli przyjmuje wartości k = 0,1, 2,..., z prawdopodobieństwami danymi wzorami: p k k λ λ = P( X = k) = e, dla k = 0,1, 2,.... k! Parametry rozkładu Poissona: EX = λ, Var (X ) = λ.
2) Rozkłady zmiennych ciągłych: a) Rozkład jednostajny Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny w przedziale ( a, b), jeśli jej gęstość f ma postać: f ( x) = b 1 ; dla x ( a, b) a 0; dla x ( a, b)
Parametry rozkładu jednostajnego: EX b + a =, 2 ( b a) Var( X ) =. 12 2
b) Rozkład normalny (Gaussa) Zmienna losowa X ma rozkład normalny z parametrami m oraz σ > 0 2 (ozn. N ( m, σ )), jeśli jej gęstość f ma postać: f ( x m) 1 ( x) σ 2 = e 2, R σ 2π 2 x. Parametry rozkładu normalnego: EX = m, 2 Var ( X ) = σ.
Wniosek. Funkcja gęstości rozkładu normalnego standaryzowanego N (0,1) ma postać: f ( x) = 1 e 2π 2 x 2, x R.
Rys. Funkcja gęstości rozkładu normalnego dla róŝnych wartości parametrów m oraz σ.