DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE

Podobne dokumenty
Jacek Kwiatkowski Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu. Bayesowskie testowanie procesów STUR analiza indeksów i spółek notowanych na GPW 1

WYBRANE MODELE ZAWIERAJĄCE STOCHASTYCZNY PIERWIASTEK JEDNOSTKOWY W ANALIZIE KURSÓW WALUTOWYCH 1 1. WSTĘP

Metody probabilistyczne Rozwiązania zadań

Prawdopodobieństwo i statystyka

TEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM

3. Kinematyka podstawowe pojęcia i wielkości

Stacjonarność Integracja. Integracja. Integracja

Rozdział 2: Metoda największej wiarygodności i nieliniowa metoda najmniejszych kwadratów

DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE

Sygnały stochastyczne

REGRESJA LINIOWA Z UOGÓLNIONĄ MACIERZĄ KOWARIANCJI SKŁADNIKA LOSOWEGO. Aleksander Nosarzewski Ekonometria bayesowska, prowadzący: dr Andrzej Torój

Badanie stacjonarności szeregów czasowych w programie GRETL

Prognozowanie notowań pakietów akcji poprzez ortogonalizację szeregów czasowych 1

Rozkłady zmiennych losowych

Piotr Fiszeder Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu. Modelowanie procesów finansowych z długą pamięcią w średniej i wariancji

(U.3) Podstawy formalizmu mechaniki kwantowej

Rozpoznawanie obrazów

Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014

( ) + ( ) T ( ) + E IE E E. Obliczanie gradientu błędu metodą układu dołączonego

RUCH DRGAJĄCY. Ruch harmoniczny. dt A zatem równanie różniczkowe ruchu oscylatora ma postać:

Dynamiczne stochastyczne modele równowagi ogólnej

Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn

( n) Łańcuchy Markowa X 0, X 1,...

Materiały dydaktyczne. Matematyka. Semestr III. Wykłady

Sztuczne sieci neuronowe. Krzysztof A. Cyran POLITECHNIKA ŚLĄSKA Instytut Informatyki, p. 311

Prawdopodobieństwo i rozkład normalny cd.

Kody Huffmana oraz entropia przestrzeni produktowej. Zuzanna Kalicińska. 1 maja 2004

Metody systemowe i decyzyjne w informatyce

Materiał dla studentów Wprowadzenie do modeli ARMA/ARIMA (na przykładzie zwrotów z instrumentów finansowych)

Spis treści Wstęp Estymacja Testowanie. Efekty losowe. Bogumiła Koprowska, Elżbieta Kukla

Dodatek 3. Wielowymiarowe modele GARCH model DCC-GARCH

Szeregi czasowe, analiza zależności krótkoi długozasięgowych

Modele warunkowej heteroscedastyczności

A C T A U N I V E R S I T A T I S N I C O L A I C O P E R N I C I EKONOMIA XXXIX NAUKI HUMANISTYCZNO-SPOŁECZNE ZESZTYT 389 TORUŃ 2009

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.

Metody systemowe i decyzyjne w informatyce

Wykład 13 Druga zasada termodynamiki

Szacowanie optymalnego systemu Bonus-Malus przy pomocy Pseudo-MLE. Joanna Sawicka

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

SIMR 2017/18, Statystyka, Przykładowe zadania do kolokwium - Rozwiązania

... prognozowanie nie jest celem samym w sobie a jedynie narzędziem do celu...

Modele zapisane w przestrzeni stanów

Laboratorium Metod i Algorytmów Sterowania Cyfrowego

OPTYMALIZACJA PROCESU ZRYWKI DREWNA W ASPEKCIE SKAŻENIA ŚRODOWISKA NATURALNEGO

Wybrane rozkłady zmiennych losowych i ich charakterystyki

Podstawowe modele probabilistyczne

Dynamiczne modele liniowe w badaniach okresowych

4. Weryfikacja modelu

(u) y(i) f 1. (u) H(z -1 )

σ-ciało zdarzeń Niech Ω będzie niepustym zbiorem zdarzeń elementarnych, a zbiór F rodziną podzbiorów zbioru Ω spełniającą warunki: jeśli A F, to A F;

Metody systemowe i decyzyjne w informatyce

Afiniczne rekursje stochastyczne z macierzami trójkatnymi

Value at Risk (VaR) Jerzy Mycielski WNE. Jerzy Mycielski (Institute) Value at Risk (VaR) / 16

Heteroskedastyczość w szeregach czasowyh

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Zajęcia 15-16

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD grudnia 2009

1.3 Przestrzenie ilorazowe

Zadanie 1. Liczba szkód N w ciągu roku z pewnego ryzyka ma rozkład geometryczny: k =

Rozpoznawanie obrazów

WYZNACZENIE OKRESU RÓWNOWAGI I STABILIZACJI DŁUGOOKRESOWEJ

Wprowadzenie Model ARMA Sezonowość Prognozowanie Model regresji z błędami ARMA. Modele ARMA

Egzamin / zaliczenie na ocenę*

WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI

Porównanie modeli regresji. klasycznymi modelami regresji liniowej i logistycznej

STATYSTYKA USZKODZEŃ W ELEKTROWNIACH ZAWODOWYCH

WYKŁAD: Szeregi czasowe I. Zaawansowane Metody Uczenia Maszynowego

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD października 2009

Estymacja parametrów w modelu normalnym

WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI

LABORATORIUM Z KATALIZY HOMOGENICZNEJ I HETEROGENICZNEJ KINETYKA POLIKONDENSACJI POLITECHNIKA ŚLĄSKA WYDZIAŁ CHEMICZNY

Wstęp do Metod Systemowych i Decyzyjnych Opracowanie: Jakub Tomczak

Statystyka matematyczna. Wykład III. Estymacja przedziałowa

Metoda najmniejszych kwadratów

Przyczynowość Kointegracja. Kointegracja. Kointegracja

6. Inteligentne regulatory rozmyte dla serwomechanizmów

Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie)

Własności estymatorów regresji porządkowej z karą LASSO

Ekonometria. Modelowanie szeregów czasowych. Stacjonarność. Testy pierwiastka jednostkowego. Modele ARDL. Kointegracja. Jakub Mućk

2. P (E) = 1. β B. TSIM W3: Sygnały stochastyczne 1/27

Statystyka w przykładach

Modelowanie przepływu cieczy przez ośrodki porowate

Wprowadzenie Modele o opóźnieniach rozłożonych Modele autoregresyjne o opóźnieniach rozłożonych. Modele dynamiczne.

WSPÓŁCZYNNIK DWUMODALNOŚCI BC I JEGO ZASTOSOWANIE W ANALIZACH ROZKŁADÓW ZMIENNYCH LOSOWYCH

WPŁYW SZUMÓW KOLOROWYCH NA DZIAŁANIE FILTRU CZĄSTECZKOWEGO

Filtracja pomiarów z głowic laserowych

Estymacja parametrów rozkładu cechy

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Metody Ekonometryczne

Do Szczegółowych Zasad Prowadzenia Rozliczeń Transakcji przez KDPW_CCP

ANALIZA WPŁYWU BŁĘDÓW DYNAMICZNYCH W TORZE SPRZĘŻENIA ZWROTNEGO NA JAKOŚĆ REGULACJI AUTOMATYCZNEJ

Metody probabilistyczne

Matematyka z el. statystyki, # 6 /Geodezja i kartografia II/

WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 5.

Parametr Λ w populacji ubezpieczonych ma rozkład dany na półosi dodatniej gęstością: 3 f

R w =

Metoda Monte Carlo. Jerzy Mycielski. grudzien Jerzy Mycielski () Metoda Monte Carlo grudzien / 10

Różne rozkłady prawdopodobieństwa

DRGANIA WŁASNE RAM OBLICZANIE CZĘSTOŚCI KOŁOWYCH DRGAŃ WŁASNYCH

A. Cel ćwiczenia. B. Część teoretyczna

Transkrypt:

DYNAICZNE ODELE EKONOERYCZNE IX Ogólnoolsie Seminarium Nauowe, 6 8 września 005 w oruniu Katedra Eonometrii i Statystyi, Uniwersytet iołaja Koernia w oruniu Jace Kwiatowsi Uniwersytet iołaja Koernia w oruniu Bayesowsie testowanie rocesów SUR analiza indesów i sółe notowanych na GPW. Wstę Przerowadzone w ostatnim czasie badania emiryczne dotyczące rocesów maroeonomicznych i finansowych wsazują, że rocesy te mogą osiadać losowy ierwiaste jednostowy. Procesy te oreślane mianem rocesów ze stochastycznym ierwiastiem jednostowym (SUR) ze względu na wystęujący w nich losowy arametr są częściowo stacjonarne lub niestacjonarne. Celem rezentowanego artyułu jest rzedstawienie w oarciu o wniosowanie bayesowsie wyniów badań dotyczących identyfiacji rocesów ze stochastycznym ierwiastiem jednostowym dla wybranych sółe i indesów giełdowych notowanych na GPW w Warszawie. Na gruncie lasycznym, wynii dotyczące identyfiacji modeli SUR zamieścili w swoich racach m.in. Leybourne, ccabe i remayne (996), Granger i Swanson (997), Sollis, Leybourne i Newbold (000), Kwiatowsi i Osińsa (004), Kwiatowsi (004). W zaresie wniosowania bayesowsiego badania emiryczne rzerowadzili Jones i arriott (999). Szerszy ois bayesowsiej analizy rocesów (SUR) można znaleźć w artyule Kwiatowsiego (005). Jao wcześniejsza racę z tego zaresu należy wymienić artyuł Jonesa i arriotta (999), w tórym rzedstawiono bayesowsą estymację modelu SUR w wersji Grangera i Swansona (997). W rezentowanym artyule roonuje się natomiast wyorzystanie modelu SUR w wersji Leybourne, ccabe i remayne (996), tóra zdaniem autora Praca zrealizowana w ramach rojetu badawczego nr H0B 05 5; e-mail: jwiat@uni.torun.l

8 Jace Kwiatowsi jest łatwiejsza w stosowaniu i znacznie mniej wymagająca od strony numerycznej. Uład artyułu jest nastęujący. Część druga rzedstawia model ze stochastycznym ierwiastiem jednostowym oraz związane z nim wniosowanie bayesowsie. Część trzecia zawiera badania emiryczne rzerowadzone dla wybranych sółe i indesów giełdowych notowanych na GPW w Warszawie. W części czwartej zamieszczone są wniosi.. odel i wniosowanie bayesowsie Rozważaną rerezentację modelu SUR (stochastic unit roots rocess) można rzedstawić nastęująco: gdzie y = β y + ε, t t t t t = α + φ βt α +... + φ βt ( ) ( α) t β + η, () yt oznacza realizację rocesu w chwili t. Losowy arametr β t jest sta- ε i η są białymi szumami cjonarnym rocesem autoregresyjnym. Procesy t odowiednio z wariancjami σ i ω. Dodatowo załada się, że są wzajemnie niezależne. Jeżeli jest rocesem błądzenia rzyadowego to wariancja białego szumu ω y t równa jest zero. Dodatowo bezwarunowa wariancja w równaniu () ma zdegenerowany rozład w zerze. Dla ω > 0 () jest rocesem ze stochastycznym ierwiastiem jednostowym. Parametr w tym modelu zmienia się w czasie woół jedyni, zatem jest to roces, tóry jest częściowo stacjonarny lub niestacjonarny. Przyjmując, że arametr β t jest rocesem autoregresyjnym rzędu drugiego oraz załadając, że rozład obserwacji i nieobserwowanego arametru w modelu SUR jest warunowym rozładem normalnym możemy zaisać: y t y ( β y ) t βt, σ ~ N t t,, σ, dla t + ( ) β t βt, βt, α, φ, φ, ω ~ N α φi βt i α, ω. () i= W szczególnych rzyadach, w tórych stochastyczny ierwiaste jednostowy jest rocesem autoregresyjnym rzędu ierwszego lub białym szumem wystarczy założyć w (), że odowiednie wsółczynnii autoregresji są równe zero tj. φ i = 0, i =,. W oarciu o wymienione wyżej założenia gęstość róbową w modelu SUR można rzedstawić nastęująco: ( y y ) ( ) 0, β, θ = N α + φi βt i α, ω N( βt yt, σ ), (3) t= i= t= t

Bayesowsie testowanie rocesów SUR... 9 σ gdzie θ = ( α, φ, φ, ω, )', R ( ) α, Φ = (, φ )' C φ, ω R +, σ R+, β = β, β,..., ' R ; - oznacza liczbę obserwacji, natomiast - jest β obszarem zmienności arametrów, rzy tórych roces autoregresyjny w modelu () jest stacjonarny. Jeżeli rzyjmiemy założenie o niezależności arametrów w modelu SUR, to rozład a riori wetora θ jest iloczynem gęstości brzegowych rozładów jego sładowych: ( θ) ( α) ( φ ) ( φ ) ( ω ) ( ) =. (4) σ Dla wszystich arametrów rzyjęto standardowe rozłady właściwe: ( ) ( α = N µ α, σα ), ( ) (, φ = N µ φ σ ) φ, ( φ ) ( ) N µ, φ σ φ ( ω ) = IG( a,b ), ( ) = IG( a,b ) gdzie ( µ,σ ) =, C σ, (5) N oznacza rozład normalny o średniej µ i wariancji σ, natomiast IG ( a, b) oznacza odwrócony rozład gamma z arametrami a > 0, b > 0. Ze względu na fat, że arametr β t jest częścią modelu, można założyć, że wszystie zawarte o nim informacje znajdują się w funcji wiarygodności (Jones i arriott, 999; Jostova i Philiov, 004). Stąd łączny rozład a osteriori wetora θ będący iloczynem rozładu a riori (5) i róbowej gęstości (3) ma ostać: (, θ y, y0 ) N( µ α, σα ) N( µ φ, σφ ) N( µ φ, σφ ) IG( a, b ) IG( a, b β ) N α + φi t i t= i= = α, ω N βt yt, σ ). (6) t ( β ) ( W celu otrzymania brzegowych rozładów a osteriori można zastosować algorytm Gibbsa, tóry jest jedną z bardziej oularnych metod stosowanych we wniosowaniu bayesowsim do wyznaczenia róbowych gęstości brzegowych i ich charaterysty. Poszczególne rozłady brzegowe wyorzystywane rzy algorytmie Gibbsa dla sładowych wetora θ oraz dla losowego arametru β t znajdują się w racy Kwiatowsiego (005). Jednym z fundamentalnych zagadnień w analizie szeregów czasowych jest wybór odowiedniego modelu. Dla modelu SUR w ostaci () możemy badać rząd autoregresji dla losowego arametru β t. Dodatowo można weryfiować czy analizowany roces ma stały, czy też zmienny w czasie ierwiaste jednostowy. estowanie modeli odbywa się rzez orównanie ich mocy wyja- Rozłady rezentowane w artyule można znaleźć m.in. w siążce Gelmana,Carlina, Sterna i Rubina (995).

0 Jace Kwiatowsi śniającej. Przyjmując założenie, że dwa modele ( i ) są a riori jednaowo rawdoodobne orównanie mocy wyjaśniającej można doonać za omocą czynnia Bayesa, tóry dany jest wzorem: oznacza brzegową gęstość wetora obserwacji w mo- ( z i ) ij ( z j ) gdzie ( z ) ( = i, j) delu. Czynni Bayesa więszy od jedyni ( >) B =, (7) ij i j B oznacza, że model jest bardziej rawdoodobny niż model j. Jednym z odstawowych zagadnień we wniosowaniu bayesowsim jest obliczenie brzegowej gęstości wetora obserwacji: ( z ) ( Θ ) ( z Θ ) dθ =,, (8) =. Niestety ze względu na złożoność zagadnień bardzo rzado daje się ją obliczyć analitycznie. W rzyadu modeli SUR, gdzie wyorzystywany jest algorytm Gibbsa, tóry jest częścią metod numerycznych oreślanych jao metody onte Carlo wyorzystujące łańcuchy arowa 3, naturalnym narzędziem do estymacji brzegowej gęstości jest średnia harmoniczna dana wzorem (Newton i Raftery, 994): gdzie onurujące modele rerezentuje zbiór {,,... } N ( n) ( z ) = ( z Θ N n=, ), (9) ( ) i ( n) gdzie Θ są realizacjami z łańcucha arowa, natomiast z oznacza wetor obserwacji. Estymator ten (N-R) jest łatwy w użyciu. Wymagana jest tylo znajomość róbowej gętości y Θ, oraz realizacji z rozładu a osteriori. Główną wadą tego estymatora jest jego niestabilność, onieważ nie sełnia on centralnego twierdzenia granicznego (Carlin i Louis, 000). Z ratycznego untu widzenia dzieje się ta, onieważ bardzo małe wartości funcji wiarygodności w znaczny sosób wywierają wływają na wielość średniej harmonicznej. Oazuje się jedna, że dla wielu aliacji, algorytm N-R jest stabilny, bliso rawdziwej wartości brzegowej gęstości i z owodzeniem może być stosowany dla wielu zastosowań (Osiewalsi i Piień, 004). 3 arow Chain onte Carlo methods (CC).

Bayesowsie testowanie rocesów SUR.... Identyfiacja SUR na GPW Bayesowsie testowanie modeli rzerowadzono dla wybranych indesów i sółe notowanych na GPW w Warszawie w oresie od stycznia 000 do ońca wietnia 005. W artyule doonano analizy szeregów tygodniowych, o urzednim ich zlogarytmowaniu. Badaniu odlegały główne indesy: WIG, WIG0, IDWIG i ECHWIG oraz sółi. Ich szczegółowy wyaz znajduje się w tablicy. Dla ażdego rocesu rozważono cztery onurencyjne i wzajemnie wyluczające się modele. Rozważano możliwość istnienia rocesu ze stałym ierwiastiem jednostowym, czyli weryfiowano hiotezę, że badane rocesy odlegają błądzeniu rzyadowemu (model ). Dodatowo rozważono trzy rerezentacje rocesu SUR. Analizowano czy zmienny ierwiaste jednostowy może być oisany rzez roces biało-szumowy (model ; SUR;WN), roces autoregresyjny rzędu ierwszego (model AR()) lub drugiego (model zatem nastęującą ostać: : y t = ε t, : y t = β t yt + ε t, β = α +, 4 t η t 3 : y t = β t yt + ε t, β t = α + φ ( βt α) + ηt, 4 : y t = β t yt + ε t, β t = α + φ ( βt α) + φ( βt α) + ηt. 3 ; SUR; ; SUR; AR()). Poszczególne modele mają estowanie modeli odbywało się orzez obliczenie brzegowej gęstości wetora obserwacji za omocą estymatora Newtona i Raftery iego (994). Gęstość brzegowa dla ażdego modelu była obliczona w oarciu o łańcuch arowa, tóry sładał się z miliona iteracji. oc wyjaśniającą dla oszczególnych modeli orównywano za omocą czynnia Bayesa (7). W celu estymacji i testowania modeli rzyjęto rozład a riori, tóry wyraża stosunowo niewielą informację wstęną o arametrach: ( θ ) = ( α ) ( φ ) ( φ ) ( ω ) ( σ ) = N ( 0,0) N( 0,0) N( 0,0) IG( 0,0,0,0) IG( 0,0,0,0). = Ze względu na duże roziętości otrzymanych wartości, wynii logarytmowano. Zlogarytmowane czynnii Bayesa dla oszczególnych modeli obliczone względem modelu błądzenia rzyadowego rzedstawia tabela. Pogrubioną czcioną zaznaczono modele, tóre są najbardziej rawdoodobne. W rzyadach na 5 najbardziej rawdoodobny oazał się model błądzenia rzyadowego. Jest to model ze stałym ierwiastiem jednostowym. Wszystie

Jace Kwiatowsi analizowane indesy są rocesami zintegrowanymi rzędu ierwszego. Wśród analizowanych sółe najbardziej referowany jest również roces błądzenia rzyadowego. ylo trzy sółi to rocesy tyu SUR, czyli ze zmiennym ierwiastiem jednostowym. Są to ieszo, illenium i Otimus. W więszości rzyadów losowy arametr w rocesach SUR nie wyazuje autoorelacji, czyli jest białym szumem. abela. Logarytm dziesiętny czynniów Bayesa ( ) Badane rocesy log obliczony względem 0 B RWj modelu błądzenia rzyadowego dla wybranych indesów i sółe Błądzenie rzyadowe SUR;WN SUR; AR() 3 SUR; AR() 4 WIG 0.000 95.75 97.500 98.596 WIG0 0.000 55.668 56.7 58.65 IDWIG 0.000 95.434 95.300 98.837 ECHWIG 0.000.697.565 7.30 APAOR 0.000.7 0.93 0.50 BRE 0.000 8.44 8.80 0.659 BZWBK 0.000 8.55 9.867.538 DEBICA 0.000 6.37 5.365 3.4 HANDLOWY 0.000 35.4 3.703 33.766 IESZKO 0.000 -.098 -.894 -.36 ILLENIU 0.000-3.047-3.00 -.890 OPIUS 0.000 -.658 -.039-9.573 PROCHNIK 0.000.6.6.65 PSA 0.000 9.46 8.569 9.759 WAWEL 0.000 3.54 4.587 5.796 Źródło: Obliczenia własne. 3. Wniosi W artyule rzedstawiono modele ze stochastycznym ierwiastiem jednostowym SUR. Dodatowo omówiono bayesowsie testowanie tych modeli. Badania identyfiacji rocesów SUR dotyczyły wybranych sółe i indesów giełdowych notowanych na GPW w Warszawie. W oarciu o wynii rzerowadzonych badań można stwierdzić, że więszość analizowanych indesów i sółe wyazuje stały ierwiaste jednostowy. ylo ila z nich, mianowicie ieszo, illenium i Otimus to rocesy SUR.

Bayesowsie testowanie rocesów SUR... 3 Literatura Box, G.E.P., Jenins, G.. (976), ime Series Analysis: Forecasting and Control, San Francisco, Holden-Day. Carlin, B.P., Louis,.A. (000), Bayes and Emirical Bayes ethods for Data Analysis, New Yor, Chaman & Hall/CRC. Gelman, A., Carlin J., Stern, H., Rubin, D. (997), Bayesian Data Analysis, London, Chaman & Hall. Granger, C.W.J., Swanson, N.R. (997), An Introduction to Stochastic Unit root Process, Journal of Econometrics, vol. 80, 35 6. Jones, C.R., arriott, J.. (999), A Bayesian analysis of stochastic unit root models, Bayesian Statistics, vol. 6, 785 794. Jostova, G., Philiov, A. (004), Bayesian analysis of stochastic betas, Journal of Financial and Quantitative Analysis, w druu. Newton,.A., Raftery, A.E. (994), Aroximate Bayesian inference by the weighted lielihood bootstra (with discussion), Journal of the Royal Statistical Society B, vol. 56, 3 48. Kwiatowsi, J. (004), aximum lielihood estimation of stochastic unit root models with GARCH disturbances, raca nieubliowana. Kwiatowsi, J. (005), A Bayesian analysis of SUR models, raca nieubliowana. Kwiatowsi, J., Osińsa,. (004), Forecasting SUR rocesses. A comarison to threshold and GARCH models, raca nieubliowana. Leybourne, S.J., ccabe, B.P.., ills,.c. (996), Randomized unit root rocesses for modelling and forecasting financial time series: theory and alications, Journal of Forecasting, vol. 5, 53 70. Leybourne, S.J., ccabe, B.P.., remayne, A.R (996), Can economic time series be differenced to stationarity? Journal of Business and Economic Statistics, vol. 4, 435 446. Osiewalsi, J., Piień,. (004), Bayesian comarison of bivariate ARCH-tye models for main exchange rates in Poland, Journal of Econometrics, vol. 3, 37 39. Sollis, R., Leybourne, S.J., Newbold, P. (000), Stochastic unit roots modelling of stoc rice indices, Alied Financial Economics, vol. 0, 3 35.