A C T A U N I V E R S I T A T I S N I C O L A I C O P E R N I C I EKONOMIA XXXIX NAUKI HUMANISTYCZNO-SPOŁECZNE ZESZTYT 389 TORUŃ 2009
|
|
- Zdzisław Maksymilian Zawadzki
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 A C T A U N I V E R S I T A T I S N I C O L A I C O P E R N I C I EKONOMIA XXXIX NAUKI HUMANISTYCZNO-SPOŁECZNE ZESZTYT 389 TORUŃ 2009 Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Katedra Ekonometrii i Badań Operacyjnych Justyna Wróblewska PROGNOZOWANIE W RAMACH BAYESOWSKICH MODELI VEC Z a r y s t r e ś c i. Wśród obserwowanych makroekonomicznych szeregów czasowych większość może być traktowana jako realizacja kowariancyjnie niestacjonarnych procesów stochastycznych. Wprowadzenie idei kointegracji umożliwiło poprawne, zarówno od strony statystycznej jaki i ekonomicznej, modelowanie takich szeregów. Celem niniejszego opracowania jest wykorzystanie metodologii bayesowskiej do prognozowania w ramach modelu VEC przyszłych wartości wektora obserwacji. Prognoza ta zostanie poprzedzona wyborem najbardziej prawdopodobnych specyfikacji z grupy modeli, które mogą się różnić długością opóźnienia w procesie VAR, rodzajem trendu deterministycznego, ilością relacji kointegrujących oraz liczbą i rodzajem dodatkowych restrykcji nakładanych na przestrzeń kointegrującą i/lub przestrzeń współczynników dostosowań. Wykorzystanie techniki bayesowskiego łączenia wiedzy pozwoli na otrzymanie prognozy punktowej oraz oszacowanie jej niepewności, która będzie odzwierciedlała nie tylko niepewność związaną z przyszłymi wartościami procesu i parametrów modelu, ale również z jego specyfikacją. S ł o w a k l u c z o w e: kointegracja, wnioskowanie bayesowskie, prognozowanie, bayesowskie łączenie wiedzy.. WSTĘP Wśród obserwowanych makroekonomicznych szeregów czasowych większość może być traktowana jako realizacja kowariancyjnie niestacjonarnych procesów stochastycznych. Wprowadzenie idei kointegracji (zob. np. Engle, Granger, 987; Johansen, 996) umożliwiło poprawne, zarówno od strony statystycznej jaki i ekonomicznej, modelowanie takich szeregów. Z twierdzenie Grangera o reprezentacji wynika, że każdy wielowymiarowy proces skointegrowany można przedstawić w postaci mechanizmu korekty błędu. Jedną z głównych zalet makroekonomicznych modeli z mechanizmem korekty błędu jest wyraźne oddzielenie zależności krótkookresowych od długookresowych, zwykle popartych teorią ekonomii i będących głównym celem analizy. Powszechnie znanym problemem pojawiającym się w analizie kointegracji jest
2 298 JUSTYNA WRÓBLEWSKA nieidentyfikowalność parametrów wektorowego modelu z mechanizmem korekty błędu (VEC). Bezpośrednia interpretacja parametrów oszacowanych wektorów kointegrujących w przypadku, gdy rząd kointegracji jest większy niż jeden, jest zatem niemożliwa. Oszacowanie parametrów modelu z mechanizmem korekty błędu powinno być więc wstępem do dalszej analizy badanego zjawiska ekonomicznego, takiej na przykład jak prognoza, dekompozycja wariancji, czy też analiza reakcji wybranej zmiennej na zakłócenia zmiennych z sytemu. Celem niniejszego opracowania jest wykorzystanie metodologii bayesowskiej do prognozowania, w ramach modelu VEC, przyszłych wartości wektora obserwacji. Prognoza ta zostanie poprzedzona wyborem najbardziej prawdopodobnych specyfikacji z grupy modeli, które mogą się różnić długością opóźnienia w procesie VAR, rodzajem trendu deterministycznego, ilością relacji kointegrujących oraz liczbą i rodzajem dodatkowych restrykcji nakładanych na przestrzeń kointegrującą i/lub przestrzeń współczynników dostosowań. Wykorzystanie techniki bayesowskiego łączenia wiedzy pozwoli na otrzymanie prognozy punktowej oraz oszacowanie jej niepewności, która będzie odzwierciedlała nie tylko niepewność związaną z przyszłymi wartościami procesu i parametrów modelu, ale również z jego specyfikacją. Przedstawione metody zostaną zilustrowane prognozą inflacji oraz stopy bezrobocia dla gospodarki polskiej. 2. BAYESOWSKI WEKTOROWY MODEL Z MECHANIZMEM KOREKTY BŁĘDU Rozważmy n wymiarowy proces skointegrowany {x t }, gdzie t =,2,,T oraz przedstawmy go w postaci modelu z mechanizmem korekty błędu: k + Δ t = t + t + 0 t + x α β x ϕ d Γ ω Γi Δx i= = αβ z + Γ z + ε, t =,2,..., T, t 2t t t i + ϕ d 2 t 2 + ε Dla uproszczenia notacji, zapiszmy model () w postaci macierzowej: Z 0 = Δ X = Zβα + Z2Γ + Ε = ZΠ + Z2Γ + Ε, (2) gdzie Z 0 = (Δx, Δx 2,, Δx T ), Z = (z, z 2,, z T ), z t = ( x t-, d t ), Z 2 = (z 2, z 22,, z 2T ), z 2t = (ω t Δx t-, Δx t-2,, Δx t-k+, d 2t ), β = (β + ϕ ), Γ = (Γ 0, Γ, Γ 2,,Γ k-, φ 2 ), Ε = (ε, ε 2,, ε T ), ε t iin n (0, Σ), t =, 2,, T. Poprzez macierze d t, d t możemy wprowadzić do modelu trendy deterministyczne, macierz ω t grupuje pozostałe zmienne nielosowe, macierz α wymiaru n r zawiera współczynniki dostosowań, β wymiaru m r jest macierzą wektorów kointegrujących; m n oraz m = n, gdy w relacjach kointegrujących nie ma składowych deterministycznych. Macierze α oraz β mają rząd równy r, gdzie 0 r n. t = ()
3 Bayesowskie modele VEC w prognozowaniu i podejmowaniu decyzji 299 Dekompozycja macierzy Π na iloczyn dwóch macierzy, α oraz β, o pełnym rzędzie kolumnowym r, równym liczbie relacji kointegrujących, jest dekompozycją tradycyjną, wynikającą z przypisywanej im interpretacji. Wadą tej dekompozycji jest niejednoznaczność, co oznacz, że dla dowolnej nieosobliwej macierzy C stopnia r macierze Π = αβ oraz Π = αcc - β są obserwacyjnie równoważne. Inaczej mówiąc, w danych zawarta jest jedynie informacja o przestrzeni kointegrującej będącej elementem rozmaitości Grassmanna (G r,m r ), która jest zbiorem r wymiarowych podprzestrzeni R m. W niniejszej pracy wykorzystamy bayesowski model VEC zaproponowany przez Strachana i Indera (2004), w którym, w oparciu o pracę Jamesa (954), do wyprowadzenia rozkładu a priori dla przestrzeni kointegrującej wykorzystano zależność pomiędzy rozmaitością Grassmanna i rozmaitością Stiefela (V r,m ), będącą zbiorem r ram (ang. r frames), tj. zbiorów złożonych z r ortonormalnych wektorów z R m. Ograniczenie normy wektorów kointegrujących do jedności oraz ustalenie ich orientacji w przestrzeni kointegrującej nie utrudnia wnioskowania o tejże przestrzeni, ułatwia natomiast wyprowadzenie rozkładu a priori dla przestrzeni kointegrującej. Jednostajny rozkład na rozmaitości Stiefela prowadzi do jednostajnego rozkładu na rozmaitości Grassmanna. Obydwie rozważane rozmaitości są zwarte, czyli rozkłady jednostajne są właściwe. Czynniki Bayesa użyte do porównywania modeli, przy założeniu braku informacji a priori o przestrzeni kointegrującej, są więc dobrze zdefiniowane. Strachan i Inder (2004), wykorzystując klasę rozkładów MACG wprowadzoną przez Chikuse w 990r. (ang. matrix angular central Gaussian distributions) definiują również informacyjne rozkłady a priori, a tym samym prezentują sposób na wprowadzenie do modelu wstępnej wiedzy na temat estymowanych relacji kointegrujących. Koop, León-González, Strachan (2007) zaproponowali, dla tej grupy modeli, algorytm uzyskania próby z rozkładu a posteriori oparty na próbniku Gibbsa. W algorytmie tym korzystamy z niejednoznaczności dekompozycji macierzy Π: Π = αβ = αdd β = αd ( )( βd ) αβ, gdzie D jest dodatnio określoną macierzą wymiaru r r. Algorytm polega na przełączaniu się pomiędzy tymi parametryzacjami oraz wymaga losowania z rozkładów macierzowego normalnego i odwróconego Wisharta. 3. BAYESOWSKIE PORÓWNYWANIE KONKURENCYJNYCH MODELI I ŁĄCZENIE WIEDZY Metodologia bayesowska dostarcza również narzędzia wyboru adekwatnego modelu z grupy modeli, które mogą różnić się kilkoma cechami jednocześnie. Wybór modelu odbywa się na podstawie prawdopodobieństwa a posteriori obliczonego dla każdego modelu z kompletnego zbioru parami wykluczających
4 300 JUSTYNA WRÓBLEWSKA się modeli opisujących badane zjawisko (Osiewalski, Steel, 993; Osiewalski, 200; Pajor, 2003). Rozważmy grupę bayesowskich modeli VEC indeksowanych wektorem ξ: {M ξ, ξ = (k, r, d, o, e) Ξ}: ( X, θ ) = p ( θ ) p ( θ ), ξ Ξ M, (3) ξ : pξ ( ξ ) ξ ( ξ ) ξ X ( ξ ) gdzie X oznacza dane, θ (ξ) Ξ jest wektorem parametrów modelu M ξ, a p ξ (θ (ξ) ) oznacza rozkład a priori przyjęty dla parametrów modelu M ξ. Składowe wektora ξ opisują cechy, którymi mogą różnić się modele VEC: k wyznacza długość opóźnienia w dynamice krótkookresowej, r liczbę relacji kointegrujących, d rodzaj trendu, o dodatkowe restrykcje nałożone na przestrzeń kointegrującą, e formę egzogeniczności wybranych zmiennych. Wykorzystując twierdzenia Bayesa możemy obliczyć prawdopodobieństwa a posteriori według następującego wzoru: ( Mξ ) p( X Mξ ) p( M ) p( X M ) p p ( Mξ X ) =, ξ Ξ, (4) ς ς ς Ξ gdzie p(x M ξ ) jest brzegową gęstością wektora obserwacji w modelu M ξ, tj ( X M ) p ( X θ ) p ( θ ) p = θ, ξ Ξ. (5) ξ Θ( ξ ) ξ ( ξ ) ξ ( ξ ) d Analityczne obliczenie całek danych wzorem (5) jest zazwyczaj bardzo skomplikowane lub wręcz niemożliwe, dlatego też do ich wyznaczenia stosuje się metody numeryczne (zob. np. Newton, Raftery, 994; Kass, Raftery, 995; Chib, 995; Gamerman, 997) lub aproksymacje, np. aproksymację Laplace a (zob. np. Kass, Raftery, 995 oraz Strachan, Inder, 2004 dla modelu VEC). Mając próbę wylosowaną według rozkładu a posteriori dla parametrów modelu M ξ wartość brzegowej gęstości wektora obserwacji można na przykład przybliżać średnią harmoniczną z wartości funkcji wiarygodności (Newton, Raftery, 994; Kass, Raftery, 995): pˆ ( X M ) ξ = M M p ( X θ ) m= ξ ( ξ ) i ( ξ ). (6) Wyznaczone prawdopodobieństwa a posteriori można wykorzystać w dalszej analizie, stosując metodę bayesowskiego łączenia wiedzy, dzięki czemu otrzymane wnioski nie będą opierały się na jednym wybranym modelu, ale będą odzwierciedlały również niepewność związaną z jego specyfikacją (zob. np. Osiewalski, 200). Niech ψ będzie podzbiorem parametrów wspólnych dla modeli w rozważanej klasie { M ξ, ξ Ξ}, wówczas gęstość a posteriori ψ dana jest równaniem:
5 Bayesowskie modele VEC w prognozowaniu i podejmowaniu decyzji 30 ( ψ X ) = p( ψ X Mξ ) p( Mξ X ) p,, (7) gdzie p(m ξ X) jest prawdopodobieństwem a posteriori modelu M ξ, a p(ψ X,M ξ ) gęstością a posteriori ψ w modelu M ξ. W niniejszym opracowaniu metoda bayesowskiego łączenia wiedzy zostanie wykorzystana do wyznaczenia prognozy wektora przyszłych obserwacji. 4. PROGNOZOWANIE W RAMACH BAYESOWSKIEGO MODELU VEC Bayesowska predykcja oparta jest na rozkładzie predyktywnym, tj. na warunkowym względem obserwacji rozkładzie przyszłych wartości analizowanego procesu. Oznaczmy wektor prognozowanych wartości przez: X = ( x ) T +, xt + 2, K, xt + h, gdzie h jest horyzontem prognozy. Warunkowy, względem zaobserwowanych wartości X, rozkład predyktywny otrzymujemy uśredniając, po przestrzeni parametrów, tzw. próbkową gęstość predyktywną p ( X θ, X ) z wykorzystaniem gęstości rozkładu a posteriori dla parametrów modelu jako funkcji wagowej (Osiewalski, 200; Zellner, 97): p X X p X, θ X dθ p X θ, X p θ X dθ. (8) ( ) = ( ) = Θ ( ) ( ) Θ Tak wyznaczony rozkład predyktywny uwzględnia niepewność związaną zarówno z wartościami prognozowanymi, jak i również z wartością parametrów. Dodatkowo, wykorzystując technikę bayesowskiego łączenia wiedzy, dla wyznaczenia prognozy, możemy rozważyć nie jeden model bayesowski, ale ich zbiór {M ξ : ξ Ξ}: p X X = p M X p X X, M = ( ) ( ξ ) ( ξ ) = p ( Mξ X ) p( X θξ, X ) p( θξ X ) dθξ. Θξ W wyniku łączenia wiedzy otrzymujemy zatem jeden rozkład predyktywny będący średnią ważoną rozkładów predyktywny w rozważanych modelach z wagami równymi prawdopodobieństwom a posteriori tych modeli. Otrzymany rozkład predyktywny prezentuje całą wiedzę badacza na temat przyszłych wartości badanego procesu, warunkową względem jego zrealizowanych wartości. Chcąc podsumować te wiedzę możemy, wykorzystując rozkład predyktywny, wyznaczyć prognozę punktową oraz podać ocenę jej niepewności. Prognoza punktowa jest rozwiązaniem następującego problemu (Zellner, 97): (9)
6 302 JUSTYNA WRÓBLEWSKA X RX ( X, Xˆ ) p( X X ) ˆ gdzie L( X, Xˆ ) min L dx, (0) oznacza przyjętą funkcję starty, a Xˆ prognozę punktową. Wartość oczekiwana rozkładu predyktywnego jest optymalną prognozą punktową, gdy jako funkcję straty przyjmiemy formę kwadratową (tj. kwadratową funkcję starty). Wartość oczekiwaną oraz wariancję rozkładu predyktywnego danego wzorem (9) można wyznaczyć znając wartości oczekiwane oraz wariancje rozkładów predyktywnych rozważanych modeli (zob. np. Villani, 200): E X X = p M X E X X, M, V ( ) ( ξ ) ( ξ ) 2 ( X X ) = p( Mξ X ) V ( X X, Mξ ) + p( Mξ X )[ E( X X, Mξ ) E( X X )], które można oszacować wykorzystując próby wylosowane według rozkładów predyktywnych dla tych modeli. 5. WYNIKI EMPIRYCZNE Przedstawione procedury wnioskowania bayesowskiego w ramach modelu VEC zostaną zilustrowane prognozą inflacji oraz stopy bezrobocia dla gospodarki polskiej. Prognoza została poprzedzona analizą spirali płacowo cenowej z wykorzystaniem obserwacji kwartalnych z lat dla pięciu szeregów czasowych: logarytmu płac przeciętnych z sektora przedsiębiorst (w), logarytmu indeksu cen konsumpcyjnych (p), logarytmu wydajności pracy (z), logarytmu indeksu cen importu (m), stopy bezrobocia (w procentach, U). Rozważono zbiór modeli różniących się długością opóźnienia w modelu VAR, k {, 2, 3, 4}, rodzajem trendu, d {, 2, 3, 4, 5}, rzędem macierzy mnożników długookresowych Π, r {0,, 2, 3, 4, 5} oraz restrykcjami nałożonymi na przestrzeń wektorów kointegrujących, o {0, }, lub/i przestrzeń współczynników dostosowań, e {0, }. Rodzaje trendu, a także rodzaje restrykcji, odpowiadające kolejnym wartościom indeksów d, o, oraz e prezentuje tabela. Po uwzględnieniu wszystkich kombinacji rozważanych cech, pozostawieniu po jednym przedstawicielu ze zbioru modeli równoważnych (np. dla r = 0, d = 2 oraz r = 0, d = 3 otrzymujemy modele obserwacyjnie równoważne) i wykluczeniu kombinacji niemożliwych (np. r = 0, o 0) otrzymujemy 344 modele, dla których przyjęto równe prawdopodobieństwa a priori, obliczone według schematu zaproponowanego przez Strachana i van Dijka (2007). Ze względu na sezonowość analizowanych danych do każdego modelu wprowadzono zmienne sezonowe.
7 Bayesowskie modele VEC w prognozowaniu i podejmowaniu decyzji 303 Tabela. Rodzaje trendu i restrykcji odpowiadające kolejnym wartościom indeksów d, o, oraz e d = d = 2 d = 3 d = 4 d = 5 o = 0 o = e = 0 e = φdt = μ+δt, φ2d2t = μ2+δ2t, w relacjach kointegrujących jest trend liniowy, proces xt ma trend kwadratowy φdt = μ+δt, φ2d2t = μ2, w relacjach kointegrujących jest trend liniowy, proces xt ma trend liniowy φdt = μ, φ2d2t = μ2, relacje kointegrującej mają niezerową wartość oczekiwaną, proces xt ma trend liniowy φdt = μ, φ2d2t = 0, relacje kointegrującej mają niezerową wartość oczekiwaną, proces xt nie ma trendu deterministycznego φdt = 0, φ2d2t = 0, relacje kointegrującej mają zerową wartość oczekiwaną, proces xt nie ma trendu deterministycznego brak dodatkowych restrykcji dla przestrzeni kointegrującej jednorodność w równaniu cen brak dodatkowych restrykcji dla przestrzeni współczynników dostosowań słaba egzogeniczność cen importu Przyjęto następujące rozkłady a priori: β ν MACG(I m ), czyli rozkład jednostajny na rozmaitości Grassmanna, α ν,r, Σ mn(0, νi r, Σ), Σ iw(i 5, 7), Γ Σ,h mn(0, Σ, hi 5(k-)+l ), ν ig(2, 3), h ig(20, 3), p(m ξ ) = 0,003. Do uzyskania próby z rozkładu a posteriori wykorzystano schemat losowania Gibbsa zaproponowany przez Koopa, León-Gonzáleza i Strachana (2007). Dokładna analiza modeli, które otrzymały najwyższe prawdopodobieństwo a posteriori prowadzi do wniosku, że badany szereg wielowymiarowyzintegrowany stopnia 2, X I(2), dlatego przed przystąpieniem do prognozowania dokonano transformacji oryginalnych (nominalnych) zmiennych do realnych, tj. zastąpiono płace nominalne realnymi (w p), indeks cen inflacją (Δp) oraz indeks cen importu różnicą m p. Transformacja ta jest możliwa, ponieważ łączne prawdopodobieństwo a posteriori dla grupy modeli z restrykcją jednorodności w równaniu cen wynosi 0,564. Wyniki bayesowskiego porównania modeli dla danych transformowanych zawiera tabela 2. Tabela 2. Modele o najwyższym prawdopodobieństwie a posteriori dla danych transformowanych k d r e p(m(k,d,r,o,e) x) log0(p (x M(k,d,r,o,e))) ,460 0,34 0,078 0,047 0,036 57,073 56,538 56,303 56,085 55,967 Tabela zawiera modele o prawdopodobieństwie a posteriori nie mniejszym niż 0,03. Źródło: obliczenia własne. Wykorzystując, w grupie modeli o prawdopodobieństwie a posteriori nie niższym niż 0,03, technikę bayesowskiego łączenia wiedzy dokonano prognozy inflacji oraz stopy bezrobocia na 2 kwartałów poza próbę, tj. na lata
8 304 JUSTYNA WRÓBLEWSKA Wybrane histogramy tak otrzymanych brzegowych rozkładów predyktywnych prezentuje wykres, natomiast w tabeli 3 zebrano wartości oczekiwane oraz odchylenia standardowe (w nawiasach) tych rozkładów. Tabela 3. Wartości oczekiwane oraz odchylenia standardowe (w nawiasach) brzegowych rozkładów predyktywnych Δp: inflacja I II III IV ,0200 0,0200 0,0086 0,077 (0,520) (0,224) (0,2844) (0,3364) Wartości zrealizowane 0,049 0,039 0,0020 0, ,025 0,02 0,0095 0,083 (0,3887) (0,4373) (0,4822) (0,5245) Wartości zrealizowane 0, ,027 0,022 0,0095 0,08 (0,568) (0,6098) (0,6497) (0,6879) U: stopa bezrobocia I II III IV 2008,53 0,43 0,7 0,54 (0,57) (0,964) (,436) (,922) Wartości zrealizowane 0,9 9,4 8,9 9,5 2009,04 0,22 0,7 0,72 (2,435) (2,947) (3,45) (3,944) Wartości zrealizowane 0,7 0,8 200,33 0,60 0,6,8 (4,434) (4,93) (5,376) (5,822) Źródło: obliczenia własne. Punktowa prognoza inflacji znacznie przewyższa wartości zrealizowane, jednak, z powodu dużego błędu ex ante, którym jest obarczona, wartości rzeczywiste mieszczą się w obszarze wysokiej gęstości prawdopodobieństwa rozkładów predyktywnych. Prognoza punktowa stopy bezrobocia na poziomie wartości oczekiwanej rozkładu predyktywnego również jest wyższa od zaobserwowanej, jednak i w tym przypadku wartości zrealizowane mieszczą się w obszarze +/- dwóch odchyleń standardowych od prognozy punktowej. 6. PODSUMOWANIE W niniejszej pracy zaprezentowano zalety bayesowskiego prognozowania w wektorowych modelach korekty błędu. Pokazano, że metodologia Bayesowska pozwala na formalne porównanie modeli różniących się kilkoma cechami jednocześnie, a wykorzystując technikę bayesowskiego łączenia wiedzy możemy otrzymać prognozę uwzględniającą niepewność związaną z tym wyborem. Wiedza na temat przyszłych wartości procesu prezentowana jest za pomocą rozkładu predyktywnego. Podsumowaniem tej wiedzy może być podanie momentów rozkładu.
9 Bayesowskie modele VEC w prognozowaniu i podejmowaniu decyzji 305 p(δpt+ X) p(ut+ X) p(δpt+3 X) p(ut+3 X) p(δpt+5 X) p(ut+5 X) Wykres. Histogramy wybranych brzegowych rozkładów predyktywnych po zastosowaniu techniki bayesowskiego łączenia wiedzy (czarnym punktem zaznaczono wartości zrealizowane) Źródło: opracowanie własne. LITERATURA Chib S. (995), Marginal likelihood from the Gibbs output, Journal of the American Statistical Association, nr 90, Engle R.F., Granger C.W.J. (997), Cointegration and error correction: representation, estimation and testing, Econometrica, nr 55, Gamerman D. (997), Marcov Chain Monte Carlo. Stochastic simulation for Bayesian inference, Chapman and Hall, London.
10 306 JUSTYNA WRÓBLEWSKA Johansen S. (996), Likelihood-based inference in cointegrated vector auto-regressive models, New York: Oxford University Press. Kass R.E., Raftery A.E. (995), Bayes factors, Journal of the American Statistical Association nr 90, Koop G., León-González R., Strachan R. (2007), Efficient posterior simulation for cointegrated models with priors on the cointegration space, Working Paper No. 05/3, University of Leicester, Department of Economics. Lutkepohl, H. (2007), New Introduction to Multiple Time Series Analysis. Springer Verlag, Berlin Heidelberg. Newton M.A., Raftery A.E. (994), Approximate Bayesian inference by the weighted likelihood bootstrap (with discussion), Journal of the Royal Statistical Society, Ser. B nr 56, Osiewalski J. (200), Ekonometria bayesowska w zastosowaniach, Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej w Krakowie, Kraków. Osiewalski J., Steel M. (993), A Bayesian perspective on model selection (maszynopis), opublikowano w języku hiszpańskim: Una perspectiva bayesiana en selección de modelos, Cuadernos Economicos, 55/3. Pajor A. (2003), Procesy zmienności stochastycznej SV w bayesowskiej analizie finansowych szeregów czasowych, Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej w Krakowie, Kraków. Strachan R.W., Inder B. (2004), Bayesian analysis of the error correction model, Journal of Econometrics, nr 23, Villani M. (200), Bayesian prediction with cointegrated vector autoregressions, International Journal of Forecasting, nr 7, Zellner A. (97), An Introduction to Bayesian Inference in Econometrics. J. Wiley, New York. BAYESIAN PREDICTION IN THE VEC MODELS A b s t r a c t. The majority of the observed macroeconomic time series may contain stochastic trends or unit roots. After the introduction of the conception of the cointegration (which enables proper modelling of such time series) an enormous development of methods of its analysis can be observed in classical as well in Bayesian econometrics. The aim of this paper is to present a Bayesian approach to prediction in the framework of the VEC model. The presented methods will be applied to the forecast of the Polish inflation and the rate of unemployment preceded by the analysis of the price wage mechanism. K e y w o r d s: cointegration, Bayesian analysis, forecasting, Bayesian model averaging.
Modele DSGE. Jerzy Mycielski. Maj Jerzy Mycielski () Modele DSGE Maj / 11
Modele DSGE Jerzy Mycielski Maj 2008 Jerzy Mycielski () Modele DSGE Maj 2008 1 / 11 Modele DSGE DSGE - Dynamiczne, stochastyczne modele równowagi ogólnej (Dynamic Stochastic General Equilibrium Model)
Metody systemowe i decyzyjne w informatyce
Metody systemowe i decyzyjne w informatyce Laboratorium JAVA Zadanie nr 2 Rozpoznawanie liter autorzy: A. Gonczarek, J.M. Tomczak Cel zadania Celem zadania jest zapoznanie się z problemem klasyfikacji
Dynamiczne stochastyczne modele równowagi ogólnej
Dynamiczne stochastyczne modele równowagi ogólnej mgr Anna Sulima Instytut Matematyki UJ 8 maja 2012 mgr Anna Sulima (Instytut Matematyki UJ) Dynamiczne stochastyczne modele równowagi ogólnej 8 maja 2012
REGRESJA LINIOWA Z UOGÓLNIONĄ MACIERZĄ KOWARIANCJI SKŁADNIKA LOSOWEGO. Aleksander Nosarzewski Ekonometria bayesowska, prowadzący: dr Andrzej Torój
1 REGRESJA LINIOWA Z UOGÓLNIONĄ MACIERZĄ KOWARIANCJI SKŁADNIKA LOSOWEGO Aleksander Nosarzewski Ekonometria bayesowska, prowadzący: dr Andrzej Torój 2 DOTYCHCZASOWE MODELE Regresja liniowa o postaci: y
BADANIE KOINTEGRACJI POWIATOWYCH STÓP BEZROBOCIA W WOJEWÓDZTWIE ZACHODNIOPOMORSKIM
STUDIA I PRACE WYDZIAŁU NAUK EKONOMICZNYCH I ZARZĄDZANIA NR 31 Barbara Batóg Uniwersytet Szczeciński BADANIE KOINTEGRACJI POWIATOWYCH STÓP BEZROBOCIA W WOJEWÓDZTWIE ZACHODNIOPOMORSKIM Streszczenie W artykule
Modele zapisane w przestrzeni stanów
Modele zapisane w przestrzeni stanów Modele Przestrzeni Stanów (State Space Models) sa to modele, w których część parametrów jest nieobserwowalna i losowa. Zachowanie wielowymiarowej zmiennej y t zależy
Przyczynowość Kointegracja. Kointegracja. Kointegracja
korelacja a związek o charakterze przyczynowo-skutkowym korelacja a związek o charakterze przyczynowo-skutkowym Przyczynowość w sensie Grangera Zmienna x jest przyczyną w sensie Grangera zmiennej y jeżeli
Rozpoznawanie obrazów
Rozpoznawanie obrazów Ćwiczenia lista zadań nr 5 autorzy: A. Gonczarek, J.M. Tomczak Przykładowe problemy Klasyfikacja binarna Dla obrazu x zaproponowano dwie cechy φ(x) = (φ 1 (x) φ 2 (x)) T. Na obrazie
Barbara Batóg* Uniwersytet Szczeciński
Studia i Prace WNEiZ US nr 45/2 2016 DOI:10.18276/sip.2016.45/2-11 Barbara Batóg* Uniwersytet Szczeciński Badanie kointegracji wybranych zmiennych ekonomiczno- -finansowych w województwie zachodniopomorskim
Prognozowanie i Symulacje. Wykład I. Matematyczne metody prognozowania
Prognozowanie i Symulacje. Wykład I. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Szeregi czasowe 1 Szeregi czasowe 2 3 Szeregi czasowe Definicja 1 Szereg czasowy jest to proces stochastyczny z czasem dyskretnym
EKONOMETRIA STOSOWANA PRZYKŁADOWE ZADANIA EGZAMINACYJNE
EKONOMETRIA STOSOWANA PRZYKŁADOWE ZADANIA EGZAMINACYJNE ZADANIE 1 Oszacowano zależność między luką popytowa a stopą inflacji dla gospodarki niemieckiej. Wyniki estymacji są następujące: Estymacja KMNK,
strona 1 / 5 Specjalizacja: B4. Analiza kointegracyjna Publikacje:
Specjalizacja: B4. Analiza kointegracyjna Publikacje: 1. Autorzy: Grabowski Wojciech; Welfe Aleksander Tytuł: Global Stability of Dynamic Models Strony: 782-784 - Teoria ekonometrii (B1. Makroekonometria)
Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX = 4 i EY = 6. Rozważamy zmienną losową Z =.
Prawdopodobieństwo i statystyka 3..00 r. Zadanie Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX 4 i EY 6. Rozważamy zmienną losową Z. X + Y Wtedy (A) EZ 0,
Metoda Monte Carlo. Jerzy Mycielski. grudzien Jerzy Mycielski () Metoda Monte Carlo grudzien / 10
Metoda Monte Carlo Jerzy Mycielski grudzien 2012 Jerzy Mycielski () Metoda Monte Carlo grudzien 2012 1 / 10 Przybliżanie całek Powiedzmy, że mamy do policzenia następującą całkę: b f (x) dx = I a Założmy,
Procesy stochastyczne
Wykład I: Istnienie procesów stochastycznych 21 lutego 2017 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. 2 Egzamin ustny z teorii 3 Do wykładu przygotowane
Wstęp do Metod Systemowych i Decyzyjnych Opracowanie: Jakub Tomczak
Wstęp do Metod Systemowych i Decyzyjnych Opracowanie: Jakub Tomczak 1 Wprowadzenie. Zmienne losowe Podczas kursu interesować nas będzie wnioskowanie o rozpatrywanym zjawisku. Poprzez wnioskowanie rozumiemy
Przyczyny wahań realnego kursu walutowego w Polsce wyniki badań z wykorzystaniem bayesowskich strukturalnych modeli VAR
Przyczyny wahań realnego kursu walutowego w Polsce wyniki badań z wykorzystaniem bayesowskich strukturalnych modeli VAR dr Marek A. Dąbrowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Katedra Makroekonomii marek.dabrowski@uek.krakow.pl
Metoda największej wiarogodności
Wprowadzenie Założenia Logarytm funkcji wiarogodności Metoda Największej Wiarogodności (MNW) jest bardziej uniwersalną niż MNK metodą szacowania wartości nieznanych parametrów Wprowadzenie Założenia Logarytm
Metoda Johansena objaśnienia i przykłady
Metoda Johansena objaśnienia i przykłady Model wektorowej autoregresji rzędu p, VAR(p), ma postad gdzie oznacza wektor zmiennych endogenicznych modelu. Model VAR jest stabilny, jeżeli dla, tzn. wielomian
SPOTKANIE 3: Regresja: Regresja liniowa
Wrocław University of Technology SPOTKANIE 3: Regresja: Regresja liniowa Adam Gonczarek Studenckie Koło Naukowe Estymator adam.gonczarek@pwr.wroc.pl 22.11.2013 Rozkład normalny Rozkład normalny (ang. normal
PRZEGLĄD STATYSTYCZNY
POLSKA AKADEMIA NAUK KOMITET STATYSTYKI I EKONOMETRII PRZEGLĄD STATYSTYCZNY STATISTICAL REVIEW TOM 64 4 2017 WARSZAWA 2017 WYDAWCA Komitet Statystyki i Ekonometrii Polskiej Akademii Nauk RADA PROGRAMOWA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD stycznia 2010
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 14 18 stycznia 2010 Model statystyczny ROZKŁAD DWUMIANOWY ( ) {0, 1,, n}, {P θ, θ (0, 1)}, n ustalone P θ {K = k} = ( ) n θ k (1 θ) n k, k k = 0, 1,, n Geneza: Rozkład Bernoulliego
Wprowadzenie do teorii ekonometrii. Wykład 1 Warunkowa wartość oczekiwana i odwzorowanie liniowe
Wprowadzenie do teorii ekonometrii Wykład 1 Warunkowa wartość oczekiwana i odwzorowanie liniowe Zajęcia Wykład Laboratorium komputerowe 2 Zaliczenie EGZAMIN (50%) Na egzaminie obowiązują wszystkie informacje
Wykład 4. Plan: 1. Aproksymacja rozkładu dwumianowego rozkładem normalnym. 2. Rozkłady próbkowe. 3. Centralne twierdzenie graniczne
Wykład 4 Plan: 1. Aproksymacja rozkładu dwumianowego rozkładem normalnym 2. Rozkłady próbkowe 3. Centralne twierdzenie graniczne Przybliżenie rozkładu dwumianowego rozkładem normalnym Niech Y ma rozkład
WYKŁAD 4. Podejmowanie decyzji dla modeli probabilistycznych Modelowanie Gaussowskie. autor: Maciej Zięba. Politechnika Wrocławska
Wrocław University of Technology WYKŁAD 4 Podejmowanie decyzji dla modeli probabilistycznych Modelowanie Gaussowskie autor: Maciej Zięba Politechnika Wrocławska Klasyfikacja Klasyfikacja (ang. Classification):
Rozdział 2: Metoda największej wiarygodności i nieliniowa metoda najmniejszych kwadratów
Rozdział : Metoda największej wiarygodności i nieliniowa metoda najmniejszych kwadratów W tym rozdziale omówione zostaną dwie najpopularniejsze metody estymacji parametrów w ekonometrycznych modelach nieliniowych,
Spis treści Wstęp Estymacja Testowanie. Efekty losowe. Bogumiła Koprowska, Elżbieta Kukla
Bogumiła Koprowska Elżbieta Kukla 1 Wstęp Czym są efekty losowe? Przykłady Model mieszany 2 Estymacja Jednokierunkowa klasyfikacja (ANOVA) Metoda największej wiarogodności (ML) Metoda największej wiarogodności
Podstawowe modele probabilistyczne
Wrocław University of Technology Podstawowe modele probabilistyczne Maciej Zięba maciej.zieba@pwr.edu.pl Rozpoznawanie Obrazów, Lato 2018/2019 Pojęcie prawdopodobieństwa Prawdopodobieństwo reprezentuje
Ekonometria. Prognozowanie ekonometryczne, ocena stabilności oszacowań parametrów strukturalnych. Jakub Mućk. Katedra Ekonomii Ilościowej
Ekonometria Prognozowanie ekonometryczne, ocena stabilności oszacowań parametrów strukturalnych Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Ekonometria Wykład 4 Prognozowanie, stabilność 1 / 17 Agenda
Ćwiczenie 5 PROGNOZOWANIE
Ćwiczenie 5 PROGNOZOWANIE Prognozowanie jest procesem przewidywania przyszłych zdarzeń. Obszary zastosowań prognozowania obejmują np. analizę danych giełdowych, przewidywanie zapotrzebowania na pracowników,
XI Konferencja Metody Ilościowe w Badaniach Ekonomicznych
Rafał M. Łochowski Szkoła Główna Handlowa w Warszawie O górnym ograniczeniu zysku ze strategii handlowej opartej na kointegracji XI Konferencja Metody Ilościowe w Badaniach Ekonomicznych Zależność kointegracyjna
Rozpoznawanie obrazów
Rozpoznawanie obrazów Ćwiczenia lista zadań nr 7 autorzy: A. Gonczarek, J.M. Tomczak Przykładowe problemy Klasyfikacja binarna Dla obrazu x zaproponowano dwie cechy φ(x) = (φ 1 (x) φ 2 (x)) T. Na obrazie
Spis treści 3 SPIS TREŚCI
Spis treści 3 SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 1. WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE JAKO DYSCYPLINA MATEMATYCZNA... Metody statystyczne w analizie i prognozowaniu zjawisk ekonomicznych... Badania statystyczne podstawowe
Fuzja sygnałów i filtry bayesowskie
Fuzja sygnałów i filtry bayesowskie Roboty Manipulacyjne i Mobilne dr inż. Janusz Jakubiak Katedra Cybernetyki i Robotyki Wydział Elektroniki, Politechnika Wrocławska Wrocław, 10.03.2015 Dlaczego potrzebna
Procesy stochastyczne
Wykład I: Istnienie procesów stochastycznych 2 marca 2015 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. 2 Egzamin ustny z teorii 3 Do wykładu przygotowane są
Szacowanie optymalnego systemu Bonus-Malus przy pomocy Pseudo-MLE. Joanna Sawicka
Szacowanie optymalnego systemu Bonus-Malus przy pomocy Pseudo-MLE Joanna Sawicka Plan prezentacji Model Poissona-Gamma ze składnikiem regresyjnym Konstrukcja optymalnego systemu Bonus- Malus Estymacja
Weryfikacja hipotez statystycznych. KG (CC) Statystyka 26 V / 1
Weryfikacja hipotez statystycznych KG (CC) Statystyka 26 V 2009 1 / 1 Sformułowanie problemu Weryfikacja hipotez statystycznych jest drugą (po estymacji) metodą uogólniania wyników uzyskanych w próbie
Dynamiczne modele liniowe w badaniach okresowych
Dynamiczne modele liniowe w badaniach okresowych Katedra Statystyki UE w Poznaniu O czym będzie mowa? badamy zmienność pewnego parametru w czasie w pewnej populacji co pewien okres losujemy próbę na podstawie
5. Analiza dyskryminacyjna: FLD, LDA, QDA
Algorytmy rozpoznawania obrazów 5. Analiza dyskryminacyjna: FLD, LDA, QDA dr inż. Urszula Libal Politechnika Wrocławska 2015 1 1. Liniowe funkcje dyskryminacyjne Liniowe funkcje dyskryminacyjne mają ogólną
Paweł Miłobędzki Uniwersytet Gdański. Orlen czy Lotos? Kto kształtuje ceny na hurtowym rynku benzyn silnikowych w Polsce?
DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE X Ogólnopolskie Seminarium Naukowe, 4 6 września 2007 w Toruniu Katedra Ekonometrii i Statystyki, Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Uniwersytet Gdański Orlen czy
ANALIZA KOINTEGRACJI STÓP PROCENTOWYCH W POLSCE
Aneta KŁODZIŃSKA ZESZYTY NAUKOWE INSTYTUTU EKONOMII I ZARZĄDZANIA ANALIZA KOINTEGRACJI STÓP PROCENTOWYCH W POLSCE Zarys treści: Celem artykułu jest określenie czy między stopami procentowymi w Polsce występuje
Ekonometria Wykład 6 - Kointegracja, rozkłady opóźnień. Dr Michał Gradzewicz Katedra Ekonomii I KAE
Ekonometria Wykład 6 - Kointegracja, rozkłady opóźnień Dr Michał Gradzewicz Katedra Ekonomii I KAE Plan wykładu Ekonometria wielu szeregów czasowych i analiza zależności pomiędzy nimi Przykłady ważnych
Dr Łukasz Goczek. Uniwersytet Warszawski
Dr Łukasz Goczek Uniwersytet Warszawski Wykłady do końca: Niezależność polityki pieniężnej w długim okresie 2 wykłady Wzrost długookresowy w gospodarce otwartej 2 wykłady Egzamin 12.06.2013, godz. 17 sala
Wnioskowanie bayesowskie
Wnioskowanie bayesowskie W podejściu klasycznym wnioskowanie statystyczne oparte jest wyłącznie na podstawie pobranej próby losowej. Możemy np. estymować punktowo lub przedziałowo nieznane parametry rozkładów,
Ekonometryczne modele nieliniowe
Ekonometryczne modele nieliniowe Wykład 10 Modele przełącznikowe Markowa Literatura P.H.Franses, D. van Dijk (2000) Non-linear time series models in empirical finance, Cambridge University Press. R. Breuning,
Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn
Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średniej Wrocław, 21 grudnia 2016r Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja 10.1 Przedziałem
Zmienne zależne i niezależne
Analiza kanoniczna Motywacja (1) 2 Często w badaniach spotykamy problemy badawcze, w których szukamy zakresu i kierunku zależności pomiędzy zbiorami zmiennych: { X i Jak oceniać takie 1, X 2,..., X p }
FORECASTING THE DISTRIBUTION OF AMOUNT OF UNEMPLOYED BY THE REGIONS
FOLIA UNIVERSITATIS AGRICULTURAE STETINENSIS Folia Univ. Agric. Stetin. 007, Oeconomica 54 (47), 73 80 Mateusz GOC PROGNOZOWANIE ROZKŁADÓW LICZBY BEZROBOTNYCH WEDŁUG MIAST I POWIATÓW FORECASTING THE DISTRIBUTION
Statystyka opisowa. Wykład V. Regresja liniowa wieloraka
Statystyka opisowa. Wykład V. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 Prosta regresji cechy Y względem cech X 1,..., X k. 2 3 Wyznaczamy zależność cechy Y od cech X 1, X 2,..., X k postaci Y = α 0 +
3. Modele tendencji czasowej w prognozowaniu
II Modele tendencji czasowej w prognozowaniu 1 Składniki szeregu czasowego W teorii szeregów czasowych wyróżnia się zwykle następujące składowe szeregu czasowego: a) składowa systematyczna; b) składowa
Prawdopodobieństwo i statystyka
Wykład XV: Zagadnienia redukcji wymiaru danych 2 lutego 2015 r. Standaryzacja danych Standaryzacja danych Własności macierzy korelacji Definicja Niech X będzie zmienną losową o skończonym drugim momencie.
1.1 Wstęp Literatura... 1
Spis treści Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Wstęp................................ 1 1.2 Literatura.............................. 1 2 Elementy rachunku prawdopodobieństwa 2 2.1 Podstawy..............................
... prognozowanie nie jest celem samym w sobie a jedynie narzędziem do celu...
4 Prognozowanie historyczne Prognozowanie - przewidywanie przyszłych zdarzeń w oparciu dane - podstawowy element w podejmowaniu decyzji... prognozowanie nie jest celem samym w sobie a jedynie narzędziem
Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014
Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich Wrocław, 5 grudnia 2014 Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja Przedziałem ufności dla paramertu
1 Modele ADL - interpretacja współczynników
1 Modele ADL - interpretacja współczynników ZADANIE 1.1 Dany jest proces DL następującej postaci: y t = µ + β 0 x t + β 1 x t 1 + ε t. 1. Wyjaśnić, jaka jest intepretacja współczynników β 0 i β 1. 2. Pokazać
Statystyka i eksploracja danych
Wykład XII: Zagadnienia redukcji wymiaru danych 12 maja 2014 Definicja Niech X będzie zmienną losową o skończonym drugim momencie. Standaryzacją zmiennej X nazywamy zmienną losową Z = X EX Var (X ). Definicja
BAYESOWSKA ANALIZA KRAŃCOWEJ SKŁONNOŚCI DO KONSUMPCJI
Bayesowska analiza krańcowej skłonności do konsumpcji STUDIA I PRACE WYDZIAŁU NAUK EKONOMICZNYCH I ZARZĄDZANIA NR 9 MARIUSZ DOSZYŃ Uniwersytet Szczeciński BAYESOWSKA ANALIZA KRAŃCOWEJ SKŁONNOŚCI DO KONSUMPCJI
Ważne rozkłady i twierdzenia c.d.
Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Funkcja charakterystyczna rozkładu Wielowymiarowy rozkład normalny Elipsa kowariacji Sploty rozkładów Rozkłady jednostajne Sploty z rozkładem normalnym Pobieranie próby
Metody systemowe i decyzyjne w informatyce
Metody systemowe i decyzyjne w informatyce Ćwiczenia lista zadań nr 2 autorzy: A. Gonczarek, J.M. Tomczak Metody estymacji Zad. 1 Pojawianie się spamu opisane jest zmienną losową x o rozkładzie dwupunktowym
Projekt zaliczeniowy z Ekonometrii i prognozowania Wyższa Szkoła Bankowa w Toruniu 2017/2018
Projekt zaliczeniowy z Ekonometrii i prognozowania Wyższa Szkoła Bankowa w Toruniu 2017/2018 Nr indeksu... Imię i Nazwisko... Nr grupy ćwiczeniowej... Imię i Nazwisko prowadzącego... 1. Specyfikacja modelu
STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA Zadanie 0.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 0 4 p k 1/3 1/6 1/ obliczyć EX, D X. (odp. 4/3;
Przykład 2. Stopa bezrobocia
Przykład 2 Stopa bezrobocia Stopa bezrobocia. Komentarz: model ekonometryczny stopy bezrobocia w Polsce jest modelem nieliniowym autoregresyjnym. Podobnie jak model podaŝy pieniądza zbudowany został w
WYBRANE MODELE ZAWIERAJĄCE STOCHASTYCZNY PIERWIASTEK JEDNOSTKOWY W ANALIZIE KURSÓW WALUTOWYCH 1 1. WSTĘP
PRZEGLĄD STATYSTYCZNY R. LVIII ZESZYT 3-4 0 JACEK KWIATKOWSKI WYBRANE MODELE ZAWIERAJĄCE STOCHASTYCZNY PIERWIASTEK JEDNOSTKOWY W ANALIZIE KURSÓW WALUTOWYCH. WSTĘP Granger i Swanson [5] wykazali że finansowe
Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory
Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl
Metody matematyczne w analizie danych eksperymentalnych - sygnały, cz. 2
Metody matematyczne w analizie danych eksperymentalnych - sygnały, cz. 2 Dr hab. inż. Agnieszka Wyłomańska Faculty of Pure and Applied Mathematics Hugo Steinhaus Center Wrocław University of Science and
Wykład 1 Próba i populacja. Estymacja parametrów z wykorzystaniem metody bootstrap
Wykład 1 Próba i populacja. Estymacja parametrów z wykorzystaniem metody bootstrap Magdalena Frąszczak Wrocław, 21.02.2018r Tematyka Wykładów: Próba i populacja. Estymacja parametrów z wykorzystaniem metody
Stopę zbieżności ciagu zmiennych losowych a n, takiego, że E (a n ) < oznaczamy jako a n = o p (1) prawdopodobieństwa szybciej niż n α.
Stopy zbieżności Stopę zbieżności ciagu zmiennych losowych a n, takiego, że a n oznaczamy jako a n = o p (1 p 0 a Jeśli n p n α 0, to a n = o p (n α i mówimy a n zbiega według prawdopodobieństwa szybciej
Sylabus Formularz opisu przedmiotu (formularz sylabusa) dla studiów I i II stopnia 1 wypełnia koordynator przedmiotu
Sylabus Formularz opisu przedmiotu (formularz sylabusa) dla studiów I i II stopnia 1 wypełnia koordynator przedmiotu A. Informacje ogólne Nazwa pola Nazwa przedmiotu Treść Analiza Szeregów Czasowych Jednostka
Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/
Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Głęboka 28, p. 221 bud. CIW, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Monte Carlo, bootstrap, jacknife
Monte Carlo, bootstrap, jacknife Literatura Bruce Hansen (2012 +) Econometrics, ze strony internetowej: http://www.ssc.wisc.edu/~bhansen/econometrics/ Monte Carlo: rozdział 8.8, 8.9 Bootstrap: rozdział
Plan wykładu: 1) Pojęcie stacjonarności i niestacjonarności zmiennych 2) Testowanie integracji 3) Pojęcie kointegracji metoda Engle a-grangera.
1 Plan wykładu: 1) Pojęcie stacjonarności i niestacjonarności zmiennych 2) Testowanie integracji 3) Pojęcie kointegracji metoda Engle a-grangera. Pojęcie stacjonarności i niestacjonarności zmiennych Szereg
1 Klasyfikator bayesowski
Klasyfikator bayesowski Załóżmy, że dane są prawdopodobieństwa przynależności do klasp( ),P( 2 ),...,P( L ) przykładów z pewnego zadania klasyfikacji, jak również gęstości rozkładów prawdopodobieństw wystąpienia
Statystyka Matematyczna Anna Janicka
Statystyka Matematyczna Anna Janicka wykład IX, 25.04.2016 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Plan na dzisiaj 1. Hipoteza statystyczna 2. Test statystyczny 3. Błędy I-go i II-go rodzaju 4. Poziom istotności,
Mateusz Pipień Akademia Ekonomiczna w Krakowie
DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE X Ogólnopolskie Seminarium Naukowe, 4 6 września 2007 w Toruniu Katedra Ekonometrii i Statystyki, Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Akademia Ekonomiczna w Krakowie
PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Kierunek: Informatyka Rodzaj przedmiotu: przedmiot obowiązkowy w ramach treści kierunkowych, moduł kierunkowy ogólny Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia I KARTA PRZEDMIOTU CEL PRZEDMIOTU
Redukcja wariancji w metodach Monte-Carlo
14.02.2006 Seminarium szkoleniowe 14 lutego 2006 Plan prezentacji Wprowadzenie Metoda losowania warstwowego Metoda próbkowania ważonego Metoda zmiennych kontrolnych Metoda zmiennych antytetycznych Metoda
Analiza autokorelacji
Analiza autokorelacji Oblicza się wartości współczynników korelacji między y t oraz y t-i (dla i=1,2,...,k), czyli współczynniki autokorelacji różnych rzędów. Bada się statystyczną istotność tych współczynników.
Metody Obliczeniowe w Nauce i Technice
Metody Obliczeniowe w Nauce i Technice 15. Obliczanie całek metodami Monte Carlo Marian Bubak Department of Computer Science AGH University of Science and Technology Krakow, Poland bubak@agh.edu.pl dice.cyfronet.pl
Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna... 1
Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna... 1 ZADANIA NA ĆWICZENIA Z TEORII WIAROGODNOŚCI Zad. 1. Niech X 1, X 2,..., X n będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu wykładniczego o wartości oczekiwanej
Projekt zaliczeniowy z Ekonometrii i prognozowania Wyższa Szkoła Bankowa w Toruniu 2014/2015
Projekt zaliczeniowy z Ekonometrii i prognozowania Wyższa Szkoła Bankowa w Toruniu 2014/2015 Nr indeksu... Imię i Nazwisko... Nr grupy ćwiczeniowej... Imię i Nazwisko prowadzącego... 1. Specyfikacja modelu
Zadanie 1. Liczba szkód N w ciągu roku z pewnego ryzyka ma rozkład geometryczny: k =
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 0.0.006 r. Zadanie. Liczba szkód N w ciągu roku z pewnego ryzyka ma rozkład geometryczny: k 5 Pr( N = k) =, k = 0,,,... 6 6 Wartości kolejnych szkód Y, Y,, są i.i.d.,
Zadania ze statystyki, cz.7 - hipotezy statystyczne, błąd standardowy, testowanie hipotez statystycznych
Zadania ze statystyki, cz.7 - hipotezy statystyczne, błąd standardowy, testowanie hipotez statystycznych Zad. 1 Średnia ocen z semestru letniego w populacji studentów socjologii w roku akademickim 2011/2012
Modelowanie zależności. Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski
Modelowanie zależności pomiędzy zmiennymi losowymi Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski P Zmienne losowe niezależne - przypomnienie Dwie rzeczywiste zmienne losowe X i Y
Szeregi czasowe, analiza zależności krótkoi długozasięgowych
Szeregi czasowe, analiza zależności krótkoi długozasięgowych Rafał Weron rweron@im.pwr.wroc.pl Definicje Mając dany proces {X t } autokowariancję definiujemy jako : γ(t, t ) = cov(x t, X t ) = = E[(X t
Wprowadzenie do uczenia maszynowego. Jakub Tomczak
Wprowadzenie do uczenia maszynowego Jakub Tomczak 2014 ii Rozdział 1 Pojęcia podstawowe 1.1 Wprowadzenie. Zmienne losowe ˆ Podczas kursu interesować nas będzie wnioskowanie o rozpatrywanym zjawisku. Poprzez
SPOTKANIE 6: Klasteryzacja: K-Means, Expectation Maximization
Wrocław University of Technology SPOTKANIE 6: Klasteryzacja: K-Means, Expectation Maximization Jakub M. Tomczak Studenckie Koło Naukowe Estymator jakub.tomczak@pwr.wroc.pl 4.1.213 Klasteryzacja Zmienne
Ekonometria. Wprowadzenie do modelowania ekonometrycznego Estymator KMNK. Jakub Mućk. Katedra Ekonomii Ilościowej
Ekonometria Wprowadzenie do modelowania ekonometrycznego Estymator Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Ekonometria Wykład 1 Estymator 1 / 16 Agenda 1 Literatura Zaliczenie przedmiotu 2 Model
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD października 2009
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4 26 października 2009 Rozkład N(µ, σ). Estymacja σ σ 2 = 1 σ 2π + = E µ,σ (X µ) 2 { (x µ) 2 exp 1 ( ) } x µ 2 dx 2 σ Rozkład N(µ, σ). Estymacja σ σ 2 = 1 σ 2π + = E µ,σ
Mikroekonometria 6. Mikołaj Czajkowski Wiktor Budziński
Mikroekonometria 6 Mikołaj Czajkowski Wiktor Budziński Metody symulacyjne Monte Carlo Metoda Monte-Carlo Wykorzystanie mocy obliczeniowej komputerów, aby poznać charakterystyki zmiennych losowych poprzez
Metody eksploracji danych 2. Metody regresji. Piotr Szwed Katedra Informatyki Stosowanej AGH 2017
Metody eksploracji danych 2. Metody regresji Piotr Szwed Katedra Informatyki Stosowanej AGH 2017 Zagadnienie regresji Dane: Zbiór uczący: D = {(x i, y i )} i=1,m Obserwacje: (x i, y i ), wektor cech x
Ćwiczenia IV
Ćwiczenia IV - 17.10.2007 1. Spośród podanych macierzy X wskaż te, których nie można wykorzystać do estymacji MNK parametrów modelu ekonometrycznego postaci y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + ε 2. Na podstawie
Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady
Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka - W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i unkcja gęstości rozkładu
Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka
Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka W 2. Probabilistyczne modele danych Zmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej Dr Anna ADRIAN Zmienne
Algorytmy MCMC i ich zastosowania statystyczne
Algorytmy MCMC i ich zastosowania statystyczne Wojciech Niemiro Uniwersytet Mikołaja Kopernika, Toruń i Uniwersytet Warszawski Statystyka Matematyczna Wisła, grudzień 2010 Wykład 1 1 Co to jest MCMC? 2
Stacjonarność Integracja. Integracja. Integracja
Biały szum AR(1) Słaba stacjonarność Szereg czasowy nazywamy słabo (wariancyjnie) stacjonarnym jeżeli: Biały szum AR(1) Słaba stacjonarność Szereg czasowy nazywamy słabo (wariancyjnie) stacjonarnym jeżeli:
ESTYMACJA BŁĘDU PREDYKCJI I JEJ ZASTOSOWANIA
ESTYMACJA BŁĘDU PREDYKCJI I JEJ ZASTOSOWANIA Jan Mielniczuk Wisła, grudzień 2009 PLAN Błędy predykcji i ich podstawowe estymatory Estymacja błędu predykcji w modelu liniowym. Funkcje kryterialne Własności
Macierze. Rozdział Działania na macierzach
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy
Ekonometria. Modelowanie zmiennej jakościowej. Jakub Mućk. Katedra Ekonomii Ilościowej
Ekonometria Modelowanie zmiennej jakościowej Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 8 Zmienna jakościowa 1 / 25 Zmienna jakościowa Zmienna ilościowa może zostać zmierzona
Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Wykład 7
Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka Wykład 7 1 1. Metoda Największej Wiarygodności MNW 2. Założenia MNW 3. Własności estymatorów MNW 4. Testowanie hipotez w MNW 2 1. Metoda Największej Wiarygodności
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 13 i 14 - Statystyka bayesowska
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 13 i 14 - Statystyka bayesowska Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 13 i 14 1 / 15 MODEL BAYESOWSKI, przykład wstępny Statystyka