Jacek Kwiatkowski Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu. Bayesowskie testowanie procesów STUR analiza indeksów i spółek notowanych na GPW 1

Transkrypt

1 DYNAICZNE ODELE EKONOERYCZNE IX Ogólnoolskie Seminarium Naukowe, 6 8 września 005 w oruniu Katedra Ekonometrii i Statystyki, Uniwersytet ikołaja Koernika w oruniu Uniwersytet ikołaja Koernika w oruniu Bayesowskie testowanie rocesów SUR analiza indeksów i sółek notowanych na GPW. Wstę Przerowadzone w ostatnim czasie badania emiryczne dotyczące rocesów makroekonomicznych i finansowych wskazują, że rocesy te mogą osiadać losowy ierwiastek jednostkowy. Procesy te określane mianem rocesów ze stochastycznym ierwiastkiem jednostkowym (SUR) ze względu na wystęujący w nich losowy arametr są częściowo stacjonarne lub niestacjonarne. Celem rezentowanego artykułu jest rzedstawienie w oarciu o wnioskowanie bayesowskie wyników badań dotyczących identyfikacji rocesów ze stochastycznym ierwiastkiem jednostkowym dla wybranych sółek i indeksów giełdowych notowanych na GPW w Warszawie. Na gruncie klasycznym, wyniki dotyczące identyfikacji modeli SUR zamieścili w swoich racach m.in. Leybourne, ccabe i remayne (996), Granger i Swanson (997), Sollis, Leybourne i Newbold (000), Kwiatkowski i Osińska (004), Kwiatkowski (004). W zakresie wnioskowania bayesowskiego badania emiryczne rzerowadzili Jones i arriott (999). Szerszy ois bayesowskiej analizy rocesów (SUR) można znaleźć w artykule Kwiatkowskiego (005). Jako wcześniejsza racę z tego zakresu należy wymienić artykuł Jonesa i arriotta (999), w którym rzedstawiono bayesowską estymację modelu SUR w wersji Grangera i Swansona (997). Praca zrealizowana w ramach rojektu badawczego nr H0B 05 5; jkwiat@uni.torun.l

2 W rezentowanym artykule roonuje się natomiast wykorzystanie modelu SUR w wersji Leybourne, ccabe i remayne (996), która zdaniem autora jest łatwiejsza w stosowaniu i znacznie mniej wymagająca od strony numerycznej. Układ artykułu jest nastęujący. Część druga rzedstawia model ze stochastycznym ierwiastkiem jednostkowym oraz związane z nim wnioskowanie bayesowskie. Część trzecia zawiera badania emiryczne rzerowadzone dla wybranych sółek i indeksów giełdowych notowanych na GPW w Warszawie. W części czwartej zamieszczone są wnioski.. odel i wnioskowanie bayesowskie. Rozważaną rerezentację modelu SUR (stochastic unit roots rocess) można rzedstawić nastęująco: y = β y + ε, t t t t t = α + φ βt α φ βt ( ) ( α) t β + η, () gdzie y t oznacza realizację rocesu w chwili t. Losowy arametr β t jest stacjonarnym rocesem autoregresyjnym. Procesy ε t i η t są białymi szumami odowiednio z wariancjami σ i ω. Dodatkowo zakłada się, że są wzajemnie niezależne. Jeżeli y t jest rocesem błądzenia rzyadkowego to wariancja białego szumu ω równa jest zero. Dodatkowo bezwarunkowa wariancja w równaniu () ma zdegenerowany rozkład w zerze. Dla ω > 0 () jest rocesem ze stochastycznym ierwiastkiem jednostkowym. Parametr w tym modelu zmienia się w czasie wokół jedynki, zatem jest to roces, który jest częściowo stacjonarny lub niestacjonarny. Przyjmując, że arametr β t jest rocesem autoregresyjnym rzędu drugiego oraz zakładając, że rozkład obserwacji i nieobserwowanego arametru w modelu SUR jest warunkowym rozkładem normalnym możemy zaisać: y t y ( β y ) t βt, σ ~ N t t,, σ, dla t + ( ) β t βt, βt, α, φ, φ, ω ~ N α φi βt i α, ω. () i= W szczególnych rzyadkach, w których stochastyczny ierwiastek jednostkowy jest rocesem autoregresyjnym rzędu ierwszego lub białym szumem wystarczy założyć w (), że odowiednie wsółczynniki autoregresji

3 Bayesowskie testowanie rocesów SUR... 3 są równe zero tj. φ i = 0, i =,. W oarciu o wymienione wyżej założenia gęstość róbkową w modelu SUR można rzedstawić nastęująco: ( y y ) 0,, θ = N α + φi ( βt i α), ω N ( βt yt, σ ) β, (3) t= i= t= gdzie θ = ( α, φ, φ, ω, σ )', α R, Φ = ( φ, φ )' C, ω R+, σ R+, β = ( β, β,..., β )' R ; - oznacza liczbę obserwacji, natomiast C - jest obszarem zmienności arametrów, rzy których roces autoregresyjny w modelu () jest stacjonarny. Jeżeli rzyjmiemy założenie o niezależności arametrów w modelu SUR, to rozkład a riori wektora θ jest iloczynem gęstości brzegowych rozkładów jego składowych: ( θ) ( α) ( φ ) ( φ ) ( ω ) ( ) =. (4) σ Dla wszystkich arametrów rzyjęto standardowe rozkłady właściwe: ( ) ( α = N µ α, σα ), ( ) (, φ = N µ φ σ ) φ, ( φ ) ( ) N µ, φ σ φ ( ω ) = IG( a,b ), ( ) = IG( a,b ) gdzie ( µ,σ ) =, σ, (5) N oznacza rozkład normalny o średniej µ i wariancji σ, natomiast IG ( a, b) oznacza odwrócony rozkład gamma z arametrami a > 0, b > 0. Ze względu na fakt, że arametr β t jest częścią modelu, można założyć, że wszystkie zawarte o nim informacje znajdują się w funkcji wiarygodności (Jones i arriott, 999; Jostova i Philiov, 004). Stąd łączny rozkład a osteriori wektora θ będący iloczynem rozkładu a riori (5) i róbkowej gęstości (3) ma ostać: ( β, θ y, y ) N( µ, σ ) N( µ, σ ) N( µ, σ ) IG( a, b ) IG( a b ) 0 α α φ, φ φ φ N α + φ. (6) ( βt i α), ω N( βt yt, σ ) i t= i= t= W celu otrzymania brzegowych rozkładów a osteriori można zastosować algorytm Gibbsa, który jest jedną z bardziej oularnych metod stosowanych we wnioskowaniu bayesowskim do wyznaczenia róbkowych gęstości Rozkłady rezentowane w artykule można znaleźć m.in. w książce Gelmana, Carlina, Sterna i Rubina (995).

4 4 brzegowych i ich charakterystyk. Poszczególne rozkłady brzegowe wykorzystywane rzy algorytmie Gibbsa dla składowych wektora θ oraz dla losowego arametru β t znajdują się w racy Kwiatkowskiego (005). Jednym z fundamentalnych zagadnień w analizie szeregów czasowych jest wybór odowiedniego modelu. Dla modelu SUR w ostaci () możemy badać rząd autoregresji dla losowego arametru β t. Dodatkowo można weryfikować czy analizowany roces ma stały, czy też zmienny w czasie ierwiastek jednostkowy. estowanie modeli odbywa się rzez orównanie ich mocy wyjaśniającej. Przyjmując założenie, że dwa modele ( i i j ) są a riori jednakowo rawdoodobne orównanie mocy wyjaśniającej można dokonać za omocą czynnika Bayesa, który dany jest wzorem: ( z i ) ( z ) B ij =, (7) j gdzie ( z k ) ( k i, j) modelu. Czynnik Bayesa większy od jedynki ( >) k = oznacza brzegową gęstość wektora obserwacji w B oznacza, że model i jest bardziej rawdoodobny niż model j. Jednym z odstawowych zagadnień we wnioskowaniu bayesowskim jest obliczenie brzegowej gęstości wektora obserwacji: ( z k ) ( Θk k ) ( z Θk k ) dθk =,, (8) =. Niestety ze względu na złożoność zagadnień bardzo rzadko daje się ją obliczyć analitycznie. W rzyadku modeli SUR, gdzie wykorzystywany jest algorytm Gibbsa, który jest częścią metod numerycznych określanych jako metody onte Carlo wykorzystujące łańcuchy arkowa 3, naturalnym narzędziem do estymacji brzegowej gęstości jest średnia harmoniczna dana wzorem (Newton i Raftery, 994): gdzie konkurujące modele rerezentuje zbiór {,,... } N ( n) ( z k ) = ( z Θ k k ) N n=,, (9) ( n) gdzie Θ k są realizacjami z łańcucha arkowa, natomiast z oznacza wektor obserwacji. Estymator ten (N-R) jest łatwy w użyciu. Wymagana jest tylko ij 3 arkow Chain onte Carlo methods (CC).

5 znajomość róbkowej gętości ( y, ) Bayesowskie testowanie rocesów SUR... 5 Θ oraz realizacji z rozkładu a k k osteriori. Główną wadą tego estymatora jest jego niestabilność, onieważ nie sełnia on centralnego twierdzenia granicznego (Carlin i Louis, 000). Z raktycznego unktu widzenia dzieje się tak, onieważ bardzo małe wartości funkcji wiarygodności w znaczny sosób wywierają wływają na wielkość średniej harmonicznej. Okazuje się jednak, że dla wielu alikacji, algorytm N-R jest stabilny, blisko rawdziwej wartości brzegowej gęstości i z owodzeniem może być stosowany dla wielu zastosowań (Osiewalski i Piień, 004).. Identyfikacja SUR na GPW. Bayesowskie testowanie modeli rzerowadzono dla wybranych indeksów i sółek notowanych na GPW w Warszawie w okresie od stycznia 000 do końca kwietnia 005. W artykule dokonano analizy szeregów tygodniowych, o urzednim ich zlogarytmowaniu. Badaniu odlegały główne indeksy: WIG, WIG0, IDWIG i ECHWIG oraz sółki. Ich szczegółowy wykaz znajduje się w tablicy. Dla każdego rocesu rozważono cztery konkurencyjne i wzajemnie wykluczające się modele. Rozważano możliwość istnienia rocesu ze stałym ierwiastkiem jednostkowym, czyli weryfikowano hiotezę, że badane rocesy odlegają błądzeniu rzyadkowemu (model ). Dodatkowo rozważono trzy rerezentacje rocesu SUR. Analizowano czy zmienny ierwiastek jednostkowy może być oisany rzez roces biało-szumowy (model ; SUR;WN), roces autoregresyjny rzędu ierwszego (model 3 ; SUR; AR()) lub drugiego (model 4 ; SUR; AR()). Poszczególne modele mają zatem nastęującą ostać: : y t = ε t, : y t = β t yt + ε t, β = α +, t η t 3 : y t = β t yt + ε t, β t = α + φ ( βt α) + ηt, 4 : y t = β t yt + ε t, β t = α + φ ( βt α) + φ( βt α) + ηt. estowanie modeli odbywało się orzez obliczenie brzegowej gęstości wektora obserwacji za omocą estymatora Newtona i Raftery ego (994).

6 6 B RWj abela. Logarytm dziesiętny czynników Bayesa ( ) log obliczony względem modelu błądzenia rzyadkowego dla wybranych indeksów i sółek. 0 Badane rocesy Błądzenie rzyadkowe SUR;WN SUR; AR() 3 SUR; AR() 4 WIG 0,000 95,75 97,500 98,596 WIG0 0,000 55,668 56,7 58,65 IDWIG 0,000 95,434 95,300 98,837 ECHWIG 0,000,697,565 7,30 APAOR 0,000,7 0,93 0,50 BRE 0,000 8,44 8,80 0,659 BZWBK 0,000 8,55 9,867,538 DEBICA 0,000 6,37 5,365 3,4 HANDLOWY 0,000 35,4 3,703 33,766 IESZKO 0,000 -,098 -,894 -,36 ILLENNIU 0,000-3,047-3,00 -,890 OPIUS 0,000 -,658 -,039-9,573 PROCHNIK 0,000,6,6,65 PSA 0,000 9,46 8,569 9,759 WAWEL 0,000 3,54 4,587 5,796 Źródło: Obliczenia własne.

7 Bayesowskie testowanie rocesów SUR... 7 Gęstość brzegowa dla każdego modelu była obliczona w oarciu o łańcuch arkowa, który składał się z miliona iteracji. oc wyjaśniającą dla oszczególnych modeli orównywano za omocą czynnika Bayesa (7). W celu estymacji i testowania modeli rzyjęto rozkład a riori, który wyraża stosunkowo niewielką informację wstęną o arametrach: ( θ ) = ( α ) ( φ ) ( φ ) ( ω ) ( σ ) = N ( 0,0) N( 0,0) N( 0,0) IG( 0,0, 0,0) IG( 0,0, 0,0) = Ze względu na duże roziętości otrzymanych wartości, wyniki logarytmowano. Zlogarytmowane czynniki Bayesa dla oszczególnych modeli obliczone względem modelu błądzenia rzyadkowego rzedstawia tabela. Pogrubioną czcionką zaznaczono modele, które są najbardziej rawdoodobne. W rzyadkach na 5 najbardziej rawdoodobny okazał się model błądzenia rzyadkowego. Jest to model ze stałym ierwiastkiem jednostkowym. Wszystkie analizowane indeksy są rocesami zintegrowanymi rzędu ierwszego. Wśród analizowanych sółek najbardziej referowany jest również roces błądzenia rzyadkowego. ylko trzy sółki to rocesy tyu SUR, czyli ze zmiennym ierwiastkiem jednostkowym. Są to ieszko, illennium i Otimus. W większości rzyadków losowy arametr w rocesach SUR nie wykazuje autokorelacji, czyli jest białym szumem. 3. Wnioski W artykule rzedstawiono modele ze stochastycznym ierwiastkiem jednostkowym SUR. Dodatkowo omówiono bayesowskie testowanie tych modeli. Badania identyfikacji rocesów SUR dotyczyły wybranych sółek i indeksów giełdowych notowanych na GPW w Warszawie. W oarciu o wyniki rzerowadzonych badań można stwierdzić, że większość analizowanych indeksów i sółek wykazuje stały ierwiastek jednostkowy. ylko kilka z nich, mianowicie ieszko, illennium i Otimus to rocesy SUR. Literatura Box, G.E.P., Jenkins, G.. (976), ime Series Analysis: Forecasting and Control, San Francisco, Holden-Day. Carlin, B.P., Louis,.A. (000), Bayes and Emirical Bayes ethods for Data Analysis, New York, Chaman & Hall/CRC. Gelman, A., Carlin J., Stern, H., Rubin, D. (997), Bayesian Data Analysis, London, Chaman & Hall.

8 8 Granger, C.W.J., Swanson, N.R. (997), An Introduction to Stochastic Unit root Process, Journal of Econometrics, vol. 80, s Jones, C.R., arriott, J.. (999), A Bayesian analysis of stochastic unit root models, Bayesian Statistics, vol. 6, s Jostova, G., Philiov, A. (004), Bayesian analysis of stochastic betas, Journal of Financial and Quantitative Analysis, w druku. Newton,.A., Raftery, A.E. (994), Aroximate Bayesian inference by the weighted likelihood bootstra (with discussion), Journal of the Royal Statistical Society B, vol. 56, s Kwiatkowski, J. (004), aximum likelihood estimation of stochastic unit root models with GARCH disturbances, raca nieublikowana. Kwiatkowski, J. (005), A Bayesian analysis of SUR models, raca nieublikowana. Kwiatkowski, J., Osińska,. (004), Forecasting SUR rocesses. A comarison to threshold and GARCH models, raca nieublikowana. Leybourne, S.J., ccabe, B.P.., ills,.c. (996), Randomized unit root rocesses for modelling and forecasting financial time series: theory and alications, Journal of Forecasting, vol. 5, s Leybourne, S.J., ccabe, B.P.., remayne, A.R (996), Can economic time series be differenced to stationarity? Journal of Business and Economic Statistics, vol. 4, s Osiewalski, J., Piień,. (004), Bayesian comarison of bivariate ARCH-tye models for main exchange rates in Poland, Journal of Econometrics, vol. 3, s Sollis, R., Leybourne, S.J., Newbold, P. (000), Stochastic unit roots modelling of stock rice indices, Alied Financial Economics, vol. 0, s