Heteroskedastyczość w szeregach czasowyh

Transkrypt

1 Heteroskedastyczość w szeregach czasowyh Czesto zakłada się, że szeregi czasowe wykazuja autokorelację ae sa homoskedastyczne W rzeczywistości jednak często wariancja zmienia się w czasie Dobrym przykładem sa tutaj dane z rynków finansowych Gdy zaczęto je badać zauważono, że szeregi te (np. walut etc.) ceny akcji, kursy 1. zachowuja się w przybliżeniu zgodnie z modelem bładzenia przypadkowego z dryfem 2. w rozkładach piewszych różnic obserwuje się silna leptokutozę Wykład z Ekonometrii nr 24-25, III rok, WNE UW, Copyright c 2005 by Jerzy Mycielski 1

2 zbyt grube ogony rozkładu zbyt wysoka koncentracja wokół zera Wykład z Ekonometrii nr 24-25, III rok, WNE UW, Copyright c 2005 by Jerzy Mycielski 2

3 Indeks Dow Jones Indeks Dow Jones jan19301jan19401jan19501jan19601jan19701jan19801jan19901jan20001jan2010 Data Wykład z Ekonometrii nr 24-25, III rok, WNE UW, Copyright c 2005 by Jerzy Mycielski 3

4 Histogram zwrotów z Dow Jones Gêsto æ Dzienne stopy zwrotu Wykład z Ekonometrii nr 24-25, III rok, WNE UW, Copyright c 2005 by Jerzy Mycielski 4

5 Histogram logarytmów zwrotów z Dow Jones Gêsto æ Logarytm dziennej stopy zwrotu Wykład z Ekonometrii nr 24-25, III rok, WNE UW, Copyright c 2005 by Jerzy Mycielski 5

6 Wynik testu Jarque-Berra na normalność rozkładu logarytmów zwrotów z Dow-Jones Skewness/Kurtosis tests for Normality joint Variable Pr(Skewness) Pr(Kurtosis) chi2(2) Prob>chi lreturn Wielkość współczynnika asymetrii i kurtozy: variable skewness kurtosis lreturn Hipoteza o normalności rozkładu logarytmów zwrotów z Dow Jonesa został bardzo silnie odrzucona Z wyliczonych z próby wartości współczynnika asymetrii i kurtozy Wykład z Ekonometrii nr 24-25, III rok, WNE UW, Copyright c 2005 by Jerzy Mycielski 6

7 wnioskujemy, że główna przyczyna odrzucenia tej hipotezy była silna kurtoza Wykład z Ekonometrii nr 24-25, III rok, WNE UW, Copyright c 2005 by Jerzy Mycielski 7

8 Wyniki testu Dickey-Fullera dla logarytmu dziennej stopy zwrotu (regresja ze stała) Dickey-Fuller test for unit root Number of obs = Z(t) has t-distribution Test 1% Critical 5% Critical 10% Critical Statistic Value Value Value Z(t) p-value for Z(t) = Dickey-Fuller test for unit root Number of obs = Interpolated Dickey-Fuller Test 1% Critical 5% Critical 10% Critical Statistic Value Value Value Z(t) MacKinnon approximate p-value for Z(t) = Wykład z Ekonometrii nr 24-25, III rok, WNE UW, Copyright c 2005 by Jerzy Mycielski 8

9 H 0 o istnieniu pierwiastka jednostkowego w logarytmach indeksu Dow Jones nie został odrzucona H 0 o istnieniu pierwiastka jednostkowego w pierwszych różnicach logarytmu indeksu Dow Jones została odrzucona Wniosek: log ( pt p t 1 ) = log (p t ) I (0), p t I (1) Wykład z Ekonometrii nr 24-25, III rok, WNE UW, Copyright c 2005 by Jerzy Mycielski 9

10 Modelowanie log ( pt p t 1 ) w latach Source SS df MS Number of obs = F( 10, 19215) = 6.62 Model Prob > F = Residual R-squared = Adj R-squared = Total Root MSE = lreturn Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] lreturn L L L L L L L L L Wykład z Ekonometrii nr 24-25, III rok, WNE UW, Copyright c 2005 by Jerzy Mycielski 10

11 L _cons Współczynniki wychodza istotne: czy tak zbudowany model można wykorzystać do zarabiania na NYSE? Wykład z Ekonometrii nr 24-25, III rok, WNE UW, Copyright c 2005 by Jerzy Mycielski 11

12 Wyniki regresji dla lat Source SS df MS Number of obs = F( 10, 6393) = 1.60 Model Prob > F = Residual R-squared = Adj R-squared = Total Root MSE = lreturn Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] lreturn L L L L L L L L L L Wykład z Ekonometrii nr 24-25, III rok, WNE UW, Copyright c 2005 by Jerzy Mycielski 12

13 _cons Dla ostatnich 25 lat nie da się niestty zaobserwować żadnej istotnej korelacji! Czy więc zwroty z Dow Jones sa białym szumem: ciagiem nieskorelowanych ε t? Dlaczego w zwrotach występuje leptokurtoza? Portmanteau test for white noise Portmanteau (Q) statistic = Prob > chi2(40) = Wykład z Ekonometrii nr 24-25, III rok, WNE UW, Copyright c 2005 by Jerzy Mycielski 13

14 Zwroty z Dow Jones Zmiana indeksu Dow Jones jan jan jan jan jan jan2005 Data Wykład z Ekonometrii nr 24-25, III rok, WNE UW, Copyright c 2005 by Jerzy Mycielski 14

15 Zwroty z Dow Jones i biały szum Zmiana indeksu Dow Jones jan jan jan jan jan jan2005 Data Bia³y szum jan jan jan jan jan jan2005 Data Wykład z Ekonometrii nr 24-25, III rok, WNE UW, Copyright c 2005 by Jerzy Mycielski 15

16 Najprawdopodobniej przyczyna występowania leptokurtozy jest zjawisko grupowania obserwacji o dużej wariancji Oczekiwanej wielkości zwrotów nie da się przewidzieć (z pewnym zastrzeżeniem do którego jeszcze do tego wrócimy) Do pewnego stopnia przewidywalne jest jednak wariancja Modelowanie zmian wariancji jest w praktyce bardzo ważne ponieważ jest to parametr, od którego zależa ceny instrumentów pochodnych (np. opcji) Wykład z Ekonometrii nr 24-25, III rok, WNE UW, Copyright c 2005 by Jerzy Mycielski 16

17 Warunkowa autoregresyjna heteroskedastyczność ARCH (q) Model ARCH (1) (Autoregressive Conditional Heteroskedasticity) y t = x t β + ε t ε t = u t θ 0 + θ 1 ε 2 t 1 gdzie u t N (0, 1), u t jest niezależne od ε t 1 i E (ε t x t, ε t 1 ) = 0 Bazwarunkowa wariancja ε t jest stała Var (ε t ) = E ( ε 2 t) = εt = E ( u 2 ( t) E θ0 + 1 ε 2 ) t 1 = θ 0 + θ 1 Var ( ε 2 ) t 1 Wykład z Ekonometrii nr 24-25, III rok, WNE UW, Copyright c 2005 by Jerzy Mycielski 17

18 Jeśli proces generujacy wariancje jest stacjonarny to Var ( ) ε 2 t Var ( εt 1) 2 =... = Podstawiajac i rozwiazuj ac dla Var (ε t ) otrzymujemy: Var ( ε 2 ) θ 0 t = 1 θ 1 Założenia KM RL sa spełnione - estymator M N K jest najlepszym liniowym i niobciażonym estymatorem β Z racji na występowanie warunkowej heteroskedastyczności istnieja jednak lepsze nieliniowe estymatory β Wariancja nie jest jednak stała warunkowo: Var (ε t ε t 1 ) = E ( ε 2 ) t εt 1 = θ0 + θ 1 ε 2 t 1 Wykład z Ekonometrii nr 24-25, III rok, WNE UW, Copyright c 2005 by Jerzy Mycielski 18

19 Ogólna postać modelu ARCH (q) y t = x t β + ε t ε t = u t σ t σ 2 t = θ 0 + θ 1 ε 2 t θ q ε 2 t q Zauważmy, że model opisujacy wariancję jest w gruncie rzeczy procesem MA (q) Test na występowanie warunkowej heteroskedastyczności rzędu q: 1. przeprowadzamy regresję y t na x t 2. uzyskane reszty tej regresji podniesimy do kwadratu 3. przeprowadzamy regresję e 2 t na e 2 t 1,..., e 2 t q 4. liczymy statystykę LM = T R 2 χ 2 q Wykład z Ekonometrii nr 24-25, III rok, WNE UW, Copyright c 2005 by Jerzy Mycielski 19

20 Wynik testu LM na hetoroskedastyczność warunkowa dla logarytmów zwrotów z Dow Jones a. LM test for autoregressive conditional heteroskedasticity (ARCH) lags(p) chi2 df Prob > chi H0: no ARCH effects vs. H1: ARCH(p) disturbance Wynik testu: bardzo silnie odrzucamy hipotezę o braku warunkowej hetoroskedytyczności Wykład z Ekonometrii nr 24-25, III rok, WNE UW, Copyright c 2005 by Jerzy Mycielski 20

21 Model ARCH (3) ARCH family regression Sample: to -1 Number of obs = 6404 Wald chi2(.) =. Log likelihood = Prob > chi2 = OPG lreturn Coef. Std. Err. z P> z [95% Conf. Interval] lreturn _cons ARCH arch L L L _cons e Wykład z Ekonometrii nr 24-25, III rok, WNE UW, Copyright c 2005 by Jerzy Mycielski 21

22 Test LR na łaczn a nieistotność parametrów likelihood-ratio test LR chi2(3) = (Assumption:. nested in model) Prob > chi2 = Wykład z Ekonometrii nr 24-25, III rok, WNE UW, Copyright c 2005 by Jerzy Mycielski 22

23 Model uogólnionej warunkowej hetoroskedastyczności GARCH (p, q) Model GARCH (p, q) (Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity) ma dla wariancji postać podobna do modelu ARMA (p, q) y t = x t β + ε t ε t = u t σ t σ 2 t = α 1 σ 2 t 1 + α 2 σ 2 t α 2 σ 2 t p + θ 0 + θ 1 ε 2 t θ q ε 2 t q Wyniki estymacji modelu GARCH (3, 3) ARCH family regression Wykład z Ekonometrii nr 24-25, III rok, WNE UW, Copyright c 2005 by Jerzy Mycielski 23

24 Sample: to -1 Number of obs = 6404 Wald chi2(.) =. Log likelihood = Prob > chi2 = OPG lreturn Coef. Std. Err. z P> z [95% Conf. Interval] lreturn _cons ARCH arch L L L garch L L L _cons 4.54e e e e Wykład z Ekonometrii nr 24-25, III rok, WNE UW, Copyright c 2005 by Jerzy Mycielski 24

25 Model ARCH w średnich Model ARCHM (ARCH in Means) ma następujac a postać: y t = x t β + δσ 2 t + ε t ε t = u t σ t σ 2 t = θ 0 + θ 1 ε 2 t θ q ε 2 t q W przypadku tego modelu zmiany wariancji wpływaja także na średnia Model ten ma zastosowania w finansach, gdzie zakłada się, że na ceny akcji wpływa także ryzyko Wykład z Ekonometrii nr 24-25, III rok, WNE UW, Copyright c 2005 by Jerzy Mycielski 25

26 Jeśli ryzyko zmienia się w czasie to także powinno to wpływać na ceny akcji Parametr δ jest więc zwiazany z awersja do ryzyka Ponieważ wyższe ryzyko powinno się wiazać z wyższymi zwrotami, więc parametr ten powinien być dodatni Wykład z Ekonometrii nr 24-25, III rok, WNE UW, Copyright c 2005 by Jerzy Mycielski 26

27 Wyniki estymacji modelu ARCHM (3) Log likelihood = Prob > chi2 = OPG lreturn Coef. Std. Err. z P> z [95% Conf. Interval] lreturn _cons ARCHM sigma ARCH arch L L L _cons e Wykład z Ekonometrii nr 24-25, III rok, WNE UW, Copyright c 2005 by Jerzy Mycielski 27

28 Istotnie δ = > 0 Z modelu tego mogłoby wynikać, że przychody sa jednak częściowo przewidywalne - jednak jedynie w tym sensie, że w okresie wysokiego ryzyka sa nieco wyższe! Wykład z Ekonometrii nr 24-25, III rok, WNE UW, Copyright c 2005 by Jerzy Mycielski 28