Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła 13 1 13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła. 13.1 Równanie struny drgającej Równanie różniczkowe liniowe drugiego rzędu typu hiperbolicznego (RS) u tt u xx = nazywamy równaniem struny drgającej. Rozważmy zagadnienie początkowe dla równania struny drgającej: (RS-ZP) u tt u xx = w (, ) R u = g na {} R u t = h na {} R, gdzie g, h: R R są zadanymi funkcjami. Niech ϕ = ϕ(t, x) będzie rozwiązaniem zagadnienia (RS-ZP). Zauważmy, że można zapisać (13.1) Połóżmy (13.2) ψ(t, x) := ( t + ) ( x t ) ϕ = ϕ tt ϕ xx =. x ( t ) ϕ(t, x). x Funkcja ψ jest rozwiązaniem zagadnienia początkowego dla liniowego jednorodnego równania transportu (13.3) v t + v x = w (, ) R v(, x) = a(x) dla x R, gdzie a(x) := v(, x). Zgodnie ze wzorem (11.5) mamy (13.4) ψ(t, x) = a(x t), t, x R. Na podstawie (13.1), (13.2) i (13.4), funkcja ϕ spełnia liniowe niejednorodne równanie transportu u t u x = a(x t) w (, ) R.
13 2 Skompilował Janusz Mierczyński Zgodnie ze wzorem (11.6) mamy (13.5) ϕ(t, x) = t a(x + (t s) s) ds + b(x + t) = 1 2 x+t x t a(y) dy + b(x + t), gdzie b(x) := ϕ(, x). Wyliczmy teraz a i b. Oczywiście b(x) = g(x), natomiast z drugiego warunku początkowego i wzoru (13.2) wynika, że a(x) = ψ(, x) = ϕ t (, x) ϕ x (, x) = h(x) g (x), x R. Zatem, podstawiając powyższe do (13.5) otrzymujemy czyli ϕ(t, x) = 1 2 x+t x t (h(y) g (y)) dy + g(x + t), (d A) ϕ(t, x) = 1 2 (g(x + t) g(x t)) + 1 2 x+t x t h(y) dy dla t i x R. Wzór (d A) nazywamy wzorem d Alemberta 1. Zachodzi poniższe twierdzenie (którego dowód uzyskujemy przeprowadzając bezpośredni rachunek). Twierdzenie 13.1. Załóżmy, że g : R R jest klasy C 2 i h: R R jest klasy C 1. Wówczas funkcja ϕ: [, ) R R określona wzorem d Alemberta (d A) ma następujące własności: (i) ϕ jest klasy C 2 na [, ) R; (ii) ϕ tt (t, x) ϕ xx (t, x) = dla każdego (t, x) (, ) R; (iii) lim (t,x) (,x ) t> dla każdego x R. ϕ(t, x) = g(x ) oraz lim (t,x) (,x ) t> ϕ t (t, x) = h(x ) 1 Jean Le Rond d Alembert (1717 1783), matematyk, fizyk i filozof francuski
Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła 13 3 13.2 Równanie przewodnictwa ciepła Równanie różniczkowe liniowe drugiego rzędu typu parabolicznego (RC) u t = u xx nazywamy jednowymiarowym równaniem przewodnictwa ciepła. Rozważmy następujące zagadnienie brzegowo-początkowe dla jednowymiarowego równania przewodnictwa ciepła (RC-ZBP) u t = u xx w (, ) (, π) u(t, ) = u(t, π) = dla t > u(, x) = u (x) dla x (, π), gdzie u : (, π) R jest zadaną funkcją. Warunek u(t, ) = u(t, π) = dla t > nazywamy warunkiem brzegowym typu Dirichleta 2. Niekiedy zakładamy też, w miejsce warunku Dirichleta, innego typu warunki brzegowe, na przykład warunek brzegowy typu Neumanna 3 : lub okresowy warunek brzegowy: Warunek u x (t, ) = u x (t, π) = dla t >, u(t, ) = u(t, π) oraz u x (t, ) = u x (t, π) dla t >. nazywamy warunkiem początkowym. u(, x) = u (x) dla x (, π) Przejdziemy teraz do metody szukania rozwiązań jednowymiarowego równania przewodnictwa cieplnego, zwanej metodą rozdzielania zmiennych. Szukamy mianowicie rozwiązania zagadnienia (13.6) u t = u xx w (, ) (, π) u(t, ) = u(t, π) = dla t > 2 Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (185 1859), matematyk niemiecki 3 Carl Neumann (1832 1925), matematyk niemiecki (nie mylić z Johnem von Neumannem (193 1957), matematykiem amerykańskim pochodzenia węgierskiego!)
13 4 Skompilował Janusz Mierczyński w postaci u(t, x) = T (t)x(x). Rzecz jasna, interesują nas funkcje nierówne tożsamościowo zeru. Z równania (RC) otrzymujemy zatem dt dt X = T d2 X dx 2, czyli dt d2x dt T = dx 2 X. Ponieważ lewa strona zależy tylko od t, zaś prawa strona zależy tylko od x, równość powyższa może być spełniona tylko wtedy, gdy funkcje po obu stronach są stałymi. Jeśli chodzi o funkcję T = T (t), to dla dowolnej stałej rzeczywistej k istnieją nietrywialne rozwiązania równania różniczkowego zwyczajnego liniowego pierwszego rzędu dt dt = kt, a mianowicie funkcje T (t) = ae kt, gdzie a. Funkcja X = X(x) musi spełniać równanie różniczkowe zwyczajne liniowe drugiego rzędu d 2 X kx =. dx2 Ponadto, z warunków brzegowych typu Dirichleta wynika, że musi zachodzić X() = X(π) =. Z teorii równań różniczkowych liniowych drugiego rzędu o stałych współczynnikach (Wykład nr 8) wynika, że zagadnienie brzegowe d 2 X kx = na (, π) dx2 X() = X(π) = ma nietrywialne rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy k = n 2, n = 1, 2, 3,.... Rozwiązanie takie jest postaci stała niezerowa razy sin (nx). Znaleźliśmy więc przeliczalnie wiele rozwiązań zagadnienia brzegowego (13.6): ϕ n (t, x) := e n2t sin (nx), n = 1, 2, 3,....
Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła 13 5 Zauważmy, że nie uwzględniliśmy jeszcze warunku początkowego (13.7) u(, x) = u (x) = dla x (, π). Będziemy szukali rozwiązania zagadnienia brzegowo-początkowego (RC-ZBP) w postaci szeregu (13.8) ϕ(t, x) = c n ϕ n (t, x) = c n e n2t sin (nx) (na razie nie zajmujemy się zagadnieniem, w jakim sensie powyższy szereg jest zbieżny). Podstawiając warunek początkowy (13.7) do powyższego wzoru otrzymujemy u (x) = c n sin (nx), x (, π), czyli c n powinny być współczynnikami szeregu sinusów funkcji u, to znaczy c n = 2 π π u (x) sin (nx) dx, n = 1, 2, 3,... Załóżmy teraz, że funkcja u jest elementem przestrzeni Hilberta L 2 ((, π)), czyli że π u (x) 2 dx <. Jest to równoważne c n 2 <. Zauważmy, że przy powyższym założeniu szereg funkcyjny definiujący ϕ we wzorze (13.8) jest zbieżny jednostajnie (i bezwzględnie) na dowolnym zbiorze postaci [δ, M] [, π], gdzie < δ < M. Dalej, szereg pochodnych, dowolnego rzędu, też jest zbieżny jednostajnie i bezwzględnie. Wynika stąd, na przykład, że można zmieniać kolejność sumowania i różniczkowania. W szczególności: ϕ jest ciągła na (, ) [, π]; ϕ jest jednokrotnie różniczkowalna względem t i dwukrotnie różniczkowalna względem x na (, ) (, π);
13 6 Skompilował Janusz Mierczyński ϕ spełnia równanie różniczkowe na (, ) (, π); ϕ spełnia warunek brzegowy dla t >. Jeśli natomiast chodzi o spełnienie warunku początkowego (13.7), to zachodzi następująca równość: π lim ϕ(t, x) u (x) 2 dx =, t + co oznacza, że ϕ(t, ) dąży, przy t +, w normie L 2 ((, π)) do u. Uzasadnienie metody rozdzielania zmiennych dla równania przewodnictwa ciepła dało początek (w I połowie XIX wieku) teorii szeregów Fouriera. W XX wieku, badania równania przewodnictwa ciepła były znaczącym impulsem do rozwoju teorii półgrup operatorów liniowych, czy teorii przestrzeni Sobolewa 4. 4 Siergiej Lwowicz Sobolew (198 1989), matematyk rosyjski