4 Prawa zachowania. Fale uderzeniowe

Transkrypt

1 Prawa zachowania. Fale uderzeniowe Prawa zachowania. Fale uderzeniowe W niniejszych notatkach, oprócz literatury wymienionej na stronie internetowej, korzystam też z następujących artykułów: A. Bressan, Hyperbolic conservation laws. An illustrated tutorial, notatki na stronie internetowej Pennsylvania State University. P. D. Lax, The formation and decay of shock waves, Amer. Math. Month. 79 (1979) (3), Prawa zachowania Załóżmy, że u = u(t, x) jest miarą gęstości pewnej substancji w punkcie x R i w chwili t. Zakładamy, że substancja ta nie powstaje ani nie znika (czyli jest zachowywana), może tylko przepływać (i też nie dyfunduje). Ponadto, zakłada się, że strumień (ang. flux) substancji w danym punkcie (czyli chwilowa prędkość przepływu substancji z lewa na prawo) zależy tylko od gęstości substancji w tym punkcie (i zadany jest funkcją f = f(u)). Zmiana masy substancji na przedziale [x 1, x 2 ] od chwili t 1 do chwili t 2 jest równa x 2 x 1 u(t 2, x) dx x 2 x 1 u(t 1, x) dx = t 2 t 1 f(u(t, x 1 )) dt t 2 t 1 f(u(t, x 2 )) dt. Jako że x 1, x 2, t 1, t 2 są dowolne, otrzymujemy, przy założeniu że wszystkie funkcje są na tyle regularne, że można zmieniać kolejność różniczkowania i całkowania, itp., następujące skalarne prawo zachowania w przestrzeni jednowymiarowej : (PZ) u t + (f(u)) x =. Jako przykład może służyć ruch samochodów po autostradzie. Niech u = u(t, x) będzie gęstością (w samochodach na kilometr). Oczywiście, zakładamy, że samochody to substancja ciągła (niewątpliwie jest to idealizacja). Następne idealizujące założenie to takie, że prędkość samochodów jest zależna tylko od gęstości w danym punkcie, f = f(u). W przykładzie powyższym naturalnym założeniem jest, że zależność prędkości od gęstości ma ujemną pochodną. Zakładamy odtąd, że w prawie zachowania (PZ) znana funkcja f : R R jest klasy C 1.

2 4 2 Skompilował Janusz Mierczyński Przykład. W różnych działach fizyki pojawia się równanie u t + uu x =, zwane równaniem Burgersa (1) bez lepkości, równaniem Riemanna, równaniem Kortewega (2) -devriesa (3) bez dyspersji, i in. Warunek początkowy dla (PZ) to (PZ-WP) u(, x) = u (x), x RR, gdzie u : R R jest znaną funkcją. Rozważmy zagadnienie początkowe u t + (f(u)) x =, t, x R (PZ-ZP) u(, x) = u (x), x R, gdzie f : R R jest funkcją klasy C 1, a u : R R jest funkcją. Niech x = x(t), x() = x, będzie krzywą klasy C 1 taką, że wzdłuż niej rozwiązanie u zagadnienia (PZ-ZP) jest stałe. Musi zatem zachodzić d dt u(t, x(t)) = u t + dx dt u x, więc dx/dt jest stale równe f (u). Z drugiej strony, u jest stałe na tej krzywej, i równe u (x ). Półprostą x = x + f (u (x ))t, t, nazywamy rzutem charakterystycznym równania (PZ) przechodzącym przez punkt (, x ) (4). Powyższe rozważania dają oczywistą metodę szukania rozwiązań zagadnienia początkowego (PZ-ZP): dla x R bierzemy półprostą przechodzącą przez (, x), o współczynniku kierunkowym f (u (x)), i na tej półprostej zadajemy wartość u równą u (x). Jednak mogą się tutaj pojawić pewne trudności. Jeśli u jest funkcją nieciągłą, może się zdarzyć, że istnieją punkty na otwartej prawej półpłaszczyźnie, i to dowolnie blisko prostej t =, które nie leżą na żadnym rzucie charakterystycznym. Zatem metoda powyższa nie daje nam przepisu na wartości rozwiązania w takich punktach. Należy zaznaczyć, że często w zastosowaniach występuje zagadnienie Riemanna, polegające na znalezieniu rozwiązania zagadnienia (PZ-ZP) gdy u jest funkcją kawałkami stałą mającą tylko skok w x =. (1) Jan (Johannes Martinus) Burgers ( ), fizyk holenderski (2) Diederik Johannes Korteweg ( ), matematyk holenderski. (3) Gustav devries ( ), matematyk holenderski. (4) W wielu opracowaniach półprostą taką nazywa się charakterystyką.

3 Prawa zachowania. Fale uderzeniowe 4 3 Gdy u jest funkcją ciągłą, dowodzi sie, że dla ustalonego przedziału [x 1, x 2 ] R można znaleźć takie T >, że dla dwóch różnych x 1, x 2 [x 1, x 2 ] odcinki rzutów charakterystycznych przechodzących przez (, x 1 ) i (, x 2 ) odpowiadające t [, T ] są rozłączne. Wynika stąd istnienie otoczenia prostej {} R w [, ) R na którym rozwiązanie zagadnienia początkowego PZ-ZP jest dobrze określone. Jeśli u jest C 1, wtedy to lokalne rozwiązanie jest rozwiązaniem klasycznym. Gdy f u jest funkcją niemalejącą, wówczas rzuty charakterystyczne odpowiadające różnym punktom na prostej {} R nigdzie się nie przecinają. Zatem rozwiązanie można wtedy dobrze określić na całej półpłaszczyźnie [, ) R (i będzie to rozwiązanie klasyczne gdy f u jest klasy C 1 ). Natomiast gdy f u jest funkcją rosnącą, rzuty charakterystyczne odpowiadające różnym punktom na prostej {} R zawsze się przetną. W takim przypadku, nawet gdy u jest bardzo regularne, nie można mieć nadziei na istnienie rozwiązania klasycznego określonego na całej półpłaszczyźnie [, ) R. Trzeba wtedy szukać rozwiązań słabszych niż klasyczne. 4.2 Rozwiązania słabe Definicja. Funkcję istotnie ograniczoną u: Ω R, gdzie Ω, ) R jest otwartym i spójnym podzbiorem [, ) R (5), nazywamy słabym rozwiązaniem zagadnienia początkowego (PZ-ZP), gdy dla każdej funkcji ϕ: [, ) R R klasy C 1, o zwartym nośniku (6) zawartym w Ω, zachodzi (4.1) (u(t, x)ϕ t (t, x) + f(u(t, x))ϕ x (t, x)) dt dx + u (x)ϕ(, x) dx =. Fakt 4.1. Każde klasyczne rozwiązanie u: Ω R, gdzie Ω jest otwartym i spójnym podzbiorem [, ) R, zagadnienia (PZ-ZP) jest rozwiązaniem słabym (PZ-ZP). Dowód. Niech ϕ: [, ) R R będzie klasy C 1, o zwartym nośniku zawartym w Ω. Wówczas zachodzi (u t + f(u) x )ϕ dt dx =. (5) Przez otwarty podzbiór domkniętej prawej półpłaszczyzny [, ) R rozumiemy zbiór postaci U ([, ) R), gdzie U jest otwartym podzbiorem R 2. (6) Nośnik funkcji to domknięcie przeciwobrazu zbioru R \ {} przez tę funkcję.

4 4 4 Skompilował Janusz Mierczyński Całkując przez części, otrzymujemy, dla każdego x R, i dla każdego t, u t (t, x)ϕ(t, x) dt = u(, x)ϕ(, x) f(u) x (t, x)ϕ(t, x) dx = u(t, x)ϕ t (t, x) dt, f(u(t, x))ϕ x (t, x) dx (wykorzystujemy zwartość nośnika funkcji ϕ). Wystarczy teraz tylko zauważyć, że można zmieniać kolejność całkowania. Funkcje ϕ występujące w definicji rozwiązania słabego nazywamy funkcjami próbnymi. Niekiedy nie uwzględnia się warunku początkowego: mówimy o słabym rozwiązaniu prawa zachowania (PZ), gdy (u(t, x)ϕ t (t, x) + f(u(t, x))ϕ x (t, x)) dt dx = dla każdej funkcji próbnej ϕ o zwartym nośniku zawartym w Ω ((, ) R). Czasami w definicji rozwiązania słabego o funkcjach próbnych zakłada się, że są to funkcje klasy C o zwartych nośnikach. Definicje te są równoważne, choć dowód równoważności wymaga (żmudnego) wykazania, że funkcję klasy C 1 o zwartym nośniku da się w odpowiedni sposób (w sensie normy C 1 ) przybliżać funkcjami klasy C o zwartych nośnikach Fale uderzeniowe. Warunek Rankine a Hugoniota Wprowadzamy następujące założenie: (FU) u: Ω R, gdzie Ω jest otwartym i spójnym podzbiorem [, ) R, jest słabym rozwiązaniem równania (PZ), oraz następujące warunki są spełnione: (FU1) Ω = Γ Ω + Ω, z Γ = { (t, x) : t I, x = ξ(t)} Ω + = { (t, x) Ω : t I, x > ξ(t)} Ω = { (t, x) Ω : t I, x < ξ(t)}, gdzie ξ : I R jest funkcją klasy C 1 określoną na przedziale I;

5 Prawa zachowania. Fale uderzeniowe 4 5 (FU2) u jest klasycznym rozwiązaniem równania (PZ) na Ω +, i na Ω + ; (FU2) dla każdego t I istnieją granice jednostronne u (t) := lim u(t, x), u +(t) := lim u(t, x), x ξ(t) + i zachodzi u (t) u + (t). x ξ(t) Powyższe rozwiązanie u nazywa sie falą uderzeniową. Krzywa Γ to czoło fali uderzeniowej, ξ (t) to prędkość fali uderzeniowej. Twierdzenie 4.2. Załóżmy, że u = u(t, x) spełnia założenie (FU). Wówczas są spełnione warunki Rankine a (7) Hugoniota (8) : (RH) ξ (t) = f(u +(t)) f(u (t)) u + (t) u (t) t I. Dowód. Niech ϕ będzie funkcją próbną taką, że ϕ(t, x) = dla t =. Warunek (4.1) przybiera teraz postać (uϕ t + f(u)ϕ x ) dt dx + Ω Ω + (ϕ t + f(u)ϕ x ) dt dx =. Stosując do pierwszej z całek po lewej stronie twierdzenie o dywergencji otrzymujemy Ω (uϕ t +f(u)ϕ x ) dt dx = Ω (u t +f(u) x )ϕ dt dx+ Γ (u ϕν 1 +f(u )ϕν 2 ) ds, gdzie (ν 1, ν 2 ) oznacza jednostkowy wektor normalny skierowany na zewnątrz. Stosując do drugiej całki twierdzenie o dywergencji (i pamiętając, że jednostkowy wektor normalny skierowany na zewnątrz to teraz (ν 1, ν 2 )) otrzymujemy Ω + (uϕ t +f(u)ϕ x ) dt dx = Ω + (u t +f(u) x )ϕ dt dx Jako że u jest rozwiązaniem klasycznym na Ω + i Ω, zachodzi (u t + f(u) x )ϕ dt dx = Ω Ω + (u t + f(u) x )ϕ dt dx =. (7) William John Macquorn Rankine ( ), inżynier i fizyk szkocki (8) Pierre-Henri Hugoniot ( ), inżynier i fizyk francuski Γ (u + ϕν 1 +f(u + )ϕν 2 ) ds.

6 4 6 Skompilował Janusz Mierczyński Ostatecznie otrzymujemy, że ( (u ν 1 + f(u )ν 2 ) (u + ν 1 + f(u + )ν 2 ) ) ϕ ds =. Γ Ponieważ ϕ było dowolne, musi zachodzić f(u + ) f(u ) u + u = ν 1 ν 2. Ale co kończy dowód. ν 1 ν 2 = ξ (t), Uważna analiza powyższego dowodu wykazuje, że warunki Rankine a Hugoniota są w istocie też warunkami wystarczającymi. Mówiąc dokładniej, jeśli funkcja ograniczona u spełnia (FU1), (FU2), (FU3) oraz warunki (RH), to jest rozwiązaniem słabym równania (PZ) na Ω. Rzeczą naturalną jest spytać, co się stanie, gdy we wszystkich (czy nawet niektórych) punktach krzywej Γ zachodzi u = u +. Dokładnie przyglądając się powyższemu dowodowi można zauważyć, że niepotrzebne są żadne warunki na pochodną ξ w takich punktach. 4.3 Przykłady Rozważmy zagadnienie początkowe dla równania Burgersa bez lepkości gdzie u t + uu x =, t >, x R, u(, x) = u (x), x R, 1 dla x <, u (x) = 1 x dla < x < 1, dla x > 1. Zagadnienie powyższe ma, dla t [, 1), rozwiązanie 1 dla x < t, u(t, x) = 1 x dla t < x < 1, 1 t dla x > 1.

7 Prawa zachowania. Fale uderzeniowe 4 7 Rozwiązanie to jest jednoznaczne. Chcielibyśmy je przedłużyć dla t 1. Rzecz jasna, skoro rzuty charakterystyczne się przecinają, nie będzie to już funkcja ciągła. Jednak chcemy, by to słabe rozwiązanie było rozwiązaniem klasycznym przyjmującym stale wartość 1 poniżej pewnej krzywej Γ, i wartość powyżej tej krzywej. Ponadto, punkt (1, 1) powinien leżeć na krzywej Γ. Warunki Rankine a Hugoniota przyjmują postać: Dla każdego t 1 zachodzi ξ (t) = (u + (t)) 2 (u (t)) u + (t) u (t) = u +(t) + u (t) 2 = 1 2. Zatem Γ to półprosta przechodząca przez (1, 1), o współczynniku kierunkowym 1/2. Jako następny przykład, rozważmy zagadnienie początkowe Riemanna dla równania Burgersa bez lepkości gdzie u t + uu x =, t >, x R, u(, x) = u (x), x R, dla x <, u (x) = 1 dla x >. Jako że żaden z rzutów charakterystycznych startujących z prostej t = nie przechodzi przez klin t >, < x < t, nie mamy jednoznacznego przepisu na znalezienie wartości rozwiązania w tym klinie. Możemy spróbować falę uderzeniową (podobną do tej z poprzedniego przykładu): dla x < t 2, u 1 (t, x) = 1 dla x > t 2. Jest to rozwiązanie słabe zagadnienia, spełniające warunek Rankine a Hugoniota. Jednak funkcja ciągła dla x <, x u 2 (t, x) = dla < x < t, t 1 dla x > t,

8 4 8 Skompilował Janusz Mierczyński ( fala rozrzedzeniowa ) też jest rozwiązaniem słabym. Otrzymaliśmy więc dwa różne rozwiązania naszego zagadnienia Riemanna. Powstaje kwestia, które z tych rozwiązań (jeśli w ogóle) ma interpretację fizyczną. Tutaj pomocne są rozważania wiążące się ze strzałką czasu, co w literaturze fizycznej zwane jest też zasadą wzrostu entropii. Nie wchodząc w szczegóły, chodzi o to, by czoło fali uderzeniowej było miejscem przecięcia rzutów charakterystycznych wychodzących z punktów odpowiadających chwilom wcześniejszym. Natomiast pozbawiona interpretacji fizycznej jest sytuacja, gdy rzut charakterystyczny przechodzący przez pewien punkt przecina czoło fali uderzeniowej w chwili wcześniejszej. Matematycznie przybiera to postać warunku wzrostu entropii: f (u (t)) > ξ (t) > f (u + (t)). Wracając do rozwiązania u 1, zauważmy że w klinie t >, < x < t rzuty charakterystyczne to półproste o początku w (t/2, t/2) i współczynniku kierunkowym, oraz półproste o początku w (t/2, t/2) i współczynniku kierunkowym 1. Teoria rozwiązań praw zachowania jest bardzo rozbudowana. Okazuje się, że gdy f jest funkcją jednostajnie wypukłą i klasy C 2, to istnieje dokładnie jedno tzw. rozwiązanie entropijne zagadnienia początkowego (PZ-ZP) określone na całej domkniętej prawej półpłaszczyźnie [, ) R. Wyraża się ono wzorem Laxa (9) Olejnik (1), zbyt skomplikowanym by go przytaczać tutaj. (9) Peter David Lax (ur. w 1927), matematyk amerykański pochodzenia węgierskiego. (1) Olga Arseniewna Olejnik ( ), matematyczka rosyjska.