AUTOMATYKA. dr hab. Andrzej Dębowski, prof. PŁ Instytut Automatyki PŁ

Kierunek: Transport AUTOMATYKA dr hab. Andrzej Dębowski, prof. PŁ Instytut Automatyki PŁ godz. przyjęć: wtorki 9 5, biuro Instytutu Automatyki, bud. A, ul. Stefanowskiego 8/22 - I piętro, pok. 3 środy 8 5 2, Zakład Techniki Sterowania IA PŁ, bud. C3, al. Politechniki - II piętro, pok. 5 http://ztchs.p.lodz.pl Materiały /Do pobrania /ZE-Automatyka ZE - Automatyka Slajd /22

Plan zajęć Wykłady będą się odbywały w aud. e-44 na IV piętrze budynku C3 akwarium (Zakład Techniki Sterowania IA PŁ przy al. Politechniki ) Prowadzący: dr hab. inż. Andrzej Dębowski, prof. PŁ a - 2 marca: 8 5 wykład (2 godziny) - 9 marca: 8 5 wykład 2 (2 godziny) 2-6 marca: 8 5 wykład 3 (2 godziny) 3-23 marca: 8 5 wykład 4 (2 godziny) 4-3 marca: 8 5 wykład 5 (2 godziny) 5-5 kwietnia: 8 5 2 wykład 5 (4 godziny) 6-3 kwietnia: 8 5 2 wykład 5 (4 godziny) Ćwiczenia będą się odbywały w aud. E-4 na parterze budynku A (Wydział EEIiA przy ul. Stefanowskiego 8/22) Prowadzący: dr inż. Krzysztof Marzjan 7-27 kwietnia : 8 5 ćwiczenia (3 godziny) 8 - maja: 8 5 ćwiczenia 2 (3 godziny) 9a - 25 maja: 8 5 ćwiczenia 3 (3 godziny) ---------------------------------------------------------------------------------- 9 - czerwca: 8 5 zaliczenie przedmiotu (3 godziny) ZE - Automatyka Slajd 2/22

Program wykładu Wprowadzenie Podstawowe pojęcia i definicje Klasyfikacja układów sterowania: - Podział ze względu na strukturę układu sterowania - Podział ze względu na posiadane informacje o procesie Liniowe układy ciągłe Pojęcie elementu liniowego Klasyczny opis matematyczny procesu dynamicznego - Transmitancja operatorowa - Pojęcie funkcji impulsowej i funkcji jednostkowej - Odpowiedź impulsowa i odpowiedź jednostkowa - Odpowiedź na dowolny sygnał - Transmitancja widmowa - Charakterystyki częstotliwościowe - Typowe elementy linowe Opis dynamiki procesów metodą przestrzeni stanu - Równania wektorowo macierzowe ZE - Automatyka Slajd 3/22

Program wykładu - Wyznaczanie równań wektorowo-macierzowych na podstawie transmitancji - Wyznaczanie macierzy transmitancji Stabilność liniowych układów ciągłych Przekształcanie schematów blokowych Jakość układów automatycznej regulacji Pojęcie jakości i sposoby korekcji układów automatycznej regulacji Podstawowe typy regulatorów o działaniu ciągłym Regulacja statyczna i astatyczna Metody doboru nastaw regulatorów Układy nieliniowe Charakterystyki statyczne układów nieliniowych - Podstawowe charakterystyki statyczne elementów nieliniowych - Wyznaczanie charakterystyk wypadkowych Metody analizy dynamiki układów nieliniowych - Linearyzacja opisu dynamiki elementu nieliniowego - Metoda płaszczyzny fazowej ZE - Automatyka Slajd 4/22

Program wykładu Układy logiczne Elementy algebry Boole a Funkcje i elementy logiczne Projektowanie układów kombinacyjnych Projektowanie układów sekwencyjnych ZE - Automatyka Slajd 5/22

Literatura podstawowa: Dębowski A.: Automatyka Podstawy teorii, WNT, Warszawa, 28 (wyd.), 22 (wyd.2). Dębowski A.: Automatyka Technika regulacji, WNT, Warszawa, 23. Literatura uzupełniająca: Amborski K., Marusak A.: Teoria sterowania w ćwiczeniach, PWN, Warszawa 978. Findeisen W.: Technika regulacji automatycznej, WNT, Warszawa 978. Holejko D., Kościelny W., Niewczas W.: Zbiór zadań z podstaw automatyki, Wyd.Politechniki Warszawskiej, Warszawa 975. Kaczorek T.: Teoria układów regulacji automatycznej, WNT, Warszawa 977. de Larminat P., Thomas Y.: Automatyka układy liniowe, T. Sygnały i układy, T.2 Identyfikacja, T.3 Sterowanie, WNT, Warszawa 983. Pełczewski W.: Teoria sterowania, WNT, Warszawa 98. Mazurek J., Vogt H., Żydanowicz W.: Podstawy automatyki, Oficyna Wyd. Politechniki Warszawskiej, Warszawa 22. Węgrzyn S.: Podstawy automatyki, PWN, Warszawa 972. Żelazny M.: Podstawy Automatyki, PWN, Warszawa 976. ZE - Automatyka Slajd 6/22

Wprowadzenie ZE - Automatyka Slajd 7/22

Podstawowe pojęcia i definicje automatyka nauka o sterowaniu sterowanie celowe oddziaływanie na wyodrębniony proces dynamiczny sterowany proces dynamiczny obiekt sterowania identyfikacja obiektu sterowania sprzężenie zwrotne oddziaływanie skutku na przyczynę regulacja wykorzystanie sprzężenia zwrotnego do sterowania obiekt regulacji obiekt sterowany w oparciu o sprzężenie zwrotne elementy (człony) i sygnały schematy blokowe (schematy funkcjonalne) ZE - Automatyka Slajd 8/22

Układ dynamiczny wielowymiarowy - układ o wielu wejściach i wielu wyjściach Wyróżniamy następujące grupy sygnałów: - sygnały wejściowe (sterujące) u (t), u 2 (t),..., u p (t) - sygnały wyjściowe (odpowiedzi) y (t), y 2 (t),..., y q (t) - sygnały zakłócające z (t), z 2 (t),..., y r (t) Ogólnie: p q r W najprostszym przypadku element ma jedno wejście jedno wyjście i nie podlega zakłóceniom. ZE - Automatyka Slajd 9/22

Klasyfikacja układów sterowania Omówimy podział układów sterowania biorąc pod uwagę ich strukturę oraz posiadane informacje o procesie (tzn. wiadomości o obiekcie, celu sterowania i ewentualnych zakłóceniach). Możliwe są jeszcze inne sposoby klasyfikacji układów sterowania np.: ze względu na rodzaj zjawisk fizycznych występujących w regulatorach (elektroniczne, mechaniczne, pneumatyczne), ze względu na charakter matematycznych równań opisujących zachowanie się układu w stanach ustalonych lub dynamicznych (liniowe, nieliniowe), ze względu na sposób pomiaru wielkości regulowanej (analogowe, cyfrowe), ze względu na sposób wypracowania sygnału sterującego (ciągłe, dyskretne, impulsowe, logiczne). ZE - Automatyka Slajd /22

Podział ze względu na strukturę układu sterowania Podział ze względu na strukturę układu oznacza, że brane są pod uwagę powiązania między elementami wchodzącymi w skład tego układu. Wyróżniamy następujące struktury układów: - układ automatycznego sterowania w systemie otwartym - układ automatycznego sterowania w systemie zamkniętym (układ automatycznej regulacji) -układ automatycznego sterowania w systemie zamkniętootwartym ZE - Automatyka Slajd /22

Układ automatycznego sterowania w systemie otwartym Układ nazywa się układem automatycznego sterowania w systemie otwartym (krótko układem otwartym), gdyż nie ma sprzężenia zwrotnego między czynnościami wykonywanymi, a czynnością rozkazodawczą. Jako przykład układu sterowania w systemie otwartym można podać prosty układ sterowania poziomu wody w zbiorniku, gdzie nie ma powiązania między czynnościami wykonywanymi przez dalsze elementy z czynnościami wykonywanymi przez elementy początkowe nie ma powiązania wstecznego, a więc nie istnieje oddziaływanie zwrotne. Aby osiągnąć określony przyrost poziomu h należy włączyć pompę na czas t. Stosunek h/t zależy od wydajności pompy i w podanym układzie może być przyjęty jako stały. ZE - Automatyka Slajd 2/22

ZE - Automatyka Slajd 3/22

Układ automatycznego sterowania w systemie zamkniętym (układ automatycznej regulacji) Regulacją nazywa się taki sposób sterowania, w którym wykorzystano sprzężenie zwrotne, tzn. oddziaływanie wyjścia obiektu na wejście polegające na tym, że sygnały odpowiedzi danego obiektu mają wpływ na kształtowanie sygnałów sterujących. Przykładem regulacji może być omawiany poprzednio układ służący do napełniania zbiornika cieczą wówczas, gdy wskaźnik poziomu i nadajnik rozkazu (przyciski służące do sterowania stycznikiem) zostaną umieszczone obok siebie. Wówczas człowiek chcąc zmienić poziom cieczy o h nie będzie już musiał odmierzać czasu pracy pompy, lecz będzie bezpośrednio obserwował efekt swojego działania. Podejmowane decyzje wynikają z przeprowadzonego w umyśle porównania wartości rzeczywistej z wartością zadaną. O sposobie sterowania będzie decydował uchyb (błąd) regulacji. ZE - Automatyka Slajd 4/22

Jest to układ regulacji ręcznej. Człowiek pełni tu funkcje sumatora (detektora uchybu) oraz regulatora. Jeżeli człowiek zostanie zastąpiony urządzenie technicznym, to mówimy wówczas o układzie regulacji automatycznej. Układy sterowania wykorzystujące sprzężenie zwrotne nazywane są krótko układami zamkniętymi. ZE - Automatyka Slajd 5/22

Na powyższym rysunku zaznaczono następujące sygnały: y (t) wartość zadana, y(t) wartość rzeczywista e(t) = y (t) - y(t) uchyb regulacji, u(t) sygnał sterujący obiektem, z(t) zakłócenie. Węzeł sumacyjny (sumujący): Węzeł rozgałęźny (zaczepowy, informacyjny): ZE - Automatyka Slajd 6/22

W układach zamkniętych występuje pętla sprzężenia zwrotnego obejmująca tor główny od węzła sumacyjnego do węzła rozgałęźnego i tor sprzężenia zwrotnego od węzła rozgałęźnego do węzła sumacyjnego (oczywiście postępując w kierunku przepływu sygnałów). Sprzężenie zwrotne może być dodatnie lub ujemne. Ze sprzeżeniem zwrotnym mamy do czynienia gdy w procesie skutek oddziałuje na przyczynę, czyli innymi słowy sygnał wyjściowy sterowanego procesu ma wpływ na sygnał wejściowy. W układzie zamkniętym (gdzie obieg informacji odbywa się w pętli zamkniętej) występuje dodatnie sprzężenie zwrotne, jeżeli wzrost któregokolwiek z sygnałów w pętli po przejściu przez wszystkie elementy tworzące pętlę spowoduje dalsze zwiększanie wartości tego sygnału (tzn. gdy skutek wzmacnia przyczynę). W przeciwnym razie mamy do czynienia z ujemnym sprzężeniem zwrotnym. Ujemne sprzężenie zwrotne oznacza taki obieg informacji w pętli, że wzrost któregokolwiek z sygnałów po przejściu przez wszystkie elementy tworzące pętlę pociąga za sobą kompensację tego wzrostu. ZE - Automatyka Slajd 7/22

Przykładem układu zamkniętego może być przedstawiony dalej układ automatycznej regulacji temperatury. Zadaniem tego układu regulacji jest utrzymanie wewnątrz pojemnika stałej temperatury wyższej od temperatury otoczenia z. Rolę elementu zadającego, czujnika, sumatora i regulatora spełnia termometr stykowy, którego górna elektroda może być odpowiednio przesuwana. Przekaźnik, przerywający obwód zasilania grzejnika wówczas, gdy temperatura wewnątrz pojemnika przekroczy wartość zadaną, pełni funkcję wzmacniacza mocy i może być uważany za element wyjściowy regulatora. Wielkością regulowaną jest temperatura wewnątrz pojemnika, sterowaniem napięcie U zasilające grzejnik, a zakłóceniem zmieniająca się temperatura otoczenia z. ZE - Automatyka Slajd 8/22

ZE - Automatyka Slajd 9/22

Układ automatycznego sterowania w systemie zamknięto-otwartym Wpływ zakłóceń na obiekt regulacji przejawia się poprzez zmianę wartości wielkości regulowanej. Jeżeli zakłócenia można mierzyć, to możliwe jest zbudowanie odpowiedniego układu kompensacji, który zmieniałby sygnał sterujący obiektem tak, by zniwelować wpływ występującego aktualnie zakłócenia na wielkość regulowaną. Mamy wówczas do czynienia z otwartym układem sterowania o następującym schemacie blokowym: Dodatkowy tor kompensacji zakłócenia nie jest pętlą sprzężenia zwrotnego, gdyż doprowadzany sygnał nie jest funkcją wielkości sterowanej. ZE - Automatyka Slajd 2/22

Układy zamknięte z ujemnym sprzężeniem zwrotnym ze swej natury także kompensują skutki działania zakłóceń dzięki właściwościom takiego sprzężenia (co można sprawdzić na poprzednich rysunkach). W wielu przypadkach może być korzystne połączenie obu sposobów sterowania obiektem w celu lepszego wyeliminowania wpływu zakłóceń na wielkość regulowaną. Układem zamknięto-otwartym nazywa się następujący układ w którym występuje jednocześnie regulator likwidujący uchyb regulacji oraz układ kompensacji zakłóceń oddziałujących na obiekt regulacji ZE - Automatyka Slajd 2/22

Podział ze względu na posiadane informacje o procesie Układy sterowania ze względu na posiadaną informację początkową o procesie (obiekcie sterowania) można podzielić na: - układy sterowania o pełnej informacji o procesie zwykłe: stabilizacji, nadążne (śledzące), sterowania programowego optymalne - układy sterowania o niepełnej informacji o procesie adaptacyjne sterowania rozmytego (fuzzy control) sterowania opartego na sieciach neuronowych Początkową informacja o procesie stanowi zespół danych jakie uzyskano o tym procesie przed uruchomieniem układu automatycznego sterowania. Dane te są uzyskiwane w wyniku postępowania nazywanego identyfikacją obiektu. Dla konkretnego układu nie wystarczy znać postać równań, trzeba znać również wartości współczynników występujących w tych równaniach. ZE - Automatyka Slajd 22/22

Układy stabilizacji Podstawowe, najprostsze i najczęściej stosowane układy automatyczne. Zadaniem ich jest utrzymywanie wielkości regulowanej na określonym, możliwie stałym poziomie w obecności zakłóceń działających na proces sterowany. ZE - Automatyka Slajd 23/22

Układy nadążne (śledzące) Zadaniem ich jest odtworzenie możliwie wierne przez wielkość wyjściową danego obiektu wszelkich zmian wartości zadanej. Mówiąc ściślej wartość zadana w takim układzie zmieniać się ma według pewnej funkcji kierującej n(t) (czyli w każdej chwili y (t)=n(t)), której przebieg znamy jest jedynie do chwili bieżącej. Przebieg funkcji n(t) w przyszłości pozostaje nieznany. Z dotychczasowego przebiegu tej funkcji można wprawdzie w wielu przypadkach domyślać się jaki będzie jej charakter w najbliższej przyszłości, jednak ogólnie układ musi być przygotowany na dość nieoczekiwane zmiany wartości zadanej. ZE - Automatyka Slajd 24/22

Układy sterowania programowego Zadaniem ich jest również odtworzenie możliwe wierne przez wielkość wyjściową danego obiektu zmian wartości zadanej lecz w sytuacji gdy zmiany te są z góry znane w całym czasie działania urządzenia. Inaczej wartość zadana zmienia się według pewnej całkowicie znanej funkcji p(t) (czyli w każdej chwili). Funkcja p(t) jest generowana przez urządzenie zwane programatorem. Układy automatycznej stabilizacji i sterownia programowego mogą pracować jako otwarte lub zamknięte. Układy nadążne ze względu na stawiane im bardzo wysokie wymagania związane z dokładnością w stanach dynamicznych są zawsze układami zamkniętymi. ZE - Automatyka Slajd 25/22

Układy optymalne Przy narzuconych ograniczeniach sygnał sterujący procesem musi być zmieniamy tak, aby uzyskane wartości wybranych wskaźników były najlepsze w danych warunkach. Jako wskaźniki jakości regulacji mogą być przyjmowane: czas regulacji (układ czaso-optymalny zapewnia minimum czasu trwania sterowania), wydatek paliwa (układ optymalny ze względu na minimum wydatku pozwoli osiągnąć cel i zaoszczędzić paliwo), zasięg (układ optymalny ze względu na zasięg umożliwi przybycie najdłuższej drogi przy tym samym zapasie paliwa). ZE - Automatyka Slajd 26/22

Układy adaptacyjne Układ adaptacyjny pracuje podobnie jak człowiek. Musi mieć następujące zdolności: rozpoznawanie, zapamiętywanie, wyciąganie wniosków, wyboru decyzji, realizacji wybranej decyzji. Układy adaptacyjne stosujemy wówczas, gdy nie mamy w pełni rozpoznanego procesu. Istnieją dwie drogi opanowywania nieznanych procesów: użycie regulatora adaptacyjnego identyfikacja danego procesu i użycie znacznych prostszych układów o pełnej informacji początkowej. ZE - Automatyka Slajd 27/22

Jednym z przykładów układów adaptacyjnych są układy ekstremalne. Stosujemy je, gdy charakterystyka obiektu w stanie ustalonym posiada ekstremum, przy czym zależnie od warunków pracy położenie tego ekstremum ulega zmianie. ZE - Automatyka Slajd 28/22

Niech np. sygnał y(t) oznacza straty energii w jakimś urządzeniu. Jeżeli to urządzenie może wypełniać postawione przed nim zadanie przy różnych wartościach sygnału u(t), to warto wartość tego sygnału dobierać przy wolno zmieniającym się sygnale z(t) tak, by straty energii były zawsze minimalne: ZE - Automatyka Slajd 29/22

Układ sterujący sprawdza co pewien czas czy aktualna wartość sygnału y(t) odpowiada ekstremum. W tym celu wykonuje kroki próbne powodując, że regulator nieznacznie zmniejsza lub zwiększa sygnał sterujący u(t). Jeżeli zmiana wartości sygnału y(t) jest duża, układ wykonuje krok roboczy we właściwym kierunku. Możliwych jest wiele różnych algorytmów szybkiego poszukiwania ekstremum. Najlepsze, ale zarazem najbardziej skomplikowane, są układy ekstremalne o zmiennym kroku działania. Cechami charakterystycznymi układów ekstremalnych jest to, że nie ma w nich sumatora (gdyż nie ma wartości zadanej) oraz, że znajdują się one w ciągłym ruchu, nawet gdy zakłócenie z=const. Stała wartość sygnału y nie oznacza, że położenie ekstremum nie uległo zmianie. Aby układ był w stanie znaleźć się w położeniu odpowiadającym nowemu ekstremum musi nieustannie wykonywać przynajmniej niewielkie kroki próbne. Układy ekstremalne działają wolno, a więc najczęściej przeznaczone są do regulacji procesów wolnozmiennych. ZE - Automatyka Slajd 3/22

Układy sterowania rozmytego (fuzzy control) Ten typ układów automatycznego sterowania oparty jest na logice rozmytej (fuzzy logic) i dotyczy regulatorów dyskretnych, tj. działających w pewnych odstępach czasu. Metoda sterowania rozmytego polega na tym, że zamiast ostrych wartości sygnałów wykorzystuje się ich zapis rozmyty. Dzięki logice rozmytej, w tablicy zawierającej reguły wnioskowania rozmytego można zawrzeć wiedzę empiryczną o sterowaniu danego procesu zebraną przez operatorów obsługujących proces na podstawie praktycznych doświadczeń związanych z jego ręczną obsługą i bez odwoływania się do matematycznego opisu obiektu uruchomić prawidłowo działający układ sterowania automatycznego. ZE - Automatyka Slajd 3/22

Układy sterowania oparte na sieciach neuronowych Sztuczna sieć neuronowa jest zbudowana z pojedynczych neuronów, z których każdy może mieć kilka wejść i jedno wyjście oraz określoną funkcję aktywacji zmieniającą wartość wyjścia neuronu w zależności od stanu tych wejść. W sztucznej sieci neuronowej może być kilka warstw takich neuronów. Aby sieć neuronowa nadawała się do rozpoznawania nowych sytuacji, musi zostać najpierw nauczona odpowiedniego zachowania się. Uczenie sieci dokonywane jest z wykorzystaniem symulacji komputerowych. Wykorzystanie sieci neuronowych w charakterze regulatorów sterujących procesami dynamicznymi polega na takim doborze współczynników wag jej neuronów, by działanie całego układu było jak najbardziej zbliżone do sytuacji przyjętych jako wzorcowe. Regulator neuronowy pozwala skutecznie sterować obiektami o nieznanych parametrach lub nieliniowych charakterystykach. ZE - Automatyka Slajd 32/22

Liniowe układy ciągłe ZE - Automatyka Slajd 33/22

Dany jest układ dynamiczny: Pojęcie elementu liniowego u(t) y(t) y t Fu t F gdzie: F operator (przekształcenie) przyporządkowujący sygnałowi wejściowemu u(t) określony sygnał wyjściowy y(t). Układ ten na sygnał u (t) doprowadzony przy zerowych warunkach początkowych odpowiedział sygnałem y (t), zaś na sygnał u 2 (t) doprowadzony także przy zerowych warunkach początkowych odpowiedział sygnałem y 2 (t). Def. Układ ten jest nazywamy liniowym, jeżeli na sygnał odpowie sygnałem u ( 2 t) au( t) bu ( t) au ( t) bu ( t) afu ( t) bfu ( t) ay ( t) by ( ) y 2 2 2 ( t) F t ZE - Automatyka Slajd 34/22

Zamiast dowolnie wybierać liczby a, b wybieramy dowolnie sygnały u, u 2. Dla układu linowego otrzymujemy zależność flin( u u2) y y2 flin( u) flin( u2) Dla układu nieliniowego (z nasyceniem) fniel( u u2) y y2 fniel( u) fniel( u2) Ogólnie dla każdego układu nieliniowego f niel ( u u2) y y2 fniel( u) fniel( u2) ZE - Automatyka Slajd 35/22

Czasem element ma charakterystykę, która jest na pewnym odcinku liniowa, a w pozostałej części nieliniowa (np. krzywa magnesowania). I w tym obszarze element może być uważany za liniowy. II chociaż w tym obszarze przebieg charakterystyki jest także zbliżony do prostej, to rozważany element dla absolutnych wartości sygnałów: wejściowego i, oraz wyjściowego jest oczywiście nieliniowy; może być natomiast uważany za liniowy w obszarze II, jeżeli wprowadzić odpowiednie przyrosty tych sygnałów: tzn. sygnałem wejściowym będzie u, zaś sygnałem wyjściowym y - stanowiące odchylenia od ustalonego punktu pracy znajdującego się w tym obszarze. ZE - Automatyka Slajd 36/22

Traktowanie elementów jako liniowych wymaga upraszczających założeń (ogólnie zakłada się, że parametry są stałe niezależnie od warunków pracy): dla elementów elektrycznych: zakłada się stałe wartości rezystancji, indukcyjności, pojemności niezależnie od napięcia i prądu. dla elementów mechanicznych: zakłada się, że są wykonane z materiałów idealnie twardych, że sprężyny mają charakterystyki liniowe i pomijalną masę, że siła tarcia jest proporcjonalna do prędkości w pierwszej potędze, że nie występują luzy ani zakleszczenia. dla elementów pneumatycznych: zakłada się stałe opory przy przepływie gazów (niezależnie od ciśnień), że gazy są idealnie ściśliwe o stałej wartości współczynnika sprężania. dla elementów hydraulicznych: zakłada się, że ciecze są idealnie nieściśliwe oraz, że opory przepływu są stałe niezależnie od prędkości. ZE - Automatyka Slajd 37/22

Klasyczny opis matematyczny procesu dynamicznego - Transmitancja operatorowa - Pojęcie funkcji impulsowej i funkcji jednostkowej - Odpowiedź impulsowa i odpowiedź jednostkowa - Odpowiedź na dowolny sygnał - Transmitancja widmowa - Charakterystyki częstotliwościowe - Typowe elementy linowe ZE - Automatyka Slajd 38/22

ZE - Automatyka Slajd 39/22 Transmitancja operatorowa W ogólnym przypadku element liniowy z jednym wejściem i z jednym wyjściem, w przypadku gdy dotyczy zjawiska o parametrach skupionych, jest opisany zwyczajnym równaniem różniczkowym n - tego rzędu z n - warunkami początkowymi ) ( ) ( ) ( gdzie : ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( n n m m m m m m n n n n n n y y y y y y t b u dt t du b dt t u d b dt t u d b t y a dt t dy a dt t y d a dt t y d a Z warunku realizowalności fizykalnej wynika założenie: n m u(t) Układ liniowy y(t)

Def. Transmitancją operatorową danego elementu liniowego nazywamy stosunek transformaty Laplace a sygnału wyjściowego do transformaty Laplace a sygnału wejściowego przy zerowych warunkach początkowych. Y( s) G( s) U( s) gdy : y ( n) ( ) y ( ) ( ) y( ) U(s) G(s) Y(s) Przekształcenie operatorowe Laplace a polega na przyporządkowaniu danej funkcji f(t) zmiennej rzeczywistej spełniającej pewne warunki, zwanej oryginałem, funkcji zmiennej zespolonej F(s), zwanej transformatą, określanej wzorem st F s L{ f t } e f t dt ZE - Automatyka Slajd 4/22

Oryginał Dziedzina zmiennej rzeczywistej t (czasu) Oryginał u(t) Równanie różniczkowe y(t) Przekształcenie L{ } operatorowe przekształcenie L - { } Laplace a Odwrotne Laplace a U(s) Transmitancja operatorowa G(s) (równanie algebraiczne) Y(s) Transformata Dziedzina zmiennej zespolonej s (operatora) Transformata ZE - Automatyka Slajd 4/22

Transformaty Laplace a najczęściej spotykanych funkcji: t t Oryginał f(t) Transformata F(s) Oryginał f(t) Transformata F(s) t t t t e t n t t at t t n at t e t at e a e ae at b be a b at e a bt t bt ( t ) ( t ) s 2 s n! n s s a n! n s a s s a s as b s s as b df t s 2 a 2 s 2 b 2 s F s f dt gdzie: F s L f (t ) ZE - Automatyka Slajd 42/22 sin at cos at t t t sinat t t cosat t sin bt e at t cos bt e at t 2 cos( at ) a cos( at) cos( bt) () t 2 2 b a s a a 2 2 s s a 2as 2 2 2 2 s b 2 s s a 2 2 b a 2 2 2 2 2 s b a s b 2 2 s b a s s a 2 2 s

Jeżeli znana jest transformata F(s) funkcji f(t), to transformatę k-tej pochodnej tej funkcji można obliczyć następująco 2 n n n n n L{ f t } s F s f sf... s f Dla pochodnej pierwszego rzędu wzór ten przyjmuje postać df t L{ } s L{ f t } f dt Dokonując transformacji Laplace a obu stron równania różniczkowego opisującego dynamikę rozważanego układu i przyjmując zerowe warunki początkowe otrzymuje się a n s n Y n- s an- s Ys... a sys ay s m m b s Us b s Us b sus b Us m m... czyli po wyłączeniu ze wszystkich składników po obu stronach równania transformat sygnału wyjściowego i wejściowego n m s... a s a Ys b s... b s b Us an m ZE - Automatyka Slajd 43/22

Korzystając z definicji transmitancji operatorowej otrzymujemy wzór ogólny na transmitancję operatorową liniowego układu dynamicznego w postaci funkcji wymiernej (tj. ilorazu dwóch wielomianów zmiennej s o współczynnikach rzeczywistych) G s Y U m s bms... bs b n s ans... as a Tak zdefiniowana transmitancja dotyczy jedynie elementu z jednym wejściem i jednym wyjściem. Znajomość transmitancji pozwala bezpośrednio wyznaczyć odpowiedź układu na dowolny sygnał wejściowy, ale wyłącznie przy zerowych warunkach początkowych s Y G s U s y t L {G s U s } ZE - Automatyka Slajd 44/22

Odwrotne przekształcenie Laplace a określa wzór Riemana - Mellina Δ st y t L Y( s ) e Y s ds 2 j c j c j który ma jedynie znaczenie teoretyczne i nie stosuje się go w praktyce inżynierskiej. W zagadnieniach projektowania i badania układów automatyki korzysta się nie z powyższego wzoru, lecz z twierdzenia Heaviside a o rozkładzie, twierdzenie Borela o splocie, lub w oparciu o podstawowe właściwości przekształcenia Laplace a przy wykorzystaniu tablic zawierających zestawienia elementarnych funkcji czasu (oryginałów) i odpowiadających im transformat. ZE - Automatyka Slajd 45/22

Pojęcie funkcji impulsowej i funkcji jednostkowej W wielu przypadkach w układach automatyki występują sygnały będące impulsami o znacznej amplitudzie i bardzo krótkim czasie trwania. W granicznym przypadku impuls taki może być przedstawiony przy pomocy funkcji impulsowej Diraca (inaczej zwanej - funkcją). W technice interpretujemy funkcję impulsową Diraca jako pochodną względem czasu funkcji jednostkowej (inaczej zwanej skokiem jednostkowym) t + t δ t t dt t t t ZE - Automatyka Slajd 46/22 t t d t dt t t

Skoro wielkość (t) traktujemy jako wyidealizowany impuls o nieskończenie wielkiej amplitudzie i nieskończenie krótkim czasie trwania, to z fizycznego punktu widzenia wyłania się od razu możliwość przybliżenia wielkości (t) impulsami o skończonej amplitudzie i skończonym czasie trwania. Wybór ciągu funkcji aproksymujących nie jest jednoznaczny i może być oparty np. na przybliżeniu / (t, t dla t t, dla t dla t (t, t t, t t t t ZE - Automatyka Slajd 47/22

Można wykazać, że z wyjątkiem punktów t= i t=, gdzie funkcja (t,) nie jest różniczkowalna zachodzi zależność t, d t, Prawdziwa jest właściwość funkcji (t,) analogiczna do wzoru definicyjnego na slajdzie W2/2, stwier- Łatwo sprawdzić, że prawie wszędzie (tj. za wyjątkiem punktów: t= i t=) dzająca, że pole powierzchni tego obowiązuje zależność analogiczna do impulsu (czyli jego energia ) jest poprzednio podanego wzoru równa jeden - t,dt t, Przy amplituda funkcji (t,) ZE - Automatyka Slajd 48/22 d t, dt t także dąży do nieskończoności, gdyż: lim t, lim oraz spełnione są wyżej podane zależności. Można zatem uważać, że: lim t, t lim t, t

Funkcja impulsowa Diraca posiada tzw. właściwość filtrowania. Żeby zrozumieć to pojęcie rozważmy następujący iloczyn funkcji (t) i pewnej ciągłej ograniczonej funkcji f(t) f t f t f f t f t f t f t Składnik (II) można pominąć jako zawsze równy zeru, gdyż dla t= zachodzi (t)= na mocy definicji, natomiast dla t= obowiązuje toż-samość (t)=, ponieważ jest to impuls o zerowej energii. Rozważany iloczyn reprezentuje więc wyłącznie składnik (I), czyli f t δ t f δ t Właściwość filtrowania pozwala na obliczenie transformaty Laplace a funkcji (t): Transformata Laplace a funkcji (t): b a f t t dt f a b s L t t e dt e ZE - Automatyka Slajd 49/22 st filtr. st st st s Lt te dt e dt e s s def

ZE - Automatyka Slajd 5/22 Punktem osobliwym, w którym występuje impuls Diraca może być dowolna chwila t >. Wówczas obowiązuje zapis t dt t t t t t t - t t t dt t t d t t t t t t t t t t (t-t ) t (t-t ) - t

Właściwość filtrowania dla funkcji przesuniętych w czasie o t zapisuje się w postaci: f b a f t t t f t t t t t t dt f t a t b Transformaty funkcji przesuniętych w czasie można obliczyć tak jak poprzednio, opierając się na definicji przekształcenia operatorowego Laplace a, bądź korzystając z twierdzenia o przesunięciu rzeczywistym F s L f t L f t t F s e st Stąd wynika: st L t - t e e L t - t e s st st ZE - Automatyka Slajd 5/22

Odpowiedź impulsowa i odpowiedź jednostkowa Z definicji transmitancji operatorowej: Po wprowadzeniu oznaczeń: G Y(s) G(s)U(s) s Δ Y( s) U ( s) - dla odpowiedzi impulsowej: gdy u(t) (t), to - dla odpowiedzi jednostkowej: gdy u(t) (t), to i skorzystaniu z przekształcenia Laplace a, otrzymujemy: g h t t L L G s s L G ( s) s G s L G( s) s gdzie: y(t) g(t) y(t) h(t) U s Y s L u t L y t przy zerowych warunkach początkowych elementu można wyliczyć transformatę sygnału odpowiedzi na dane wymuszenie: ZE - Automatyka Slajd 52/22

Z ostatniego równania wynika związek: G(s) sh(s) gdzie: H(s) L{ h(t) } Z uwzględnienia właściwości przekształcenia Laplace a pochodnej funkcji przy zerowych warunkach poczatkowych wynika, że s jest operatorem różniczkowania, zaś /s operatorem całkowania. Stąd wypływa wniosek: t dh t g t lub inaczej ht g d dt A więc w układzie liniowym odpowiedź impulsowa i jednostkowa są ze sobą związane poprzez operację różniczkowania lub całkowania. ZE - Automatyka Slajd 53/22

Odpowiedź na dowolny sygnał Znajomość odpowiedzi impulsowej lub jednostkowej przy zerowych wartościach początkowych pozwala wyznaczyć odpowiedź układu na dowolny sygnał. Wykorzystywane jest tu pojęcie splotu funkcji: f t t t f2t f f2t d ft f2 d Przekształcenie Laplace a splotu ma następującą właściwość (tw.borela): 2 F s L f t F s L f t 2 2 L f t f t F s F s Ponieważ transformata odpowiedzi układu na dowolny sygnał przy zerowych warunkach początkowych ma postać Y(s) G(s)U(s) to gdy znana jest odpowiedź impulsowa elementu g(t), postać czasową odpowiedzi układu na dowolny sygnał można obliczyć ze wzoru y( t) t g ut d gt u d ZE - Automatyka Slajd 54/22 t

W wielu przypadkach duże korzyści przy szybkim wyznaczeniu wartości sygnału w chwili początkowej (t=) lub w stanie ustalonym (t) daje posłużenie się twierdzeniami granicznymi: h y y lim sys s lim sy s Ponieważ transformata odpowiedzi jednostkowej H(s) związana jest z transmitancją układu podaną wcześniej prostą zależnością, to przy wyznaczaniu wartości granicznych odpowiedzi jednostkowej wystarczy ograniczyć się do badania samej transmitancji analizowanego układu: s lim shs lim Gs h s lim shs lim Gs s s s ZE - Automatyka Slajd 55/22

Przykład Wyznaczyć i naszkicować przebieg sygnału wyjściowego y(t) podanego elementu liniowego dla sygnału wejściowego: u(t ) (t ) st U(s) k Y(s) przy zerowym warunku początkowym, korzystając z definicji transmitancji i rachunku operatorowego oraz dla porównania - na podstawie definicji splotu dwóch funkcji. Rozwiązanie I sposób Y( s ) k Na podstawie definicji transmitancji operatorowej: G( s ) U( s ) st uwzględniając transformatę sygnału wejściowego: U( s ) L ( t ) s wyznaczyć można wzór na transformatę odpowiedzi, który można rozłożyć na ułamki proste: G( s ) k kt k Y s G( s )U s H( s ) s st s st s Z tablic przekształcenia Laplace a odczytano: t kt T k dla t : L ke oraz L k st s ZE - Automatyka Slajd 56/22

czyli: t y( t ) k e T h(t) k Rozwiązanie II sposób Z definicji splotu: Odpowiedź impulsowa: Wartość odpowiedzi w chwili t 2 jest równa polu powierzchni paska otrzymanego po wymnożeniu sygnałów w chwilach t [, t 2 ] T y t L G( s )U s g( )u(t )d u(t ) t T g(t ) L G( s ) L e y(t) k k T t k st u(t 2 ) t 2 g( ) k T y( t ) g( )u( t )d 2 2 t t < t 2 > ZE - Automatyka Slajd 57/22

Przykład 2 Wyznaczyć i naszkicować przebieg sygnału wyjściowego y(t) podanego elementu liniowego dla sygnału wejściowego: u(t) At(t) przy niezerowym warunku początkowym: y() y. Rozwiązanie Na podstawie definicji transmitancji operatorowej: Stąd wynika: TsY p s Ys kus t dy T y dt Po powtórnym zastosowaniu przekształcenia Laplace a TsY Y( s ) G( s ) U( s ) t kut y y sty Ys kus U(s) k st p k st Y(s) Y k Ty s U s : Us 2 st st A s ZE - Automatyka Slajd 58/22

Transformata operatorowa poszukiwanej odpowiedzi wyraża się więc wzorem Ak y T Ys 2 s st st Oryginał odpowiedzi (czyli przebieg czasowy na wyjściu analizowanego elementu) można wyznaczyć na podstawie odpowiednich tablic stosując metodę rozkładu transformaty na funkcje elementarne A yt L 2 s s ZE - Automatyka Slajd 59/22 AkT st y T st Stąd poszukiwana odpowiedź elementu na przyjęte wymuszenie liniowe, przy niezerowym warunku początkowym ma postać t t T T y t Akt AkT e y pe ( t ) 3 2 Funkcja jednostkowa w tym wzorze oznacza, że dla t< sygnał przyjmuje wartości równe zeru i że należy pamietać by wykresy poszczególnych funkcji wygasić na lewo od t =.

t T y t Akt AkT e y pe 2 3 t T ZE - Automatyka Slajd 6/22

ZE - Automatyka Slajd 6/22 Transmitancja widmowa Dany jest układ liniowy opisany równaniem różniczkowym n-tego rzędu Ze względu na liniowość tego równania można przyjąć, że sygnał wyjściowy y(t) rozważanego układu, otrzymamy po przyłożeniu na jego wejście sygnału u(t), będzie miał postać zawierającą dwie składowe u(t) Układ liniowy y(t) ) (t y ) (t y ) (t y w p gdzie: składowa przejściowa, składowa wymuszona. (t) y p y w (t) ) ( ) ( ) ( gdzie : ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( n n m m m m m m n n n n n n y y y y y y t b u dt t du b dt t u d b dt t u d b t y a dt t dy a dt t y d a dt t y d a

W liniowych układach obowiązuje zasada superpozycji, tj. sumowania się efektów poszczególnych oddziaływań występujących niezależnie. Jednym oddziaływaniem na rozważany układ jest obecność sygnału wejściowego, zaś jako drugie oddziaływanie można uznać niezerowe warunki początkowe. Składowa wymuszona sygnału wyjściowego y w(t ) związana jest z sygnałem wejściowym u(t ) rozważanego układu dynamicznego. Natomiast składowa przejściowa y p (t) sygnału wyjściowego stanowi rozwiązanie tzw. uproszczonego równania różniczkowego (nazywanego również równaniem ruchu swobodnego) pobudzonego niezerowymi warunkami początkowymi n d y p t dy p t an... a a y p t n dt dt i jej przebieg zależy wyłącznie od warunków początkowych układu. W układzie stabilnym składowa przejściowa zanika z upływem czasu do zera i o postaci sygnału wyjściowego decyduje wówczas składowa wymuszona. ZE - Automatyka Slajd 62/22

Jeżeli do wejścia układu przyłączymy sygnał sinusoidalny o postaci u t U m sin t to zgodnie z metodą przewidywań (stosowaną do rozwiązywania zwyczajnych liniowych równań różniczkowych) składowa wymuszona będzie miała także postać funkcji sinusoidalnej y w t Y sin t m Def. Transmitancją widmową układu liniowego nazywamy wielkość określoną jako stosunek wartości zespolonej składowej wymuszonej odpowiedzi wywołanej wymuszeniem sinusoidalnym, do wartości zespolonej tego wymuszenia. Δ Y( j) G( j) U( j) u y gdzie: ) U m e j u, Y( j) Y m e j y. ZE - Automatyka Slajd 63/22

ZE - Automatyka Slajd 64/22 Transmitancja widmowa jest wielkością zespoloną zależną od parametrów układu i pulsacji wymuszenia. Przy ustalonej amplitudzie U m i fazie początkowej u sinusoidalnego sygnału wejściowego u(t) może być więc zapisana w postaci gdzie: Wielkość - określa stosunek amplitud, natomiast - wielkość przesunięcie fazowe składowej wymuszonej sygnału wyjściowego względem sygnału wejściowego. Bez straty ogólności można przyjąć, że faza początkowa sygnału wejściowego jest równa zeru. Wartości zespolone sygnału wejściowego i składowej wymuszonej sygnału wyjściowego wyrazić można wzorami ) A( ) ( ) ( ) ( j e A j G. ) ( ) ( ) ( ) ( u y m m U Y A ( u ) j m j m u m j m e A U e Y j Y U e U j U n u

Sygnały sinusoidalne można przedstawić w postaci wykładniczej na podstawie wzoru Eulera e e jx jx cos x j sin x cos x j sin x e sin x Podstawienie sygnałów w tej postaci do równania różniczkowego opisującego rozważany układ i wykonanie przekształceń pozwala otrzymać zależność m j bm j... b j b A e n a j... a j a n Ponieważ wcześniej wykazano, że transmitancja operatorowa wyraża się wzorem m Y s bms... bs b G s n U s a s... a s a n j ( ) stąd wynika wniosek, że transmitancję widmową G( j) A( ) e otrzymujemy podstawiając s j do wzoru na transmitancję operatorową. jx e 2 j jx ZE - Automatyka Slajd 65/22

Wniosek: Transmitancję widmową formalnie otrzymujemy podstawiając do wyrażenia na transmitancję operatorową G(s). W interpretacji geometrycznej na płaszczyźnie Gaussa (płaszczyźnie zmiennej zespolonej) transmitancja widmowa oznacza przekształcenie osi urojonej w charakterystykę amplitudowo-fazową. ZE - Automatyka Slajd 66/22

Charakterystyki częstotliwościowe Charakterystykami częstotliwościowymi nazywamy graficzne przedstawienie transmitancji widmowej G(j ) przy zmianach pulsacji. Przy ustalonej wartości pulsacji transmitancja widmowa jest liczbą zespoloną i może być przedstawiona w postaci algebraicznej jako gdzie: lub w postaci wykładniczej gdzie: P A G(j ) P ReG j, Q G j G Im. j j A e G j, arg G j. Pomiędzy postacią algebraiczną i wykładniczą istnieją następujące związki: 2 2 A P Q P( ) A( )cos( ( )) Q arctg Q( ) A( )sin( ( )) P jq ZE - Automatyka Slajd 67/22

Graficznie transmitancja widmowa G(j ) przedstawia sobą zbiór punktów na płaszczyźnie zmiennej zespolonej otrzymanych dla różnych wartości pulsacji w należących do przedziału,. Ponieważ zachodzą przy tym zależności P Q P A A Q to sporządzanie wykresów wystarczy ograniczyć do przedziału,. Wykreślnie można przedstawiać nie tylko transmitancję, ale również jej wielkości składowe P( ),Q( ), A( ), ( ). Do opisu dynamiki elementów wchodzących w skład układów automatyki w praktyce najczęściej stosuje się charakterystyki amplitudowofazowe G(j ) oraz amplitudowe A () i fazowe ( ). Nazwy amplitudowa i fazowa biorą się stąd, że jeśli sygnał wejściowy ma postać sinusoidy o amplitudzie równej i fazie początkowej równej, to po przejściu przez element o transmitancji widmowej G(j ), amplituda sygnału wyjściowego równa jest modułowi transmitancji widmowej A(), zaś faza początkowa tego sygnału równa jest argumentowi transmitancji widmowej (). ZE - Automatyka Slajd 68/22

Przykład 3 Dany jest element I-go rzędu opisany transmitancją operatorową: st Gs k k gdzie k, T. st st Wyznaczyć podstawowe charakterystyki częstotliwościowe tego elementu. Rozwiązanie Transmitancja widmowa otrzymujemy podstawiając s=j do wzoru na transmitancję operatorową: G Dla postaci algebraicznej: - część rzeczywista - część urojona j k jt P Q k j T Rek Im k j j k k T k T k k j T k T ZE - Automatyka Slajd 69/22

Dla postaci wykładniczej: - moduł A T k j k j k 2 T 2 T - argument ( ) arg k j T arg k arg j T arctg arctg T T Na podstawie otrzymanych wzorów wykreślić można poszczególne charakterystyki częstotliwościowe. W celu szybkiego naszkicowania charakterystyk należy w powyższych wzorach wyznaczyć wartości graniczne poszczególnych wielkości dla oraz dla, a następnie w miarę potrzeby zbadać dokładniej ich przebiegi w funkcji. Charakterystykę amplitudowo-fazową szkicuje się zbierając na jednym rysunku informacje o wszystkich składowych dotyczących transmitancji widmowej wyrażanej w postaci algebraicznej jak i wykładniczej. ZE - Automatyka Slajd 7/22

charakterystyka amplitudowo-fazowa: ZE - Automatyka Slajd 7/22

charakterystyka amplitudową charakterystyka fazowa Dla charakterystyk: amplitudowej i fazowej, w przypadku gdy oś odciętych (pulsacji) przedstawiana jest w skali logarytmicznej używa się nazw: logarytmiczna charakterystyka amplitudowa i logarytmiczna charakterystyka fazowa. Ponadto dla logarytmicznej charakterystyki amplitudowej wartości wzmocnienia (w decybelach [db]) odkładane na osi rzędnych obliczane są według wzoru Δ L 2 log A przy czym: log oznacza funkcję logarytmiczną przy podstawie. ZE - Automatyka Slajd 72/22

Typowe elementy linowe Typowymi elementami liniowymi nazywamy podstawowe człony dynamiczne, z których w wyniku szeregowego połączenia można utworzyć układy bardziej skomplikowane. u(t) Typowy element liniowy y(t) Klasyfikacja równań dynamiki i transmitancji operatorowych typowych elementów liniowych: a) Element proporcjonalny: yt kut Gs k b) Element inercyjny I-go rzędu: t dy T dt y t kut G s k st ZE - Automatyka Slajd 73/22

c) Element całkujący idealny: dy dt t kut G s k s d) Element całkujący rzeczywisty: 2 d y t dy t T 2 dt dt e) Element różniczkujący idealny: kut f) Element różniczkujący rzeczywisty: g) Element inercyjny II-go rzędu: G s du t y t k Gs ks t dy T dt t y dt t k t dut dt 2 d y dy T2 T T yt 2 dt dt T 2 kut G s G s k s st ks st k st st 2 ZE - Automatyka Slajd 74/22

h) Element oscylacyjny (drgający): d dt t 2T i) Element opóźniający: y 2 2 T 2 y dy t dt y t kut s G 2 2 T st t kut T Gs ke s k 2Ts Dla podanych elementów należy umieć samodzielnie wyznaczyć: odpowiedź jednostkową h(t), odpowiedź impulsową g(t), charakterystyki częstotliwościowe: amplitudowo-fazową G(j ), amplitudową A( ), fazową ( ). ZE - Automatyka Slajd 75/22

Stabilność liniowych układów ciągłych - Definicja i matematyczny warunek stabilności - Algebraiczne kryteria stabilności - Graficzne kryteria stabilności ZE - Automatyka Slajd 76/22

Definicja i matematyczny warunek stabilności y(t) y Dynamika układu liniowego z jednym wyjściem może być opisana równaniem n d y( t) dy( t) a a y( t) f ( t) n dt dt gdzie: f(t) suma wymuszeń działających na układ an Odpowiedź układu y(t) stanowi sumę składowej przejściowej odpowiedzi wywołanej niezerowymi warunkami początkowymi oraz składowej wymuszonej związanej z postacią działających na układ sygnałów zewnętrznych p (t) Jeżeli na układ nie działają żadne wymuszenia (taki układ nazywamy autonomicznym) to f(t) yw(t ) i w sygnale wyjściowym układu występuje wyłącznie składowa przejściowa y(t) y ZE - Automatyka Slajd 77/22 p y (t) w (t)

Dynamikę układu autonomicznego opisuje więc równanie (tzw. równanie drgań własnych lub równanie ruchu swobodnego) o postaci n d y( t) dy( t) an a a y( t) n dt dt Układ nazywamy stabilnym, jeżeli rozwiązanie y(t) równania ruchu swobodnego tego układu odpowiadające dowolnym warunkom początkowym dąży do zera gdy t lim y( t) t Aby otrzymać rozwiązanie ogólne równania ruchu swobodnego należy znaleźć pierwiastki wielomianu charakterystycznego (czyli rozwiązanie równania charakterystycznego) - niewiadoma jest tu oznaczona literą s, które ma postać n ans... as a Powyższe równanie w dziedzinie liczb zespolonych ma zawsze rozwiązanie w postaci n pierwiastków (w szczególności mogą one być liczbami rzeczywistymi). Pierwiastki mogą być: rzeczywiste (gdy część urojona jest równa zeru) lub zespolone (występują zawsze parami, stanowiąc liczby sprzężone, tzn. takie że części rzeczywiste są takie same a części urojone różnią się jedynie znakiem). ZE - Automatyka Slajd 78/22

W przypadku, gdy s, s2,, sn są pierwiastkami jednokrotnymi, rozwiązanie ogólne równania ruchu swobodnego jest sumą składników o charakterze funkcji wykładniczych zmiennej zespolonej y ( t) n k c k e s k t gdzie: c k stałe całkowania, zależne od warunków początkowych układu. Dla pierwiastków wielokrotnych np. gdy pierwiastek sk ma krotność mk, w podanym wzorze odpowiedni składnik należy zastąpić wyrażeniem: ( c k c k t c k( m ) k t ( m k ) ) e s k t W dalszych rozważaniach ograniczymy się wyłącznie do przypadku pierwiastków jednokrotnych (otrzymany wniosek będzie słuszny również, gdy wystąpią pierwiastki wielokrotne). Dalej pokazane zostanie jak wyglądają przebiegi funkcji czasu stanowiących jeden ze składników podanej wyżej odpowiedzi układu związanego z pierwiastkiem s k równania charakterystycznego. ZE - Automatyka Slajd 79/22

Wykres składnika odpowiedzi przejściowej związanego z pojedynczym pierwiastkiem rzeczywistym równania charakterystycznego s k Składowa sygnału wyjściowego związana z tym pierwiastkiem wyraża się wzorem: t y ( t) c e gdzie: stała całkowania k k c k ZE - Automatyka Slajd 8/22

Wykres składnika odpowiedzi przejściowej związanego z parą pierwiastków zespolonych sprzężonych równania charakterystycznego sk j Składowa sygnału wyjściowego sk j związana z tym pierwiastkiem wyraża się wzorem: y t t) Y e sin( t ) gdzie: Y, nowe stałe całkowania k ( k k k k ZE - Automatyka Slajd 8/22

Wykres składnika odpowiedzi przejściowej związanego z parą pierwiastków urojonych równania charakterystycznego sk j Składowa sygnału wyjściowego sk j związana z tym pierwiastkiem wyraża się wzorem: y k ( t) Yk sin( t k ) gdzie: Y, k k nowe stałe całkowania ZE - Automatyka Slajd 82/22

Jeżeli układ ma być asymptotycznie stabilny to warunek lim y( t) t musi być spełniony przy dowolnych warunkach początkowych układu. Będzie to możliwe wtedy i tylko wtedy, gdy lim y (t ) t tzn. gdy asymptotycznie do zera będzie zanikał każdy ze składników odpowiedzi układu. Twierdzenie Warunkiem koniecznym i wystarczającym asymptotycznej stabilności układu liniowego jest, by wszystkie pierwiastki równania charakterystycznego (bieguny wypadkowej transmitancji operatorowej tego układu) miały części rzeczywiste ujemne, czyli na płaszczyźnie zmiennej zespolonej s leżały w lewej półpłaszczyźnie. k ZE - Automatyka Slajd 83/22

Dla układu z jednym wyjściem opisanego przy pomocy transmitancji operatorowej wielomian charakterystyczny jest mianownikiem transmitancji G(s), a w przypadku układu wielowymiarowego opisanego w przestrzeni stanu wielomian charakterystyczny jest tym samym mianownikiem wszystkich elementów macierzy transmitancji G(s). Stąd wynika zapis L( s ) G( s ) M( s ) M( s ) G( s ) C( s I A ) B det si A gdyż macierz odwrotną oblicza się na podstawie wzoru: n si A a s a s a M( s) det n adj( s I A) ( s IA) det( s I A) Równanie charakterystyczne otrzymuje się porównując do zera wielomian charakterystyczny. Dla układu liniowego niezależnie od sposobu opisu otrzymuje się to samo równanie charakterystyczne, które można zapisać następująco ZE - Automatyka Slajd 84/22

Aby określić stabilność danego procesu dynamicznego dla którego znane jest równanie charakterystyczne, nie jest konieczne rozwiązywanie tego równania, by móc powiedzieć, czy jego wszystkie pierwiastki leżą w lewej półpłaszczyźnie płaszczyzny zmiennej zespolonej (nazywanej także płaszczyzną Gaussa). W tym celu opracowane zostały specjalne kryteria pozwalające stwierdzić stabilność rozważanego procesu dynamicznego na podstawie: a) badania wielomianu charakterystycznego transmitancji wypadkowej: kryterium Routh a, kryterium Hurwitza, kryterium Michajłowa. b) badania charakterystyki amplitudowo-fazowej układu otwartego (z przeciętą główną pętlą sprzężenia zwrotnego) kryterium Nuqista. Badanie takie jest prostsze niż obliczenie wartości pierwiastków tego równania. Analityczne wzory ogólne istnieją jedynie dla wielomianów stopnia nie wyższego niż trzeci (tzw. wzory Cardana), a obliczenia na drodze numerycznej są dosyć skomplikowane. ZE - Automatyka Slajd 85/22

Algebraiczne kryteria stabilności Kryteria algebraiczne polegają na analitycznym badaniu współczynników równania charakterystycznego. Warunkiem koniecznym stabilności układu, tzn. warunkiem koniecznym do tego, by wszystkie pierwiastki tego równania leżały w lewej półpłaszczyźnie jest, aby: ) wszystkie współczynniki a n,, a, a miały ten sam znak, 2) wszystkie współczynniki a,, a, a były różne od zera. n Warunek wystarczający stabilności oparty na pewnych pomocniczych obliczeniach algebraicznych został niezależnie podany przez Routh a i przez Hurwitza i oba te sposoby badania stabilności układów o znanej transmitancji wypadkowej należą do powszechnie znanych i stosowanych w automatyce. Różnią się one nakładem obliczeń kryterium Routh a jest bardziej rozbudowane ale przy wyznaczaniu kolejnych współczynników wymaga obliczania wyznaczników jedynie drugiego stopnia. ZE - Automatyka Slajd 86/22

Kryterium Routh a Współczynniki wielomianu charakterystycznego należy zapisać w postaci dwóch wierszy: a a n n a a n2 n3 a a n4 n5 Tablica Routh a W celu określenia stabilności układu należy zbadać znaki elementów znajdujących się w pierwszej kolumnie s a a a n n n2 n4 n s an an3 an5 n2 s b b2 b3 n3 s c c2 c3 3 s d d2 2 s e e2 s f s g Pierwsza kolumna ZE - Automatyka Slajd 87/22

ZE - Automatyka Slajd 88/22 Kolejne współczynniki w tablicy Routh a oblicza się ze wzorów: ; a a a a a b ; a a a a a b n n n n n n n n n n 5 4 2 3 2 5 3 3 2 2 ; ; n n n n a a a a b b b b c c b b e e d f e e e d d f 2 2 2 ; 2 2 2 e f e f f f e e g

Kryterium Routh a: Autonomiczny układ dynamiczny, określony równaniem charakterystycznym n si A a s a s a M( s) det n jest stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są warunki ) i 2), oraz gdy wszystkie współczynniki pierwszej kolumny tablicy Routh a mają ten sam znak. Jeżeli układ jest niestabilny, to ilość zmian znaku w pierwszej kolumnie jest równa ilości pierwiastków w prawej półpłaszczyźnie, tj. pierwiastków z dodatnią częścią rzeczywistą. ZE - Automatyka Slajd 89/22

Graficzne kryteria stabilności Kryteria te pozwalają orzekać o położeniu pierwiastków równania charakterystycznego w oparciu o graficzną analizę przebiegu pewnych wykresów. Są to: - kryterium Michajłowa polegające na badaniu położenia wykresu funkcji M(j), gdzie M(s) jest wielomianem charakterystycznym układu zamkniętego (mianownikiem transmitancji wypadkowej), - kryterium Nyquista polegające na orzekaniu o stabilności układu z ujemnym sprzężeniem zwrotnym na podstawie badania charakterystyki amplitudowo-fazowej G (j), gdzie G (s) jest transmitancją operatorową układu otwartego (z przeciętą pętlą ujemnego sprzężenia zwrotnego) Dalej omówione zostanie jedynie kryterium Nyquista. ZE - Automatyka Slajd 9/22

Kryterium Nyquista Kryterium to pozwala ocenić stabilność układu zamkniętego ze sprzężeniem zwrotnym na podstawie znajomości charakterystyki amplitudowo-fazowej układu otwartego. G ( s ) G( s )H( s ) L ( s ) G ( s ) gdzie m n M ( s ) Z poprzednich rozważań wiadomo, że o stabilności układu zamkniętego będzie decydował mianownik transmitancji wypadkowej: G( s ) G( s ) ( s ) G( s )H( s ) G ( s ) G z ZE - Automatyka Slajd 9/22

ZE - Automatyka Slajd 92/22 z M (s) L ( s ) M (s). ) ( ) ( ) ( ; ) ( ) ( ) ( s M s L s H s M s L s G H H G G ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( s M s L s M s L s G s H s G s G s G H H G G z ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( s M s M s M s L s L s L H G H G ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( s L s M s M s L s L s M s M s M s M s L s L s M s M s G s M s L s G s G H G H G G G z Warto zauważyć, że w układach realizowanych fizykalnie stopień równania charakterystycznego układu otwartego M (s) jest dokładnie taki sam jak stopień równania charakterystycznego układu zamkniętego M z (s), czyli n. Twierdzenie: Dowód. Po wprowadzeniu oznaczeń dokonujemy przekształceń

Rozważmy funkcję: L ( s ) L ( s ) M ( s ) M z( s ) M ( s ) M ( s ) M ( s ) G ( s ) Wielomiany charakterystyczne układu zamkniętego i otwartego można zawsze przedstawić w postaci iloczynowej G ( s) a a n n ( s s ( s s )( s s )( s s ) ( s s ) ( s s Po podstawieniu s = j i można określić przyrost argumentu dla zmiany pulsacji arg G ( j ) argm ( j ) argm ( j ) z n Z tej zależności można korzystać jeśli potrafimy wypowiedzieć się na temat stabilności układu otwartego. z zk k k z2 2 arg( j s ) arg( j s ) n zn n ) ) k ZE - Automatyka Slajd 93/22

Jeżeli układ otwarty jest stabilny, to pierwiastki jego równania charakterystycznego leżą w lewej półpłaszczyźnie, czyli jak wynika z kryterium Michajłowa arg M j n Ponieważ warunkiem koniecznym i wystarczającym stabilności układu zamkniętego jest analogicznie arg M j n z to po uwzględnieniu obu powyższych warunków w wyprowadzonej poprzednio zależności otrzymujemy arg G j n n ZE - Automatyka Slajd 94/22

Kryterium Nyquista Warunkiem koniecznym i wystarczającym stabilności układu z ujemnym sprzężeniem zwrotnym dla układu otwartego stabilnego jest by charakterystyka amplitudowo-fazowa układu otwartego nie obejmowała punktu (-, j), Ze względu na symetrię wykresu G jω względem osi rzeczywistych przedział zmian można zmniejszyć o połowę, czyli,. Wówczas matematyczny zapis kryterium Nyquista przyjmie postać: Interpretacja geometryczna kryterium Nyquista: arg G j ZE - Automatyka Slajd 95/22

Transmitancja układu otwartego: G s gdzie: k st st2 st st st 3 4 5 T T T T T 2 3 4 5 Układ ten po zamknięciu sprzężenia zwrotnego będzie stabilny. ZE - Automatyka Slajd 96/22

Opis dynamiki procesów metodą przestrzeni stanu - Równania wektorowo macierzowe - Wyznaczanie równań wektorowo-macierzowych na podstawie transmitancji - Wyznaczanie macierzy transmitancji ZE - Automatyka Slajd 97/22

Równania wektorowo macierzowe Stanem układu dynamicznego nazywa się najmniej liczny zbiór liczb, który należy określić dla chwili t t, aby można było przewidzieć jednoznacznie zachowanie się układu dla każdej chwili czasu t t przy znanych sygnałach sterujących. Liczby te nazywa się wartościami zmiennych stanu. Można założyć, że do pełnego opisu zachowania się danego układu potrzeba co najmniej n zmiennych stanu x (t), x 2 (t),..., x Zbiór n zmiennych stanu można przyjąć za n składowych wektora x(t). Tak określony wektor nazywa się wektorem stanu. Przestrzeń stanu określa się jako n-wymiarową przestrzeń o współrzędnych x, x2,..., xn. Stan układu dla chwili t, określany przez n równań różniczkowych pierwszego rzędu, można przedstawić jako punkt w n - wymiarowej przestrzeni stanów. Należy podkreślić, że przy analizie i syntezie układów sterowania przeprowadzonej za pomocą przestrzeni stanu korzysta się z n równań różniczkowych pierwszego rzędu, a nie z jednego równania różniczkowego n - tego rzędu. n (t) ZE - Automatyka Slajd 98/22

Jeżeli stanem układu sterujemy za pośrednictwem p sygnałów wejściowych u (t),u (t),...,u (t) 2 to można te sygnały traktować jako składowe wektora sterowania u( t ). Wyjścia układu mogą, ale nie muszą być zmiennymi stanu. W przypadku liniowych układów o parametrach skupionych wyjścia są one liniową kombinacją zmiennych stanu i sygnałów sterujących. Jeżeli w układzie wzięto pod uwagę q dostępnych pomiarowo sygnałów y (t), y 2 (t),...,y traktując je jako sygnały wyjściowe, to analogicznie wprowadzić można pojęcie wektora wyjścia y( t ). p q (t) ZE - Automatyka Slajd 99/22

Tak opisany układ liniowy o parametrach niezmiennych w czasie (układ dynamiczny o parametrach niezmiennych w czasie nazywany jest układem stacjonarnym), na który nie działają żadne zakłócenia może być opisany następującymi równaniami wektorowo-macierzowymi gdzie: A B C D x t x t u t x t x y t x t u t A a a a 2 n a a a 2 22 n2 a a a n 2n nn macierz stanu dim A nn B b b b 2 n b b b 2 22 n2 b b b p 2 p np macierz wejścia dim B n p ZE - Automatyka Slajd /22

c c C c 2 q d d D d 2 q c c c 2 22 d d q2 d 2 22 q2 c c c n 2n qn d d d p 2 p qp macierz wyjścia macierz transmisyjna dimc qn dim D q p u t u u2 u p t t t wektor x t wektor y t wektor sterowania x t stanu 2 x t y2 t y t odpowiedzi (wejściowy) (wyjściowy) x t n yq t dim u t p dim x t n dim y t q ZE - Automatyka Slajd /22

Schemat układu liniowego opisanego w przestrzeni stanu można przedstawić jako połączenie bloków, gdzie sygnały są wektorami, tj. mają wiele składowych: Wektor x(t ) jest stanem początkowym rozważanego liniowego układu dynamicznego. ZE - Automatyka Slajd 2/22

Przykład 5 Narysować schemat układu liniowego opisanego w przestrzeni stanów jeżeli A 2 3 Rozwiązanie x x x 2 3 x 2x 3x C D B 2 Z równań wektorowo-macierzowych wynika następujący układ równań u 2 3 u x x x 2 3 t x t x2 t x3 y x 2 x 3 Na podstawie powyższych równań można narysować schemat blokowy przyjmując, że do realizacji każdego równania różniczkowego I-go rzędu jest potrzebny jeden integrator. ZE - Automatyka Slajd 3/22

ZE - Automatyka Slajd 4/22

Jeżeli po narysowaniu schematu okaże się, że co najmniej jedna ze współrzędnych stanu jest całkowicie odłączona od któregokolwiek z wejść na które działa wektor sterowania u( t ), to nie mamy wpływu na dalsze przebiegi tej współrzędnej, a więc układ jest niesterowalny. Podobnie jeżeli co najmniej jedna ze współrzędnych stanu jest odłączona od któregokolwiek z wyjść, to pomiar składowych wektora y( t ) nie pozwala na określenie wartości tej współrzędnej. Mówimy, że układ jest nieobserwowalny. Sterowalność i obserwowalność w niektórych przypadkach można stwierdzić po narysowaniu schematu blokowego dla układu opisanego w przestrzeni stanów. W naszym przykładzie układ jest nieobserwowalny ze względu na zmienną x, 2zaś niesterowalny ze względu na zmienną x3. Mogą wystąpić również takie sytuacje, kiedy zmienne stanu będą jednocześnie niesterowalne i nieobserwowalne. Widać stąd, że opis dynamiki układu w przestrzeni stanów jest pełniejszy niż opis przy użyciu transmitancji operatorowej. Transmitancja operatorowa opisuje dynamikę układu jako całości tylko wtedy, gdy układ ten jako całość jest całkowicie sterowalny i obserwowalny. ZE - Automatyka Slajd 5/22

Wyznaczanie równań wektorowo-macierzowych na podstawie transmitancji Jeżeli znany jest opis dynamiki stacjonarnego układu liniowego z jednym wejściem i jednym wyjściem podanym przy pomocy transmitancji operatorowej m bms... bs b Gs n a s... a s a n to opis w przestrzeni stanu tego układu nie jest jednoznaczny i może być dokonany wieloma metodami. Przykład 6 Wyznaczyć opis w przestrzeni stanu dla układu o transmitancji metodą tzw. programowania bezpośredniego Rozwiązanie Y U s s 2 Gs 2 s ss 7s 2 3s 2 Licznik i mianownik rozważanej transmitancji dzielimy przez a s n n ZE - Automatyka Slajd 6/22

Na podstawie tak przekształconej transmitancji Y U 2 s s 3s 2s 2 s 7s 2s można określić sygnał wyjściowy jako 2 3 U s 2 3 Y s s 3s 2s s E( s ) 3s E( s ) 2s E( s ) 2 7s 2s U E( s) U Es Wprowadzone oznaczenie E( s ) rzeczywiście można interpretować jako transformatę pewnego sygnału uchybu, gdyż z zależności wynika równanie 2 s 7s 2s Es 2 s7s Es2s Es 2 3 gdzie s E s, s E s, s E s oznaczają transformaty sygnałów wyjściowych szeregowo połączonych trzech integratorów - elementów kolejno całkujących sygnał uchybu o transformacie E( s ). 3 ZE - Automatyka Slajd 7/22

Na podstawie otrzymanych równań określających transformaty sygnału uchybu E( s ) i sygnału wyjściowego Y( s ) można narysować schemat blokowy, na którym wyjścia integratorów oznaczyć trzeba jako kolejne zmienne stanu. Po takim oznaczeniu łatwo jest już napisać równania opisujące ten układ w przestrzeni stanu: x x x 2 3 x x 2 3 2x y 2x 2 7x 3 3x2 x3 u x x x 2 3 t x t x2 t x3 Poszukiwane macierze mają więc postać: A B 2 7 C 2 3 D ZE - Automatyka Slajd 8/22

Wyznaczanie macierzy transmitancji Jeżeli do stacjonarnego układu liniowego posiadającego p wejść i q wyjść, znajdującego się w zerowych warunkach początkowych zostanie doprowadzony tylko jeden sygnał sterujący np. u j (t) (tzn. pozostałe składowe wektora sterowania będą równe zeru), to wektor odpowiedzi będzie miał składowe, które można oznaczyć następująco: G ij s Δ Y U ij s s j y j t y j y2 j yqj t t t Po dokonaniu przekształcenia Laplace a, otrzymane transformaty pozwalają zdefiniować następujące transmitancje operatorowe gdzie i, 2,..., q j, 2,..., p ZE - Automatyka Slajd 9/22

A więc na i-tym wyjściu transformata odpowiedzi na sygnał doprowadzony do j-tego wejścia może być wyrażana wzorem i, 2,..., q Y s G su s gdzie ij ij ij j, 2,..., p Zgodnie z zasadą superpozycji obowiązującą dla układów liniowych sygnał wyjściowy na i-tym wyjściu jest sumą odpowiedzi obserwowanych na tym wyjściu po przyłożeniu kolejnych sygnałów wejściowych czyli gdzie i, 2,..., q. Po oznaczeniu: i s Y s Y s Y s Y s Y... i U Y i s i2 p ip s G su s j U U 2 U p s s ij s j oraz p j ij Y s Y Y Y 2 q s s s ZE - Automatyka Slajd /22

otrzymujemy zapis: Y s G su s gdzie macierz transmitancji: Przykład 6 G s G G2 Gq s G2s G ps s G 22 s G2 p s s G s G s q2 qp dimg( s) q p Dany jest układ liniowy o dwóch wejściach i dwóch wyjściach. Na jego podstawie opisać jak utworzyć macierz transmitancji tego układu. Rozwiązanie Transmitancje elementarne mają postać: G G 2 s s Y U Y U 2 2 s s s s,, G G 2 22 s s Y U Y U 2 22 2 s, s s s. ZE - Automatyka Slajd /22

Rozważany układ dynamiczny jest więc opisany równaniami: z których wynika następujący schemat blokowy: Y Y 2 s YsY2s GsU s G2sU 2s s Y s Y s G su s G su s 2 22 2 22 2 i macierz transmitancji układu: G s G G 2 s s G G 2 22 s s ZE - Automatyka Slajd 2/22

ZE - Automatyka Slajd 3/22 Dany jest układ opisany jest w przestrzeni stanów W celu wyznaczenia macierzy transmitancji należy dokonać przekształcenia Laplace a podanego wyżej różniczkowego równania wektorowomacierzowego Porównanie z poprzednim wzorem na macierz transmitancji pozwala napisać t x t y x t u t x t x C B A s U s X x s X s B A s U s s X s Y s U s s X s s s U s X s s U s X s s X B A I C C B A I A I A I B A I B A I B A I C G s s

Przekształcanie schematów blokowych ZE - Automatyka Slajd 4/22

W skomplikowanych procesach dynamicznych, o rozbudowanej strukturze powiązań między rozmaitymi sygnałami, łatwiej jest określić transmitancje elementarne wiążące te sygnały niż transmitancję wypadkową. Wyznaczenie transmitancji wypadkowej może być dokonane wówczas w oparciu o przekształcenie schematu blokowego, opisującego strukturę rozważanego procesu dynamicznego. Dzięki wprowadzeniu pojęcia transmitancji operatorowej, dynamika takiego procesu opisana jest układem równań algebraicznych. Transmitancja wypadkowa może być znaleziona w wyniku przekształcenia układu równań polegającego na rugowaniu zbędnych sygnałów. Uwaga: W podanych dalej przykładach, dla uproszczenia i skrócenia zapisu, w oznaczeniach transmitancji i sygnałów pominięto symbole argumentu (mogą to być więc transmitancje operatorowe, lub transmitancje widmowe i odpowiadające im transformaty sygnałów). ZE - Automatyka Slajd 5/22

Połączenie szeregowe dwóch członów x p xp G x y G2x p z tych równań rugujemy sygnał x p Transmitancja wypadkowa połączenia szeregowego dwóch transmitancji jest równa iloczynowi tych transmitancji. y G G x czyli 2 y Gwypadkowa G G G G x 2 2 ZE - Automatyka Slajd 6/22

Połączenie równoległe dwóch członów y Gx y2 G2x y y y 2 z tych równań rugujemy sygnały y, y 2 Transmitancja wypadkowa połączenia równoległego dwóch transmitancji jest równa sumie algebraicznej tych transmitancji (z uwzględnieniem odpowiednich znaków). y G x G x G G x 2 2 y Gwypadkowa G G x 2 ZE - Automatyka Slajd 7/22

Połączenie dwóch członów ze sprzężeniem zwrotnym Transmitancja wypadkowa połączenia dwóch transmitancji ze sprzężeniem zwrotnym wyraża się wzorem: y Ge xs G2 y e x x y G x x s y G x ( )G y s 2 2 z tych równań rugujemy sygnały e y G x ( )G G y ( )G G y G x y 2 G oraz xs G G x ( )G G 2 G G 2 wypadkowa transmitancja w torze glownym Gwypadkowa wypadkowa transmitancja w petli sprzęzenia ZE - Automatyka Slajd 8/22

y Gw y2 G2w4 w3 G4 y w2 G3 y2 w x w2 w x w 4 2 3 z tych równań rugujemy sygnały w,w 2,w 3,w4 Poszukujemy rozwiązania w postaci: y Gx gdzie G G G 2 G G 2 22 y G x G w G x G G y 2 3 2 y G x G w G x G G y 2 2 2 2 3 2 2 2 4 ZE - Automatyka Slajd 9/22

y G x G w G x G G y 2 3 2 y G x G w G x G G y 2 2 2 2 3 2 2 2 4 Powyższy układ równań należy uporządkować względem niewiadomych y i y 2 G2G 4 y y GG 3 y y 2 2 G x G x 2 2 Jedną z metod rozwiązania układu równań liniowych (szczególnie nadającą się do zastosowania w układach o niewielkiej liczbie niewiadomych) są wzory Kramera, pozwalające bezpośrednio wyznaczyć poszukiwane niewiadome. W tym celu obliczamy potrzebne wyznaczniki Δ Δ Δ 2 2 G G G G x 2 2 x 4 2 G G 4 G G G 2 G G G x x 2 3 3 G G G G G x G 2 x 2 2 2 3 2 4 4 G G G x 3 G G G x 2 ZE - Automatyka Slajd 2/22

y y 2 Ze wzorów Kramera otrzymaliśmy: G GG 2G x 2 GG 2G4 x 3 x 2 G2 x 2 Poszukujemy rozwiązania w postaci: y Gx gdzie G G G y G x G x 2 2 y G x G x 2 2 22 2 2 G G 2 22 Czyli rozwiązanie ma postać: G G 2 G G G G G 2 2 3 GG 2G4 G G G G 3 4 4,, G G 2 22 GG 2G3 G G G G 2 2 3 G G G G G 3 4 4 Łatwo sprawdzić, że poszczególne transmitancje można obliczyć od razu patrząc na schemat blokowy i korzystając ze wzoru wyprowadzonego w przykładzie dla połączenia bloków ze sprzężeniem zwrotnym, np.: G 2 y wypadkowa transmitancja w torze glownym G2G3G x wypadkowa transmitancji w petli sprzęzenia G G G G ( ) 2 2 3 4 ZE - Automatyka Slajd 2/22

Połączenie szeregowe (łańcuchowe) Połączenie równoległe Sprzężenie zwrotne a) dodatnie b) ujemne ZE - Automatyka Slajd 22/22

Zmiana kolejności a) członów b) węzłów rozgałęźnych (zaczepowych) c) węzłów sumacyjnych (sumujących) Przesuwanie węzła rozgałęźnego (zaczepowego) ZE - Automatyka Slajd 23/22

Przesuwanie węzła sumacyjnego (sumującego) Przesuwanie a) węzła rozgałęźnego przed sumacyjny b) węzła sumacyjnego przed rozgałęźny ZE - Automatyka Slajd 24/22

Przykład Należy przesunąć węzeł zaczepowy Z za transmitancję G 2 i kolejno zwijać pętle sprzężeń zwrotnych. (zaczynając od pętli wewnętrznej na najbardziej zagłębionej, zawierającej połączenie równoległe transmitancji) G y x 2 4 G G G 4 G G G G G G G G 2 3 5 2 3 ZE - Automatyka Slajd 25/22

Przykład 2 Należy zmienić konfigurację węzłów zaczepowych (łącząc Z i Z 2 ), wykorzystać połączenie równoległe transmitancji oraz przenieść węzeł zaczepowy na wyjście układu i kolejno zwijać pętle sprzężeń zwrotnych. G y x G 3 G G 2 G ( G 3 G G 2 4 ) G ( G 2 ) ZE - Automatyka Slajd 26/22

Przykład 3 Należy zmienić kolejność węzła zaczepowego Z 3 i sumacyjnego S 2 za transmitancją G. Pojawiają się węzły Z 4, Z 5, S 4 węzeł Z 3 jest niepotrzebny G y x ( G2G4 )( G G G 2 G 3 ) G 4 ZE - Automatyka Slajd 27/22

Jakość układów automatycznej regulacji ZE - Automatyka Slajd 28/22

Pojęcie jakości i sposoby korekcji układów automatycznej regulacji Celem układu regulacji automatycznej (układu z ujemnym sprzężeniem zwrotnym) jest minimalizacja uchybu regulacji powstającego na skutek działania zakłóceń na obiekt regulacji i w wyniku zmian sygnału zadanego. Typowy jednoobwodowy układ regulacji automatycznej ma postać Zakłócenia mogą oddziaływać na układ w różnych miejscach, lecz najczęściej sprowadza je się do dodatkowego sygnału pojawiającego się na wejściu obiektu. Uchyb e(t) zależy od sygnału zadanego y o (t), sygnału zakłóceń z(t), struktury i parametrów regulatora i obiektu regulacji oraz od warunków początkowych w jakich znajdowały się poszczególne elementy tego układu. ZE - Automatyka Slajd 29/22

Najczęściej przyjmuje się, że przed przyłożeniem określonego sygnału wymuszającego cały układ znajdował się w stanie ustalonym. Jako sygnał standardowy przyjmowany jest przeważnie sygnał skokowy (możliwie są również inne sygnały standardowe impulsy prostokątne, sygnały trapezowe itp.) Badanie jakości regulacji sprowadza się do badania uchybu regulacji e(t) wywołanego standardowym wymuszeniem, lub standardowym zakłóceniem, zarówno w stanach ustalonych, jak również w stanach przejściowych. Miarą jakości regulacji jest tzw. wskaźnik (kryterium) jakości, który powinien być tak zdefiniowany, aby mierzył określone przez użytkownika cechy przebiegu e(t) z dostateczną dokładnością. W dalszych rozważaniach zakłada się, że sygnał standardowy będzie miał postać wyłącznie wymuszenia skokowego. Wówczas: e(t) e e (t) gdzie: e u lim e( t ) t e p ( t ) - składowa ustalona uchybu regulacji, - składowa prześciowa uchybu regulacji. u p ZE - Automatyka Slajd 3/22

Uchyb regulacji e(t) stanowi podstawę do wypracowania przez regulator odpowiedniego sygnału sterującego obiektem. Nie można więc żądać, by składowa przejściowa uchybu e p (t) była równa zeru w każdej chwili t>. Należy jednak dążyć do tego, by uchyb malał jak najszybciej do zera. skok wartości zadanej y ( t ) A ( t ) y skok zakłócenia z(t) A (t) z ZE - Automatyka Slajd 3/22

Wskaźniki jakości regulacji: ) Wartość ustalona uchybu regulacji (uchyb statyczny) 2) Maksymalna wartość uchybu przejściowego: e max e p (t ) t 3) Przeregulowanie (w %) e 2 % e gdzie: e określone jak poprzednio w punkcie 2), e 2 maksymalna wartość uchybu przejściowego o znaku przeciwnym do znaku e. 4) Czas regulacji związany z dopuszczalną wartością odchylenia e uchybu przejściowego od zera t max t gdzie e (t ) e 5) Wskaźniki całkowe: I I I 2 e e t p 2 p (t)dt (t)dt e (t)dt ( IAE Integral ( ITAE Integral e lim e( t ) 3 p ZE - Automatyka Slajd 32/22 r ( ISE Integral of i of of i Squared Time and u p Error ), t Absolute Error ), i Absolute Error ).

6) Zapas stabilności: Wartości zapasu modułu i argumentu zalecane przy projektowaniu typowych układów automatyki wynoszą: 6 2 db 3 o 5 o. Zapas modułu (amplitudy), gdy : Zapas argumentu (fazy), gdy G( j ) : db 2 log 2 log d 2 log 2 log d G( j ) o 8 ( ) ZE - Automatyka Slajd 33/22

Korekcja układów regulacji ma na celu poprawę własności statycznych lub dynamicznych ocenianych przy wykorzystaniu odpowiednio dobranych wskaźników jakości. Poprawę tych właściwości osiąga się poprzez dołączenie do układu automatycznej regulacji, działającego w sposób niezadowalający, dodatkowego członu, tzw. elementu korekcyjnego. Najprostszym układem regulacji jest taki, w którym funkcję regulatora pełni wzmacniacz mocy (zwykle uchyb regulacji, wytwarzany w węźle sumacyjnym, ma zbyt małą moc, aby mógł być wykorzystany do bezpośredniego sterowania obiektem). Ze względu na sposób włączania elementu korekcyjnego można wyróżnić następujące sposoby korekcji: szeregowa, równoległa, w sprzężeniu zwrotnym. Najczęściej stosowana jest korekcja szeregowa lub korekcja w sprzężeniu zwrotnym. Korekcja równoległa ma niewielkie znaczenie praktyczne, gdyż wymagałaby budowy korektora w postaci równoprawnego ze wzmacniaczem mocy elementu technologicznego i w dodatku o założonych z góry właściwościach dynamicznych. ZE - Automatyka Slajd 34/22

korekcja szeregowa korekcja równoległa korekcja w sprzężeniu zwrotnym ZE - Automatyka Slajd 35/22

Podstawowe typy regulatorów o działaniu ciągłym Regulatorem nazywamy człon dynamiczny przetwarzający uchyb regulacji e(t) na sygnał sterujący obiektem u(t): e(t) E(s) Podstawowe typy regulatorów: - proporcjonalny P - całkujący I - proporcjonalno-całkujący PI - proporcjonalno-różniczkujący PD - proporcjonalno- całkująco-różniczkujący PID Regulator G R (s) Dla każdego regulatora zostaną podane: - równanie opisujące dynamikę, - transmitancja operatorowa, - odpowiedź jednostkowa (lub na sygnał narastający liniowo dla regulatora PD), - definicja parametrów, - krótki opis możliwości jego zastosowania. u(t) U(s) ZE - Automatyka Slajd 36/22

Regulator proporcjonalny P ut k et G R s P k P e(t ) (t ) P h t k t Nastawę regulatora P określa się przy pomocy współczynnika wzmocnienia k P. Zastosowanie: Regulator P prowadzi do układów regulacji statycznej. Nadaje się do zastosowania dla obiektów prostych o średniej wielkości inercji, niedużym opóźnieniu i stałym obciążeniu. Często stanowi regulator pomocniczy. ZE - Automatyka Slajd 37/22

Regulator całkujący I d u( t) dt G R ( s) k e( t) I ki s e(t ) (t ) h(t ) k t (t ) I Nastawę regulatora I określa się przy pomocy współczynnika wzmocnienia k I. Zastosowanie: Regulator I pozwala osiągnąć regulację astatyczną. Ma jednak silniejsze tendencje do niestabilności od regulatorów P lub PD. Z obiektami astatycznymi może tworzyć układy niestabilne. Nadaje się głównie do obiektów statycznych o powolnych zmianach obciążenia, w tym szczególnie do obiektów o czystym opóźnieniu (np. regulacja transportu przy pomocy taśmociągów). Im większa jest inercja obiektu tym wolniejsze powinny być zmiany sygnału wyjściowego. ZE - Automatyka Slajd 38/22

Regulator proporcjonalno-całkujący PI e(t ) (t ) t h(t ) k P (t ) TI u(t ) kpe(t ) TI G R( s ) kp TI s t e(t ) dt Nastawy regulatora PI określa się przy pomocy współczynnika wzmocnienia części proporcjonalnej k P i czasu zdwojenia T I. Zastosowanie: Regulator PI jest w stanie sprowadzić uchyb regulacji do zera (regulacja astatyczna). Zapewnia dobrą regulację zasadniczo przy zakłóceniach stosunkowo powolnych, o małych częstotliwościach. Im jest nastawione większe wzmocnienie k P, oraz krótszy czas całkowania T I, tym szybciej działa regulator lecz jednocześnie bliższy jest granicy niestabilności. Stosuje się do obiektów o dowolnej inercji nawet z większymi opóźnieniami i znaczniejszymi ale powolnymi zmianami obciążenia. ZE - Automatyka Slajd 39/22

Regulator proporcjonalno-różniczkujący PD e(t ) (t ) h(t ) k T (t ) (t ) P D u( t) kpe( t) TD G ( s) k T s R P D de() t dt e(t ) At (t ) P u(t ) k A t T (t ) D Nastawy regulatora PD określa się przy pomocy współczynnika wzmocnienia części proporcjonalnej k P i czasu wyprzedzenia T D. Zastosowanie: Regulator PD zapewnia dobrą regulację w zakresie szerszego pasma częstotliwości zakłóceń niż regulator PI, ale nie jest w stanie sprowadzić do zera uchybu regulacji (regulacja statyczna). Człon różniczkujący D powoduje szybką inercję regulatora w chwili pojawienia się zakłócenia. Podobnie jak regulator P, regulator PD stosuje się jako regulator pomocniczy w założonych układach regulacji. Uwaga: Człon D, o działaniu wyłącznie różniczkującym, nie może być wykorzystany jako samodzielny regulator, gdyż nie ma możliwości oddziaływania na obiekt w stanie ustalonym. ZE - Automatyka Slajd 4/22

Regulator proporcjonalno-całkująco-różniczkujący PID u(t t de(t ) kpe(t ) e(t )dt TD TI dt ) G R ( s ) k P TI s T D s e( t) ( t) t h( t) kp TD ( t) ( t) TI Nastawy regulatora PID określa się przy pomocy współczynnika wzmocnienia części proporcjonalnej k P, czasu zdwojenia T I i czasu wyprzedzenia T D. Zastosowanie: Regulator PID stosuje się do obiektów poddanych wpływom zakłóceń o dużych i gwałtownych zmianach. Łączy w sobie zalety regulatorów PI i PD. Umożliwia stosowanie krótszych czasów zdwojenia T I niż regulator PI bez obawy powstania oscylacji w układzie zamkniętym, a więc prędzej likwiduje wpływ zakłóceń o wartościach ustalonych. Dla obiektów o dużych opóźnieniach (np. dla obiektów inercyjnych wysokiego rzędu) skuteczność działania regulatorów PI oraz PID są praktycznie takie same. ZE - Automatyka Slajd 4/22

Regulacja statyczna i astatyczna Obserwacja wpływu sygnału zakłócenia - oddziałującego na obiekt - na sygnał wyjściowy tego obiektu w danym układzie automatycznej regulacji w stanach ustalonych prowadzi do jednego z dwóch następujących wniosków: a) W stanie ustalonym sygnał zakłócenia nie ma wpływu na wartość sygnału wyjściowego obiektu jest to układ regulacji astatycznej. b) W stanie ustalonym sygnał zakłócenia wpływa na wartość sygnału wyjściowego jest to układ regulacji statycznej. ZE - Automatyka Slajd 42/22

Przyjmuje się, że zakłócenie oddziałujące na obiekt regulacji jest sprowadzane do wejścia lub do wyjścia tego obiektu i stanowi dodatkowy sygnał zewnętrzny dodający się do sygnału istniejącego. Pytanie o charakter układu - czy jest on jest statyczny czy astatyczny - w sytuacji, gdy sygnał zakłócenia dodaje się do sumatora wejściowego, do którego wprowadzana jest wartość zadana, nie ma sensu, gdyż każdy poprawny układ automatycznej regulacji ma wiernie reagować na zmiany wartości zadanej. Jeżeli wiadomo, że w sumatorze wypracowującym sygnał uchybu regulacji nie występuje żaden sygnał zakłócający, to można podać inną definicję: układ regulacji astatycznej: gdy e uz, układ regulacji statycznej: gdy e uz, gdzie: e uz - składowa uchybu regulacji w stanie ustalonym wywołana ustalonym zakłóceniem e lime (t ) uz t Warunkiem koniecznym astatyzmu zamkniętego układu regulacji jest by w torze głównym występował co najmniej jeden element astatyczny. z ZE - Automatyka Slajd 43/22

Element astatyczny ustalonej wartości sygnału wejściowego odpowiada ustalona wartość pochodnej sygnału wyjściowego. Przykłady: element całkujący element całkujący element proporcjonalno idealny: rzeczywisty: całkujący (regulator PI): k s k s st k st Wniosek: liniowe elementy astatyczne to takie, których równania charakterystyczne (przyrównane do zera mianowniki transmitancji) zawierają pierwiastek zerowy. Element statyczny ustalonej wartości sygnału wejściowego odpowiada ustalona wartość sygnału wyjściowego. Przykłady: element inercyjny: element różniczkujący element korekcyjny: k rzeczywisty: ks st k gdy T T2 st st st Wniosek: liniowe elementy statyczne to takie, których równania charakterystyczne (przyrównane do zera mianowniki transmitancji) nie zawierają pierwiastka zerowego. 2 ZE - Automatyka Slajd 44/22

Przykład Dany jest typowy układ automatycznej regulacji: Określić rodzaj regulacji w stanach ustalonych jeżeli: transmitancja transmitancja regulatora: GR s kp obiektu: sti s k st Aby określić rodzaj regulacji, należy w układzie ze stałą wartością zadaną ( y const. ) wyznaczyć zależność pomiędzy sygnałem wyjściowym y (lub sygnałem uchybu regulacji e ) a zakłóceniem z w stanach ustalonych. W układach liniowych obowiązuje zasada superpozycji, więc można pominąć sygnał wartości zadanej (przyjąć y ) i wyznaczyć składowe ustalone sygnałów y (t ) lub e(t ) wywołane wyłącznie pojawieniem się zakłócenia w postaci skoku o amplitudzie A z :. z(t ) Az (t ) ZE - Automatyka Slajd 45/22 G OR

Składowa sygnału uchybu: GOR s E s G s G s z s z R OR G s A G s A e lime t lim s E s lim s lim G s G s s G s G s e OR z OR z uz z z t s s s R OR R OR uz k Az lim kstia z st lim s k s Pk st I sti kpk st st I Ponieważ ustalona wartość uchybu jest równa, to rozważane zestawienie regulatora i obiektu regulacji tworzy układ astatyczny Wniosek: W danym układzie zamkniętym regulacja astatyczna może mieć miejsce tylko wtedy, gdy układ zawiera co najmniej jeden element astatyczny w torze głównym, oraz gdy zakłócenie doprowadzane jest na wyjście tego elementu. ZE - Automatyka Slajd 46/22

Metody doboru nastaw regulatorów Przedstawione ogólne właściwości podstawowych typów regulatorów umożliwiają wstępne określenie charakteru, jaki powinien mieć regulator najbardziej odpowiedni dla danego obiektu regulacji ze względu na : a) wymagany rodzaj regulacji w stanach ustalonych statyczna, astatyczna, b) możliwość przeciwdziałania tym zakłóceniom, które w konkretnym przypadku powinny być brane pod uwagę. Przystępując do projektowania zamkniętego układu regulacji należy zdecydować się na wybór odpowiednich wskaźników, które pozwolą ocenić jakość tej regulacji. Doborem nastaw regulatora nazywamy postępowanie pozwalające ustalić wartości parametrów w równaniach opisujących jego dynamikę tak, by w układzie regulacji o wcześniej ustalonej strukturze osiągnąć pożądane wartości przyjętych wskaźników jakości. Wyznaczone wartości parametrów regulatora zależą oczywiście od wartości parametrów charakteryzujących dynamikę obiektu regulacji. Postępowanie w trakcie którego na drodze rozważań teoretycznych i pomiarów doświadczalnych ustala się możliwie wierny opis dynamiki danego obiektu regulacji nazywane jest identyfikacją obiektu regulacji. Tak więc identyfikacja obiektu regulacji poprzedza dobór nastaw regulatora. ZE - Automatyka Slajd 47/22

Identyfikacja w oparciu o odpowiedź skokową obiektu regulacji u(t) Obiekt regulacji G OR (s) y(t) Polega ona na podanie na wejście obiektu sygnału skokowego i zarejestrowaniu odpowiedzi obiektu na ten sygnał. u(t ) A u (t ) Dla obiektu statycznego proponowana transmitancja: G k OR OR ( s) y A ust u kore st st ZE - Automatyka Slajd 48/22

Dla obiektu astatycznego proponowana transmitancja: G k OR OR ( s) k OR e st st y u Zalecane nastawy regulatorów P, I, PI, PD, PID współpracujących z obiektami o podanych wyżej transmitancjach dla różnych wymaganych wskaźników jakości zostały wyznaczone przy użyciu metod symulacji komputerowej i podawane są w postaci wykresów, nomogramów lub tabel w literaturze. Przedstawiona metoda identyfikacji obiektów regulacji przy użyciu prostych modeli I-go rzędu z opóźnieniem jest stosunkowo mało dokładna. Nastawy regulatora wyznaczane w oparciu o tak przyjętą transmitancję mają charakter orientacyjny i wymagają na ogół wprowadzenia pewnych zmian w trakcie uruchamiania gotowego układu regulacji. ZE - Automatyka Slajd 49/22

według kryterium przebiegu aperiodycznego przy minimum czasu regulacji t r według kryterium przebiegu z 2% przeregulowaniem przy minimum czasu regulacji t r Optymalne nastawy regulatora PI dla obiektu statycznego i zakłócenia skokowego doprowadzonego na wejście obiektu. ZE - Automatyka Slajd 5/22

według kryterium przebiegu aperiodycznego przy minimum czasu regulacji t r według kryterium przebiegu z 2% przeregulowaniem przy minimum czasu regulacji t r Optymalne nastawy regulatora PID dla obiektu statycznego i zakłócenia skokowego doprowadzonego na wejście obiektu. ZE - Automatyka Slajd 5/22

Przykład Dany jest układ regulacji dla którego odpowiedź jednostkowa obiektu regulacji ma postać: Na wejście obiektu podano sygnał: u( t) ( t) Pomierzone wartości czasu: t =,8 sek. t 2 =2,8 sek. Korzystając z podanego wcześniej nomogramu należy dobrać nastawy regulatora PID tak, by dla skokowego zakłócenia na wejściu obiektu otrzymać aperiodyczny przebieg uchybu przy minimalnym czasie regulacji. Nastawy te porównać z nastawami dla kryterium przebiegu uchybu z 2% przeregulowaniem. ZE - Automatyka Slajd 52/22

Przyjmujemy, że rozważany obiekt z pewnym przybliżeniem modeluje transmitancja st kore GOR () s st Na podstawie podanego przebiegu odpowiedzi skokowej tego obiektu można wyznaczyć następujące wartości parametrów tej transmitancji k OR =, T = t =,8 sek., T = t 2 t =2 sek. czyli zastępcza transmitancja obiektu ma postać G OR,8 e 2s Aby skorzystać z nomogramu należy wyznaczyć wartość stosunku czasu opóźnienia do stałej czasowej w zastępczej transmitancji obiektu: T T,8 2 s,4 ZE - Automatyka Slajd 53/22

Z odpowiednich nomogramów odczytano: dla aperiodycznego przebiegu uchybu: czyli zalecane nastawy regulatora PID są następujące: dla przebiegu uchybu z 2% przergulowaniem: czyli zalecane nastawy regulatora PID są następujące: TI TD k, 25 2, 25, 22 T T k, 25 k P, 25 k OR T 2, 25 T 2, 25, 8, 8sek. I T, 22 T, 22, 8, 76sek. D TI TD k 3, 5, 4 T T k 3 k P, 3 k OR T, 5T, 5, 8, 2sek. I T, 4T, 4, 8, 32sek. D ZE - Automatyka Slajd 54/22

Układy nieliniowe ZE - Automatyka Slajd 55/22

Charakterystyki statyczne układów nieliniowych Każdy rzeczywisty element, dla którego przekształcenie F opisujące sposób w jaki sygnał wyjściowy y(t) zostaje przyporządkowany sygnałowi wejściowemu u(t) nie spełnia wcześniej podanej definicji elementu liniowego, jest elementem nieliniowym. Rodzajów nieliniowości może być więc nieskończenie wiele. Z tego powodu, przy analizowaniu układów dynamicznych chętnie posługujemy się przybliżonym opisem matematycznym takiego elementu, wprowadzając najczęściej nieliniową charakterystykę statyczną i liniowy opis dynamiki. Ponieważ trudno jest stworzyć jednolitą teorię opisującą układy nieliniowe ograniczymy się do omówienia jedynie najprostszych przypadków nieliniowości. Warto tutaj przypomnieć, że charakterystyka statyczna dowolnego elementu liniowego z jednym wejściem i jednym wyjściem ma jedyną możliwą postać jest to zawsze linia prosta przechodząca przez początek układu współrzędnych. Każde odstępstwo od tej postaci oznacza więc nieliniowość. Niektóre rodzaje nieliniowości dają się łatwo skompensować przez użycie innego odpowiednio dobranego elementu nieliniowego połączonego z elementem rozważanym szeregowo, równolegle lub poprzez umieszczenie go w sprzężeniu zwrotnym obwodzącym rozważany element. ZE - Automatyka Slajd 56/22

Podstawowe charakterystyki statyczne elementów nieliniowych a) elementów o charakterystykach ciągłych: stałe przesunięcie y nasycenie (ograniczenie) y luz y u u u zmiana wzmocnienia y nieczułość y histereza y u u u ZE - Automatyka Slajd 57/22

b) elementów o charakterystykach nieciągłych: nieciągłość wzmocnienia przełączenie dwustanowe y y przełączenie dwustanowe z histerezą y u u u przełączenie trójstanowe y przełączenie trójstanowe z nieczułością y przełączenie trójstanowe z nieczułością i histerezą y u u u ZE - Automatyka Slajd 58/22

Wyznaczanie wypadkowych charakterystyk statycznych Podstawą wyznaczenia charakterystyk statycznych układów nieliniowych, składających się z większej liczby elementów, jest umiejętność określania charakterystyki wypadkowej dla dwóch elementów nieliniowych. Możliwe są następujące podstawowe połączenia: dwa elementy nieliniowe są połączone szeregowo, dwa elementy nieliniowe są połączone równolegle, dwa elementy nieliniowe tworzą pętlę sprzężenia zwrotnego, przy czym jeden z nich jest umieszczony w torze głównym, a drugi w torze sprzężenia zwrotnego. W przypadku złożonych układów zbudowanych z elementów (członów) nieliniowych nie zawsze obowiązują elementarne reguły przekształcania schematów blokowych podane poprzednio dla układów liniowych. ZE - Automatyka Slajd 59/22

a) Człony połączone są łańcuchowo: x x y f f 2 Poszukujemy charakterystyki: y=f (x) f 2 (x ) f (x) f(x) x Dla wybranej wartości znajdujemy odpowiadającą jej wartość jako wynik przemieszczeń wskazanych na rysunku (punkty, 2, 3, 4). Najpierw z wykresu funkcji f (x) odczytujemy wartość sygnału między blokami, potem wykorzystując prostą pomocniczą P, nachyloną pod kątem 45, przenosimy tę wartość na drugą oś współrzędnych i z wykresu funkcji f 2 (x ) odczytujemy wartość sygnału wyjściowego. Jeżeli wartość x będzie ulegać zmianie, to punkty i 3 będą się ślizgały po krzywych odpowiadających funkcjom f (x) i f 2 (x ) a punkt 4 wykreśli wówczas poszukiwaną charakterystykę wypadkową. y ZE - Automatyka Slajd 6/22

b) Człony połączone są równolegle: x f y + y f 2 y 2 + Poszukujemy charakterystyki: y=f (x) Wyznaczenie charakterystyki wypadkowej sprowadza się do sumowania rzędnych charakterystyk składowych. Dla wybranej wartości x z wykresów funkcji f (x) i f 2 (x) znajdujemy odpowiadającą jej wartości y i y 2, a następnie wartość sygnału wyjściowego jako ich sumę y (punkt 3). Jeżeli wartość x będzie ulegać zmianie, to punkty i 2 będą się ślizgały po krzywych odpowiadających funkcjom f (x) i f 2 (x) a punkt 3 wykreśli wówczas poszukiwaną charakterystykę wypadkową. ZE - Automatyka Slajd 6/22

c) Człony tworzące sprzężenie zwrotne (I metoda) x e f y y, x s f 2 (y) f (e) x s f 2 f(x) Poszukujemy charakterystyki: y=f (x) x s e Dla wybranej wartości z charakterystyki f (e) odczytujemy wartość (punkt ), potem wykorzystując prostą pomocniczą P, nachyloną pod kątem 45, przenosimy tę wartość na drugą oś współrzędnych i z wykresu funkcji f 2 (y) odczytujemy wartość sygnału sprzężenia zwrotnego x s, którą dzięki prostej P przenosimy na drugą oś współrzędnych, z której wybierano wartość uchybu regulacji e. Następnie na podstawie równania węzła sumacyjnego znajdujemy odciętą x e x s poszukiwanego punktu charakterystyki wypadkowej, którego rzędna odpowiada wartości y. y ZE - Automatyka Slajd 62/22

c) Człony tworzące sprzężenie zwrotne (II metoda) Poszukujemy charakterystyki: y=f (x) Metoda ta polega na zmianie kierunku przepływu sygnału w torze głównym. Wiąże się to z potrzebą określenia charakterystyki odwrotnej e= f - (y) dla toru głównego. Polega to po prostu na zamianie osi współrzędnych (czyli na odbiciu symetrycznym charakterystyki y= f (e) względem prostej nachylonej pod kątem 45 ). Zamiast układu ze sprzężeniem zwrotnym otrzymujemy wówczas omówiony poprzednio, prosty układ z blokami nieliniowymi połączonymi równolegle. Dla wybranej wartości y łatwo znajdujemy wówczas wartość x, określającą punkt 3 na charakterystyce wypadkowej, która w takim układzie współrzędnych jest charakterystyka odwrotną x= f - (y). Po zamianie osi (czyli odbiciu symetrycznym) otrzymujemy poszukiwaną charakterystykę y=f (x). ZE - Automatyka Slajd 63/22

Przykład Wyznaczyć charakterystykę wypadkową dla układu: x x f y f 2 Funkcja x f ( x) Funkcja y f ( x ) ZE - Automatyka Slajd 64/22

Przykład Wyznaczyć charakterystykę wypadkową dla układu ze sprzężeniem zwrotnym, gdzie funkcja y=f (e) opisuje wzmacniacz z nasyceniem. a) ujemne sprzężenie zwrotne x ex s x e f y x Funkcja y=f (e): Charakterystyka wypadkowa ZE - Automatyka Slajd 65/22

Przykład Wyznaczyć charakterystykę wypadkową dla układu ze sprzężeniem zwrotnym, gdzie funkcja y=f (e) opisuje wzmacniacz z nasyceniem. a) dodatnie sprzężenie zwrotne x ex s x e f y x Funkcja y=f (e): Charakterystyka wypadkowa ZE - Automatyka Slajd 66/22

Metody analizy dynamiki układów nieliniowych Najprostszym sposobem analizowania dynamiki układu nieliniowego o sygnałach ciągłych i różniczkowalnych jest linearyzacja równań opisujących tę dynamikę w pewnym niewielkim otoczeniu ustalonego punktu pracy tego układu. Linearyzacja opisu dynamiki nie zawsze jest jednak możliwa (np. wówczas gdy charakterystyki statyczne niektórych elementów nieliniowych wchodzących w skład układu są nieciągłe). Ponadto badanie przybliżenia liniowego danego układu nieliniowego często nie pozwala wnioskować o globalnych właściwościach tego układu, tzn. o jego zachowaniu się, gdy stan pracy znajduje się daleko od punktu linearyzacji (np. z udowodnienia stabilności lokalnej przybliżonego modelu liniowego nie wynika w ogólnym przypadku stabilność globalna rzeczywistego układu nieliniowego). Ponieważ teoria układów liniowych nie wystarcza do badania właściwości dowolnych układów dynamicznych, trzeba ją uzupełnić metodami nadającymi się do wykorzystania w sytuacjach, gdy w badanym układzie wystepują pewne elementy nieliniowe. Ze względu na fakt, że mogą być różne rodzaje nieliniowości, opracowuje się różne sposoby postępowania w zależności od rodzaju napotkanego problemu. Jedną z ważniejszych metod analizy dynamiki układu nieliniowego II-go rzędu jest metoda płaszczyzny fazowej. ZE - Automatyka Slajd 67/22

Metoda płaszczyzny fazowej Szczególnym przypadkiem przestrzeni stanu jest przestrzeń fazowa. Mamy z nią do czynienia wtedy, gdy wyboru zmiennych stanu dokonano tak, że jeśli jako pierwszą zmienną stanu w rozważanym układzie dynamicznym wybrano jakaś wyróżnioną wielkość fizyczną zmienną w czasie, to jako pozostałe zmienne stanu oznaczono kolejne pochodne tej wielkości względem czasu. Wygodnie jest umieszczać początek układu współrzędnych w punkcie odpowiadającym stanowi ustalonemu stąd często jako pierwszą zmienną stanu wybiera się przejściowy uchyb regulacji. Wtedy kolejnymi zmiennymi stanu w przestrzeni fazowej są kolejne pochodne uchybu regulacji. Graficzne metody wyznaczenia trajektorii fazowych (np. metoda izoklin) pozwalają na prostą analizę właściwości układów o dynamice opisanej równaniem różniczkowym II rzędu. Układ dynamiczny w przestrzeni fazowej opisany jest zawsze równaniami o postaci (dla n=2 otrzymujemy płaszczyznę fazową) x t x2 t x2 t x3 t xnt f x t,x2t,...,xnt,t x t x x 2 x x n ZE - Automatyka Slajd 68/22

Linia łącząca punkty opisujące stan układu w przestrzeni fazowej w kolejnych chwilach, mająca początek w punkcie x nazywa się trajektorią fazową. Zbiór trajektorii dla różnych stanów początkowych tworzy portret fazowy układu. Punktem osobliwym w przestrzeni stanu nazywamy taki punkt w którym pochodne względem czasu wszystkich zmiennych stanu są zerowe. Jest to innymi słowy punkt równowagi trwałej lub chwiejnej. Przez dowolny punkt przestrzeni stanu (poza punktami osobliwymi) przechodzi tylko jedna trajektoria. Trajektoria fazowa posiada ponadto następujące właściwości: - każda trajektoria fazowa jest prawoskrętna (jeśli x 2 (pochodna sygnału) jest dodatnia, to x (sygnał) rośnie, a jeśli jeśli x 2 (pochodna sygnału) jest ujemna, to x (sygnał) maleje), - każda trajektoria fazowa przecina oś pod kątem prostym (jeśli x 2 (pochodna sygnału) jest równa zeru, to x (sygnał) osiąga ekstremum minimum bądź maksimum). Ox x(t ) ZE - Automatyka Slajd 69/22

Dla układu drugiego rzędu istnieje skończona liczba portretów fazowych w otoczeniu punktu osobliwego jakim dla układu swobodnego jest początek układu współrzędnych. Klasyfikacja punktów osobliwych zależy od rodzaju pierwiastków równania charakterystycznego (dla układu II-go rzędu równanie charakterystyczne jest II-go stopnia i w dziedzinie zespolonej ma zawsze dwa pierwiastki): 2 pierwiastki rzeczywiste o różnych znakach: siodło (układ niestabilny) 2 pierwiastki rzeczywiste ujemne: węzeł stabilny, 2 pierwiastki rzeczywiste dodatnie: węzeł niestabilny, pierwiastek rzeczywisty ujemny podwójny: węzeł zdegenerowany (gwiazda) stabilny, pierwiastek rzeczywisty dodatni podwójny: węzeł zdegenerowany (gwiazda) niestabilny, 2 pierwiastki urojone: środek, 2 pierwiastki zespolone o częściach rzeczywistych ujemnych: ognisko stabilne, 2 pierwiastki zespolone o częściach rzeczywistych dodatnich: ognisko niestabilne. ZE - Automatyka Slajd 7/22

Przykład portretu fazowego dla wahadła matematycznego: ZE - Automatyka Slajd 7/22

Przykład Wyznaczyć portret fazowy serwomechanizmu przekaźnikowego Schemat blokowy serwomechanizmu: ZE - Automatyka Slajd 72/22

Z transmitancji silnika wynika, że jego dynamika opisana jest równaniem operatorowym 2 Ts s s s ku s czyli d 2 t d t T kut dt dt Napięcie sterujące silnikiem może przyjmować jedynie trzy wartości U m gdy d e t gdy d e t d U gdy e t d m Stan przekaźnika trójpołożeniowego zależy od wartości uchybu regulacji określonego równaniem węzła sumacyjnego więc pochodna uchybu regulacji dla const. wyraża się więc wzorem e(t) zd t de dt t zd d dt ZE - Automatyka Slajd 73/22 t

Wprowadzamy oznaczenia: a więc pochodna drugiej zmiennej stanu jest więc równa: 2 x t x t Z przyjętych oznaczeń i z równania silnika wynika, że opis dynamiki obiektu regulacji w dwuwymiarowej przestrzeni stanu (czyli na płaszczyźnie fazowej) przyjmuje postać x t x2 t k x2 t x2 t u t T T gdzie e t Poszukiwany portret fazowy będzie charakteryzował zachowanie się układu dla różnych warunków początkowych silnika x de t d t dt dt d dt ; x zd 2 x t 2 d dt 2 2 t U m gdy d x t ut gdy d x t d Um gdy x t d t t ZE - Automatyka Slajd 74/22

Portret fazowy powyższego układu nieliniowego znajdujemy po wyznaczeniu portretów fazowych dla trzech różnych sygnałów sterujących i składamy potem na wspólnym wykresie wybierając fragmenty odpowiadające poszczególnym strefom działania przekaźnika wyznaczanym przez progowe wartości uchybu odpowiadające za przełączanie sterowania Ponieważ u t u x t U m,, Um dx t dx dx t 2 to po oznaczeniu: dt 2 dx2 C tg dx dt dx otrzymuje się zależność t x 2 Cx Po podstawieniu do powyższego równania prawych stron równań stanu obiektu regulacji otrzymuje się równanie linii składających się z punktów, w których styczne do trajektorii przechodzącej przez ten punkt mają to samo nachylenie (takie linie nazywa się izoklinami). W dalszych rozważaniach można pominąć zależności funkcji od czasu. k x2 ux Cx2 lub inaczej x2 CT kux T T t ZE - Automatyka Slajd 75/22

) Sterowanie: u(t ) U m równanie izoklin: x 2( CT ) kum Portret fazowy dla tego przypadku ma więc postać: Izokliny są tu prostymi poziomymi (równoległymi do osi x ) i przecinającymi oś x 2 w punkcie kum x z zastrzeżeniem, że, 2 CT, czyli C CT T czyli wśród tych izoklin nie ma więc takiej, która odpowiadała by nachyleniu trajektorii pod kątem (- g), gdzie arctg( ) T g ZE - Automatyka Slajd 76/22

2) Sterowanie: u(t ) U m równanie izoklin: x 2( CT ) kum Portret fazowy dla tego przypadku ma więc postać: Izokliny są tu także prostymi równoległymi do osi x i otrzymujemy je obracając portret fazowy z przypadku ) o 8 wokół początku układu współrzędnych: ZE - Automatyka Slajd 77/22

3) Sterowanie: u(t) równanie izoklin: (CT) Portret fazowy dla tego przypadku ma więc postać: x 2 Izoklinami są proste poziome odpowiadające zawsze temu samemu nachyleniu stycznych do trajektorii (-. Oś x o równaniu jest miejscem g) x2 geometrycznym stanów ustalonych. Trajektorie fazowe mają także postać prostych o nachyleniu (- ). g ZE - Automatyka Slajd 78/22

Wypadkowy portret fazowy serwomechanizmu przekaźnikowego otrzymuje się nakładając na siebie rozwiązania z przypadków ), 2) i 3) ZE - Automatyka Slajd 79/22