Co to są równania ruchu? Jak je całkować?

Co to są równania ruchu? Jak je całkować? Maria Przybylska CA UMK 10.03.2010 M. Przybylska (CA UMK) Ruch i całki 10.03.2010 1 / 29

Ruch ciała i jego opis Problemy co to jest ruch: zmiana położenia ciała względem pewnego układu odniesienia jak przewidywać zmiany położenia ciała w czasie, równania ruch jako infinitezymalny przepis na zmianę położenia w nieskończenie krótkim przedziale czasu, jak przewidywać położenie ciała w skończonym przedziale czasu całkowanie równań ruch co robić gdy równań nie można scałkować analiza jakościowa równań ruchu. M. Przybylska (CA UMK) Ruch i całki 10.03.2010 2 / 29

Wielkości opisujące ruch położenie punkt w R 3 scharakteryzowany wektorem wodzącym r = (x, y, z) tor krzywa zadana w sposób parametryczny prędkość x = x(t), y = y(t), z = z(t) r(t + t) r(t) v(t) = lim = dr t 0 t dt przyspieszenie v(t + t) v(t) a(t) = lim = dv t 0 t dt = d2 r dt 2 M. Przybylska (CA UMK) Ruch i całki 10.03.2010 3 / 29

Sir Isaac Newton zainteresowania: filozofia naturalna (fizyka), matematyka, astronomia, filozofia, alchemia, teologia chrześcijańska matematyka: rachunek różniczkowy i całkowy (walka o pierwszeństwo z Leibnizem), uogólnienie wzoru binomialnego na potęgi rzeczywiste, metoda Newtona znajdowania przybliżonych zer funkcji, badanie własności szeregów, fizyka: 3 prawa ruch, prawo powszechnej grawitacji, zgodność praw Keplera z prawem powszechnego ciążenia, konstrukcja teleskopu refrakcyjnego, teoria światła i kolorów, pomiar prędkości dźwięku. M. Przybylska (CA UMK) Ruch i całki 10.03.2010 4 / 29

Prawa ruchu zasady dynamiki Newtona 1 Jeśli na ciało nie działa żadna siła lub siły działające równoważą się, to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym. Każde ciało trwa w swym stanie spoczynku lub ruchu prostoliniowego jednostajnego, jeżeli siły przyłożone nie zmuszą ciała do zmiany tego stanu 2 Jeśli na ciało działa siła F, to ciało porusza się z przyspieszeniem a wprost proporcjonalnym do działającej siły F, a odwrotnie proporcjonalnym do masy ciała m. Zmiana ruchu jest proporcjonalna do przyłożonej siły poruszającej i odbywa się w kierunku prostej, wzdłuż której siła jest przyłożona. ma = F M. Przybylska (CA UMK) Ruch i całki 10.03.2010 5 / 29

Jak rozwiązywać równania ruchu? Problem znamy F czyli a + warunki początkowe r 0 = r(0), v 0 = v(0) = jak wyznaczyć r = r(t)? gdy nie działa siła F = 0 gdy działa siła F = 0 ma = F ṙ = v, m v = F, ma = 0 v(t) = v 0 = const, v(t) = dr dt = v 0, r(t) = v 0 t + r 0. r 0 = r(t 0 ), v 0 = v(t 0 ). M. Przybylska (CA UMK) Ruch i całki 10.03.2010 6 / 29

Inne równania ruchu układ Lorenza Układy dynamiczne ẋ i = v i (x 1,..., x n ), i = 1,..., n x i wielkości charakteryzujące układ, np. współrzędne x i i składowe prędkości v i = ẋ i. ẋ = σ(y x), ẏ = x(r z) y, ż = xy bz, opisuje zjawisko konwekcji termicznej w atmosferze. Zmienne: x natężenie konwekcji, y różnica temperatur pomiędzy prądami wstępujacymi i zstępujacymi, odchylenie rozkładu temperatury w pionie od równowagowego. σ liczba Prandtla, r liczba Rayleigha. M. Przybylska (CA UMK) Ruch i całki 10.03.2010 7 / 29

Pytania, pytania... 1 co oznacza znaleźć rozwiązania lub scałkować równania ruchu? 2 rozwiązania w jakiej klasie funkcji? 3 czy można w ścisły sposób odróżnić układy rozwiązalne od nierozwiązalnych? 4 jak dowodzić nierozwiązalności? 5 jak odróżnić układy rozwiązalne od nierozwiązalnych bez znajdowania jawnej postaci rozwiązań? 6 czy istnieją wielkości, których obecność pociąga za sobą rozwiązalność równań ruchu? Ich obecność wyznacza trajektorię w niejawny sposób. 7 jak szukać takich wielkości, 8 jak dowieść, że takich wielkości nie ma? M. Przybylska (CA UMK) Ruch i całki 10.03.2010 8 / 29

Całkowalność w kwadraturach Newton, Poincaré Zapisane rozwiązania ogólnego przy pomocy skończonej liczby następujących po sobie operacji działań algebraicznych (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, rozwiązywanie równań algebraicznych (wyciąganie pierwiastków) kwadratur czyli wyznaczanie funkcji pierwotnych (całek nieoznaczonych) odwracanie funkcji na zbiorze funkcji elementarnych. M. Przybylska (CA UMK) Ruch i całki 10.03.2010 9 / 29

Wahadło matematyczne mała amplituda II zasada dynamiki Newtona ml 2 d2 θ = mgl sin θ dt2 dla małych odchyleń od położenia równowagi sin θ θ d 2 θ dt 2 + ω2 θ = 0, ω = g l = const równanie liniowe o stałych współczynnikach rozwiązanie w funkcjach elementarnych θ = A sin(ωt + γ), A, γ const M. Przybylska (CA UMK) Ruch i całki 10.03.2010 10 / 29

Wahadło matematyczne dowolna amplituda d 2 ϕ dt 2 + ω2 sin ϕ = 0. O użyteczności całki energii do jakościowego zrozumienia dynamiki. Oznaczenie: Π = ω 2 cos ϕ h = 1 2 ϕ2 ω 2 cos ϕ = 1 2 ϕ2 0 ω 2 cos ϕ 0 do scałkowania równań ruchu dϕ 2(h + ω 2 cos ϕ) = dt, dϕ 2(h + ω 2 cos ϕ) = t M. Przybylska (CA UMK) Ruch i całki 10.03.2010 11 / 29

Wahadło matematyczne dowolna amplituda d 2 θ dt 2 + ω2 sin θ = 0. Rozwiązania są znane i wyrażają się złożonymi funkcjami specjalnym przypadek oscylacyjny gdy kąt zmienia się w pewnych granicach θ [ θ max, θ max ] θ = 2 arc sin[h sn ω(t t 0 )] sn( ) funkcja eliptyczna Jacobiego (sinus amplitudy) przypadek ruchu pełzajacego, ruch po separatrysie θ = 4 arc tg exp[ω(t t 0 )] π gdy θ π, to t, przypadek rotacyjny, k = θ 0 /(2ω) [ ] θ 0 θ = 2 am 2 (t t 0), θ 0 (t t 0 ) = 2 θ/2 0 du 1 1 sin 2 (u) k 2 M. Przybylska (CA UMK) Ruch i całki 10.03.2010 12 / 29

Całkowalność a prawa zachowania układ dynamiczny ẋ i = v i (x 1,..., x n ), i = 1,..., n Co to są całki pierwsze i ich własności Całki pierwsze to funkcje zależne od zmiennych opisujacych układ: I = I (x 1,..., x n ), które pozostają stałe w trakcie dynamiki układu. I (x 1,..., x n ) = I (x 1 (t 0 ),..., x n (t 0 )) Przykłady: energia, pęd, moment pędu,... Kryterium infinitezymalne: di (x 1,..., x n ) := dt n i=1 I x i v i = 0, Istnienie n 1 (funkcjonalnie) niezależnych całek pierwszych implikuje całkowalność w kwadraturach Wniosek: Układ posiadający n 1 (funkcjonalnie) niezależnych całek pierwszych jest całkowalny. M. Przybylska (CA UMK) Ruch i całki 10.03.2010 13 / 29

Równania Eulera Π + Ω Π = 0, Π = I Ω I = diag(i 1, I 2, I 3 ) tensor bezwładności I 1 = Π 2 1 + Π 2 2 + Π 2 3 = Π, Π, H = 1 ( ) Π 2 1 + Π2 2 + Π2 3 = 1 2 I 1 I 2 I 3 2 Π, I 1 Π M. Przybylska (CA UMK) Ruch i całki 10.03.2010 14 / 29

Zagadnienie dwóch ciał redukcja dwa punkty materialne 1 i 2 o masach m 1 (np. Słońce) i m 2 (np. Ziemia) o promieniach wodzących x 1, x 2 oddziałujace grawitacyjnie F 1,2 = F 2,1 = Gm 1m 2 r r 2 r gdzie r = x 2 x 1 i r = r. Układ posiada środek masy (wektor wodzacy R) i jeśli nie działają na niego żadne siły zewnętrzne to na mocy I prawa dynamiki porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym lub pozostaje w spoczynku: R(t) = R 0 + Ṙ 0 (t t 0 ), R = m 1x 1 + m 2 x 2, m 1 + m 2 gdzie R 0 = R(t 0 ) i Ṙ 0 = Ṙ(t 0 ). Równania ruchu m 1 ẍ 1 = Gm 1m 2 r 2 µ r = Gm 1m 2 r 2 r r, m 2ẍ 2 = Gm 1m 2 r 2 r r, µ = m 1m 2 m 1 + m 2 M. Przybylska (CA UMK) Ruch i całki 10.03.2010 15 / 29 r r

Zagadnienie dwóch ciał redukcja Jeśli rozwiążemy problem zredukowany, to mamy rozwiązanie wyjściowego układu bo x 1 (t) = R(t) µ m 1 r(t), x 2 (t) = R(t) + µ m 1 r(t). Korzystamy z zasady zachowania momentu pędu c = r µv, v = ṙ, r c = 0 czyli ruch względny jest płaski. Przechodzimy do współrzędnych biegunowych o początku w punkcie o masie m 1 i położenie masy m 2 jest wyznaczone przez r i θ. W tych współrzędnych dwie całki ruch mają postać c = µr 2 ϕ, h = 1 2 µṙ2 Gm 1m 2 r M. Przybylska (CA UMK) Ruch i całki 10.03.2010 16 / 29

Wektor Laplaca-Rungego-Lenza µ ( e + r r ) = v c Wektor e jest stały wyłącznie dla sił postaci F = α 1 r r 2 r. Ponieważ r c = 0 więc e c = 0. Jesli c = 0, to e c i leży w płaszczyźnie orbity. Jeśli c = 0 to e = r/r µ(r e + r) = r v c = c (r v) = c c = c 2. Jeśli e = 0, to r = c 2 /µ = const i ruch po okręgu. Załóżmy, że e = 0, oznaczmy stały kąt ω = (x, e), punkt m 2 ma współrzędne (r, θ). Wprowadzamy kąt ν = θ ω i wtedy e r = er cos ν. Powyższe równanie można przepisać jako r = c2 /µ 1 + e cos ν. M. Przybylska (CA UMK) Ruch i całki 10.03.2010 17 / 29

Zagadnienie dwóch ciał Rodzaje orbit r = p 1 + e cos ν, p = c2 µ. 0 < e < 1 elipsa e = 1 parabola e > 1 hiperbola Siedem wielkości skalarnych zachowywanych w trakcie ewolucji: składowe c i e oraz energia h ale tylko pięć spośród nich jest funkcjonalnie niezależnych. M. Przybylska (CA UMK) Ruch i całki 10.03.2010 18 / 29

Zagadnienie N ciał n mas punktowych m i posiadających wektory wodzące x i R 3 oddziałujących grawitacyjnie m i ẍ i = N Gm i m j (x j x i ) x j=1,j =i i x j 3 = U, U = x i 1i<jN Potrzebnych 6N 1 całek pierwszych a znanych jest tylko 7: 1 3 składowe całkowitego pędu L = n i=1 m i v i, Gm i m j x i x j 2 3 składowe całkowitego momentu pędu L = N i=1 x i m i v i, 3 energia całkowita h = m i v 2 i /2 + U, 4 odseparowanie ruchu środka masy redukujące wymiar problemu. Już zagadnienie 3 ciał jest niecałkowalne! M. Przybylska (CA UMK) Ruch i całki 10.03.2010 19 / 29

Piłeczka odpustowa na gumce ( ) r ẍ = ω 2 l0 x, r ) ÿ = ω 2 ( r l0 r z = ω 2 ( r l0 r y, ) z g, r = x 2 + y 2 + z 2, ω 2 = k/m. k stała sprężystości m masa ciężarka l 0 długość wahadła w położeniu równowagi gdy k(l l 0 ) = mg. http://mathsci.ucd.ie/ plynch/swingingspring/ M. Przybylska (CA UMK) Ruch i całki 10.03.2010 20 / 29

Jak zobaczyć niecałkowalność cięcie Poincaré M. Przybylska (CA UMK) Ruch i całki 10.03.2010 21 / 29

Cięcie Poincaré dla piłeczki odpustowej h = 1 2m (p2 1 + p2 2 + p3) 2 + mgz + 1 2 k(r l 0) 2, p i = mx i L z = xp 2 yp 1 ( ) h = 1 pr 2 + p2 θ 2m r 2 + p2 ϕ r 2 sin 2 mgr cos θ + 1 θ 2 k(r l 0) 2, L z = p ϕ M. Przybylska (CA UMK) Ruch i całki 10.03.2010 22 / 29

Jak ściśle dowodzić niecałkowalności? równania wariacyjne Główna idea Informacja o zachowaniu rozwiązań układu nieliniowego wokół pewnego rozwiązania szczególnego są zawarte w równaniach wariacyjnych. W układzie ẋ = v(x), x = (x 1,... x n ) T, ze znanym rozwiązaniem szczególnym ϕ(t) dokonujemy podstawienia x = ϕ(t) + ξ Równania wariacyjne d dt ξ = A(t)ξ, v A(t) = x (ϕ(t)). M. Przybylska (CA UMK) Ruch i całki 10.03.2010 23 / 29

Algebraiczna teoria Galois Problem jak wyrazić pierwiastki wielomianu a 0 x n + a 1 x n 1 + + a n 1 x + a n = 0, a 0 = 0, a i R, przy pomocy a i używając tylko operacji algebraicznych: dodawania, odejmowania, mnożenia, dzielenia i rozwiązywania równań algebraicznych czyli czy równanie jest rozwiązalne przez pierwiastniki n = 1, x = a 1 a 0, n = 2, x 2 + px + q = x 1,2 = p 2 ± p 2 n = 3 Cardano n = 4 Ferrari. ( x + p ) 2 p 2 = 2 4 q, p = b a, q = c a 4 q = b ± b2 4ac, 2a M. Przybylska (CA UMK) Ruch i całki 10.03.2010 24 / 29

Całkowalność a różniczkowa teoria Galois istnieje odpowiednik algebraicznej toerii Galois dla równań różniczkowych liniowych (o niestałych współczynnikach) tzw. różniczkowa teoria Galois, przy pomocy tej teorii sprawdza się rozwiązalność równań liniowych. Można znaleźć nowe układy rozwiązalne, można wyrazić warunki konieczne całkowalności nieliniowego układu dynamicznego przy pomocy różniczkowej grupy Galois równań wariacyjnych, uzyskane warunki są możliwe do sprawdzenia, udowodniono niecałkowalność wielu układów a także znaleziono kilka nowych nieznanych układów całkowalnych. M. Przybylska (CA UMK) Ruch i całki 10.03.2010 25 / 29

Potencjały Henona-Heilesa V = Dx 2 y C 3 y 3 przypadki całkowalne D = 0 D/C = 1/6 D/C = 1/16 D = C = 1 y = 0 płaszczyzna (x, ẋ) http://www.maia.ub.es/dsg/hidra/henon.html M. Przybylska (CA UMK) Ruch i całki 10.03.2010 26 / 29

O pewnym jednorodnym potencjale V 10 = 4 2q 3 1 3 + 5q 1q 2 2 2 2 + q2 2q 3 + 1 3 q3 3 M. Przybylska (CA UMK) Ruch i całki 10.03.2010 27 / 29

I 1 = 12p2 4 27q2 6 18q2(q 4 1 2 4 2q 1 q 3 + 2q3) 2 + 4(6p1 2 3p3 2 + 16 2q1 3 2q3)(3p 3 3 2 + 2q3) 3 + 12q2(3p 2 3( 2 2q 1 4q 3 ) + 12p 1 p 3 (q 1 + 2q 3 ) 2q3(12q 2 1 2 + 2q 1 q 3 + 2q3)) 2 12p 2 q 2 (2p 3 (16q1 2 + 3q2 2 + 8 2q 1 q 3 4q3) 2 + 3 2p 1 (q2 2 + 4q3)) 2 12p2(2p 2 3 (2 2p 1 + p 3 ) 4(q 2 q 3 )q 3 (q 2 + q 3 ) 2q 1 (5q2 2 + 8q3)), 2 I 2 = 81q2(2 8 2q 1 + q 3 ) + 216p 2 p 3 q2( 5 2q 1 + 2q 3 ) + 54q2(p 6 2 2 3p3 2 + 4 2q1 3 24q1q 2 3 6 2q 1 q3) 2 + 384p 2 p 3 q1q 2 2 (3p2 2 + 8 2q1 3 + 8q1q 2 3 2 2q 1 q3) 2 72p1(3p 4 3 2 + 2q3) 3 + 144p 2 p 3 q2(p 3 2 2 + 8q1(2 2 2q 1 + 3q 3 )) + 144p1( 3 2p 2p 2 3 + 3 2p 2 q 2 q3 2 3p 3 q2(q 2 1 + 2q 3 )) 32(p2 6 + 12p2q 4 1q 2 3 + 12p2q 2 1( 3 2p3 2 + 4q 1 q3) 2 + 32q1(3p 6 3 2 + 2q3)) 3 M. Przybylska (CA UMK) Ruch i całki 10.03.2010 28 / 29

12p1(4p 2 2 4 6p 2 p 3 q 2 (16q1 2 + 9q2 2 + 8 2q 1 q 3 4q3) 2 + 9q2(2q 4 1 2 + 4 2q 1 q 3 + q3) 2 + 32 2q1(3p 3 3 2 + 2q3) 3 + 12p2(p 2 3 2 + 4q2q 2 3 2q 1 (q2 2 2q3)) 2 + 6q2(9 2 2p3q 2 1 + 2q3( 6q 2 1 2 + 2 2q 1 q 3 + q3))) 2 144q2(p 4 2(7q 2 1 2 + 5 2q 1 q 3 + 2q3) 2 + 3q1(3p 2 3 2 2q 3 ( 2q1 2 + 2 2q 1 q 3 + q3))) 2 48q2(p 2 2(5 4 2q 1 + 4q 3 ) + 4p2q 2 1(8q 2 1 2 + 2 2q 1 q 3 + 3q3) 2 + 8q1(9p 3 3q 2 1 + q3( 6 2 2q1 2 + 4q 1 q 3 + 2q3))) 2 + 6p 1 (16 2p 2p 4 3 + 16p2p 2 3 (8q1 3 6q 1 q2 2 + 3 2q 2q 2 3 ) + 4p2q 3 2 ( 16 2q1 2 + 32q 1 q 3 + 2(3q2 2 + 4q3)) 2 + 3p 3 q2(9 2 2q2 4 64q1( 3 2q 1 + 2q 3 ) 12q2(2 2 2q1 2 + 8q 1 q 3 + 2q3)) 2 + 12p 2 q 2 ( 3 2p3q 2 2 2 + 9q 1 q2 4 + 32q1q 3 3 2 + 4q2(4q 2 1 3 + 6q 1 q3 2 + 2q3))). 3 M. Przybylska (CA UMK) Ruch i całki 10.03.2010 29 / 29