Zakład Mechaniki Budowli Prowadzący: dr hab. inż. Przemysław Litewka Ćwiczenie projektowe 3 Obliczanie sił wewnętrznych w powłokach zbiorników osiowo symetrycznych Daniel Sworek gr. KB2 Rok akademicki 10/11 Semestr 2, II
SPIS TREŚCI: 1. Dane do ćwiczenia... - 3-2. Cel ćwiczenia... - 4-3. Obliczenie sił wewnętrznych w stanie błonowym... - 4-3.1. Powłoka stożkowa... - 4-3.2. Powłoka walcowa... - 6-4. Obliczenie współczynników podatności oraz wartości sił nadliczbowych... - 7-4.1. Powłoka stożkowa powłoka walcowa... - 7-4.2. Powłoka walcowa ława pierścieniowa... - 9-5. Obliczenie całkowitych sił wewnętrznych stan zgięciowy... - 10-5.1. Powłoka stożkowa... - 10-5.2. Powłoka walcowa... - 13-6. Porównanie wykresów sił wewnętrznych w stanie błonowym i zgięciowym... - 16 - Grupa: KB2 Daniel Sworek strona - 2 -
1. Dane do ćwiczenia Wysokość powłoki stożkowej [m] f= Wysokość ściany walcowej [m] h= 5,50 Promień ściany walcowej [m] r= 8,00 Grubość powłoki stożkowej [m] t 1= 0,105 Grubość ściany walcowej [m] t 2= Szerokość ławy pierścieniowej [m] b= Wysokość ławy pierścieniowej [m] h b= 0,80 Ciężar właściwy cieczy [kn/m 3 ] γ c= 11,0 Ciężar właściwy betonu [kn/m 3 ] γ= 25,0 Moduł Young'a [GPa] E= 35 Współczynnik Poissona [-] ν= 0,17 Sztywność podłoża [kn/m 3 ] C= 200000 Obciążenie śniegiem [kn/m 2 ] p= 0,80 Obciążenie ciężarem własnym [kn/m 2 ] g=γ t 1= 2,63 Obciążenie parciem cieczy [kn/m 2 ] p c=γ c h= 60,5 Schemat układu wraz z danymi Grupa: KB2 Daniel Sworek strona - 3 -
2. Cel ćwiczenia Dla układu przedstawionego powyżej: 1) Obliczyć siły wewnętrzne w stanie błonowym: - siły normalne południkowe i równoleżnikowe w powłoce stożkowej od obciążenia śniegiem p i ciężarem własnym g (ciężar właściwy γ), - siły normalne obwodowe w powłoce walcowej od obciążenia hydrostatycznego przy maksymalnym napełnieniu cieczą o ciężarze właściwym γ c ; 2) Obliczyć współczynniki podatności oraz siły nadliczbowe w połączeniach: - powłoka stożkowa powłoka walcowa, - powłoka walcowa ława fundamentowa na podłożu podatnym o sztywności C; 3) Obliczyć całkowite siły wewnętrzne (w stanie błonowym i zgięciowym): - siły normalne południkowe i równoleżnikowe oraz momenty zginające południkowe w powłoce stożkowej, - siły normalne obwodowe oraz momenty zginające południkowe w powłoce walcowej; 4) Sporządzić porównawcze wykresy sił wewnętrznych obliczonych w punktach 1) i 3). 3. Obliczenie sił wewnętrznych w stanie błonowym 3.1. Powłoka stożkowa Długość tworzącej powłoki stożkowej: Sztywność powłoki stożkowej: Współczynnik zanikania: = = + =8,0 + =8,46 000000 0,105 12 1 =35 12 1 0,17 =3476,89 = 8,46 0,105 3 1 tan = 3 1 0,17 tan =1,23 18,97 Siła normalna południkowa: = 2 sin 2,63 2 sin cos= 2 sin 18,97 0,80 2 sin 18,97 cos18,97= 16,024 Siła normalna równoleżnikowa: = cot cot cos= 2,63 cot 18,97 0,80 cot 18,97 cos18,97= 28,661 Grupa: KB2 Daniel Sworek strona - 4 -
SIŁY W STANIE BŁONOWYM od obciążenia ciężarem własnym oraz śniegiem x [m] n φ0 [kn/m] n ϑ0 [kn/m] -4,05-7,15-8,10-14,31-12,15-21,46-16,21-28,62-20,26-35,77-24,31-42,93-28,36-58 -32,41-57,24-36,46-64,39-40,51-71,55-44,57-78,70 Z uwagi na symetrię powłoki stożkowej, wykresy wykonano dla jej połowy. Siła południkowa w stanie błonowym[kn/m] -45,0-44,07-4 -46-35,0-36,05-32,05-3 -28,04-25,0-24,04-2 -23-15,0-16,02-12,02-1 -8,01-5,0-4,01-8 -78,82 Siła równoleżnikowa w stanie błonowym[kn/m] -7-6 -5-4 -3-2 -1-71,65-64,49-57,32-50,16-42,99-35,83-28,66-2 -14,33-7,17 Grupa: KB2 Daniel Sworek strona - 5 -
3.2. Powłoka walcowa Sztywność powłoki walcowej: Współczynnik zanikania: Siła normalna obwodowa: = 000000 12 1 =35 12 1 0,17 =46929,17 = 1 3 1 = 1 8,0 3 1 0,17 =0,92 = =11,0 8,0 =88,0 SIŁA W STANIE BŁONOWYM od parcia hydrostatycznego x' [m] n φ0 [kn/m] 44,00 88,00 13 176,00 22 3,00 264,00 3,50 308,00 4,00 35 4,50 396,00 5,00 44 5,50 484,00 Z uwagi na symetrię powłoki walcowej, wykresy wykonano dla jej połowy. Rzędna wysokości powłoki walcowej 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00 5,50 Siła obwodowa w stanie błonowym[kn/m] 5 44,00 88,00 10 13 15 176,00 20 22 25 264,00 30 308,00 35 35 40 396,00 45 44 484,00 50 Grupa: KB2 Daniel Sworek strona - 6 -
4. Obliczenie współczynników podatności oraz wartości sił nadliczbowych 4.1. Powłoka stożkowa powłoka walcowa Schemat podstawowy: Rozpór stożka: = cos= 44,07 cos18,97=41,68 / Równania kanoniczne: =0 =0 + + =0 + + =0 Gdzie współczynniki podatności składają się z następujących części: + + + + + =0 + + + + + =0 Grupa: KB2 Daniel Sworek strona - 7 -
Wyznaczenie współczynników podatności: a) Dla dolnej krawędzi powłoki stożkowej: = 2 cos 2 8,46 = 1,23 35000000 0,105 cos 18,97=2,8307 10 = = sin= 1,23 2 2 3476,89 sin18,97=7,0773 10 = = 1,23 3476,89 =3,5389 10 = cot + 2 cos = = cot18,97 35000000 0,105 78,82 0,17 44,07 2 41,68 8,46 + 1,23 35000000 0,105 cos 18,97 =1,0244 10 = cot +1+ + sin= 2 cot 18,97 = 35000000 0,105 28,661 0,17 16,024+1+0,17 78,82+44,07 + + 41,68 1,23 2 3476,89 sin18,97=2,8607 10 b) Dla górnej krawędzi powłoki walcowej: 1 = 2 = 1 2 46929,17 0,92 =1,3514 10 = = 1 2 = 1 = 1,2484 10 2 46929,17 0,92 = 1 = 1 46929,17 0,92 =2,3066 10 = = = 8,0 11,0 35000000 = 8,0457 10 Podstawiając wyliczone współczynniki do równań kanonicznych otrzymamy: 1,3514 10 +2,8307 10 + 1,2484 10 +7,0773 10 ++1,0244 10 =0 1,2484 10 +7,0773 10 +2,3066 10 +3,5389 10 + 8,0457 10 +2,8607 10 =0 Po zsumowaniu poszczególnych elementów równania kanoniczne przyjmują postać: 4,1821 10 +5,8289 10 +1,0244 10 =0 5,8289 10 +3,7695 10 +2,7802 10 =0 Rozwiązanie układu równań kanonicznych ma postać (wartości sił brzegowych): = 18,38 / = 4,57 / Grupa: KB2 Daniel Sworek strona - 8 -
Ćwiczenie projektowe 3 Obliczanie sił wewnętrznych w powłokach zbiorników osiowo-symetrycznych 4.2. Powłoka walcowa ława pierścieniowa Schemat podstawowy: Moment bezwładności przekroju ławy względem osi x : = h 12 = 0,80 =64 12 Moment bezwładności podstawy ławy względem osi 0 na jednostkę długości: Równania kanoniczne: = 1,0 12 = 1,0 12 =0,28125 / =0 =0 + + =0 + + =0 Gdzie współczynniki podatności składają się z następujących części: + Ł + + Ł + + Ł =0 + Ł + Ł + + + Ł =0 Wyznaczenie współczynników podatności: a) Dla górnej krawędzi ławy pierścieniowej: Ł = Ł Ł = = Ł = h +4 = h +4 = +4 = 8,0 0,80 200 000 0,28125 8,0 +4 35 000 000 64 =3,2611 10 8,0 0,80 200 000 0,28125 8,0 +4 35 000 000 64 =4,0764 10 8,0 200 000 0,28125 8,0 +4 35 000 000 64 =5,0955 10 Ł Ł = = Grupa: KB2 Daniel Sworek strona - 9 -
b) Dla dolnej krawędzi powłoki walcowej: 1 = 2 = 1 2 46929,17 0,92 =1,3514 10 = = 1 2 = 1 = 1,2484 10 2 46929,17 0,92 = 1 = 1 46929,17 0,92 =2,3066 10 = h = 8,0 5,50 11,0 35000000 = 4,4251 10 = 8,0 11,0 = 35000000 =8,0457 10 Podstawiając wyliczone współczynniki do równań kanonicznych otrzymamy: 1,3514 10 +3,2611 10 + 1,2484 10 +4,0764 10 + 4,4251 10 +=0 1,2484 10 +4,0764 10 +2,3066 10 +5,0955 10 +8,0457 10 +=0 Po zsumowaniu poszczególnych elementów równania kanoniczne przyjmują postać: 1,6775 10 + 8,4079 10 4,4251 10 =0 8,4079 10 +2,8162 10 +8,0457 10 =0 Rozwiązanie układu równań kanonicznych ma postać (wartości sił brzegowych): =29,34 / =5,90 / 5. Obliczenie całkowitych sił wewnętrznych stan zgięciowy 5.1. Powłoka stożkowa Siła normalna południkowa: = + + = 2 cos cos+ 4 = 2 Siła normalna równoleżnikowa: = + + = 2 Moment zginający południkowy: = + Gdzie: cot sin cos = 2 2 sin cos+ 4 = sin sin = 2 sin+ 4 = += 16,44+41,68=25,23 / = /sin= /sin18,97=8,46 3,076 =/=8,46 3,076/=6,88 2,5 = cos=8,0 8,46 3,076 cos18,97=3,076 cos18,97=2,91 Grupa: KB2 Daniel Sworek strona - 10 -
SIŁY W STANIE ZGIĘCIOWYM: n φ, n ϑ, M φ x [m] S [m] r 0 [m] η=s/λ [-] Siła południkowa [kn/m] Siła równoleżnikowa [kn/m] Mom. południkowy [knm/m] n φ0 n φp' n φm1 n φ n ϑ0 n ϑp' n ϑm1 n ϑ M φp' M φm1 M φ 8,46 6,88 6 13 2 0 0 1-1 7,69 0,73 6,25-4,05 45-1 -4,01-7,15 54-27 -7,13-1 -1 6,92 1,45 5,63-8,10 0,114-48 -8,04-14,31 0,160-0,138-14,29-2 -3 6,15 2,18 5,00-12,15 0,188-0,141-12,11-21,46 0,161-0,343-21,65-7 2-4 5,38 2,91 4,38-16,21 0,173-0,260-16,29-28,62-0,467-0,422-29,51-0,12 8-4 4,62 3,64 3,75-20,26-0,131-0,294-20,68-35,77-2,707 0,398-38,08-0,14 0,16 2 3,85 4,36 3,13-24,31-2 15-25,30-42,93-7,399 3,656-46,67 1 0,21 0,22 3,08 5,09-28,36-2,580 1,072-29,87-58 -12,928 10,979-52,03 0,49 8 0,58 2,31 5,82 1,88-32,41-4,319 3,196-33,53-57,24-10,340 28-46,57 1,47-0,48 0,99 1,54 6,54-36,46-4,083 5,942-34,60-64,39 22,767 22,345-19,28 2,74-0,99 0,77 7,27 0,63-40,51 2,702 6,850-30,96-71,55 121,769-16,425 33,80 3,16-3,61-0,45 8,00-44,57 22,438 18-22,11-78,70 308,754-15715 79,98 1-4,83-4,82 Wykresy sił wewnętrznych od sił nadliczbowych P 1 oraz M 1 : Siła południkowa od sił nadliczbowych P1, M1 [kn/m] -4,0-2,0 2,0 4,0 2 4 7 5-9 -0,42-0,99-1,51-1,12 1,86 6,0 8,0 1 9,55 12,0 14,0 16,0 18,0 2 22,0 22,46 24,0 Siła równoleżnikowa od sił nadliczbowych P1, M1-4 -2 3 2-0,18-0,89-2,31-3,74-1,95 10,67 2 4 6 8 10 12 45,11 105,34 14 16 158,68 18 Grupa: KB2 Daniel Sworek strona - 11 -
Wykresy sił wewnętrznych w stanie zgięciowym (stan błonowy + stan od sił nadliczbowych P 1 oraz M 1 ): Siła południkowa w stanie zgięciowym [kn/m] -38,0-36,0-34,0-32,0-3 -28,0-26,0-24,0-25,30-33,53-29,87-34,60-30,96-22,0-2 -18,0-16,0-14,0-12,0-1 -8,0-6,0-8,04-12,11-16,29-20,68-22,11-4,0-4,01-2,0 2 2,0 Siła równoleżnikowa w stanie zgięciowym -8-6 -7,13-14,29-21,65-29,51-38,08-46,67-46,57-4 -52,03-2 2-19,28 33,80 4 6 8 79,98 Moment zginający południkowy [knm/m] -5,0-4,5-4,62-4,0-3,5-3,0-2,5-2,0-1,5-1,0-0,5-0,48 0,5 1,0-1 -2-4 -4 2 0,21 0,54 0,93 0,91 1,5 Grupa: KB2 Daniel Sworek strona - 12 -
5.2. Powłoka walcowa Siła normalna obwodowa: = + + + + = 6 1 cos = 6 1 cos = 6 1 cos sin Moment zginający południkowy: = + + + = sin = cos +sin Gdzie: = 6 1 cos sin = sin = cos+sin = 18,38 / = 4,57 / =29,34 / =5,90 / SIŁY W STANIE ZGIĘCIOWYM: n φ, M x x' x=h-x' n φ0 n φp1 n φp2 n φm1 n φm2 n φ M xp1 M xp2 M xm1 M xm2 M x [m] [m] [kn/m] [knm/m] 5,50 271,67-0,97-63,14 0,65 208,20 0 0,184-4,624-21 -4,46 5,00 44,00 153,24 0,40-17,88 0,72 180,47 5,587 0,312-3,907-63 1,93 4,50 88,00 65,01 3,58 4,89 0,41 161,89 6,302 0,422-2,571-0,127 4,03 4,00 13 12,51 9,16 12,62-0,65 165,64 4,892 0,415-1,350-0,202 3,75 3,50 176,00-11,70 17,02 12,29-2,87 190,74 3,016 0,115-2 -3 2,38 3,00 22-18,17 25,30 8,86-6,53 229,46 1,461-0,719-30 -0,211 3,00 264,00-15,85 29,00 5,11-11,31 270,96 0,450-2,332 0,165 39-1,68 3,50 308,00-10,67 18,68-15,69 302,57-72 -4,815 0,198 0,641-4,05 4,00 35-5,74-19,96 0,51-16,10 310,70-0,260-7,808 0,158 1,723-6,19 4,50 396,00-2,24-103,77-0,32-6,24 283,42-0,265-160 0,100 3,282-6,94 5,00 44 - -244,59-0,56 22,83 217,42-0,195-8,917 50 4,986-4,08 5,50 484,00 0,61-433,63-0,51 80,59 131,06-0,115 0 16 5,902 5,80 Grupa: KB2 Daniel Sworek strona - 13 -
Wykresy dla siły normalnej obwodowej: Rzędna wysokości powłoki walcowej 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00 5,50-2 Siła obwodowa od sił nadliczbowych P1 i M1 [kn/m] 2 0,59-9,31-10,74-8,41-5,23-2,56-0,81 0,10 4 25,12 6 8 69,90 10 12 14 135,35 16 18 20 208,53 22 Rzędna wysokości powłoki walcowej -36-34 -353,04 Siła obwodowa od sił nadliczbowych P2 i M2 [kn/m] -32-30 -28-26 -24-22 -221,76-20 -18-16 -14-12 -111-10 -8-6 -36,07-4 -2-0,32 1,12 3,98 8,51 14,15 18,77 17,69 2,99 2 4 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00 5,50 Rzędna wysokości powłoki walcowej 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00 5,50 Siła obwodowa w stanie zgięciowym [kn/m] 2 4 6 8 10 12 131,06 14 16 18 20 208,20 180,47 161,89 165,64 190,74 229,46 217,42 22 24 26 28 30 270,96 302,57 310,70 283,42 32 Grupa: KB2 Daniel Sworek strona - 14 -
Wykresy dla momentu zginającego południkowego: Moment południkowy od sił nadliczbowych P1 i M1 [knm/m] Rzędna wysokości powłoki walcowej -5,0-4,5-4,62-4,0-3,5-3,0-2,5-2,0-1,5-1,0-0,5 0,62 0,13-0,10-0,16-0,15-0,10 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 1,68 3,73 3,54 2,51 1,43 4,0 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00 5,50 Moment południkowy od sił nadliczbowych P2 i M2 [knm/m] Rzędna wysokości powłoki walcowej 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00 5,50-7,0-6,0-5,0-6,09-6,78-4,0-3,0-4,17-3,93-2,0-2,29-1,0 1,0 0,16 0,30 0,21-0,14-0,93 2,0 3,0 4,0 5,0 5,90 6,0 Rzędna wysokości powłoki walcowej 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00 5,50-7,0 Moment południkowy w stanie zgięciowym [knm/m] -6,0-5,0-6,19-6,94-4,0-4,46 1,93-4,05-4,08-3,0-2,0-1,0-1,68 1,0 2,0 3,0 2,38 4,0 5,0 4,03 3,75 5,80 6,0 Grupa: KB2 Daniel Sworek strona - 15 -
6. Porównanie wykresów sił wewnętrznych w stanie błonowym i zgięciowym -46,0-44,0-42,0 Siła południkowa [kn/m] - porównanie wyników -4-38,0-36,0-34,0-32,0-3 -28,0-26,0-24,0-22,0 Siła południkowa w stanie zgięciowym -2-18,0-16,0-14,0-12,0-1 -8,0-6,0-4,0-2,0 2,0 Siła południkowa w stanie błonowym -8-6 Siła równoleżnikowa- porównanie wyników -4-2 2 Siła równoleżnikowa w stanie zgięciowym 4 6 8 10 12 14 16 Siła równoleżnikowa w stanie błonowym 18 Siła obwodowa [knm/m]- porównanie wyników Rzędna wysokości powłoki walcowej 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00 5,50 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 Siła obwodowa w stanie zgięciowym Siła obwodowa w stanie błonowym Grupa: KB2 Daniel Sworek strona - 16 -