11 Przykładów Rozkładu Macierzy Na Postać Jordana

11 Przykładów Rozkładu Macierzy Na Postać Jordana Krok Po Kroku Przykłady z Teorią Prezentuje Mateusz Kowalski Matematyk, Automatyk i Robotyk kowalskimateusz.pl

Czy znajdziesz odpowiedzi na swoje pytania? Z pewnością zastanawiasz się teraz czy w tym nagraniu znajdziesz odpowiedz na swoje pytanie. Temat jest dosyć trudny, także żeby nie było, że nie mówiłem, chociaż wyjaśnię go najlepiej jak potrafię. Na niektórych kierunkach matematycznych tego nie ma Ta teoria jest względnie świeża ma zaledwie ponad 1 lat Jordan 1838-1922

Co będzie? Przypomnienie najważniejszych faktów Macierz jako przekształcenie liniowe wektora Wektory i wartości własne? Wielomian i równanie charakterystyczne i widmo macierzy Diagonalizacja macierzy Czy zawsze macierz jest diagonalizowalna?

Co będzie? z pojęć nowych Co ma rozkład Jordana macierzy do diagonalizacji macierzy? Jak wygląda ogólny wzór rozkładu macierzy na postać Jordana? Po co dokonywać rozkładu i co on daje? Czym różni się zbiór wektorów własnych od przestrzeni własnej? W temacie samej macierzy Jordana Budowa macierz J Co to jest klatka Jordana? 1,2, czy 3 rodzaje klatek Jordana, czym się różnią wyglądają? Czy rozkład Jordana jest jednoznaczny?

Co będzie? W temacie samej macierzy Jordana Co łączy klatki Jordana z wartościami własnymi? Czy w rozkładzie może być kilka klatek dla jednej wartości własnej i od czego to zależy? Skąd wiadomo ile będzie klatek Jordana dla danej wartości własnej? Czym się różni zbiór wektorów własnych o przestrzeni własnej? Czym się różni krotność algebraiczna od krotności geometrycznej, wymiaru przestrzeni własnej i z czego wywodzą się te nazwy?

Co będzie? Macierz J to nie wszystko Jak budować macierz przejścia? Po co są potrzebne wektory dołączone? Wektory dołączone, skąd ta nazwa i czy są wektorami własnymi? Jak wyznaczać wektory dołączone? Czy wektory w macierzy przejścia są niezależne liniowo? Co robić gdy wartość własna nie jest rzeczywista? Trzeci rodzaj klatek Jordana Czym się różni rozkład macierzy o elementach zespolonych na postać Jordana? Potęgowanie klatek Jordana? Funkcja macierzowa

Struktura Nagrania Zgodnie z obietnicą będą to przykłady z teorią, więc najpierw pokażę Ci jak się to robi, a na koniec podsumujemy teorią. Dla ustalenia uwagi będę mówił tylko o macierz z elementami rzeczywistymi. Ponadto dla zespolonych postępujemy bardzo analogicznie. W końcowej części pojawią się nawiązania do jądra odwzorowania liniowego Mimo obszernego planu i szczerych chęci, obawiam się, iż temat i tak niezostanie wyczerpany

Co nie jest konieczne Nie jest konieczna znajomość: Przekształcenia liniowego Definicji formalnej przestrzeni liniowej Bazy i macierzy przejścia (zmiany bazy) Jądra i obrazu przekształcenia liniowego Chociaż łatwiej będzie ze znajomością.

Jest dla osób: Dla kogo jest ten materiał Gotowych do skupienia Chcących zrozumieć i nauczyć się tak często omijanego tematu jakim jest rozkład Jordana macierzy. Ciekawych świata Zajmujący się teorią sterowania Dla inżynierów, zajmujących się inżynierią u podstaw Które nie chcą być niewolnikiem programu komputerowego, który wszystko oblicza.

Dla kogo nie jest ten materiał Nie jest dla osób: nie potrafiących pomnożyć macierzy nie potrafiących obliczyć wyznacznik dowolnego stopnia nie potrafiących odwrócić macierzy nie potrafiących rozwiązać szkolnego równania wielomianowego nie rozumiejących przestrzeni, chociaż na poziomie szkolnym nie znających pojęcia kombinacji liniowej wektorów* nie jest dla osób preferujących język i styl akademicki nastawionych negatywnie i agresywnie, negujących wszystko i wszystkich

Dlaczego nagrywam Zdaje sobie sprawę, że temat jest bardzo niszowy i marketingowo strzelam sobie trochę w stopę. Mimo to czuje moralny obowiązek podzielenia się tymi informacji, bo też trudno znaleźć je i zebrać do kupy, gdyż są porozrzucane po internecie. A niektóre materiały są trudne do zrozumienia przez początkujących

Po co robimy rozkład Jordana Aby łatwo i szybko obliczać potęgi wysokiego stopnia z dowolnej macierzy. A 2 Aby obliczać e A do macierzy Aby obliczać pierwiastek macierzowy Aby obliczać dowolną funkcję od macierzy, która jest rozwijalna w szereg Taylora. Zastosowanie przy rozwiązywaniu układu równań różniczkowych Zastosowanie w zaawansowanej teorii sterowania. W mechanice kwantowej

Macierz Jako przekształcenie liniowe Wektor v przekształcamy zgodnie z przekształceniem liniowym ϕ na wektor w ϕ(v) = w To przekształcenie możemy zastąpić macierzą i vice versa, tzn. dowolną macierz, możemy interpretować jako przekształcenie liniowe wektora, na inny wektor. W rachunku macierzowym wykorzystam mnożenie macierzy A v = w

Wektor własny Pytamy czy jest taki wektor, że po przekształceniu będzie to ten sam wektor lub ewentualnie o zmienionej długości lub zwrocie. Wektor taki nazywamy wektorem własnym dla danego przekształcenia liniowego (macierzy). Bo są to wektory odporne na to przekształcenie, stąd nazwa wektory własne, bo zdeterminowane przez to dane przekształcenie. Av = λv Przy czym wykluczamy tu wektor zerowy v

Wartość własna Tę liczbę skalującą oznaczamy przez λ i nazywamy wartością własną. Liczba ta już może być. To zagadnienie szukania wartości i wektorów własnych nazywa się zagadnieniem własnym.

Zagadnienie własne Av = λv Przekształcając można zapisać (A λi) v = To co jest istotne, to że dany wektor własny jest przypisany danej wartości własnej A takich par wartość własna wektor własny jest wiele dla danego przekształcenia liniowego (A λi) v = det (A λi) = Chcąc znaleźć wartości i wektory własne najpierw znajdujemy wartości własne. det (A λi) = w(λ) =

Diagonalizacja Diagonalizacja polega na tym, że daną macierz A chcemy zapisać w postaci WΛW 1, tzn. A = WΛW 1, Gdzie Λ jest macierzą diagonalną. Nie każda macierz daje się tak zapisać, czyli nie każda macierz jest diagonalizowalna. Jeżeli wszystkie wartości własne, są jednokrotne, to taka macierz jest diagonalizowalna. Uwaga na zespolone wartości własne

Diagonalizacja Okazuje się, że wektory i wartości własne są bardzo pomocne przy znalezieniu WΛW 1 Wystarczy zbudować macierz Λ układając na przekątnej wartości własne. Macierz W budujemy wstawiając, odpowiadające wektory własne, w tej samej kolejności, co wartości własnym w macierz Λ λ 1 λ 2 Λ = W = v 1 v 2 v n.... λ n

Digonalizowalność Jednak jeśli wartości własne nie są jednokrotne to bywa różnie. Czasami macierz jest diagonalizowalna a czasami nie. Dokładne omówienie kiedy to jest możliwe, a kiedy nie będziemy dalej dyskutować w tym nagraniu. Okazuje się jednak, że każdą macierz można zapisać w postaci Jordana, czyli w zasadzie jest to uogólnienie diagonalizacji.

Rozkład Jordana Na pierwszy rzut oka wygląda bardzo podobnie A = WJW 1, λ K 1 i 1 λ K 2 i 1 J =..... K i = λ i,........ K q λ i gdzie i {1, 2,... q} q n, Jednak teraz Macierz J nie jest diagonalna. Macierz K i są nazywane klatkami i są różnych stopni.

Rozkład Jordana Macierz J przypomina macierz diagonalną jednak nią nie jest. W istocie składa się z macierzy blokowych o różnych rozmiarach. Na przekątnej znajdują się tak zwane klatki, a pozą nią są tylko. Te klatki zawsze są macierzami kwadratowymi. Klatki są dwojakie w zasadzie trojakie, ale po kolei. Klatka może być po prostu macierzą 1 1, czyli pojedynczą liczbą. K i = [λ i ]

Diagonalizacja a Rozkład Jordana Dla danej wartości własnej też może być wiele klatek. Jeżeli macierz J składa się tylko z pojedynczych klatek to wówczas rozkład Jordana daje nam rozkład diagonalny. To jednak bardzo szczególny przypadek, jeśli mamy chociaż jedną wartość własną wielokrotną to niekoniecznie tak musi być. Oczywiście pojawia się pytanie jaką klatkę należy wybrać czy jest jeden sposób takiego wyboru itp.

Przykład 1 - wielomian 1 A = 4 4 2 1 2 Wyznaczamy wielomian charakterystyczny λ 1 det (A λi) = 4 4 λ = λ(4 λ)(2 λ)+4(2 λ) = 2 1 2 λ = (2 λ)( 4λ + λ 2 + 4) = = (2 λ)(λ 2) 2 = (λ 2) 3

Przykład 1 - wartości własne wielomian charakterystyczny det (A λi) = (λ 2) 3 Wartości własne det (A λi) = λ = 2 Krotność algebraiczna wynosi 3

Przykład 1 - Wektory własne Zagadnienie własne to (A λi)v = Jest to inaczej szukanie jądra, ale przekształcenia A 2I 1 2 1 x A = 4 4 4 4 2 y = 2 1 2 2 1 2 2 z Cały układ sprowadza się do jednego równania 2x + y = α Wektor własny ogólnie możemy zapisać tak 2α, β α 2 + β 2 >

Zbiór wektorów własnych i przestrzeń własna Zbiór wektorów własnych dla λ = 2 to α 2α : α 2 + β 2 > α, β R β Przestrzeń własna dla λ = 2 to α 2α : α, β R β Przestrzeń własna różni się tym od zbioru wektorów własnych, że ma dodatkowo wektor zerowy, musi go mieć, bo inaczej nie była by to przestrzeń.

Jakie klatki oraz jaka ich liczba? Przestrzeń własna jest przestrzenią dwu wymiarową, tzn. α dim 2α : α, β R = 2 β Zatem będą dwie klatki Jordana Skoro krotność algebraiczna wynosi 3 tzn. że musimy mieć jedną klatkę stopnia 1 i jedną klatkę stopnia 2, tzn. [ ] 2 1 [ ] oraz 2 2 Bo suma ich stopni musi być równa 3.

Za mało wektorów własnych Na daną chwilę dysponujemy dwoma niezależnymi liniowo wektorami własnymi α 2α : α 2 + β 2 > α, β R β na przykład 1 2 oraz 1 Natomiast my potrzebujemy 3 wektorów by zbudować macierz W

Jak z 2 wektorów zbudować macierz W? Jak zbudować macierz W 1? W = 2? 1? Potrzebujemy jej do W J W 1 1? 2 1 1? A = 2? 2 2? 1? 2 1? 1

Wektor dołączony Skoro wiemy, że mamy klatkę stopnia 2, to będziemy dla niej potrzebowali dwa wektory. Chodzi o dwa wektory, które trzeba wstawić do macierz przejścia W. Potrzeba zatem zrobić z jednego wektora własnego jeden dodatkowy wektory. Ten wektor nie będzie już wektorem własnym, ale nadawać się będzie do macierzy W. Ten lewy wektor nazywa się wektorem dołączonym lub wektorem głównym.

Wektor dołączony Pamiętajmy, że macierz W będzie odwracana, więc macierz W musi mieć wyznacznik niezerowy det(w) To się sprowadza do pytania czy taki wektor będzie niezależny liniowo z pozostałymi wektorami własnymi? Okazuje się, że na szczęście będzie niezależny liniowo i to zawsze.

Wektor dołączony Aby go znaleźć postępujemy bardzo podobnie. 2 1 x 4 4 2 y = 2 1 2 2 z 1 tym razem zamiast wektora zerowego wstawiamy wektor własny, z którego chcemy wyprodukować ten nowy lewy wektor { y = 2x układ sprzeczny 2x + y = 1 Czyżby coś było nie tak?

Wektor dołączony Spróbujmy z drugiego wektora własnego. 2 1 x 1 4 4 2 y = 2 2 1 2 2 z Teraz mamy układ 2x + y = 1 4x + 2y = 2 2x + y = układ sprzeczny Znów mamy problem?

Wektor dołączony Spróbujmy na dowolnym wektorze własnym z tej przestrzeni własnej. 2 1 x α 4 4 2 y = 2α 2 1 2 2 z β Teraz mamy układ 2x + y = α 4x + 2y = 2α 2x + y = β α = β α = β tylko wtedy istniej wektor dołączony

wektor dołączony Układ sprowadził się do y = α + 2x oraz α = β Wektor dołączony można w ogólności zapisać tak γ α + 2γ ɛ Mamy następujący Łańcuch Jordana α γ 2α α + 2γ β ɛ β = α

Łańcuch Jordana i podstawianie α γ 2α α + 2γ β ɛ β = α Aby utworzyć parę wektorów dla klatki stopnia 2 α = 1 = β, γ = ɛ = Dostaniemy konkretny wektor własny i wektor dołączony do niego 1 2, 1 1 powstaje bloczek 1 2 1 1

Jaki wektor dla klatki stopnia 1 wybrać? Dla drugiej klatki, stopnia pierwszego, wystarczy wziąć jakikolwiek wektor własny. Oczywiście z tej przestrzeni własnej no i taki, który będzie niezależny liniowo do tego użytego już wektora własnego, 1 czyli do tego 2 1 α np. 2α 1 β Teraz możemy zapisać rozkład Jordana macierz

Rozkład Jordana A = W J W 1 J = W 1 A W W wyniku naszej pracy wytworzyliśmy rozkład Jordana 1 1 2 1 1 4 4 = 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1

Przykład 2 wielomian charakterystyczny 1 3 3 1 λ 3 3 A = 2 6 13 det(a λi) = 2 6 λ 13 = 1 4 8 1 4 8 λ = (1 λ)(6+λ)(8 λ)+39+24 3(6+λ)+52(1 λ) 6(8 λ) = = (1 λ)(6 + λ)(8 λ) + 63 18 3λ + 52 52λ 48 + 6λ = = (1 λ)(6 + λ)(8 λ) + 49(1 λ) = (1 λ)(λ 2 2λ + 1)

Przykład 2 wartości własne i wektory własne det(a λi) = λ = 1 krotność 3 dla λ = 1 1 3 3 3 3 A = 2 6 13 (A 1 I)v = 2 7 13 y = 1 4 8 1 4 7 z 3y + 3z = z = y 2x 7y + 13z = x = 3y x 4y + 7z =

Przykład 2 - Wektor własny Wektor własny jest postaci 3α α α Wymiar tej przestrzeni własnej jest 1, więc będzie jedna klatka Jordan Teraz przejdźmy do wyliczamy wektorów dołączonych

Przykład 2 - Wektor dołączony 3 3 x 3α 2 7 13 y = α 1 4 7 z α 3y + 3z = 3α z = y + α 2x 7y + 13z = α 2x + 6y + 13α = α x 4y + 7z = α x + 3y + 7α = α Wychodzi zatem x = 3y + 6α oraz z = y + α 3β + 6α β β + α

Przykład 2 - Wektor dołączony 3 3 x 3β + 6α 2 7 13 y = β 1 4 7 z β + α 3y + 3z = 3β + 6α z = y + β + 2α 2x 7y + 13z = β x = 3y + 6β + 13α x 4y + 7z = β + α x = 3y + 6β + 13α Wektor dołączony jest postaci 3γ + 6β + 3α γ γ + β + 2α

Wybieranie wektorów dla macierzy przejścia Łańcuch Jordana wygląda tak 3α 3β + 6α 3γ + 6β + 3α α β γ α β + α γ + β + 2α Wybieram np. α = 1, β =, γ = rozkład wygląda tak 3 6 3 1 1 3 6 3 1 1 1 1 1 = A 1 1 2 1 1 1 2

Można też inaczej wybrać Łańcuch Jordana wygląda tak 3α 3β + 6α 3γ + 6β + 3α α β γ α β + α γ + β + 2α Równie dobrze α = 1, β = 1, γ = 1 rozkład wygląda tak 3 3 1 1 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = A 1 2 1 1 2

Co by się stało? A gdyby policzyć następny wektor dołączony 3 3 x 3γ + 6β + 3α 2 7 13 y = γ 1 4 7 z γ + β + 2α 3y + 3z = 3γ + 6β + 13α z = y + γ + 2β + 13 3 α 2x 7y + 13z = γ x = 3y + 6γ + 13β + 132 3 α x 4y + 7z = γ + β + 2α x = 3y + 6γ + 13β + 13 7 6 3 α Sprzeczność

Przykład 3 4 5 2 4 λ 5 2 A = 5 7 3 det(a λi) = 5 7 λ 3 = 6 9 4 6 9 4 λ = (4 λ) 2 (7 + λ) 9 9 + 12(7 + λ) + 27(4 λ) + 25(4 λ) = = (4 λ)(28 3λ λ 2 52) 18 + 7 + 14 + 12λ = = λ 2 ( λ + 1) Przejdźmy do równania charakterystycznego

Przykład 3 wartości własne i wektory własne det(a λi) = λ = 1 krotność algebraiczna 1 dla λ = 1 A = 5 7 3 (A 1 I)v = 5 8 3 y = 6 9 4 6 9 3 z 3y 5z + 2z = z = 5y 3x 2 5x 8y + 3z = 5x 8y + 15y 9x 2 = x y = 6x 9y + 3z = 6x 9y + 15y 9x 2 = 3x 3y = z = y = x

Przykład 3 - Wektor własny wektor własny jest postaci α α α α Wymiar tej przestrzeni jest 1, więc będzie jedna klatka Jordan Tak jest zawsze dla krotności algebraicznej równej 1

Przykład 3 wartości własne i wektory własne det(a λi) λ = krotność 2 dla λ = 4 5 2 4 5 2 x A = 5 7 3 (A I)v = 5 7 3 y = 6 9 4 6 9 4 z 4x 5y + 2z = 2z = 5y 4x z = 5y 4x 2 5x 7y + 3z = 5x 7y + 15y 12x 2 = 2x y = 6x 9y + 4z = 6x 9y + 1y 8x = y 2x = y = 2x z = 3x

Przykład 3 - Wektor własny Wektor własny jest postaci β 2β 3β Wymiar tej przestrzeni jest 1, więc będzie jedna klatka Jordan Krotność algebraicznych λ = wynosi 2, więc będzie klatka stopnia 2 Teraz przejdźmy do wyliczamy wektorów dołączonych

Przykład 3 - Wektor dołączony 4 5 2 x β 5 7 3 y = 2β 6 9 4 z 3β 4x 5y + 2z = β 2z = β 4x + 5y 5x 7y + 3z = 2β 5x 7y + 3β 12x+15y 2 2β = 6x 9y + 4z = 3β 6x 9y + 2β 8x + 1y 3β = { γ 2x + y β = y = β + 2x β + 2γ z = 3β + 3x 3β + 3γ

Wybieranie wektorów dla macierzy przejścia Łańcuch Jordana wygląda tak β γ 2β β + 2γ 3β 3β + 3γ Wybieramy β = 1, γ =, rozkład wygląda tak 1 1 1 1 1 1 4 5 2 1 2 1 1 1 2 1 = A = 5 7 3 1 3 3 1 3 3 6 9 4

Przykład 4 wielomian charakterystyczny 1 1 1 1 3 1 A = 2 2 1 λ 1 1 1 3 λ 1 det(a λi) = 2 λ 2 λ 1 λ 1 = 1 3 λ (2 λ)2 = = ((1 λ)(3 λ) + 1)(2 λ) 2 = = (3 4λ + λ 2 + 1)(2 λ) 2 = (λ 2) 4

Przykład 4 wartości własne i wektory własne A = det(a λi) λ = 2 krotność algebraiczna 4 dla λ = 2 [ 1 ] 1 1 1 3 1 2 2 (A 2 I)v = x + y w = w = x + y 1 1 1 x 1 1 1 y z = w

Przykład 4 - Wektor własny Wektor własny jest postaci Więc będą 3 klatki Jordan α β γ α + β Skoro suma stopni wynosi 4, to będą 3 klatki stopnia 1 i jedna klatka stopnia 2 Teraz przejdźmy do wyliczamy wektorów dołączonych

Przykład 4 - Wektor dołączony 1 1 1 x α 1 1 1 y z = β γ w α + β x + y w = α x + y w = β α = β γ = δ Wychodzi zatem w = x + y α ω η δ + ω α

Wybieranie wektorów dla macierzy przejścia Łańcuch Jordana wygląda tak α δ β γ ω η α + β δ + ω α β = α γ = Wybieramy α = 1, β = 1 rozkład wygląda tak 1 1 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 = A

Przykład 5 wielomian charakterystyczny 1 1 9 6 1 3 11 7 A = 2 2 1 λ 1 9 6 1 3 λ 11 7 det(a λi) = = 2 λ 2 λ = (2 λ) 2 (3 4λ + λ 2 + 1) = (2 λ) 2 (λ 2) 2 = (2 λ) 4

A = Przykład 5 wartości własne i wektory własne det(a λi) λ = 2 krotność 4 dla λ = 2 [ 1 ] 1 9 6 1 3 11 7 2 2 (A 2 I)v = { x + y + 9z 6w = y = x 9z + 6w 1 1 9 6 x 1 1 11 7 y z = w x + y 11z 7w = y = x 11z + 7w 11z + 7w = 9z + 6w w = 2z y = x + 3z

Przykład 5 - Wektor własny Wektor własny jest postaci α α + 3β β 2β Więc będą 2 klatki Jordan Skoro suma stopni wynosi 4 to: 2 klatki stopnia 2 po jednej klatce stopnia 1 i 3 Okaże się w trakcie Teraz przejdźmy do wyliczamy wektorów dołączonych

Przykład 5 - Wektor dołączony 1 1 9 6 x α 1 1 11 7 y z = α + 3β β w 2β x + y + 9z 6w = α y = x 9z + 6w + α x + y + 11z 7w = α + 3β y = x 11z + 7w + α + 3β = β 2z = w + 3 { γ w = 2z γ + 3δ + α Wówczas y = x + 3z + α δ 2δ

Przykład 5 - Wektor dołączony 1 1 9 6 x γ 1 1 11 7 y z = γ + 3δ + α δ w 2δ x + y + 9z 6w = γ y = x 9z + 6w + γ x + y + 11z 7w = γ + 3δ + α y = x 11z + 7w + γ + α = δ 9z + 6w = 11z + 7w + α { w = 2z α y = x + 3z 6α + γ

Przykład 5 - Wektor dołączony { w = 2z α y = x + 3z 6α + γ ω ω + 3ϕ 6α + γ ϕ 2ϕ α Nie szukam dalej, bo już widać, że będzie klatka stopnia przynajmniej 3. Skoro tak to wnioskujemy, iż będzie po jednej klatce stopnia 3 i 1

Wybieranie wektorów dla macierzy przejścia Łańcuch Jordana wygląda tak: α γ α + 3β β γ + 3δ + α δ 2β 2δ β = ω ω + 3ϕ 6α + γ ϕ 2ϕ α β = δ = Dla α = 1 klatki stopnia 3, dla β = 1 klatka stopnia 1 Rozkład wygląda tak 1 1 2 1 3 1 1 6 1 2 1 2 1 3 1 1 6 = A 1 2 1 2 2 1

Przykład 6 wielomian charakterystyczny 3 1 4 7 1 1 5 9 A = 4 4 1 3 λ 1 4 7 1 1 λ 5 9 det(a λi) = = 4 λ 4 1 λ = (3 4λ + λ 2 + 1) ( 4λ + λ 2 + 4) 2 = (2 λ) 2 (λ 2) 2 = (2 λ) 4

Przykład 6 wartości własne i wektory własne det(a λi) λ = 2 krotność 4 dla λ = 2 [ ] 1 1 4 7 x 3 1 4 7 1 1 5 9 1 1 5 9 y A = 4 4 (A 2 I)v = 1 2 4 z = 1 2 w x + y 4z 7w = { x + y + w = x y + 5z + 9w = x y w = z = 2w y = w x z = 2w

Przykład 6 - Wektor własny Wektor własny jest postaci α α β 2β β Więc będą 2 klatki Jordan Skoro suma stopni wynosi 4 to: 2 klatki stopnia 2 po jednej klatce stopnia 1 i 3 Okaże się w trakcie Teraz przejdźmy do wyliczamy wektorów dołączonych

Przykład 6 - Wektor dołączony 1 1 4 7 x α 1 1 5 9 2 4 y z = α β 2β 1 2 w β x + y 4z 7w = α x + y + w + 4β = α x + y + 5z + 9w = β α x y w 5β = β α 2z + 4w = 2β z = β 2w { γ y = w x + α 4β δ γ + α 4β Wówczas z = β 2w β 2δ δ

Przykład 6 - Wektor dołączony 1 1 4 7 x γ 1 1 5 9 2 4 y z = δ γ + α 4β β 2δ 1 2 w δ x + y 4z 7w = γ x y + 5z + 9w = δ γ + α 4β 2z + 4w = β 2δ z 2w = δ x + y + w + 4δ = γ x y w 5δ = δ γ + α β =

Przykład 6 - Wektor dołączony x + y + w + 4δ = γ x y w 5δ = δ γ + α β = y = w 4δ + γ x ϕ η 4δ + γ ϕ α = 2η δ β = η

Przykład 6 - Wektor dołączony ϕ η 4δ + γ ϕ 2η δ η Widać, że ten już nie zależy od parametrów wektora własnego, tzn. α i β. Widać zatem, że klatki stopnia 3 nie ma Skoro tak to wnioskujemy, iż będzie po jednej klatce stopnia 3 i 1

Wybieranie wektorów dla macierzy przejścia Łańcuch Jordana wygląda tak: α γ ϕ α β 2β δ γ + α 4β β 2δ η 4δ + γ ϕ 2η δ β δ η Dla α = 1 klatki stopnia 2, dla β = 1 klatka stopnia 2 Rozkład wygląda tak 1 2 1 1 1 1 1 4 2 1 1 1 4 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 β = α = = A

Przykład 7 wielomian charakterystyczny 1 1 3 2 1 3 4 2 A = 1 1 1 3 1 λ 1 3 2 1 3 λ 4 2 det(a λi) = = 1 λ 1 1 3 λ = (3 4λ + λ 2 + 1) 2 = (2 λ) 4

Przykład 7 wartości własne i wektory własne det(a λi) λ = 2 krotność 4 dla λ = 2 1 1 3 2 1 3 4 2 1 1 1 3 (A 2 I)v = x + y + 3z 2w = x + y + z = x y + 4z 2w = x + y + 2z = z + w = 1 1 3 2 x 1 1 4 2 y 1 1 z = 1 1 w y = x z = z = w

Przykład 7 - Wektor własny Wektor własny jest postaci y = x z = z = w α α Więc będzie 1 klatka Jordan Będzie to klatka stopnia 4 Przejdźmy do wyliczamy wektorów dołączonych

Przykład 7 - Wektor dołączony 1 1 3 2 x α 1 1 4 2 1 1 y z = α 1 1 w x + y + 3z 2w = α x = y α x + y + 4z 2w = α z = z + w = z = w β α β Wówczas

Przykład 7 - Wektor dołączony 1 1 3 2 x β α 1 1 4 2 1 1 y z = β 1 1 w x + y + 3z 2w = β α x = y α x + y + α = β α x + y + 4z 2w = β z = z = α z + w = z = w z = w

Przykład 7 - Wektor dołączony x + y + α = β α { y = x + β 2α z = α z = w = α z = w γ γ + β 2α α α

Przykład 7 - Wektor dołączony kolejny 1 1 3 2 x γ 1 1 4 2 1 1 y z = γ + β 2α α 1 1 w α x + y + 3z 2w = γ x + y + 4z 2w = γ + β 2α w = α + z x + y + z 2α = γ x + y + 2z 2α = γ + β 2α w = α + z

Przykład 7 - Wektor dołączony x + y + z 2α = γ x = y + z 2α γ x + y + 2z 2α = γ + β 2α x = y + 2z β γ w = α + z w = α + z x = y + z 2α γ x = y + z 2α γ z 2α = 2z β z = β 2α w = α + z w = α + z x = y + β 4α γ δ + β 4α γ δ z = β 2α β 2α w = β α β α

Przykład 7 - Wektor dołączony δ + β 4α γ δ β 2α β α Widać, że taki wektor w dalszym ciągu zależy od parametrów wektora własnego, tzn. α i β.

Wybieranie wektorów dla macierzy przejścia Łańcuch Jordana wygląda tak: α β α γ δ + β 4α γ α β γ + β 2α α δ β 2α α β α Dla α = 1 klatka stopnia 4, Rozkład wygląda tak 1 1 4 2 1 1 1 4 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 = A

Sposób 2 (szybszy) Kolejne potęgi macierzy B = A 2I 1 1 3 2 1 1 1 4 2 B = B 2 1 2 = 1 1 1 1 1 1 B 3 1 1 = B 4 = Teraz wybieramy dowolny wektor, taki aby B 4 u 4 =, oraz B 3 u 4

Poprzednie wektory dołączone Ten wektor to np. u 4 = 1 Wówczas obliczamy kolejne coraz niższego rzędu wektory dołączone, tzn. u 3 = B u 4 u 2 = B 2 u 4 u 1 = B 3 u 4

u 3 = B u 4 = 1 1 3 2 1 1 4 2 1 1 1 1 1 = 2 2 1 1 u 2 = B 2 u 4 = 1 1 2 1 = 1 2 u 1 = B 3 u 4 = 1 1 1 1 1 = 1 1

Skąd wiadomo w takim razie jakie będą klatki Jordana d 1 = 4 rank B = 4 3 d 2 = 4 rank ( B 2) = 4 2 d 3 = 4 rank ( B 3) = 4 1 d 4 = 4 rank ( B 4) = 4 Jak nam wyszło zero to następne wiadomo, że będzie 4 Klatek będzie d 1 = 1 Klatek stopnia większego od 1 będzie d 2 d 1 = 1 Klatek stopnia większego od 2 będzie d 3 d 2 = 1 Klatek stopnia większego od 3 będzie d 4 d 3 = 1 Klatek stopnia większego od 4 będzie d 5 d 4 =

Rozkład Jordana U kładamy wektory w odpowiedniej kolejności 1 1 2 2 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 1 = A Czy ten wybór wpasowuję we wcześniej wyznaczony model pierwszą metodą? Łańcuch Jordana wygląda tak: α β α γ δ + β 4α γ α β γ + β 2α α δ β 2α α β α

Przykład 8 wielomian charakterystyczny 6 7 9 1 5 3 4 A = 4 2 1 1 λ 6 7 9 1 5 λ 3 4 det(a λi) = = 4 λ 2 1 1 λ = ( 5λ + λ 2 + 6)(4 5λ + λ 2 + 2) = (λ 2) 2 (λ 3) 2

Przykład 8 wartości własne i wektory własne det(a λi) λ = 2 krotność 2 i λ = 3 krotność 2 dla λ = 2 6 7 9 1 5 3 4 4 2 1 1 (A 2 I)v = 2x 6y 7z 9w = 2x 6y 2w = x + 3y + 3z + 4w = x + 3y + w = 2z + 2w = z = w 2 6 7 9 x 1 3 3 4 y 2 2 z = 1 1 w { x = 3y w z = w

Przykład 8 - Wektor własny Wektor własny jest postaci { x = 3y w z = w Będą 2 klatki stopnia 1 3α β α β β

Przykład 8 wartości własne i wektory własne det(a λi) λ = 2 krotność 2 i λ = 3 krotność 2 dla λ = 3 6 7 9 1 5 3 4 4 2 1 1 (A 3 I)v = 3x 6y 7z 9w = 3x 6y + 5w = x + 2y + 3z + 4w = x + 2y 2w = z + 2w = z = 2w 3 6 7 9 x 1 2 3 4 y 1 2 z = 1 2 w 6w + 5w = x = 2y z = 2w

Przykład 8 - Wektor własny Wektor własny jest postaci { w = = z w = x = 2y Będą 1 klatki stopnia 2 2α α

Przykład 8 - Wektor dołączony 3 6 7 9 x 2α 1 2 3 4 1 2 y z = α 1 2 w 3x 6y 7z 9w = 2α 3x 6y + 5w = 2α x + 2y + 3z + 4w = α x + 2y 2w = α z + 2w = z = 2w { α 2β w = α β Wówczas x = α 2y 2α α

Przykład 8 - Wektor dołączony 3 6 7 9 x β α 1 2 3 4 1 2 y z = β 1 2 w x + y + 3z 2w = β α x = y α x + y + 4z 2w = β z = z + w = z = w

Wybieranie wektorów dla macierzy przejścia Łańcuchy Jordana wyglądają tak: 3α β 2α α 2β α α β β 2α β α dla λ = 2, to α = 1, potem β = 1 dla λ = 3, to α = 1 3 1 2 1 2 3 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 3 1 1 2 1 1 3 1 1 1 = A

Przykład 9 To może stopnia 6 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A = 1 1 2 1

Przykład 9 - wielomian charakterystyczny 1 λ λ 1 1 1 1 1 λ 1 1 1 det(a λi) = = 1 λ 1 2 λ 1 λ λ 1 = (1 λ) 2 1 1 λ 1 1 = 1 λ 1 2 λ

Przykład 9 - wielomian charakterystyczny λ 1 = (1 λ) 2 1 1 λ 1 1 = (1 λ) 3 λ 1 1 1 λ 1 = 1 λ 1 2 λ 1 2 λ = (1 λ) 4 λ 1 = (1 λ)6 1 2 λ det(a λi) = λ = 1 krotność algebraiczna 6

Przykład 9 - wektory własne λ = 1 Zagadnienie własne to (A 1 I)v = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x y z w t s = y t + s = s = x y + w t + s = w = x y + t = y = t

Przykład 9 - wektory własne s = w = x y = t α β γ, gdzie α 2 + β 2 + γ 2 > α β Możemy wybrać do 3 wektorów własnych liniowo niezależnych dim ker(a λi) = 3 Będą zatem 3 klatki Jordana. Możliwe konfiguracje (4, 1, 1), (3, 2, 1), (2, 2, 2), która dokładnie okaże się w trakcie.

Wektor dołączony (2) Tak czy siak będzie potrzebny wektor dołączony 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x y z w t s = α β γ α β = α y t + s = β s = x y + w t + s = γ w = γ + β + x y + t = β y = t + β

Wektory dołączone (2) = α s = w = γ + β + x y = t + β δ ϕ + β ɛ, gdzie 2 + β 2 + γ 2 > γ + β + δ ϕ

Wektor dołączony (3) x δ 1 1 1 y ϕ + β 1 1 1 1 1 z ɛ = w γ + β + δ 1 1 t ϕ s = δ y t + s = ϕ + β s = β x y + w t + s = ɛ w = ɛ + ϕ β + x = γ + β + δ γ = β y + t = ϕ y = t + ϕ

Wektory dołączone (3) = δ s = β w = ɛ + ϕ β + x γ = β y = t + ϕ η κ + ϕ θ, gdzie 2 +2β 2 + > ɛ + ϕ β + η κ β

Wektory dołączone (4)? s = ϕ w = θ + κ ϕ + x y = t + κ ψ π + κ Ω, gdzie α 2 +β 2 +γ 2 > θ + κ ϕ + ψ π ϕ Tu już nie ma, ani α, ani β, ani γ, które były w wektorze własnym.

Podsumowanie α β γ α β δ ϕ + β ɛ γ + β + δ ϕ α = η κ + ϕ θ ɛ + ϕ β + η κ β α = δ = γ = β ψ π + κ Ω θ + κ ϕ + ψ π ϕ Pierwszy zależy od α, β, γ Drugi zależy od β, γ oraz α = Trzeci zależy od β oraz δ = γ = β Mamy klatkę stopnia 1, stopnia 2 i stopnia 3

Wybór wektorów do macierzy przejścia Wektor dla klatki stopnia 1 to np. { α = 1 β = γ = δ = ϕ = ɛ = η = κ = θ = ψ = π = Ω = Wektory dla klatki stopnia 3 to np. β = 1 γ = 1 α = δ = ϕ = ɛ = η = κ = θ = ψ = π = Ω = Wektory dla klatki stopnia 2 to np. { γ = 1 α = β = δ = ϕ = ɛ = η = κ = θ = ψ = π = Ω =

Macierz przejścia - zmiany bazy 1 1 1 1 1 W = 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = = A 1 1 2 1

Sposób 2 (szybszy) Kolejne potęgi macierzy B = A 1 I 1 1 1 1 B = 1 1 1 1 1 B 2 = 1 1 1 1 Teraz wybieramy dowolny B 3 = wektor, taki aby B 3 u 3 = oraz B 2 u 3 np. 1

Poprzednie wektory dołączone Ten wektor to np. u 3 = 1 Wówczas obliczamy kolejne coraz niższego rzędu wektory dołączone, tzn. u 2 = B u 3 u 1 = B 2 u 3

u 2 = B u 3 = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = 1 1 u 1 = B 2 u 3 = 1 1 1 1 = 1 1 1

Skąd wiadomo w takim razie jakie będą klatki Jordana d 1 = 6 rank B = 6 3 = 3 d 2 = 6 rank ( B 2) = 6 1 = 5 d 3 = 6 rank ( B 3) = 6 = 6 Jak nam wyszło 6 to następne wiadomo, że będzie 6 Klatek będzie d 1 = 3 Klatek stopnia większego od 1 będzie d 2 d 1 = 2 Klatek stopnia większego od 2 będzie d 3 d 2 = 1 Klatek stopnia większego od 3 będzie d 4 d 3 =

Mamy wektory tylko dla klatki stopnia 3 1 1 1 1 1 1 Teraz wybieramy wektor dołączony rzędu 2 dla klatki stopnia 2, ale niezależny liniowo już z tymi co zostały użyte w znalezionej klatce. [ ] T Może być to np. 1

Dla klatki stopnia 2 [ 1 ] T Oczywiście nie jest on także wektorem własnym, ale jest, taki że B 2 [ 1 ] T = Wektor własny dla tego wektora to 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = 1

Teraz mamy już wektory dla dwóch klatek 1 1 1 1 1 1 1 1 Pozostało wybrać wektor własny dla trzeciej klatki Jordana stopnia 1, który będzie niezależny liniowo z już wybranymi. [ ] Może to być np. 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = = A 1 1 2 1

Oczywiście wpasowuje się to w nasz wcześniej wyznaczony model tzn. α β γ α β δ ϕ + β ɛ γ + β + δ ϕ α = η κ + ϕ θ ɛ + ϕ β + η κ β α = δ = γ = β ψ π + κ Ω θ + κ ϕ + ψ π ϕ klatka st. 1 to α = 1, β =, γ = klatka st. 3 to β = 1, γ = 1, ɛ = 1, reszta to klatka st. 2 to γ = 1 reszta to

Przykład 1 wielomian charakterystyczny [ ] 2 1 A = 3 2 2 λ 1 det(a λi) = 3 3i = = (2 λ) 2 + 3 = 4 4λ + λ 2 + 3 = λ 2 4λ + 7

Przykład 1 wartości własne i wektory własne [ ] 2 1 3 2 det(a λi) λ 2 4λ+7 = λ = 2+ 3i λ = 2 3i dla λ = 2 + 3i (A (2+ 3i) I)v = [ ] 3i 1 3 3i [ ] x = y [ ] { 3ix y = 3x 3iy = x = 3 3 iy

Przykład 1 - Wektor własny Wektor własny jest postaci x = 3 3 iy [ 3 3 iα α ] Będzie 1 klatka stopnia 1

Przykład 1 wartości własne i wektory własne [ ] 2 1 3 2 det(a λi) λ 2 4λ+7 = λ = 2+ 3i λ = 2 3i dla λ = 2 3i (A (2 3i) I)v = [ ] 3i 1 3 3i [ ] x = y [ ] { 3ix y = 3x + 3iy = x = 3 3 iy

Przykład 1 - Wektor własny Wektor własny jest postaci x = 3 3 iy [ ] 3 3 iα α Będą 1 klatki stopnia 1

Rozkład macierz w postaci Jordana Wektory własne to [ ] [ ] + 3 3 iα 3 3 iα α α Powstały rozkład dla α = 1 [ ] [ 2 1 3 = 3 i 3 3 2 1 1 ] 3 i [ ] 2 + 3i 2 3i [ 3 3 i 3 1 1 ] 1 3 i

Rozkład macierz w postaci Jordana baza rzeczywistych Wektory własne to ] [ ] [ 3 iα + 3 = + i α α [ 3 ] [ 3 α 3 ] 3 iα = α [ ] [ + i α ] 3 3 α Można też tak jak ktoś nie che mieć liczb zespolonych w rozkładzie [ ] [ ] [ ] [ ] 1 2 1 3 = 3 2 3 3 2 1 3 3 3 2 1 [ ] [ ] 2 1 3 = 3 3 2 1 [ ] [ 2 3 3 2 3 3 1 ] 1

Przykład 11 wielomian charakterystyczny 2 3 2 λ 3 1 2 3 1 2 λ 3 det(a λi) = = 3 2 3 2 λ 3 1 2 3 1 2 λ 2 λ 3 1 2 λ 3 = (2 λ) 2 λ + 3 3 = 3 1 2 λ 3 2 λ = (2 λ) 4 + 9(2 λ) 2 + 81 + 9(2 λ) 2 = ( ) ( ) ( = (2 λ) 2 (2 λ) 2 + 9 + 9 (2 λ) 2 + 9 = (2 λ) 2 + 9 ) 2

Przykład 11 wartości własne i wektory własne det(a λi) = λ = 2 + 3i krotność algebraiczna 2 oraz λ = 2 3i też z krotnością algebraiczną 2 dla λ = 2 + 3i 2 3 3i 3 x 1 2 3 1 3i 3 y (A (2+3i) I)v = 3 2 3 3i z 3 1 2 3 1 3i w 3ix + 3z = x 3iy + 3w = z = ix x = 3iy 3w 3x 3iz = ix 3y 3iw = 3y + z 3iw =

Przykład 11 - Wektor własny Wektor własny jest postaci z = ix z = ix x = 3iy 3w x = 3iy 3w ix 3y 3iw = 3y 3iw 3y 3iw = z = ix x = w = yi Będzie 1 klatka stopnia 2 α αi

Przykład 11 - Wektor dołączony 3i 3 x 1 3i 3 3 3i y z = α 3 1 3i w αi 3ix + 3z = x 3iy + 3w = α z = ix x = 3iy 3w + α 3x 3iz = 3y + ix 3iw = αi 3y + z 3iw = αi z = ix w = yi x = α

Przykład 11 - Wektor własny Wektor własny jest postaci z = ix w = yi x = α Będzie 1 klatka stopnia 2 α β αi βi

Rozkład macierz w postaci Jordana Łańcuchy Jordana to: α α β αi αi βi α α β αi αi βi Powstały rozkład dla α = 1 1 1 1 2 + 3i 1 1 1 1 1 2 + 3i 1 1 = A i i 2 3i 1 i i i i 2 3i i i

Rozkład macierz w postaci Jordana baza rzeczywistych Łańcuch Jordana α = α + i αi α α α β αi = β + i α βi β Można też tak jak ktoś nie che mieć liczb zespolonych w rozkładzie 1 1 2 3 1 1 1 1 3 2 1 2 3 1 = A 1 1 3 2 1

Rozkład Jordana Na pierwszy rzut oka wygląda bardzo podobnie A = WJW 1, λ K 1 i 1 λ K 2 i 1 J = K i = λ i,........... K q λ i gdzie i {1, 2,... q}, Jednak teraz Macierz J nie jest diagonalna. Macierz K i są nazywane klatkami i są różnych stopni.

NAJWAŻNIEJSZE Każdą macierz A można zapisać w postaci Jordana. A = W J W 1 Macierz Jordana J jest wyznacza jednoznacznie z dokładnością do ewentualnego przestawiania kolejności klatek Jordana. Nie ma zatem możliwości, aby dla tej samej macierzy A istniały dwie różne macierze Jordana J, które będą miały inną liczbę i rodzaj klatek. Mówiąc to stwierdzenie wykluczam tu używanie rzeczywistych klatek dla zespolonych wartości własnych Natomiast macierz przejścia W jest wyznaczana niejednoznacznie, jest ich nieskończenie wiele do wyboru. To że jest nieskończenie wiele dobrych nie znaczy, że totalnie byle jaka macierz będzie ok.

NAJWAŻNIEJSZE Macierz W różnie jest nazywana: macierz zmiany bazy, macierz modalna, macierz podobieństwa, macierz ustalająca podobieństwo Macierz W składa się z wektorów własnych liniowo niezależnych i wówczas rozkład Jordana sprowadza się do diagonalizacji macierzy. Natomiast jeżeli liczba wektorów własnych liniowo niezależnych jest mniejsza od n stopień macierz A to wówczas trzeba umiejętnie wyszukać wektory dołączone. Następnie te wektory trzeba umiejętnie dołożyć do wektorów własnych aby zbudować macierz W

Procedura Dana jest dowolna macierz A o stopniu n w(λ) wielomian charakterystyczny macierzy A powstały z det (A λi) w(λ) Rozwiązanie równania charakterystycznego w(λ) = są wartości własne λ i - wartość własna, dla i {1, 2,..., r} przy czym mamy λ i λ j, gdy i, j {1, 2,..., r} i j r liczba różnych wartości własnych k i - krotność algebraiczna i-tej wartości własnej λ i zawsze jest spełnione k 1 + k 2 + k 3 +... + k r = n

Procedura Dla każdej z kolejnych wartości własnych λ i, gdzie i {1, 2,..., r} przeprowadzamy szereg czynności Wyznaczamy przestrzeń własną Wymiar przestrzeni własnej. ker (A λ i I) dim (ker (A λ i I)) = d 1 = n rank(a λ i I) Jeżeli d 1 = k i, to wybieramy dowolne k i wektorów niezależnych liniowo Natomiast jeżeli d 1 < k i, to

Procedura d 1 < k i Jeżeli d 1 < k i, to wyznaczamy dodatkowo k i d i wektorów dołączonych, do d 1 wektorów własnych. d 1 mówi o liczbie klatek Każdej klatce odpowiada dokładnie jeden wektor własny Suma stopni tych klatek jest równa krotności algebraicznej wartości własnej λ i s 1 + s 2 +... + s d1 = k i Dla łatwiejszego opisu dalszej teorii przyjmijmy, że są w kolejności nierosnącej m = s 1 s 2... s d1 Identyfikujemy stopnie klatek Jordana

Algorytmiczne wyznaczanie liczby i rodzaju klatek Obliczamy wymiar jądra kolejnych potęg (A λ i I) d 1 = dim ker ((A λ i I)) d 2 = dim ker ( (A λ i I) 2) d 3 = dim ker ( (A λ i I) 3). Każdą z tych liczb można równoważnie policzyć d 1 = n rank(a λ i I) d 2 = n rank ( (A λ i I) 2) d 3 = n rank ( (A λ i I) 3). Wynika to z twierdzenia Sylvestra dim ker (B) + dim Im (B) = dim V

Algorytmiczne wyznaczanie liczby i rodzaju klatek Wówczas d 1 to liczba klatek stopnia większego od 1 d 2 d 1 to liczba klatek stopnia większego od 2 d 3 d 2 to liczba klatek stopnia większego od 3. Pojawia się pytanie do jakiego indeksu m wyznaczmy to d m? d m 1 d m 2 robimy dalej d m d m 1 = tu kończmy. Stopień największej klatki to m = s 1 Przy czym wcale nie jest powiedziane, że d m 1 = d m = d m+1 =... = Może być np. d m 1 = d m = d m+1 =... = 2

Fragment macierz Jordana Teraz znamy stopnie s 1, s 2,..., s d1 wszystkich klatek Jordana dla wartości własnej λ i, Znamy zatem fragment macierzy J, związany z wartością własną λ i oznaczmy ją przez J i

J =........................... λ i 1... λ i.............. λ i. λ i 1... λ i................. λ i....... λ i 1...... λ i................. λ i.....

i-ty fragment macierzy przejścia W Wyznaczamy blok wektorów, dla klatki stopnia s 1, czyli macierz W i,1 o wymiarach [n s 1 ], Następnie w podobny sposób dla kolejnej klatki stopnia s 2, czyli niewiększego, czyli W i,2 o wymiarach [n s 2 ] itd. Aż do ostatniego bloku W i,di o wymiarach [n s d1 ] W ten sposób mamy fragment macierzy przejścia o wymiarach [n k i ]. Wszystkich fragmentów jest r W i = W i,1 W i,2... W i,d1

Wyliczanie wektorów dołączonych dla W i Z ogólnego wektora własnego v i wyznaczamy wektor dołączony 2 rzędu Następnie powtarzamy tyle razy, aby uzyskać wektor dołączony rzędu takiego jaki jest stopień największej klatki, czyli m. 1) (A λ i I) v i = (A λ i I) v i = 2) (A λ i I) u 2 i = v i (A λ i I) 2 u 2 i = 3) (A λ i I) u 3 i = u2 i (A λ i I) 3 u 3 i = 4) (A λ i I) u 4 i = u3 i (A λ i I) 4 u 4 i =... m) (A λ i I) u m i = u m 1 i (A λ i I) m u m i =

Pamiętaj jednak, że Proszę jednak pamiętaj, że nie dla dowolnego wektora własnego istnieją wektory dołączone. Musimy nie jako wyznaczać te wektory uogólnione od najwyższego rzędu i potem schodzić niżej, tak jak miało to miejsce w naszych przykładach

(A λ i I) 1, (A λ i I) 2, (A λ i I) 3,..., (A λ i I) m Te potęgi już policzyliśmy przy obliczaniu d 1, d 2,..., d m, bo przypomnijmy, że d 1 = n rank(a λ i I) d 2 = n rank ( (A λ i I) 2). Wyznaczamy blok wektorów dołączonych dla klatek stopnia m.

Znajdowanie wektorów dołączonych Zaczynając od wektora dołączonego u m i łatwo go znajdziemy, bo jest dowolnym wektor z jądra (A λ i I) m Potem przemnażając przez (A λ i I) u m i = u m 1 i Powtarzając uzyskamy ciąg aż do wektora własnego. Następnie te pojawiające się kolejne wektory układamy w odwrotnej kolejności blok, czyli w macierz o wymiarach [n m] [ ] v i u 2 i u 3 i... u m i

Blok wektorów dla macierzy przejścia Wyznaczyliśmy blok wektorów, dla macierz o wymiarach [n m], dla klatki stopnia m = s 1. W i,1 = [ ] v i,1 u 2 i,1 u 3 i,1... u m i,1 Następnie w podobny sposób bloki wektorów dla kolejnej klatki stopnia s 2, s)3,..., s d1, [ ] W i,2 = v i,2 u 2 i,2 u 3 i,2... u s 2 i,2 itd. W i,d1 = [ vi,d1 u 2 i,d 1 u 3 i,d 1... u s 3 i,d 1 ]

... Ale UWAGA [ ] W i,1 = v i,1 u 2 i,1 u 3 i,1... u m i,1 [ ] W i,2 = v i,2 u 2 i,2 u 3 i,2... u s 2 i,2 [ W i,d1 = v i,d1 u 2 i,d 1 u 3 i,d 1... u s ] d 1 i,d 1 Załóżmy, że masz już W i,1. To teraz musisz uważać przy wyborze u s 2 i,2 gdyż musi być nie zależny liniowo z us 2 i,1. Dopiero wówczas możesz wyznaczać kolejne, tzn. u s 2 1 i,2, następnie u s 2 2 i,2 itd. aż do v i,2, w efekcie masz W i,2 Podobnie przy wyborze u s 3 i,3 musisz uważać aby nie był liniowo zależny z u s 3 i,2 oraz z us 3 i,1

Wszystkie wektory dla λ i Po uzyskaniu wszystkich macierzy składamy ją w większą, tak jak było wspomniane wcześniej W i = W i,1 W i,2... W i,d1 Jest to blok wszystkich wektorów dla wszystkich wektorów własnych dla λ i Potem całą procedurę wykonujemy dla kolejnej wartości własnej λ i+1

Gdy przeszliśmy już po wszystkich indeksach i Jak zrobimy dla wszystkich to składamy wszystko w całość A = WJW 1, J 1 J 2 [ ] J =..... W = W 1 W 2... W r.... J r λ K 1 i 1 λ K 2 i 1 J =..... K i = λ i,........ K q λ i

Twierdzenie Wektory własne odpowiadające różnym wartościom własnym tego samego przekształcenia są liniowo niezależne.

Definicja Wektor dołączony Definicja Wektor u p nazywamy wektorem dołączonym rzędu p macierz A dla wartości własnej λ Jeśli (A λi) p u p = (A λi) p 1 u p

Macierz diagonalizowalna - pełna odpowiedź Warunek K-W diagonalizowalności Jeżeli λ 1,... λ r są różnymi wartościami własnymi. Ponadto krotność algebraiczna każdej λ i jest równa jej krotności geometrycznej, czyli k i = dim ker(a λ i I), to wtedy i tylko wtedy macierz jest diagonalizowalna.

Uwaga inne konwencje Niektórzy klatki Jordana definiują jako macierz, która na przekątnej ma wartość własną, a jedynki pod przekątną, a nie jak do tej pory nad przekątną. Jest równoważny zapis, lecz rzadziej spotykany. Należy wówczas pamiętać, iż wektory dołączone układamy w odwrotnej kolejności, niż tak jak robiliśmy przez cały ten film w kolumnach, macierzy przejścia, dla danej klatki Jordana.

Obserwacja A 3 = Łatwe potęgowanie (WJW 1) 3 ( = WJW 1) ( WJW 1) ( WJW 1) = Wniosek = WJ W}{{ 1 W} J W}{{ 1 W} JW 1 = WJ 3 W 1 I I A n = ( WJW 1) n = WJ n W 1 Może jest jeszcze łatwy sposób na obliczanie potęg macierzy J?

Twierdzenie potęgowanie macierzy Jordana Okazuje się, że zachodzi: K 1 J n K 2 =...... K q n K n 1 K n 2 =...... K n q Zastanówmy się zatem czym jest potęga klatki Jordana

Potęgowanie klatek Jordana Potęgując klatki Jordana stopnia 2, szybko zaobserwujemy powtarzający się wzorzec [ ] 2 [ ] a 1 a 2 2a = a a 2 [ ] 3 [ ] a 1 a 3 3a = a a 3 [ ] 4 [ ] a 1 a 4 4a = a a 4 [ ] n [ ] a 1 a n 4n = a a n

Potęgowanie klatek Jordana Klatka stopnia 3 a 1 2 a 2 2a 1 a 1 = a 2 2a a a 2 a 1 3 a 3 3a 3a a 1 = a 3 3a a a 3 a 1 n a n na n 1 n(n 1)a n 2 2 a 1 = a n na n 1 a a n

Potęgowanie klatek Jordana Klatka stopnia k n a 1... a n (a n ) (a n ) (a 2!... n ) (k) k! a 1... a n (a n ) (a... n ) (k 1) (k 1)! a... = a n (a... n ) (k 2)...... (k 2)!........... a... a n

Mamy przepis na łatwe potęgowanie do dowolnej potęgi dowolnej macierzy, o ile dysponujemy rozkładem Jordana, tej macierzy K n 1 A n K n 2 = W...... W 1 K n q n a 1... a n (a n ) (a n ) (a 2!... n ) (k) k! a 1... a n (a n ) (a... n ) (k 1) (k 1)! a... = a n (a... n ) (k 2)...... (k 2)!........... a... a n

Kolejne kroki dalej Skoro możemy łatwo potęgować, to w zasadzie możemy obliczyć dowolny wielomian od dowolnej macierzy W takim razie jesteśmy w stanie zdefiniować także dowolną funkcję od macierzy, o ile ta funkcja jest rozwijalna we szereg Taylora. W rozwinięciu Taylora jest tylko potęgowanie macierzy, ich skalowanie przez liczb i ich dodawanie. Co więcej okazuje się że dla dowolnej funkcji f rozwijalnej w szereg Taylora mamy: f(a) = Wf(J)W 1

Źródła Michał Góra - Algebra liniowa - wykłady - Automatyka i robotyka home.agh.edu.pl/~gora/algebra_ggios/wyklad8.pdf home.agh.edu.pl/~gora/algebra/wyklad9.pdf Anna Zamojska-Dzienio - Algebra liniowa - konspekt wykładu Mariusz Przybycień - Matematyczne Metody Fizyki I - wykład 15 http://home.agh.edu.pl/~mariuszp/wfiis_mmf/index.html Ireneusz Nabiałek - zadania z algebry liniowej Rakesh Jana - Jordan Canonical Form - Notes on Linear Algebra How to Find Bases for Jordan Canonical Forms www.math.ucla.edu/~jlindquist/115b/jcfbases.pdf K. R. MATTHEWS - LINEAR ALGEBRA NOTES - The Real Jordan Form http://www.numbertheory.org/courses/mp274/ Xingzhi Zhan - Extremal sparsity property of the Jordan canonical form