Zadania do wykładu Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych

Zadania do wykładu Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych [ ] e Zadanie 1 Pokazać, że X(t) = 2t cos t sin t e 2t jest specjalną macierzą fundamentalną w sin t cos t [ 2 cos chwili τ = 0 układu równań ẋ(t) = A(t)x(t), gdzie A(t) = 2 ] t 1 sin 2t 1 sin 2t 2 sin 2 t Zadanie 2 Znaleźć bazę rozwiązań równania ẋ(t) = Ax(t), gdzie [ ] [ ] 0 0 2 3 1 1 1 A =, A =, A = 1 0 1 1 3 5 3 0 1 2 Zadanie 3 Rozwiązać układy równań: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ẋ(t) 1 1 x(t) t x(0) 1 = +, =, ẏ(t) 0 1 y(t) 1 y(0) 0 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ẋ(t) 2 1 x(t) t x(0) 1 = +, =, ẏ(t) 1 2 y(t) t y(0) 1 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ẋ(t) 4 9 x(t) 3e t x(0) (3) = + ẏ(t) 1 2 y(t) e t, = y(0) [ x0 y 0 ] Zadanie 4 Udowodnić lemat 141 z wykładu Zadanie 5 Narysować portret fazowy układu równań ẋ(t) = y(t) + x(t)(1 x(t) 2 y(t) 2 z(t) 2 ) ẏ(t) = x(t) + y(t)(1 x(t) 2 y(t) 2 z(t) 2 ) ż(t) = 0 Zadanie 6 Niech A będzie rzeczywistą macierzą kwadratową Wykazać, że jeżeli σ(a) 1 =, to σ(e A ) S 1 = Zadanie 7 Narysować portret fazowy układu równań ẋ(t) = y(t) + x(t)(1 x(t) 2 y(t) 2 ) ẏ(t) = x(t) + y(t)(1 x(t) 2 y(t) 2 ) ż(t) = α Zadanie 8 Naszkicować portrety fazowe poniższych układów równań ẋ(t) = x(t) 5y(t), ẏ(t) = x(t) y(t), ẋ(t) = x(t) + y(t), ẏ(t) = x(t) 2y(t), (3) ẋ(t) = x(t) 5y(t), ẏ(t) = x(t) y(t), (4) ẋ(t) = 4x(t) + 2y(t), ẏ(t) = 3x(t) 2y(t), (5) ẋ(t) = x(t) + 2y(t), ẏ(t) = 2x(t) + 2y(t), (6) ẋ(t) = 4x(t) 2y(t), ẏ(t) = 3x(t) y(t), (7) ẋ(t) = 2x(t) + y(t), ẏ(t) = x(t) + y(t) 1

2 Zadanie 9 Rozwiązać zagadnienie początkowe fazowy, gdzie A = A = (3) A = (4) A = 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 oraz x 0 = (1, 1, 1), 3 0 1 0 1 0 0 0 0 6 5 5 5 6 5 5 5 6 oraz x 0 = (1, 1, 1), oraz x 0 = (1, 1, 1), oraz x 0 = (1, 1, 1) ẋ(t) = Ax(t) x(0) = x 0 i naszkicować jego portret Zadanie 10 Wykazać, że odwzorowanie ϕ : R R R dane wzorem ϕ(t, x) = e t (1 + x) 1 jest potokiem Zadanie [ 11 Wykazać, ] [ że] odwzorowanie ϕ : R R 2 R 2 dane wzorem ϕ(t, (x, y)) = cos βt sin βt x e αt jest potokiem sin βt cos βt y Zadanie 12 Wyznaczyć potok indukowany przez równanie ẋ(t) = x(t) 2 Zadanie 13 Wyznaczyć potok indukowany przez równanie ẋ(t) = x(t) x(t) 2 Zadanie 14 Wyznaczyć potok indukowany przez równanie ẋ(t) = x(t) ln x(t) ẋ(t) = x(t)y(t) Zadanie 15 Wyznaczyć potok indukowany przez układ równań ẏ(t) = y(t) 2 Zadanie 16 Rozważyć równanie ü(t) + αu(t) = 0, α R jako układ równań pierwszego rzędu Wyznaczyć potok indukowany przez ten układ Wykazać, że ten układ ma rozwiązania okresowe, gdy α > 0 i obliczyć ich okres Zadanie 17 Wyznaczyć potok indukowany przez układ równań pierwszego rzędu równoważny równaniu ẍ(t) + ẋ(t) + 4x(t) = 0 Naszkicować portret fazowy tego układu Zadanie 18 Promieniem spektralnym rzeczywistej macierzy A nazywamy liczbę r(a) = max λ σ(a) λ Pokazać, że dla każdego ɛ > 0 istnieje norma ɛ taka, że A ɛ = sup Ax ɛ r(a) + ɛ x ɛ =1 Wskazówka: Wystarczy rozważać tylko postać jordanowską J(A) macierzy A (dlaczego?) Jeżeli B = αi + N jest blokiem jordanowskim i Q = diag (1, ɛ,, ɛ n ), to Q 1 BQ = αi + ɛn

3 Zadanie 19 Niech X będzie przestrzenią Banacha oraz niech A : X X będzie operatorem liniowym Pokazać, że formuła A = sup A(x) definiuje normę Ponadto pokazać, że x =1 AB A B oraz, że I+A jest operatorem odwracalnym, o ile A < 1 Operator odwrotny jest dany przez szereg Neumanna (I + A) 1 = A i Ponadto (I + A) 1 (1 A ) 1 Zadanie 20 Rozpatrzmy układ równań postaci ẋ(t) = y(t) + x(t) (x 2 (t) + y 2 (t)) ẏ(t) = x(t) + y(t) (x 2 (t) + y 2 (t)) i=0 Pokazać, że założenie hiperboliczności punktu stacjonarnego w twierdzeniu Hartmana- Grobmana jest istotne Zadanie 21 Sklasyfikować położenia równowagi następujących układów równań: ẋ(t) = x(t) 2 + y(t) 2 2 ẏ(t) = y(t) x(t) 2, ẋ(t) = x(t) 2 y(t) 2 + 1 ẏ(t) = y(t) x(t) 2 + 5, ẋ(t) = 1 (3) (x(t) + 8 y(t))3 y(t) ẏ(t) = 1(x(t) + 8 y(t))3 x(t) Zadanie 22 Pokazać, że w równaniu ẍ(t) + (x(t) 2 + ẋ(t) 2 µ)ẋ(t) + x(t) = 0 zachodzi zjawisko bifurkacji Hopfa, gdy parametr µ przekracza 0 R Pokazać, że dla µ < 0 równanie to nie posiada rozwiązań okresowych Wskazówka: Zastosować kryterium Dulaca-Bendixsona x(t) ẋ(t) = µx(t) y(t) + 1 + x(t) Zadanie 23 Pokazać, że w równaniu 2 + y(t) 2 ẏ(t) = x(t) µy(t) + zjawisko bifurkacji Hopfa, gdy parametr µ przekracza 1 R zachodzi y(t) 1 + x(t) 2 + y(t) 2 Zadanie 24 Rozważmy równanie Fritza-Hugha modelujące zachowanie membrany nerwu postaci 3 ẋ(t) = 3(x(t) + y(t) x(t)3 + λ) (x(t) 07 + 08y(t)) ẏ(t) = 3 obliczyć położenia równowagi, wskazać stabilne i niestabilne położenia równowagi, (3) wskazać punkty bifurkacji Hopfa Zadanie 25 Niech ż(t) = λz(t) z(t) z(t) 2, gdzie z(t) = x(t) + y(t)i, λ = α + βi C Wykazać zachodzenie zjawiska bifurkacji Hopfa, gdy β 0 i α przekracza 0 R Naszkicować portret fazowy tego równania, gdy β = 0

4 Zadanie 26 Wykazać, że dla każdego z poniższych równań zachodzi zjawisko bifurkacji Hopfa dla pewnej wartości parametru α R : równanie Rayleigh a: ẍ(t) + ẋ(t) 3 2αẋ(t) + x(t) = 0, oscylator van der Pol a: ẍ(t) (α x(t) 2 )ẋ(t) + x(t) = 0, ẋ(t) = y(t) (3) przykład Bautina: ẏ(t) = x(t) + αy(t) + x(t) 2 + x(t)y(t) + y(t) 2, ẋ(t) = α(1 x(t)y(t) (4) model dyfuzji: 2 + A(y(t) 1)) ẏ(t) = x(t)y(t) 2 y(t) (5) ẍ(t) + (x(t) 2 α)) + 2x(t) + x 3 = 0 ẋ(t) = y(t) x(t)(x(t) Zadanie 27 Pokazać, że układ równań 2 + y(t) 2 1) ẏ(t) = x(t) y(t)(x(t) 2 + y(t) 2 ma niestabilny cykl graniczny Wskazówka: współrzędne 1) biegunowe Zadanie 28 Pokazać, że układ równań ẋ(t) = y(t) + x(t)(x(t) 2 + y(t) 2 1 1) sin x(t) 2 + y(t) 2 1 ẏ(t) = x(t) + y(t)(x(t) 2 + y(t) 2 1 1) sin x(t) 2 + y(t) 2 1 ma nieskończenie wiele cykli granicznych w otwartym dysku jednostkowym Zadanie 29 Znaleźć wszystkie cykle graniczne układu równań ẋ(t) Wskazać stabilne cykle graniczne = y(t) + x(t) sin( x(t) 2 + y(t) 2 ) ẏ(t) = x(t) + y(t) sin( x(t) 2 + y(t) 2 ) Zadanie 30 Pokazać, że równanie z(t) + (z(t) 2 + 2ż(t) 2 1)ż(t) + z(t) = 0 ma nietrywialne rozwiązanie okresowe ẋ(t) = y(t) x(t)(x(t) Zadanie 31 Pokazać, że układ równań 2 + y(t) 2 1) ẏ(t) = x(t) y(t)(x(t) 2 + y(t) 2 posiada 1) izolowane niestabilne rozwiązanie okresowe Zadanie 32 Zbadać istnienie cykli granicznych poniższego układu równań w zależności od ẋ(t) = y(t) + x(t)(µ x(t) parametru µ R : 2 y(t) 2 )(µ 2(x(t) 2 + y(t) 2 )) ẏ(t) = x(t) + y(t)(µ x(t) 2 y(t) 2 )(µ 2(x(t) 2 + y(t) 2 )) Naszkicować portrety fazowe tego układu dla µ 0 i µ > 0

5 Zadanie 33 Znaleźć wszystkie cykle graniczne w następujących układach równań: ẋ(t) = y(t) x(t)(x(t)2 + y(t) 2 2) x(t) 2 + y(t) 2 ẏ(t) = x(t) y(t)(x(t)2 + y(t) 2, 2) x(t) 2 + y(t) 2 ẋ(t) = x(t) x(t) 3 x(t)y(t) 2 ẏ(t) = y(t) y(t) 3 y(t)x(t) 2, ẋ(t) = y(t) + x(t)(x(t) (3) 2 + y(t) 2 1)(x(t) 2 + y(t) 2 2) ẏ(t) = x(t) + y(t)(x(t) 2 + y(t) 2 1)(x(t) 2 + y(t) 2 2), ẋ(t) = x(t)y(t) + x(t) cos(x(t) (4) 2 + y(t) 2 ) ẏ(t) = x(t) 2 + y(t) cos(x(t) 2 + y(t) 2 ) Zadanie 34 Zbadać istnienie cykli granicznych poniższego układu równań w zależności od parametru µ R : ẋ(t) = y(t) + x(t)(x(t) 2 + y(t) 2 µ)(2(x(t) 2 + y(t) 2 ) µ)(3(x(t) 2 + y(t) 2 ) µ) ẏ(t) = x(t) + y(t)(x(t) 2 + y(t) 2 µ)(2(x(t) 2 + y(t) 2 ) µ)(3(x(t) 2 + y(t) 2 ) µ) Naszkicować portrety fazowe tego układu dla µ 0 i µ > 0 Zadanie 35 Zbadać portrety fazowe poniższego układu równań w zależności od parametrów ẋ(t) = y(t) + x(t)(x(t) µ 1, µ 2 R : 2 + y(t) 2 1) 2 x(t)(µ 1 (x(t) 2 + y(t) 2 ) + µ 2 ) ẏ(t) = x(t) + y(t)(x(t) 2 + y(t) 2 1) 2 y(t)(µ 1 (x(t) 2 + y(t) 2 ) + µ 2 ) ẋ(t) = 1 x(t)y(t) Zadanie 36 Pokazać, że układ ẏ(t) = x(t) nie posiada trajektorii okresowych Zadanie 37 Rozważmy układ równań ẋ(t) = ωy(t) + x(t)(1 x(t) 2 y(t) 2 ) y(t)(x(t) 2 + y(t) 2 ) ẏ(t) = ωx(t) + y(t)(1 x(t) 2 y(t) 2 ) + x(t)(x(t) 2 + y(t) 2 ) K, gdzie K R Pokazać, że jeśli powyższy układ posiada trajektorię okresową w obszarze x 2 +y 2 > 1 2 to trajektoria ta powinna ograniczać obszar zawierający (0, 0) R 2 Zadanie 38 Niech f, g C 1 (R, R) Pokazać, że równanie ẍ(t) + f(x)ẋ(t) + g(x) = 0 nie ma rozwiązań okresowych w obszarze, na którym funkcja f ma stały znak różny od 0 Zadanie 39 Pokazać, że poniższe układy równań nie mają rozwiązań okresowych ẋ(t) = x(t)(y(t) 2 + 1) + y(t) ẏ(t) = (x(t) 2 + 1)(y(t) 2 + 1), ẋ(t) = x(t)(y(t) 2 + 1) + y(t) ẏ(t) = x(t) 2 y(t) + x(t) ṙ(t) = r(t)(1 r(t)) Zadanie 40 Rozwiązać układ z warunkiem r(t 0 ) = r 0, θ(t 0 ) = θ 0

6 Zadanie 41 Rozwiązać poniższe układy równań i znaleźć cykle graniczne ṙ(t) = r(t)(r(t) 1)(r(t) 2), ṙ(t) = r(t)(r(t) 1) 2 Zadanie 42 Naszkicować portrety fazowe poniższych układów w zależności od parametru < µ < + ṙ(t) = r(t) 2 (r(t) + µ), ṙ(t) = µr(t)(r(t) + µ) 2, ṙ(t) = r(t)(µ r(t))(µ 2r(t)) (3), ṙ(t) = r(t)(µ r(t) 2 ) (4) Zadanie 43 Stosując biegunową zamianę zmiennych znaleźć cykle graniczne w poniższych równaniach i zbadać ich stabilność ẋ(t) = y(t) + x(t)(1 x(t) 2 y(t) 2 ) ẏ(t) = x(t) + y(t)(1 x(t) 2 y(t) 2 ), ẋ(t) = x(t)(x(t) 2 + y(t) 2 1) y(t) x(t) 2 + y(t) 2 ẏ(t) = y(t)(x(t) 2 + y(t) 2 1) + x(t) x(t) 2 + y(t) 2 Zadanie 44 Pokazać, że rozwiązanie u 0 układu równań ẋ(t) = x(t)(x(t) 2 + y(t) 2 2) 4x(t)y(t) 2 ẏ(t) = 4x(t) 2 y(t) + y(t)(x(t) 2 + y(t) 2 2), jest asymptotycznie stabilne w sensie Lapunowa Wskazówka: wykazać, że funkcja V : R 2 R dana wzorem V (x, y) = x 2 + y 2 spełnia ostrą nierówność Lapunowa Zadanie 45 Zbadać stabilność położeń równowagi, w zależności od parametru λ R, następującego równania ẋ(t) = x(t)(9 λx(t))(λ + 2x(t) x(t) 2 )((λ 10) 2 + (y 3) 2 1) Ponadto narysować portret fazowy i wskazać wartości parametru λ przy których następuje zmiana stabilności położeń równowagi i ich liczby ẋ(t) = 2y(t) + y(t)z(t) Zadanie 46 Rozważmy układ równań ẏ(t) = x(t) x(t)z(t) oraz funkcję V : R 3 R ż(t) = x(t)y(t) daną wzorem V (x, y, z) = c 1 x 2 + c 2 y 2 + c 3 z 2, gdzie c 1, c 2, c 3 > 0 Opisać zbiór rozwiązań stacjonarnych tego układu Udowodnić, że rozwiązanie u 0 tego układu jest stabilne w sensie Lapunowa Czy można zastosować twierdzenie 275 do badania asymptotycznej stabilności rozwiązania u 0 tego układu? Wskazówka: dobrać współczynniki c 1, c 2, c 3 tak, żeby V była funkcja Lapunowa dla tego układu

7 Zadanie 47 Rozważmy układ równań ẋ(t) = 2y(t) + y(t)z(t) x(t) 3 ẏ(t) = x(t) x(t)z(t) y(t) 3 oraz funkcję V : ż(t) = x(t)y(t) z(t) 3 R 3 R daną wzorem V (x, y, z) = c 1 x 2 + c 2 y 2 + c 3 z 2 Udowodnić, że rozwiązanie u 0 tego układu jest asymptotycznie stabilne w sensie Lapunowa Czy można zastosować twierdzenie 275 z wykładu do badania asymptotycznej stabilności rozwiązania u 0 tego układu? Wskazówka: dobrać współczynniki c 1, c 2, c 3 tak, aby V była funkcją Lapunowa tego układu Zadanie 48 Stosując funkcję Lapunowa V (x, y, z) = x 2 +y 2 +z 2 udowodnić, że rozwiązanie u ẋ(t) = y(t) x(t)y(t) 2 x(t) 3 + z(t) 2 0 układu ẏ(t) = x(t) y(t) 3 + z(t) 3 jest asymptotycznie stabilne w ż(t) = x(t)z(t) x(t) 2 z(t) y(t)z(t) 3 z(t) 6 sensie Lapunowa Ponadto udowodnić, że rozwiązanie u 0 linearyzacji tego układu w punkcie stacjonarnym 0 R 3 jest stabilne w sensie Lapunowa, ale nie jest asymptotycznie stabilne Zadanie 49 Konstruując odpowiednią funkcję postaci V (x, y) = αx 3 + βx 2 y + γxy 2 + δy 3 ẋ = y 2 pokazać, że położenie równowagi (0, 0) równania ẏ = 2y 2 nie jest stabilne w sensie xy Lapunowa ẋ(t) = P (x(t), y(t)) Zadanie 50 Zbadać stabilność położeń równowagi układu ẏ(t) = Q(x(t), y(t)), gdzie P (x, y) = x 2 y 2 1, Q(x, y) = 2y, P (x, y) = y x 2 + 2, Q(x, y) = 2y 2 2xy, (3) P (x, y) = 4x 2y + 4, Q(x, y) = xy x 2 Zadanie 51 Wykazać, że każde niezerowe rozwiązanie równania ẋ(t) = x(t) jest nieograniczone i niestabilne w sensie Lapunowa Natomiast każde rozwiązanie równania ẋ = 1 jest nieograniczone i stabilne w sensie Lapunowa [ ] [ ] [ ] ẋ(t) 0 1 x(t) Zadanie 52 Rozważmy układ równań ( ) = + φ(x, y) Stosując ẏ(t) 1 0 y(t) funkcje Lapunowa V (x, y) = x 2 + y 2 udowodnić, że [ ] x jeżeli φ(x, y) = 3 xy 2 y 3 x 2, to rozwiązanie u 0 układu ( ) jest asymptotycznie y stabilne w sensie [ Lapunowa, ] x jeżeli φ(x, y) = 3 + xy 2 y 3 + x 2, to rozwiązanie u 0 układu ( ) jest niestabilne, y [ ] xy (3) jeżeli φ(x, y) =, to rozwiązanie u 0 układu ( ) jest stabilne w sensie Lapunowa, ale nie jest asymptotycznie stabilne

8 Zadanie 53 Niech f, g : R R będą wielomianami takimi, że f( x) = f(x) oraz g( x) = g(x) Pokazać, że równanie ẍ(t) + f(x(t))ẋ(t) + g(x(t)) = 0 jest równoważne układowi równań ẋ(t) = y(t) F (x(t)) x x ( ), gdzie F (x) = f(s)ds Zdefiniujmy G(x) = g(s)ds i załóżmy, że G(x) > 0 i g(x)f (x) > 0 (g(x)f (x) < 0) dla każdego x 0 Pokazać, że rozwiązanie ẏ(t) = g(x(t)) 0 0 u 0 układu ( ) jest asymptotycznie stabilne (niestabilne) w sensie Lapunowa Zadanie 54 Stosując odpowiednie funkcje Lapunowa zbadać stabilność położeń równowagi ẋ(t) = P (x(t), y(t)) układu równań ẏ(t) = Q(x(t), y(t)), gdzie P (x, y) = x + y + xy, Q(x, y) = x y x 2 y 2, P (x, y) = x 3y + x 3, Q(x, y) = x + y y 2, (3) P (x, y) = x 2y + xy 2, Q(x, y) = 3x 3y + y 3, (4) P (x, y) = 4y + x 2, Q(x, y) = 4x + y 2 Zadanie 55 Pokazać, że funkcja V (x, y) = x 2 + x 2 y 2 + y 4 jest funkcją Lapunowa dla układu ẋ(t) = 1 3x(t) + 3x(t) 2 + 2y(t) 2 x(t) 3 2x(t)y(t) 2 ẏ(t) = y(t) 2x(t)y(t) + x(t) 2 y(t) y(t) 3 Pokazać, że położenie równowagi (1, 0) jest asymptotycznie stabilne w sensie Lapunowa