Obliczanie długości łuku krzywych Autorzy: Witold Majdak 7
Obliczanie długości łuku krzywych Autor: Witold Majdak DEFINICJA Definicja : Długość łuku krzywej zadanej parametrycznie Rozważmy krzywą Γ zadaną parametrycznie w następujących sposób: Γ = {(x, y) R : x = φ(t), y = ψ(t), t [, ]}, gdzie φ i ψ są funkcjami ciągłymi w przedziale [, ]. Zdefiniujmy długość d łuku krzywej Γ. Podzielmy przedział [, ] na n podprzedziałów wybierając punkty podziału t k ( k =,, n) tak, aby zachodziła zależność = t < t < < t n =. Niech Δ k = t k t k oraz δ n = max{ Δ k : k =,, n}. Zauważmy, że punkty P k = (φ( t k ), ψ( t k )) Γ ( k =,, n) wyznaczają łamaną Γ n, która przybliża krzywą Γ w przedziale [, ]. Rysunek : Krzywa zadana parametrycznie wraz z oznaczonymi na niej punktami odpowiadającymi punktom podziału przedziału [, ] Długość otrzymanej łamanej wyraża się wzorem d n = P k P k, gdzie P k P k jest długością odcinka łączącego punkty P k i P k (k =,, n). Jeżeli istnieje granica n lim n d n i jest ona jest niezależna od wyboru normalnego ciągu podziałów przedziału [, ] (czyli takich jego podziałów, że lim δ n = ), to mówimy, że krzywa Γ jest krzywą prostowalną w przedziale [, ]. Granicę tę nazywamy długością łuku n krzywej Γ w przedziale [, ].
TWIERDZENIE Twierdzenie : o długości krzywej zadanej parametrycznie Jeżeli Γ jest krzywą prostowalną zadaną parametrycznie, a funkcje φ : [, ] R i ψ : [, ] R są klasy C, to długość krzywej Γ wyraża się wzorem d = ( φ (t)) + ( ψ (t)) dt. () DOWÓD Na początku zauważmy, że dla każdego n N długość łamanej Γ n jest równa Ponieważ funkcje φ i ψ są klasy C na przedziale [, ], więc do każdej z nich i do każdego z przedziałów [ t k, t k ] ( k =,, n) możemy zastosować twierdzenie Lagrange'a. Otóż na jego podstawie istnieją takie punkty ξ k i ξk należące do przedziału ( t k, t k ), że Stąd po przekształceniach otrzymujemy gdzie Δ k oznacza długość przedziału ( t k, t k ). Podstawiając powyższe wyrażenia do wzoru na d n, dostajemy Teraz przechodząc z d n do granicy przy n (i oczywiście pamiętając, że lim δ n = ), otrzymujemy n CND. d n d n n n = P k P k = (φ( t k ) φ( t k )) + (ψ( t k ) ψ( t k )). φ( t k )φ( ) t k = φ ψ( t ( ξ ) oraz k )ψ( t k ) = ( ). t k t k ψ ξ k t k t k k φ( t k ) φ( t k ) = φ ( ξ k )( t k t k ) = φ ( ξ k ) Δ k, ψ( t k ) ψ( t k ) = ψ ( ξk )( t k t k ) = ψ ( ξk ) Δ k, n = ( φ ( ξ k ) Δ k ) + ( ψ ( ξk ) Δ k) n = ( φ ( ξ k )) + ( ψ ( ξk ) ). n d = lim ( φ ( ξ k )) + ( ψ ( ξ ) = dt. k ) Δ k ( φ (t)) + ( ψ (t)) n Δ k PRZYKŁAD Przykład : Obliczymy długość krzywej zwanej asteroidą, która jest zadana równaniami parametrycznymi gdzie t [, ], natomiast a jest ustaloną liczbą dodatnią. x = φ(t) := t, { a3 cos 3 y = ψ(t) := a 3 sin 3 t,
Rysunek : Asteroida Asteroida jest symetryczna względem obu osi układu współrzędnych, więc do obliczenia jej długości wystarczy wyznaczyć długość łuku leżącego w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych. Zauważmy, że x = φ(t) i y = ψ(t) są funkcjami klasy C, a ich pochodne wynoszą odpowiednio: φ (t) = 3a 3 cos t sin t, ψ (t) = 3a 3 sin t cos t. Obliczmy wartość wyrażenia ( φ (t)) + ( ψ (t)) > dla każdego t (, ). Otóż ( φ (t)) + ( ψ (t)) = (3a 3 cos t sin t ) + (3a 3 sin t cos t) = 9a 6 cos t sin t + 9a 6 sin t cos t = 9a 6 cos t sin t( cos t + sin t) = 9a 6 cos t sin t >. Korzystając ze wzoru ( ) na długość krzywej, otrzymujemy d = ( φ (t)) + ( ψ (t)) dt = 9a 6 cos t sin t dt = 3 a 3 cos t sin t dt. Wartości sin t i cos t są nieujemne dla każdego t [, ], zatem d = a 3 cos t sin tdt = 6a 3 sin tdt = 6a 3 ( cos t) = 3a 3 = 6 a 3. Podamy teraz twierdzenie, które umożliwi nam wyznaczanie długości krzywej, która jest wykresem funkcji zmiennej x. TWIERDZENIE Twierdzenie : o długości krzywej będącej wykresem funkcji jednej zmiennej Długość d łuku krzywej będącej wykresem funkcji f : [a, b] R, która jest klasy C, wyraża się wzorem d = b a + ( f (x)) dx. () DOWÓD
Przyjmijmy, że Wówczas na podstawie twierdzenia o długości krzywej zadanej parametrycznie otrzymujemy CND. x = φ(t) := t oraz y = ψ(t) := f(t) dla t [a, b]. b d = ( φ (t)) + ( ψ (t)) b dt = + ( f (t)) dt. a a PRZYKŁAD Przykład : Obliczmy długość linii łańcuchowej f(x) = ( + ), gdzie ex e x x [, ]. Rysunek 3: Linia łańcuchowa Ponieważ pochodna funkcji f wyraża się wzorem więc wyrażenie podpierwiastkowe ma postać f (x) = ( ), ex e x + ( f (x)) ( + e = + = x + e x e = x ++ e x ( + =. e x e x ) Podstawiając to wyrażenie do wzoru ( ), otrzymujemy długość krzywej e x e x ) d = + ( f (x)) ( e dx = x + e x ) e dx = x + e x e dx = x e x = e. e Dla krzywej Γ zadanej w postaci biegunowej zachodzi następujące twierdzenie.
TWIERDZENIE Twierdzenie 3: o długości krzywej zadanej w postaci biegunowej Jeżeli krzywa Γ zadana jest w postaci biegunowej r = r(ϕ), gdzie r : [, ] R jest funkcją klasy C, a łuk krzywej Γ nie ma punktów wielokrotnych, to długość tej krzywej wyraża się wzorem d = (r(ϕ)) + ( r (ϕ)) dϕ. (3) DOWÓD Krzywą wyrażoną w postaci biegunowej można także zapisać parametrycznie, przy pomocy tzw. współrzędnych biegunowych: gdzie ϕ [, ], a następnie jej długość wyrazić za pomocą wzoru ( ). Ponieważ pochodne funkcji φ i ψ są postaci dla ϕ [, ], to wyrażenie podpierwiastkowe przyjmuje postać W konsekwencji CND. x = φ(ϕ) := r(ϕ) cos ϕ, { y = ψ(ϕ) := r(ϕ) sin ϕ, φ (ϕ) = (ϕ) cos ϕ r(ϕ) sin ϕ, ψ (ϕ) = r (ϕ) sin ϕ + r(ϕ) cos ϕ ( φ (ϕ)) + ( ψ (ϕ)) = ( r (ϕ) cos ϕ r(ϕ) sin ϕ ) + ( r (ϕ) sin ϕ + r(ϕ) cos ϕ) r = ( r (ϕ)) cos ϕ r (ϕ)r(ϕ) cos ϕ sin ϕ + r (ϕ) sin ϕ + ( r (ϕ)) sin ϕ + r (ϕ)r(ϕ) cos ϕ sin ϕ + r (ϕ) cos ϕ = ( r (ϕ)) ( sin ϕ + cos ϕ) + r (ϕ)( sin ϕ + cos ϕ) = (r(ϕ)) + ( r (ϕ)). d = ( φ (ϕ)) + ( ψ (ϕ)) dϕ = (r(ϕ)) + ( r (ϕ)) dϕ. PRZYKŁAD Przykład 3: Wyprowadzimy wzór na długość okręgu o promieniu a. Równanie okręgu we współrzędnych biegunowych ma postać r(ϕ) = a, gdzie ϕ [, ]. Podstawiając r(ϕ) i r (ϕ) = do wzoru ( 3 ) na długość krzywej, otrzymujemy znany wzór na długość okręgu d = a + dϕ = a dϕ = aϕ = a. Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3. Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3./pl/.
Data generacji dokumentu: 7-6- 8:35:7 Oryginalny dokument dostępny pod adresem: http://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php? link=edd5b85bc6ac68dfb7e56a797b Autor: Witold Majdak