Fika dla Infomatki Stosowanej Jacek Golak Semest imow 16/17 Wkład n 13
Pole magnetcne Pole magnetcne opiswane jest p pomoc wektoa indukcji magnetcnej B o tej własności że na ładunek elektcn pousając się pędkością v diała w punkcie P siła dana woem F q v B siła Loenta Jednostką indukcji magnetcnej w układie SI jest tesla T N s Cm V s m B T
K B dl n B j I n Pawo mpee a w postaci całkowej Pawo mpee a w postaci óżnickowej S B ds B Całkowit stumień indukcji magnetcnej po dowolnej powiechni amkniętej wnosi eo! Dwegencja indukcji magnetcnej wnosi eo! Pole magnetcne jest beźódłowe! B j Potencjał wektoow
Pole magnetcne wtwoone pe kołową pętlę pądem p ałożeniu że jest nacnie więkse od R. 5 3 3 4 R I B O I
W takim aie napotkam kolejn odpowiednik tego co mieliśm w elektostatce p -Q O Q QL I O m I S Dipol elektcn dwa ładunki punktowe peciwnego naku Dipol magnetcn obwód pądem niekoniecnie płaskim elektcn moment dipolow magnetcn moment dipolow
W ppadku elektostatki dipol elektcn bł podstawowm pojęciem p omawianiu pola elektcnego w mateii! Mateia dielektcna w polu elektcnm stanowiła bió dipoli któe kolei wtwaał pole elektcne. W ppadku magnetostatki jest podobnie. W mateii można naleźć moment magnetcne!
Moment magnetcne atomów i jąde atomowch Roważm najpiew klascn model atomu wodou: wokół dodatnio naładowanego potonu kąż po obicie kołowej elekton o masie m e. L v + m Możem pjąć że pe obitę płnie pąd o natężeniu ładunek/okes: m I ev a obitaln moment magnetcn elektonu wnosi: ev 1 ev I
Kążąc po obicie elekton posiada moment pędu ówn: L m v e Możem więc magnetcn obitaln moment dipolow napisać jako: m e m e L e W mechanice kwantowej ut wektoa L na dowoln kieunek np. oś pbiea watości nieciągłe cli skwantowane! stała Plancka L m l m h 1.51 l 1... 34 J s h keślone elementan kwant obitalnego momentu pędu
W takim aie magnetcn obitaln moment dipolow też jest skwantowan i pjmuje watości m L B e m e m e e 9.7 1 e ml me 4 B m Bado niewkłe jest to że punktow elekton ma także własn tw. spinow moment pędu któego ut na dowoln kieunek np. oś pbiea tlko dwie watości: magneton Boha L s m s m s 1
Magnetcn spinow moment dipolow też jest skwantowan i pjmuje watości m spin g s e me m s B dodatkow cnnik histoia fika: Pauli Diac QED Tak samo jest dla innch leptonów mionu i taonu! Jakie są spinowe moment magnetcne składników jąde atomowch? Rut spinowego momentu pędu potonu i neutonu na dowoln kieunek np. oś pbiea tak jak dla elektonu tlko dwie watości: ±½! Odpowiednikiem magnetonu Boha jest magneton jądow: N e m p 5.51 7 m masa potonu
Magnetcn moment dipolow potonu mpot.79 N Magnetcn moment dipolow neutonu mneut 1.91 N Te watości wskaują na to że poton i neuton budowane są badiej elementanch składników kwaków! Moment magnetcne jąde wnikają własnch momentów magnetcnch potonów i neutonów oa uchu wględnego nukleonów!
Pole magnetcne w mateii Zjawiska magnetcne są spowodowane uchem ładunków; w skali atomowej płną mikoskopowe pąd któm odpowiadają dipole magnetcne. Zwkle nosą się wajemnie powodu ppadkowego ułożenia atomów. W ewnętnm polu magnetcnm te dipole magnetcne ustawiają wdłuż linii pola substancja staje się spolaowana magnetcnie namagnesowana! Mał ale makoskopow fagment mateii może posiadać magnetcn moment dipolow. Magnetacją inacej polaacją magnetcną wekto onacan liteą M nawam magnetcn moment dipolow na jednostkę objętości.
T odaje mateiałów: paamagnetki: namagnesowanie w tm samm kieunku i tm samm wocie co pole B. Zwkle są to substancje budowane atomów lub cąstecek o niepastej licbie elektonów Na Li K. Decdujące nacenie spinowego momentu dipolowego niespaowanego elektonu. Wciągane do pola magnetcnego. diamagnetki: namagnesowanie w tm samm kieunku ale o peciwnm wocie do pola B. Tpowe diamagnetki budowane są atomów lub cąstecek któe mają pastą licbę elektonów łoto sebo tęć miedź cnk wiele wiąków oganicnch oa wsstkie ga obojętne. Niewkle mocnmi diamagnetkami są bimut i antmon. Decdujące nacenie ma miana momentów dipolowch wiąanch obitalnm momentem pędu. Wpchane pola magnetcnego. feomagnetki: namagnesowanie nie nika gd ewnętne pole B ostaje włącone żelao kobalt nikiel gadolin. Własności wnikają oddiałwania międ sąsiednimi atomami lub jonami w sieci kstalicnej. Tpowe jest wstępowanie domen obsaów awieającch miliad godnie ustawionch dipoli któe pod wpłwem pola ewnętnego mogą obejmować całą objętość póbki.
Magnesowanie Pętla histee M 3 - + I 4 1 8 I mateiał któ chcem namagnesować 5 6 Feomagnetm dużo silniejs niż dia- lub paamagnetm cnnik 1 4-1 5 W tempeatue wżsej niż tw. tempeatua Cuie feomagnetk staje się paamagnetkiem! Dla żelaa to około 77 o C
Ppomnienie: dla dielektków oważając spolaowane ciało okładem gęstości dipoli elektcnch dosliśm do pojęcia objętościowej i powiechniowej gęstości ładunków wiąanch. Tea analogicn achunek pokaując indukcję magnetcną wtwooną pe namagnesowane ciało powadi do gęstości objętościowej i powiechniowej pądów wiąanch. B j jsw jw M 1 B jsw M 1 B M H j sw j w natężenie pola magnetcnego
Dla paa- i diamagnetków wekto magnetacji M jest popocjonaln do wektoa B dla niebt silnch pól. Pisem wcajowo: H M m podatność magnetcna H H B H B M B H m m 1 1 1 penikalność magnetcna
Mateiał Paamagnetki Uan Platna luminium Sód Tlen ga Diamagnetki Bimut Rtęć Sebo Węgiel diament Ołów Chloek sodu Miedź Woda Podatność magnetcna dla t = C 4 1-5 6 1-5. 1-5.7 1-5.19 1-5 -16.6 1-5 -.9 1-5 -.6 1-5 -.1 1-5 -1.8 1-5 -1.4 1-5 -1. 1-5 -9. 1-6
d M Na następnch slajdach pokauję pelicenia powadące od pola magnetcnego namagnesowanego ciała do pądów wiąanch. Wgodniej jest policć potencjał wektoow od takiego ciała a nie samą indukcję magnetcną! Potencjał wektoow pojedncego dipola dan jest woem 3 4 m Każd element objętości namagnesowanego ciała daje swój wkład do potencjału wektoowego bo jest w nim moment dipolow 4 3 d M
1 3 Skostam wou i apisem: 1 4 4 3 d M d M gadient wględem wielkości pimowanch
4 1 4 d M d M Następnie użwam tójwmiaowego wou na całkowanie pe cęści i pochodną ilocnu Dugą całek pekstałcam w całkę powiechniową po powiechni obejmującej obsa Ω: beg ds M d M 1 4 1 4
Obie całki wglądają tak jakb pochodił od pądów - piewsa całka od pądu objętościowego a duga od pądu powiechniowego. To są właśnie pąd wiąane! 4 4 1 4 1 4 beg w w beg ds K d j ds M d M ˆ ds M K M j w w gdie jednostkow wekto postopadł do powiechni
Efekt Halla Cienka małe b płtka pewodąca w polu magnetcnm b - - - - - - - - - - - - - U H I a v D F L e - I + + + + + + + + + + B Elekton pewodnictwa któe pousają się e śednią pędkością dfu v D są odchlane w kieunku.
Two się óżnica potencjałów pomięd góną i dolną kawędią pewodnika. Pojawia się więc siła elektcna wnikająca tej óżnic potencjałów. Jest ona skieowana peciwnie do sił Loenta. Zównanie się tch dwóch sił onaca stan ównowagi. ev D B F L F E U e a Z teoii pewodnictwa elektonowego wiadomo że v D j ne I n ea b Otmujem więc wó na óżnicę potencjałów geneowaną w efekcie Halla IB W tm woe mam ależność od U H koncentacji nośników pądu! neb H
Indukcja elektomagnetcna Wobaźm sobie t doświadcenia I wkonaną dutu w pawo poa B v obsa pola 1 Wsuwam amkniętą pętlę v B I Pesuwam magnes w lewo a pętla poostaje nieuchoma B się mienia I 3 Pętla i magnes poostają nieuchome ale mieniam pole magnetcne
We wsstkich tech ppadkach w obwodie płnie pąd! Wsstkie t ppadki można aweć w uniwesalnej egule stumienia Jeśli dowolnego powodu mienia się stumień magnetcn penikając pe obwód w obwodie indukuje się siła elektomotocna. t Dla ppadku 3 otmujem pawo Faadaa w postaci całkowej E dl t M t M S B ds S B t ds
Kostając twiedenia Stokesa całkę po kontue amkniętm amieniam na całkę po powiechni S opiętej na kontue Γ otacji pola E. E dl ds S E S B t ds W postaci óżnickowej pawo Faadaa ma postać: E B t To już na pewno nie jest elektostatka gdie bło E.
W któm kieunku płnie indukowan pąd? Indukowan pąd płnie w takim kieunku że dodatkow stumień powstał w wniku jego pepłwu speciwia się mianie piewotnego stumienia. Jest to teść tw. eguł Lena Natua nie nosi mian stumienia i sens naku minus we woe t M. Jakie są bepośednie konsekwencje eguł stumienia? Indukcjność wajemna i samoindukcja!
Indukcjność własna B B Zmiana natężenia pądu indukuje siłę elektomotocną w tej samej pętli w któej płnie pąd! Stumień jest popocjonaln do płnącego pądu więc L I I t L L jest wielkością csto geometcną ależną od omiaów i kstałtu obwodu. Jednostką indukcjności wajemnej i indukcjności własnej jest hen H: [ M ] [ L] V s Indukcjność własna jest miaą bewładności i odpowiednikiem mas: im więksa indukcjność własna tm tudniej mienić natężenie w obwodie. H di dt.
Indukcjność wajemna B 1 I 1 B 1 pętla pętla 1 Mam dwie nieuchome pewodące pętle. Pąd o natężeniu I 1 płnąc w pętli 1 wtwaa stumień pola magnetcnego pe pętlę któ jest popocjonaln do I 1 : M 1I1 Można pokaać że M 1 = M 1 M gdie M jest wielkością csto geometcną ależną od omiaów kstałtów i wajemnego położenia obu pętli. Jeśli mieniam natężenie pądu I 1 to stumień magnetcn pe dugą pętlę także się mienia i indukuje w dugiej pętli siłę elektomotocną t M di dt 1.
Ważn pkład : Indukcjność własna nieskońcenie długiego solenoidu w kstałcie walca o pomieniu R na któ ciasno nawinięto pewodnik pądem. a Znam indukcję magnetcną B B ni n jest licbą wojów na jednostkę długości Policm indukcjność fagmentu cewki o długości a. Ponieważ w tm fagmencie mam na wojów więc stumień dan jest woem nin a R L n a R
Indukcja elektomagnetcna ma kolosalne nacenie paktcne Paktcnie wsstkie uądenia petwaające enegię mechanicną na enegię elektcną od dnama oweowego do potężnch geneatoów w elektowniach silniki na pąd mienn tansfomato wsstkie uądenia asilane pądem miennm i każde uądenie wkostujące pąd mienn adio telewio telefon kompute ma coś wspólnego pawem indukcji Faadaa!
Obwód indukcjnością Bateia o stałej sile elektomotocnej ϵ ostaje włącona do obwodu opoem R i indukcjnością L. Jak mienia się natężenie pądu płnącego w tm obwodie? It L + - Całkowita siła elektomotocna jest sumą sił elektomotocnej bateii i indukowanej sił elektomotocnej: di L RI dt WP : I t R I t R 1 L Rt e
R O It Ładunek pepłwając pe pewodnik w jednostce casu jest ówn I więc całkowita paca wkonana w jednostce casu wnosi dw dt dw t I LI di LI W b w obwodie popłnął pąd należ wkonać pacę peciwko peciwstawnej sile elektomotocnej. W obwodie ostanie maganowana enegia! Jest to w istocie enegia pola magnetcnego. Cli mam kolejn odpowiednik jawiska elektostatki. Tam mieliśm ładowanie kondensatoa od ea do ładunku Q a tea twom pąd od ea do I! di dt 1 LI E mag
W ppadku cewki o skońconej długości pole magnetcne istnieje tlko w oganiconm obsae i p aniedbaniu efektów begowch jest takie same w całej cewce. Znowu mam odpowiednik kondensatoem płaskim o skońconch omiaach. Możem więc naleźć wó na enegię pola magnetcnego ważon pe gęstość enegii ilość enegii w jednostce objętości E mag 1 B 3 R dv E el E dv 3 To bło w póżni. Jeśli wnęte cewki błob wpełnione mateią o penikalności magnetcnej μ wted E mag 1 B H dv 3 R E el R 1 E DdV 3 R
Obwod awieające opó pojemność i indukcjność Mam tea już wstacającą wiedę b opisać achowanie obwodów w któch wstępują nie tlko oponiki ale także kondensato i cewki indukcjnością. Zewnętna siła elektomotocna nie musi bć stała! Pawa Kichhoffa stają się ównaniami óżnickowmi. I C ϵ R L Pkład: seegow obwód RLC V L d Q dt V di L dt C R L V IR dq dt R t Q C t 1 Q LC I t 1 t L dq dt ównanie óżnickowe II ędu na Qt
Równanie dla seegowego obwodu RLC bado ppomina ównanie osclatoa hamonicnego ewnętną siłą wmusającą dla tłumienia popocjonalnego do pędkości! nalogie: Obwód RLC Osclato hamonicn m L R k 1 C d Q L dt m d dt R dq dt d dt 1 Q C k t Q t v d dt I F t t t F t dq dt Polecam notebooki: http://uses.uj.edu.pl/~golak/f16-17/obwod_rlc_wesja_ostatecna_weak.nb http://uses.uj.edu.pl/~golak/f16-17/obwod_rlc_wesja_ostatecna_stong.nb
Równania elektomagnetmu w póżni ped Mawellem E B B E t B j Uwaga: To są ównania apisane w układie SI!
W jednm tch ównań cegoś bakuje! Do ównania B j dosliśm statując postaci całkowej i mieniając całkę kwoliniową po kontue K na całkę po powiechni S któa opięta jest na kwej K. B dl K I kontu całkowania K Ropatm ładowanie kondensatoa Któą powiechnię wbać? Pe powiechnię S 1 pąd płnie a pe powiechnię S pąd nie płnie i mam specność w ważeniu całką! okładki kondensatoa Obaek e ston: http://indukcja.cba.pl/padpesu.php
obaek Wikipedii James Clek Mawell 1831-1879 Jego najwięksm osiągnięciem bło podanie ostatecnej postaci ównań ądącch jawiskami elektomagnetcnmi. Równania te do diś nawam ównaniami Mawella B j E t Rotacja indukcji magnetcnej dana jest pe wekto gęstości pądu oa mianę w casie pola elektcnego! Tlko tle dodał sam Mawell. To tw. gęstość pądu pesunięcia
t E j B t B E B E Komplet ównań Mawella w póżni Uwaga: To są ównania w układie SI!
Uwagi: 1 To są ównania w postaci óżnickowej. Każdemu ównaniu odpowiada ównanie w postaci całkowej. Na pkład: E Q E ds S Równania dotcą dowolnego ppadku nie oganicają się do elektostatki lub magnetostatki! Wekto E i B ależą nie tlko od punktu pesteni ale także od casu. W scególności pawo Gaussa jest słusne dla ładunków pousającch się dowolną pędkością! 3 Równania Mawella awieają w sobie ównanie ciągłości wiążące wekto gęstości pądu oa gęstość ładunku elektcnego 4 Z ównań Mawella wnika istnienie fal elektomagnetcnch 5 Równania Mawella są godne STW wew pawo Gaussa
Równania Mawella w mateii Równania Mawella D B B E t D H j t Równania Mawella musą bć uupełnione o ównania mateiałowe: D H E 1 B Dla ośodka liniowego wielkości μ i ϵ są stałe i nie ależą od punktu w pesteni. Dla póżni należ astąpić:
Fale elektomagnetcne Punkt wjścia: ównania Mawella układ SI! Najpiew dla póżni ε penikalność dielektcna póżni μ penikalność magnetcna póżni ρ gęstość objętościowa ładunku - gęstość objętościowa pądu J
8.85419 1 7 T m 4π 1 N T tesla m 1 C N m jednostka indukcji magnetcnej
t B t B t B t B t B B t E t E t E t E t E E pole elektcne indukcja magnetcna Wekto pola elektcnego i indukcji magnetcnej ależą od casu i punktu pesteni!
Zakładam że w pesteni nie ma ani ładunków ani pądów Licm otację obu ston ostatnich dwóch ównań; otacja awiea pochodne po współędnch pestennch więc możem mienić kolejność óżnickowania po t oa po i
ot ˆ ˆ ˆ Ppomnienie: otacja dowolnego wektoa to wekto
div Ppomnienie: dwegencja dowolnego wektoa to skala Pochodna po casie dowolnego wektoa to wekto t t t t
Dla dowolnego wektoa mam otacja otacji Dlatego
Każda składowa pola elektcnego i indukcji magnetcnej spełnia w póżni be ładunków i pądów ównanie falowe! W dodatku dokładnie be żadnch pbliżeń! Pędkość ochodenia się fali faowa v p 1 Powsechne onacenie to v p 8 c 31 m s c to jedna podstawowch stałch pod!