WYKORZYSTANIE WSPÓŁCZYNNIKA GINIEGO DO OCENY RYZYKA SYSTEMATYCZNEGO

METODY ILOŚCIOWE W BADANIACH EKONOMICZNYCH To XI/, 010, str. 01 10 WYKORZYSTANIE WSPÓŁCZYNNIKA GINIEGO DO OCENY RYZYKA SYSTEMATYCZNEGO Elżbeta Majewska Instytut Mateatyk, Unwersytet w Bałystoku e-al: ela@ath.uwb.edu.pl Streszczene: W pracy przedstawy ożlwośc wykorzystana średnej różncy Gnego oraz uogólnonego współczynnka Gnego do oceny ryzyka systeatycznego. Oówy korzyśc wynkające z zastosowana tych ar do wyznaczana współczynnka beta. Zaprezentujey wynk uzyskane etodą najnejszych kwadratów oraz z wykorzystane wsponanych ar dla wybranych akcj notowanych na GPW w Warszawe. Słowa kluczowe: ryzyko systeatyczne, współczynnk beta, średna różnca Gnego, uogólnony współczynnk Gnego WSTĘP Ryzyko systeatyczne (rynkowe) jest, obok oczekwanej stopy zwrotu odchylena standardowego, jedny z podstawowych paraetrów charakteryzujących nwestycje w akcje. Jest ono erzone współczynnke określający słę reakcj stopy zwrotu z danej akcj na zany portfela rynkowego 1. Do szacowana wartośc tego współczynnka wykorzystuje sę najczęścej klasyczną etodę najnejszych kwadratów. W nektórych sytuacjach bywa ona jednak zawodna. W pracy przedstawy alternatywny sposób poaru ryzyka systeatycznego oparty na współczynnku Gnego Γ (ν ). Na przykładze spółek wchodzących w skład ndeksu WIG0 przeanalzujey wartośc współczynnków beta szacowanych w sposób klasyczny z wykorzystane Γ (ν ). Sprawdzy, czy uzyskane wartośc różną sę stotne, a także porównay rankng akcj uzyskane względe oraz (ν ). 1 Substytute portfela rynkowego jest zwykle ndeks gełdowy.

0 Elżbeta Majewska RYZYKO SYSTEMATYCZNE UJĘCIE KLASYCZNE Jedną z podstawowych zależnośc wykorzystywanych w analze nstruentów fnansowych jest tzw. lna charakterystyczna opsująca zwązek poędzy stopą zwrotu z danego paperu wartoścowego ( r ) stopą zwrotu z portfela rynkowego ( r ) postac: r = α + r + ε, (1) gdze ε oznacza składnk losowy, natoast to współczynnk beta waloru określający jego ryzyko systeatyczne (rynkowe). Jeżel rynek pozostaje w równowadze, to zachodz prosta lnowa zależność poędzy ty ryzyke a oczekwaną stopą zwrotu z waloru ( r ): r = r + ( r r ) () f przy czy r f oznacza stopę zwrotu wolną od ryzyka. Jest to jedno z podstawowych równań odelu wyceny dóbr kaptałowych CAPM. Istotny eleente jest wybór właścwej etody oszacowana paraetru. Jeżel r oraz ε w równanu (1) ne są ze sobą skorelowane ają rozkłady noralne, to ożey stosować klasyczną etodę najnejszych kwadratów (KMNK). Uzyskany w ten sposób estyator postac cov( r, r ) cov( r, r ) = = (3) cov( r, r ) σ ( r ) ( cov( r, r ) oznacza kowarancję, a σ ( r ) warancję odpowednch stóp zwrotu) jest zgodny, neobcążony najbardzej efektywny, o le składnk losowy a zerową wartość oczekwaną jest hooskedastyczny (a stałą, skończoną warancję). W praktyce okazuje sę, że estyatory KMNK szacowane na podstawe szeregów czasowych stóp zwrotu dosyć często ne ają tych pożądanych własnośc. Jedną z przyczyn oże być zależność poędzy portfele rynkowy składnke losowy, co skutkuje ty, że uzyskany estyator jest obcążony. Jeżel natoast składnk losowy ne jest hooskedastyczny, to estyator przestaje być najbardzej efektywny. W ty ostatn przypadku ożna zastosować uogólnoną etodę najnejszych kwadratów. Inny rozwązane jest natoast wykorzystane etody zennych nstruentalnych (IV), która zapewna uzyskane estyatora zgodnego równeż w przypadku skorelowana r ε. Wyaga ona jednak wskazana zennej slne skorelowanej z portfele rynkowy neskorelowanej ze składnke losowy. Może ną być dystrybuanta f

Wykorzystane współczynnka Gnego do oceny 03 F ( r ) rozuana jako względny rankng stóp zwrotu z portfela rynkowego. Wówczas estyator postac: IV cov[ r, F ( r )] = (4) cov[ r, F ( r )] jest zgodny. Okazuje sę, że analogczne własnośc a estyator szacowany przy użycu współczynnka Gnego [Gregory-Allen, Shalt 1999]. WSPÓŁCZYNNIK GINIEGO JAKO MIARA RYZYKA Wykorzystane średnej różncy Gnego uogólnonego współczynnka Gnego jako ar ryzyka nwestycyjnego opsal szczegółowo w 1984 r. Shalt Ytzhak. Okazuje sę, że welkośc te ają szereg własnośc analogcznych do odchylena standardowego. Ponadto konstrukcja efektywnych portfel nwestycyjnych oparta na kryteru średnej arytetycznej średnej różncy Gnego (MG) łączy zalety etody donacj stochastycznej (SD) oraz etody Markowtza opartej na średnej warancj (MV). Zastąpene warancj (odchylena standardowego) średną różncą Gnego pozwala bowe, tak jak MV, w prosty sposób konstruować portfele efektywne. Opera sę jednak, podobne jak SD, na znaczne ogólnejszych założenach. W szczególnośc ne wyaga przyjowana założeń an o rozkładze stóp zwrotu z paperów wartoścowych, an o funkcj użytecznośc nwestora. Jest przy ty zgodna z zasadą aksyalzacj oczekwanej użytecznośc. Średna różnca Gnego jest statystyczną arą koncentracj, defnowaną jako wartość oczekwana bezwzględnej różncy dwóch nezależnych zennych losowych o jednakowy rozkładze. Stosując tę welkość do poaru ryzyka nwestycyjnego wygodne jest posługwać sę wzore postac: Γ = cov[ r, F ( r )], (5) gdze F ( r ) oznacza dystrybuantę rozkładu stopy zwrotu waloru. Posługując sę średną różncą Gnego ożey (dla rynku pozostającego w równowadze) opsać zależność poędzy oczekwaną stopą zwrotu waloru oraz jego ryzyke: cov[ r, F ( r )] r = rf + ( r rf ), (6) Γ która jest odpowednke równana (). Średna różnca Gnego jest szczególny przypadke uogólnonego wskaźnka Gnego defnowanego jako 3 Dystrybuantę F ( r ) otrzyujey nadając nuery uporządkowany nealejąco stopo zwrotu z portfela rynkowego, a następne dzeląc te nuery przez lość obserwacj. 3 Netrudno zauważyć, że Γ ( ) = Γ.

04 Elżbeta Majewska Γ ( ν ) = ν cov{,[1 F ( r )] 1 < ν < ν 1 r }, (7) gdze ν jest paraetre uwzględnający pozo awersj do ryzyka nwestora: wększa jego wartość, ty wększa nechęć do ryzyka. W zwązku z ty rozważając rynek nwestorów o jednakowy pozoe awersj do ryzyka, ożey określć ogólnejszą zależność stanowącą odpowednk podstawowej równośc odelu CAPM: r = r + ( r r ) ( ν ) (8) przy czy zgodny estyatore paraetru (ν ) jest 4 f f ν 1 ν cov{ r,[1 F ( r )] } ( ν ) = ν 1 ν cov{ r,[1 F ( r )] }. (9) Wartośc (ν ) zenają sę wraz z paraetre ν. Można jednak pokazać, że jeżel stopy zwrotu ają rozkład noralny, to nezależne od wartośc ν współczynnk beta są take sae równe estyatorow KMNK, czyl ( ν ) =. W ogólny przypadku, aby sprawdzć, czy (ν ) różną sę stotne od ożna zastosować test Hausana. Polega on na weryfkacj hpotez postac: H 0 : ( ν ) = 0 H1 : ( ν ) 0 na podstawe wartośc statystyk eprycznej qˆ = (11) Vˆ( qˆ ) gdze: qˆ = ( ν ), 1 ρ V ˆ( qˆ ) = Vˆ( ), ρ Vˆ( ) - warancja estyatora KMNK paraetru, ρ - współczynnk korelacj poędzy stopą zwrotu z portfela rynkowego ν 1 zenną postac [1 F ( r )]. Statystyka a rozkład χ z jedny stopne swobody. (10) 4 1 Jest to estyator IV paraetru beta; zenną nstruentalna jest [1 F ν ( )]. r

Wykorzystane współczynnka Gnego do oceny 05 WYNIKI BADAŃ EMPIRYCZNYCH Przeprowadzone analzy dotyczyły akcj 0 spółek wchodzących w skład ndeksu WIG0 w dnu 5 aja 010 r. Na podstawe dzennych stóp zwrotu tychże akcj oraz ndeksu WIG (substytut portfela rynkowego) z okresu od 1.05.009 r. do 30.04.010 r. wyznaczylśy wartośc estyatorów KMNK współczynnków beta oszacowanych zgodne ze wzore (3) oraz estyatorów (ν ) uzyskanych ze wzoru (9) przy wartoścach paraetru ν odpowadających coraz wększej awersj do ryzyka wynoszących kolejno: 1,5; ;,5; 3; 4; 5; 6; 8; 10; 15; 0. W kolejny kroku sprawdzlśy w oparcu o wartośc statystyk (wzór 11), czy różnce poędzy oraz (ν ) (dla poszczególnych ν ) są stotne statystyczne. Ostatn eleente przeprowadzonych analz było porównane rankngów akcj, które uzyskalśy porządkując walory od najnej ryzykownych do najbardzej. Sporządzane porównywane takch zestaweń jest stotne z punktu wdzena nwestora, poneważ bardzo często ważne jest dla nego ne to, jak jest pozo ryzyka poszczególnych akcj, ale która z nwestycj jest najbezpecznejsza, a która najbardzej ryzykowna. To zaś, jak sę wydaje, oże ne zależeć od wyboru estyatora. Podobeństwo uporządkowań spółek ocenlśy na podstawe wartośc współczynnków korelacj rang τ Kendalla [Kowalsk 006]. Tabela 1 przedstawa oszacowana paraetrów oraz (ν ) analzowanych spółek. W badany okrese stopy zwrotu sedu spośród nch dosyć słabo reagowały na zany portfela rynkowego ( < 1), przy czy najnejszy ryzyke systeatyczny obarczone były akcje CEZ ( = 0, 3818 ). W przypadku pozostałych 13 walorów sła reakcj na zany zachodzące na rynku była znaczna sęgnęła 1,6480 (akcje BRE). We wszystkch przypadkach wartośc (ν ) były natoast znaczne wększe nż wahały sę od 1,193 ( (0) dla akcj CEZ) do,635 ( ( 1, 5) dla akcj Boton). Wynk testu Hausanna potwerdzają, że estyatory KMNK oraz (ν ) różną sę. Brak stotnych statystyczne różnc (wartośc oznaczone * oraz ** w tabel 1) stwerdzlśy jedyne w przypadku akcj BRE ( ν = 0), Getn ( ν = 10, 15, 0 ), PEKAO ( ν = 8,10,15, 0) oraz PKOBP ( ν =15, 0). Warto zauważyć, że oszacowana te dotyczą wysokch wartośc paraetru ν oznaczających znaczną awersję do ryzyka. Z uwag na stosunkowo newelk zakres przeprowadzonych badań trudno jest jednak stwerdzć, czy jest to tendencja charakterystyczna dla polskego rynku, czy też wynk take są raczej przypadkowe deternował je np. przyjęty okres badawczy. Podobne analzy przeprowadzone na rynku aerykańsk [Gregory-Allen, Shalt 1999] ne wskazywały tego typu prawdłowośc.

06 Elżbeta Majewska Warto zwrócć uwagę na jeszcze jeden eleent. Z własnośc uogólnonego wskaźnka Gnego wynka, że jest on rosnącą funkcją arguentu ν. Oznacza to, że jeśl stosujey Γ (ν ) do poaru ryzyka nwestycyjnego, to dany walor będze postrzegany jako bardzej ryzykowny przez nwestora z wększą awersją do ryzyka, co wydaje sę tendencją naturalną. Okazuje sę natoast, że reguła ta ne dotyczy oszacowań ryzyka systeatycznego na podstawe (ν ). Estyator ten ne jest bowe onotonczny względe ν (rysunek 1). Rysunek 1. Wartośc współczynnków oraz (ν ) analzowanych spółek Źródło: oblczena własne Wynk analzy rankngów akcj (tabela ) wskazują, że uporządkowane walorów względe rosnących wartośc oraz (ν ) jest, podobne jak sae estyatory, równeż odenne. Wartośc współczynnka τ Kendalla są nske (tabela 3) co oznacza brak zgodnośc porównywanych rankngów. Inaczej wygląda sytuacja w przypadku porządkowana spółek względe wartośc (ν ) przy różnych ν. Tu zgodność rankngów jest znaczne wększa (tabela 4). Oznacza to, że (ν ) ożey uznać za porównywalne krytera porządkowana spółek, ale różnące sę znaczne od kryteru.

Wykorzystane współczynnka Gnego do oceny 07 Tabela 1. Wartośc współczynnków (ν ) analzowanych spółek (* oznacza wartośc (ν ) ne różnące sę stotne od na pozoe 1%, natoast ** na pozoe 5%) Spółka Wartość estyatora (1,5 ) () (,5) (3) (4) Agora 1,1507,0403,069,0718,0764,080 Assecopol 0,814 1,3078 1,964 1,874 1,810 1,733 Boton 0,8694,635,607,5831,565,594 BRE 1,6480,1770,1505,1310,1160,0935 BZWBK 1,5649,008,0035,0019 1,9997 1,9951 Cersant 1,1910,169,085,0569,0401,0191 CEZ 0,3818 1,379 1,501 1,549 1,568 1,58 Cyfrplsat 0,4518 1,313 1,314 1,311 1,3094 1,3038 Getn 1,197 1,6144 1,5668 1,538 1,5175 1,4899 GTC 1,3030 1,9418 1,9014 1,8769 1,8598 1,8377 KGHM 1,494 1,936 1,973 1,95 1,91 1,911 Lotos 1,3393 1,7405 1,7387 1,7366 1,7350 1,738 PBG 0,6080 1,3090 1,897 1,788 1,730 1,693 PEKAO 1,5567 1,856 1,8350 1,801 1,8079 1,7868 PGNIG 0,895 1,3080 1,837 1,74 1,677 1,664 PKNOrlen 1,4051 1,7439 1,7734 1,7890 1,7980 1,8071 PKOBP 1,3463 1,6633 1,6514 1,6440 1,6398 1,6365 Polexs 1,1571 1,6891 1,6644 1,6479 1,6366 1,630 TPSA 0,7006 1,3708 1,3835 1,3917 1,3980 1,408 TVN 1,366 1,9587 1,985 1,9164 1,914 1,9158 (5) (6) (8) (10) (15) (0) Agora,0861,0894,0937,0959,0979,099 Assecopol 1,691 1,667 1,638 1,61 1,609 1,617 Boton,5014,4747,416,3718,751,15 BRE,0764,063,0395,014 1,987 1,963* BZWBK 1,9906 1,9861 1,976 1,9659 1,9408 1,9191 Cersant,0060 1,9965 1,985 1,97 1,9548 1,9436 CEZ 1,595 1,613 1,659 1,71 1,863 1,308 Cyfrplsat 1,980 1,919 1,791 1,665 1,396 1,193 Getn 1,479 1,4619 1,4495 1,4435* 1,4387* 1,4381** GTC 1,845 1,8159 1,8064 1,804 1,808 1,8089 KGHM 1,9030 1,8945 1,8793 1,8667 1,8441 1,899 Lotos 1,7307 1,78 1,75 1,7164 1,7036 1,6950 PBG 1,70 1,73 1,761 1,781 1,776 1,734 PEKAO 1,7681 1,7509 1,7197** 1,690** 1,6356** 1,59** PGNIG 1,687 1,713 1,74 1,74 1,666 1,547 PKNOrlen 1,8103 1,8106 1,8071 1,8013 1,7854 1,7717 PKOBP 1,6350 1,6334 1,684 1,618 1,6050* 1,5907** Polexs 1,6156 1,6111 1,6058 1,606 1,5989 1,5995 TPSA 1,4170 1,449 1,4384 1,4499 1,4733 1,497 TVN 1,955 1,9370 1,9595 1,9793,018,0466 Źródło: oblczena własne

08 Elżbeta Majewska Tabela. Rankng analzowanych spółek ze względu na wartośc współczynnków (ν ) Spółka Pozycja w rankngu względe: (1,5 ) () (,5) (3) (4) Agora 8 17 17 18 18 18 Assecopol 5 4 4 4 4 Boton 7 0 0 0 0 0 BRE 0 19 19 19 19 19 BZWBK 19 16 16 16 16 16 Cersant 10 18 18 17 17 17 CEZ 1 1 1 1 1 1 Cyfrplsat 5 5 5 5 5 Getn 11 7 7 7 7 7 GTC 1 14 13 13 13 13 KGHM 17 13 14 15 15 14 Lotos 14 10 10 10 10 10 PBG 3 4 3 3 3 3 PEKAO 18 1 1 1 1 11 PGNIG 6 3 PKNOrlen 16 11 11 11 11 1 PKOBP 15 8 8 8 9 9 Polexs 9 9 9 9 8 8 TPSA 4 6 6 6 6 6 TVN 13 15 15 14 14 15 (5) (6) (8) (10) (15) (0) Agora 19 19 19 19 19 19 Assecopol 3 1 1 3 Boton 0 0 0 0 0 0 BRE 18 18 18 18 17 17 BZWBK 16 16 16 15 15 15 Cersant 17 17 17 16 16 16 CEZ 1 1 3 5 5 Cyfrplsat 5 5 5 1 1 Getn 7 7 7 6 6 6 GTC 13 13 1 13 13 13 KGHM 14 14 14 14 14 14 Lotos 10 10 11 11 11 11 PBG 4 4 4 5 4 4 PEKAO 11 11 10 10 10 9 PGNIG 3 3 4 3 PKNOrlen 1 1 13 1 1 1 PKOBP 9 9 9 9 9 8 Polexs 8 8 8 8 8 10 TPSA 6 6 6 7 7 7 TVN 15 15 15 17 18 18 Źródło: oblczena własne

Wykorzystane współczynnka Gnego do oceny 09 Tabela 3. Wartośc współczynnka τ Kendalla dla rankngów uzyskanych względe (ν ) oraz Źródło: oblczena własne ν rτ 1,5-0,384-0,384,5-0,384 3-0,3895 4-0,384 5-0,3737 6-0,384 8-0,3737 10-0,3737 15-0,3579 0-0,3316 Tabela 4. Wartośc współczynnka τ Kendalla dla rankngów uzyskanych względe (ν ) przy różnych ν ν,5 3 4 5 6 8 10 15 0 1,5-0,8895-0,8789-0,8684-0,8684-0,8789-0,8895-0,8579-0,863-0,7947-0,784-0,9105-0,9000-0,9000-0,8895-0,8789-0,8474-0,8158-0,784-0,7947,5-0,9105-0,8895-0,8789-0,8684-0,8368-0,784-0,741-0,756 3-0,9000-0,8895-0,8789-0,8474-0,7947-0,756-0,741 4-0,9105-0,9000-0,8684-0,8368-0,8053-0,7947 5-0,9105-0,8789-0,8474-0,8158-0,8053 6-0,8895-0,8579-0,863-0,7947 8-0,8684-0,8368-0,8053 10-0,8895-0,8579 15-0,8895 Źródło: oblczena własne ZAKOŃCZENIE Współczynnk beta jest powszechne stosowaną arą ryzyka systeatycznego. Istotny eleente jest węc ożlwe najlepsze szacowane jego wartośc. W pracy przedstawlśy estyator (ν ), który oże być stosowany wówczas, gdy ne są spełnone założena klasycznej etody najnejszych kwadratów. Dodatkowo pozwala on uwzględnć pozo awersj do ryzyka. Jak pokazały badana zarówno wartośc (ν ) oraz estyatora KMNK, jak generowane przez ne rankng akcj, różną sę stotne.

10 Elżbeta Majewska LITERATURA Bey R.P., Howe K.M. (1984) Gn s Mean Dfference and Portfolo Selecton: An Eprcal Evaluaton, Journal of Fnancal and Quanttatve Analyss, Vol. 19, No. 3, 39 338. Dorfan R. (1978) A Forula for the Gn Coeffcent, The Revew of Econocs and Statstcs, 146 149. Gregory-Allen R.B., Shalt H. (1999) The Estaton of Systeatc Rsk under Dfferentated Rsk Averson: A Mean-Extended Gn Approach, Revew of Quanttatve Fnance and Accountng, 1, 135 157. Haugen R.A. (1996) Teora nowoczesnego nwestowana, WIG Press, Warszawa Kowalsk J.M. (006) Podstawy statystyk opsowej dla ekonostów, Wydawnctwo Wyższej Szkoły Bankowej, Poznań. Majewska E. (009) Analza stablnośc ryzyka funduszy nwestycyjnych erzonego średną różncą Gnego, Prace Materały Wydzału Zarządzana Unwersytetu Gdańskego 4(), Sopot, str. 509 518. Majewska E. (010) Ocena ryzyka funduszy nwestycyjnych z wykorzystane współczynnka Gnego, Prace Naukowe Akade Ekonocznej. Karola Adaeckego w Katowcach, str. 61 70. Shalt H., Ytzhak S. (1984) Mean-Gn, Portfolo Theory and the Prcng of Rsky Assets, Journal of Fnance 39(5), 1449 1468. Shalt H., Ytzhak S. (1989) Evaluatng the Mean-Gn Approach to Portfolo Selecton, Internatonal Journal of Fnance 1(), 15 31. Shalt H., Ytzhak S. (005) The Mean-Gn Effcent Fronter, Journal of Fnancal Research, 8, 59 75. Ytzhak S. (198) Stochastc Donance, Mean-varance, and Gn s Mean Dfference, Aercan Econoc Revew 7(1), 178 185. Ytzhak S. (1983) On an Extenson of the Gn Inequalty Index, Internatonal Econoc Revew, 4, 617 68. Applcaton of Gn coeffcent to evaluaton of systeatc rsk Abstract: In the paper we present the applcaton of Gn s ean dfference and the extender Gn coeffcent to evaluate systeatc rsk. We dscuss the advantages arsng fro applyng these easures to deterne the beta coeffcent. On the bass of selected shares quoted on the Warsaw Stock Exchange, we present results obtaned by the classcal least square ethod and by usng the prevously entoned easures. Key words: systeatc rsk, beta coeffcent, Gn s ean dfference, extended Gn coeffcent