Teoria miary i całki

Teoria miary i całki Spis treści 1 Wstęp 3 2 lgebra zbiorów 5 3 Pierścienie, ciała, σ ciała zbiorów. 7 3.1 Definicja pierścienia ciała i σ ciała............... 7 3.2 Pierścień, ciało i σ ciało generowane przez rodzinę zbiorów.. 10 3.3 Rodziny monotoniczne zbiorów................. 10 4 Półpierścienie 13 4.1 Definicja półpierścienia...................... 13 4.2 Pierścień generowany przez półpierścień............ 13 4.3 Iloczyn kartezjański półpierścieni................ 15 5 Funkcje addytywne i miary. 17 5.1 Pojęcie funkcji addytywnej................... 17 5.2 Miary na σ ciele......................... 18 5.3 Zupełność miary......................... 21 6 Funkcje addytywne i miary na półpierścieniach 23 6.1 Funkcje addytywne i miary na dowolnej rodzinie zbiorów... 23 6.2 Przedłużanie funkcji addytywnych i miar z półpierścienia na pierścień.............................. 24 7 Funkcja addytywna na iloczynie kartezjańskim półpierścieni 26 7.1 Miara Jordana generowana przez funkcję addytywną..... 27 8 Miara zewnętrzna 28 8.1 Definicja i własności miary zewnętrznej............ 28 8.2 Twierdzenie Caratheodyr ego.................. 28 8.3 Ogólna metoda konstrukcji miary zewnętrznej......... 33 8.4 Miara zewnętrzna generowana przez funkcję addytywną na półpierścieniu........................... 33 1

9 Miara Lebesque a w R k 35 9.1 Przedziały k wymiarowe, figury elementarne......... 35 9.2 Objętość figur elementarnych.................. 38 9.3 Miara zewnętrzna Lebesque a w R k............... 40 9.4 Zbiory mierzalne w sensie Lebesque a.............. 41 9.5 Zbiory borelowskie........................ 46 9.6 Miara wewnętrzna Lebesque a.................. 47 9.7 Miara Jordana.......................... 48 9.8 Jedyność miary Lebsque a.................... 50 10 Funkcje mierzalne 52 10.1 Definicja funkcji mierzalnych, podstawowe własności..... 52 10.2 Ciągi funkcji mierzalnych.................... 57 10.3 Funkcje proste.......................... 58 10.4 Funkcje mierzalne względem σ ciała zbiorów mierzalnych w sensie Lebesque a......................... 60 11 Zbieżność prawie wszędzie i zbieżność według miary 63 12 Całka Lebesque a 65 12.1 Całka funkcji nieujemnych.................... 65 12.2 Funkcje całkowalne........................ 68 13 Całka Lebesque a a całka Riemanna 72 14 Iloczyn kartezjański miar 73 14.1 Iloczyn kartezjański półpierścieni................ 73 14.2 Miara na iloczynie kartezjańskim półpierścieni......... 74 14.3 Iloczyn kartezjański przestrzeni z miarą............ 74 15 Miary zespolone 76 2

1 Wstęp Problem. Czy istnieje funkcja µ : 2 Rk [0, ] taka, że (i) µ( ) = 0, (ii) µ( n ) = µ( n ), (iii) µ(p ) = P dla dowolnego przedziału k wymiarowego P, (iv) µ( + x) = µ() dla dowolnego zbioru R k i dowolnego x R k. Twierdzenie 1.1 Nie istnieje funkcja µ : 2 R [0, ] spełniająca warunki (i), (ii), (iii), (iv). Dowód. Załóżmy, że funkcja µ : 2 Rk [0, ] spełnia warunki (i), (ii), (iii). Zauważmy, że z warunku (ii) wynika, że dla dowolnych zbiorów, B R, jeżeli B, to µ() µ(b). Zdefiniujmy zbiór V [0, 1] w następujący sposób. Zdefiniujmy relację w zbiorze [0, 1] w sposób następujący: x y x y Q. Łatwo sprawdzić, że relacja jest relacją równoważności w [0, 1]. Jak wiadomo dowolna relacja w zbiorze rozbija ten zbiór na sumę rodziny podzbiorów niepustych i parami rozłącznych mianowicie na sumę klas abstrakcji tej relacji. Niech V będzie zbiorem zawierającym po dokładnie jednym elemencie każdej klasy abstrakcji relacji. Ustawmy dalej wszystkie liczby wymierne odcinka [ 1, 1] w ciąg q 1, q 2,... i niech V n = q n + V. Wówczas z warunku (iv) mamy µ(v n ) = µ(v ). Zauważmy, że V n V m = gdy n m. Mogą zajść dwa przypadki. lbo µ(v ) = 0 albo µ(v ) > 0. Rozpatrzmy najpierw pierwszy przypadek. Jeżeli x [0, 1], to zbiór V zawiera dokładnie jeden element v klasy abstrakcji [x]. Z definicji relacji mamy x v Q. le x v [ 1, 1] więc istnieje takie n, ze x v = q n, zatem x = v + q n, stąd zaś wynika, że x V n. Pokazaliśmy więc, że [0, 1] V n, więc 1 = µ([0, 1]) µ( V n ) = µ(v n ) = 0. Zatem przypadek µ(v ) = 0 jest niemożliwy. Stąd wynika, że musi być µ(v ) > 0. Zauważmy, że dla dowolnego n N mamy V n [ 1, 2] więc V n [ 1, 2]. Stąd wynika, że µ( V n ) 3 ale to prowadzi do sprzeczności, bo µ( V n ) = µ(v n ) = µ(v ) =. 3

Tak więc nie możliwe jest zdefiniowanie miary zdefiniowanej na wszystkich podzbiorach R tak aby spełniała ona naturalne warunki (i) - (iv). Zbiór V zdefiniowany w dowodzie powyższego twierdzenia nazywa się zbiorem Vitaliego. 4

2 lgebra zbiorów Definicja 2.1 Niech będzie podzbiorem ustalonego zbioru X. Wówczas dla ε { 1, 1} przez ε oznaczamy zbiór zdefiniowany następująco: { ε jeżeli ε = 1 = jeżeli ε = 1 Lemat 2.1 Niech 1,..., n będą podzbiorami zbioru X. Wówczas dla dowolnego i = 1,..., n mamy: i = ε 1 1... ε n n ε i =1 Dowód. Inkluzja jest oczywista. by uzasadnić inkluzję wystarczy zauważyć, że jeżeli x i, to x ε 1 1... ε n n, gdzie { 1 jeżeli i = j; ε j = 0 jeżeli i j. Definicja 2.2 Mówimy, że rodzina zbiorów parami rozłącznych S jest rozbiciem rodziny R jeżeli: (a) dowolny zbiór rodziny S jest zawarty w pewnym zbiorze rodziny R; (b) dla dowolnego zbioru R istnieje skończona podrodzina S 0 S taka, że S 0 =. Z lematu 2.1 wynika: Twierdzenie 2.1 Niech R = { 1,..., x n } będzie dowolną skończoną rodzinę podzbiorów zbioru X. Niech S będzie rodziną składająca się z wszystkich zbiorów postaci ε 1 1... ε n n gdzie ε 1,..., ε n { 1, 1} są takie, że co najmniej jeden z wskaźników ε i nie jest równy 1. Wówczas rodzina S jest rozbiciem rodziny R. oraz Z definicji granicy górnej i dolnej wynika, że Zatem mamy zawsze x lim sup n x n dla nieskończenie wielu n, n x lim inf n n x n dla prawie wszystkich n. lim inf n lim sup n. n n 5

Definicja 2.3 Mówimy, że ciąg zbiorów ( n ) jest zbieżny do zbioru (albo, że jest granicą ciągu ( n ), jeżeli lim inf n = lim sup n =. n n Zauważmy, że jeżeli ( n ) jest ciągiem zstępującym zbiorów (to znaczy gdy n+1 n dla dowolnego n N, to dla dowolnego m N mamy zatem m=n m = n, m = n, m=n lim inf n = lim sup n = n n n. nalogicznie, jeżeli ( n ) jest ciągiem wstępującym zbiorów to lim inf n = lim sup n = n n n. Definicja 2.4 Mówimy, że ciąg zbiorów ( n ) jest ciągiem monotonicznym, jeżeli jest wstępującym, albo zstępującym. Tak więc dowolny ciąg monotoniczny zbiorów ma granicę. 6

3 Pierścienie, ciała, σ ciała zbiorów. 3.1 Definicja pierścienia ciała i σ ciała Niech X będzie niepustym zbiorem a M rodziną podzbiorów zbioru X. Definicja 3.1 Mówimy, że niepusta rodzina zbiorów M jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące warunki: (a) M; (b), B M B M; (c), B M \ B M. Zauważmy, że jeśli założyć warunek (b) powyższej definicji to warunek (a) jest równoważny temu, że M jest rodziną niepustą. Uwaga 3.1 Z warunku (b) powyższej definicji poprzez indukcję matematyczną dowodzimy, że 1... n M dla dowolnych 1,..., n M. Przykład 3.1 (a) Rodzina wszystkich podzbiorów skończonych zbioru X jest pierścieniem. (b) Jeżeli jest dowolnym podzbiorem X, to rodzina dwuelementowa {, } jest pierścieniem. (c) Niech P będzie rodziną wszystkich przedziałów ograniczonych (bierzemy przedziały wszystkich możliwych typów, to znaczy przedziały otwarte, domknięte, i oba typy przedziałów domknięto otwartych, przyjmujemy, że zbiór pusty jest przedziałem (x, x).) Łatwo udowodnić, że rodzina M = {P 1... P n : P 1,..., P n inp} jest pierścieniem. (d) Wszystkie podzbiory R k mierzalne w sensie Jordana tworzą pierścień. Uwaga 3.2 Jeżeli M jest pierścieniem zbiorów, to B M dla dowolnych zbiorów, B M. Dowód Mamy B = \ ( \ B) M. Poprzez indukcję matematyczną podobnie jak w przypadku sumy dowodzimy, że 1... n M dla dowolnych 1,..., n M. Definicja 3.2 Mówimy, że rodzina M jest ciałem podzbiorów zbioru X jeżeli spełnione są następujące warunki: (a) M, (b), B M B M, (c) M M. 7

Ponieważ = ( ) więc przy założeniach (a) i (b) warunek (a) jest równoważny niepustości rodziny M. Z warunków (a) i (c) definicji ciała zbiorów wynika, że X M dla dowolnego ciała podzbiorów zbioru X. Przykład 3.2 (a) Rodzina 2 X wszystkich podzbiorów zbioru X jest ciałem zbiorów. (b) Rodzina {, X} jest ciałem podzbiorów X. (c) Niech M będzie rodziną tych podzbiorów zbioru X które są skończone, lub których dopełnienia są skończone. Łatwo sprawdzić, że M jest ciałem podzbiorów X. Twierdzenie 3.1 Dowolne ciało zbiorów jest pierścieniem. Dowód. Jeżeli M jest ciałem podzbiorów X, to dla dowolnych, B M mamy B = ( B) więc z warunków (b) i (c) definicji 3.2 mamy \ B M. Jak łatwo zauważyć, pierścień podzbiorów zbioru X jest ciałem wtedy i tylko wtedy gdy zawiera X. Definicja 3.3 Mówimy, że M jest σ ciałem podzbiorów zbioru X, jeżeli spełnione są następujące warunki: (a) M, (b) jeżeli n M dla dowolnego n N, to n M, (c) M M. Przykład 3.3 (a) Dowolne skończone ciało zbiorów jest σ ciałem. (b) Rodzina 2 X wszystkich podzbiorów zbioru X jest σ ciałem. (c) Niech M = { X : przeliczalny lub przeliczalny}. Sprawdza się łatwo, że M jest σ ciałem podzbiorów zbioru X. Ciało zbiorów zdefiniowane w punkcie (c) przykładu 3.2 w przypadku gdy zbiór X jest nieskończony jest ciałem ale nie jest σ ciałem podzbiorów zbioru X. Twierdzenie 3.2 Dowolne σ ciało jest ciałem. Dowód Niech M będze σ ciałem podzbiorów zbioru X i weźmy dwa dowolne dwa zbiory, B M. Zdefiniujmy ciąg zbiorów ( n ) w sposób następujący: 1 =, 2 = B, n = gdyn 3. Wówczas n M dla dowolnego n zatem B = n M. 8

Ponieważ dla dowolnego ciągu zbiorów ( n ) zachodzą wzory de Morgana: n = ( n), n = ( n) więc mamy następujące twierdzenie Twierdzenie 3.3 M jest σ ciałem wtedy i tylko wtedy gdy spełnia warunki (a) i (c) definicji 3.3 oraz n M dla dowolnego n N n M. Następujące dwa twierdzenia pokazują, że w przypadku gdy rodzina M jest ciałem warunek (b) w definicji σ ciała można osłabić. Pierwsze z tych twierdzeń mówi, że wystarczy zakładać aby suma ciągu zbiorów parami rozłącznych należała do M, a drugie że suma ciągu wstępującego należy do M. Twierdzenie 3.4 Ciało M podzbiorów zbioru X jest σ ciałem jeżeli spełnia następujący warunek: n M, n m = (n, m N, n m) n M. Dowód. Niech B n będzie ciągiem dowolnych zbiorów należących do ciała M i niech zbiory n będą zdefiniowane w następujący sposób 1 = B 1, n = B n \ (B 1... B n 1 ) gdy n > 1. Wówczas ( n ) jest takim ciągiem zbiorów rozłącznych, że n = B n. Ponieważ M jest ciałem podzbiorów X więc n M dla dowolnego n. Stąd na podstawie założenia mamy B n M. Twierdzenie 3.5 Na to aby ciało zbiorów było σ ciałem wystarcza aby spełniony był następujący warunek: n M, n n+1 (n N) n M. Twierdzenie to dowodzimy podobnie jak poprzednie przyjmując B n = 1... n. Twierdzenie 3.6 Na to aby ciało zbiorów było σ ciałem wystarcza aby spełniony był następujący warunek: n M, n+1 n (n N) n M. Twierdzenie 3.7 Przekrój dowolnej ilości pierścieni, podzbiorów zbioru X jest pierścieniem podzbiorów X. nalogicznie przekrój dowolnej ilości ciał (σ ciał) podzbiorów zbioru X jest ciałem (σ-ciałem). 9

3.2 Pierścień, ciało i σ ciało generowane przez rodzinę zbiorów. Twierdzenie 3.8 Jeżeli R jest dowolną rodziną podzbiorów X, to istnieje najmniejszy pierścień, najmniejsze ciało i najmniejsze σ ciało podzbiorów zbioru X zawierające R. Dowód. Jak łatwo zauważyć iloczyn {M ; M pierścień podzbiorów X, R M} jest najmniejszym pierścieniem zawierającym R. Definicja 3.4 Najmniejszy pierścień zawierający rodzinę R nazywamy pierścieniem generowanym przez rodzinę R i oznaczamy przez P (R). nalogicznie najmniejsze ciało (σ ciało) podzbiorów zbioru X zawierające rodzinę R nazywamy ciałem (σ ciałem) generowanym przez R. Ciało generowane przez rodzinę R oznaczamy F (R), natomiast przez Σ(R) oznaczamy σ ciało generowane przez R. Bezpośrednio z powyższej definicji i z tego, że pierścień jest ciałem a σ ciało ciałem dostajemy inkluzję: P (R) F (R) Σ(R). 3.3 Rodziny monotoniczne zbiorów Twierdzenie 3.9 Załóżmy, że N jest ciałem podzbiorów zbioru X i niech M będzie najmniejszą rodziną podzbiorów zbioru X taką, że (a) N M, (b) M M, (c) n M, n n+1, dla n N n M. Wówczas M = Σ(R). Dowód. Na podstawie twierdzenia 3.5 wystarczy pokazać, że M jest ciałem zbiorów. Dla dowolnego M niech: M() := {B M : B, \ B, B \, B M}. Z definicji M() wynika, że M(B) B M(). (1) Udowodnimy, że dla dowolnego M rodzina M() spełnia warunki (b) i (c) dowodzonego twierdzenia. Niech B M() wówczas B = (B \ ) M, 10

\ B = B M, B \ = (B ) M, B = \ B M. Załóżmy dalej, że (B n ) jest ciągiem wstępującym zbiorów należących do M(). Wówczas B n = ( B n ) M, B n = ( B n ) M, \ B n = ( B n ) = ( B n) = ( B n) = (B n ) = ( B n ) M, B n \ = (B n \ ) M. Zauważmy, że jeżeli N, to N M() zatem z (1) mamy N M() dla dowolnego M. Zatem M() spełnia warunki (i), (ii), (iii). Stąd wynika, że M = M(), dla dowolnego M zatem M jest ciałem zbiorów. Definicja 3.5 Mówimy, że rodzina N podzbiorów zbioru X jest rodziną monotoniczną, jeżeli granica dowolnego ciągu monotonicznego zbiorów należących do N należy do N. Oczywiście dowolne σ ciało zbiorów jest rodziną monotoniczną. Z praw de Morgana wynika, że ciało M jest rodziną monotoniczną wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolnego ciągu ( n ) zbiorów należących do M mamy n M. Z twierdzenia 3.5, wynika, że ciało jest σ ciałem wtedy i tylko wtedy gdy jest rodziną monotoniczną. Podobnie jak w twierdzeniu 3.8 dowodzimy, że dla dowolnej rodziny R podzbiorów zbioru X istnieje najmniejsza rodzina monotoniczna zawierająca R. Najmniejszą rodzinę monotoniczną zawierającą rodzinę R będziemy oznaczać przez M(R). Twierdzenie 3.10 Niech N będzie dowolnym ciałem podzbiorów zbioru X. Wówczas σ ciało generowane przez rodzinę N pokrywa się z najmniejszą rodziną monotoniczną zawierającą N, to znaczy mamy równość Σ(N) = M(N). 11

Dowód. Niech M = { M(N) : M(N)}. Wówczas M jest rodziną monotoniczną zawierającą N i zawartą w M(R). Stąd wynika, że M = M(M). le z definicji M wynika, że M wraz z każdym zbiorem zawiera dopełnienie tego zbioru. Inaczej mówiąc jeżeli M(N), to M(N). Na podstawie twierdzenia 3.9 mamy M(N) = Σ(N). 12

4 Półpierścienie 4.1 Definicja półpierścienia Definicja 4.1 Mówimy, że niepusta rodzina R jest półpierścieniem jeżeli (a) jeżeli, B R to B R, (b) dla dowolnych zbiorów, B R istnieją zbiory C 1,..., C n R parami rozłączne takie, że \ B = C 1... C n. Z niepustości półpierścienia warunku (b) wynika, że R. Przykład 4.1 Jeżeli P jest rodziną zbiorów parami rozłącznych, zawierającą zbiór pusty, to P jest półpierścieniem. Podstawowy przykład półpierścienia stanowi rodzina wszystkich przedziałów w R. Definicja 4.2 Przedziałem w R nazywamy jeden ze zbiorów postaci (a, b), [a, b), [a, b], (a, b], gdzie a b. I. Rodzinę wszystkich przedziałów w R będziemy oznaczać przez Zauważmy, że w definicji przedziału zakładamy tylko, że zachodzi słaba nierówność a b, zatem zbiór pusty i zbiór jednopunktowy są również przedziałami. Twierdzenie 4.1 Rodzina I wszystkich przedziałów w R jest półpierścieniem. Dowód. Iloczyn dwóch przedziałów jest przedziałem. Natomiast różnica P 1 P 2 dwóch przedziałów jest sumą co najwyżej dwóch przedziałów. 4.2 Pierścień generowany przez półpierścień Twierdzenie 4.2 Niech R będzie taką niepustą rodziną podzbiorów zbioru X, że dla dowolnych zbiorów, B R istnieją zbiory C 1,..., C n R takie, że \ B = C 1... C n. (2) Wówczas P (R) = {C 1... C n : C 1, C 2,..., C n R}. (3) 13

Dowód. Oznaczmy przez M rodzinę zbiorów występującą po prawej stronie równości (3). Oczywiście R M oraz M P (R). by pokazać równość wystarczy pokazać, że M jest pierścieniem. Ponieważ z definicji rodziny M wynika, że jest to rodzina zamknięta na sumy skończone, więc wystarczy pokazać, że \ B M dla dowolnych, B M. Udowodnimy najpierw przez indukcję względem n, że jeżeli R, oraz B = B 1... B n, gdzie B 1,..., B n R, to \ B M. Inaczej mówiąc, że \ B M, gdy R, oraz B M. W przypadku n = 1 dostajemy \ B M na podstawie założenia. Przypuśćmy, że dowodzone wynikanie jest prawdziwe dla pewnego n N. Załóżmy, że, B 1,..., B n+1 R, B = B 1... B n+1. Wówczas: \ B = [ \ (B 1... B n )] \ B n+1. Z założenia indukcyjnego zbiór \ (B 1... B n ) daje się przedstawić w postaci sumy C 1... C m, zatem \ B = (C 1 \ B n+1 )... (C m \ B n+1 ). Ponieważ każdy ze zbiorów C i \ B n+1 M i rodzina M jest zamknięta na sumy skończone, więc \ B M. Rozpatrzmy teraz przypadek ogólny gdy oba zbiory, B należ do M. Załóżmy, że = 1... n, wówczas \ B = ( 1 \ B)... ( n \ B) a ponieważ i \ B M dla i = 1,..., n więc \ B M. Twierdzenie 4.3 Jeżeli rodzina R jest półpierścieniem, to P (R) = {C 1... C n : C i R, C i C j = (i j)} Dowód. Oznaczmy przez M rodzinę występującą po prawej stronie równości Jak łatwo zauważyć, rodzina ta jest zamknięta na iloczyny skończone. Na podstawie twierdzenia 4.2 wystarczy pokazać, ze C 1... C n M dla dowolnych zbiorów C 1,..., C n M. Dowód przeprowadzamy przez indukcję względem n. Dla n = 1 dowodzone wynikanie wynikanie jest oczywiste. Załóżmy, że jest prawdziwe dla pewnego n N, i weźmy dowolne zbiory C 1,..., C n+1 R. Z założenia indukcyjnego istnieją parami rozłączne zbiory D 1,..., D m R takie, że C 1... C n = D 1... D m. Wówczas sumę C 1... C n+1 można przedstawić w postaci sumy B gdzie: = C 1... C n, B = C n+1 \ (C 1... C n ) Ponieważ zbiory, B są rozłączne więc wystarczy pokazać, że B M. Mamy B = (C n+1 \ C 1 )... (C n+1 \ C n ). 14

Z założenia, ze R jest półpierścieniem wynika, że każdy ze zbiorów C n+1 \C i należy do M dla dowolnego i = 1,..., n. Ponieważ rodzina M jest zamknięta na iloczyny skończone więc B M. Twierdzenie 4.4 Niech P będzie półpierścieniem i załóżmy, że mamy skończoną rodzinę R = { 1,..., n } zbiorów należących do P. Wówczas istnieją zbiory B 1,..., B m P takie, że rodzina {B 1,..., B m } jest rozbiciem R. Dowód. Jeżeli P jest pierścieniem to rodziną tą jest rodzina zdefiniowana w twierdzeniu 2.1. W przypadku ogólnym oznaczmy przez M pierścień generowany przez P, i niech rodzina {B 1,..., B m } elementów pierścienia M będzie rozbiciem rodziny R. Z twierdzenia 4.3 wynika, że każdy ze zbiorów B i można zapisać w postaci sumy zbiorów rozłącznych: B i = C i1... C ini, gdzie C iji P dla i = 1,..., n oraz j = 1,..., n i. Jak łatwo zauważyć rodzina {C ij : i = 1,..., n, j = 1,..., n i } jest rozbiciem rodziny R. 4.3 Iloczyn kartezjański półpierścieni Twierdzenie 4.5 Załóżmy, że P 1, P 2 są półpierścieniami. Wówczas P jest również półpierścieniem. Dowód Mamy oraz P = { B : P 1, B P 2 }. (4) ( B) (C D) = ( C) (B D) ( B) \ (C D) = ( B) (C D) = [( \ C) B] [ (B \ D)] = = [( \ C) (B D)] [( \ C) (B \ D)] [( C) (B \ D)] Zauważmy, że wszystkie trzy zbiory występujące w ostatniej sumie są parami rozłączne. Wystarczy więc pokazać, że każdy z nich jest sumą rozłącznych zbiorów należących do rodziny P. Załóżmy, że \ C = m E i, B \ D = F j, i=1 j=1 15

gdzie zbiory E i, F j należą odpowiednio do P 1, P 2. Wówczas n ( \ C) (B D) = [E i (C D)], i=1 n m ( \ C) (B \ D) = (C i D j ), i=1 j=1 m ( C) (B \ D) = [( C) D j ]. j=1 Jak łatwo zauważyć wszystkie zbiory występujące po prawej stronie w trzech ostatnich równościach należą do P i są parami rozłączne.. Wykorzystując poprzednie twierdzenie poprzez indukcję matematyczną dowodzimy: Twierdzenie 4.6 Jeżeli P 1,..., P n są półpierścieniami to rodzina jest półpierścieniem. P = { 1... n : i P i dla i = 1,..., n} 16

5 Funkcje addytywne i miary. 5.1 Pojęcie funkcji addytywnej Definicja 5.1 Niech X będzie dowolnym zbiorem a M pierścieniem podzbiorów X. Mówimy, że funkcja µ : M [0, ] jest funkcją addytywną, jeżeli (i) µ( ) = 0; (ii) µ( B) = m() + m(b) dla dowolnych zbiorów, B M takich, że B =. Przykład 5.1 (a) Załóżmy, że M = 2 X i niech: µ() = ilość elementów gdy jest podzbiorem skończonym i µ() = dla nieskończonych podzbiorów X. Funkcja µ jest funkcją addytywną na M. (b) Niech Ω będzie zbiorem skończonym n elementowym i niech dla dowolnego zbioru Ω : µ() = Indukcyjnie dowodzimy ilość elementów zbioru. n Uwaga 5.1 Jeżeli µ jest funkcją addytywną na pierścieniu M, to µ( 1... n ) = µ( 1 ) +... + µ( n ) dla dowolnych zbiorów 1, 2,..., n M parami rozłącznych. Twierdzenie 5.1 Jeżeli µ jest funkcją addytywną na na pierścieniu M, to (a) jeżeli, B M oraz B, to µ(b) µ(). (b) µ( \ B) = µ() \ µ(b) dla dowolnych, B M takich, że B, oraz µ(b) <. (c) µ( B) = µ()+µ(b)\µ( B) dla dowolnych, B M takich, że µ( B) <. (d) µ( B) µ() + µ(b) dla dowolnych, B M. Dowód. (a), (b) wynikają z równości = B ( \ B). (c) Mamy µ( B) = µ( (B \ )) = µ() + µ(b \ ) = µ() + µ(b \ ( B)) = µ() + µ(b) \ µ( B). (d) µ( B) = µ(( \ B) B) = µ( \ B) + µ(b) µ() + µ(b). Definicja 5.2 Funkcje określone na pewnym pierścieniu M i spełniającą warunek (a) twierdzenia 5.1 nazywamy funkcjami monotonicznymi. Natomiast funkcje spełniające warunek (d) tego twierdzenia nazywamy funkcjami podaddytywnymi (albo skończenie podaddytywnymi). 17

Przez indukcję matematyczną dowodzimy, że dowolna funkcja podaddytywna spełnia warunek dla dowolnych 1,..., n M. µ( 1... n ) µ( 1 ) +... + µ( n ) Twierdzenie 5.2 Jeżeli µ jest funkcją addytywną na pierścieniu M, to µ( n ) µ( n ) dla dowolnego ciągu ( n ) parami rozłącznych zbiorów należących do σ ciała takiego, że n M. Dowód. Z punktu (a) twierdzenia 5.1 i uwagi 5.1 dla dowolnego m N mamy: m m µ( n ) µ( n ) = µ( n ). Przechodząc z m do dostajemy dowodzoną nierówność. 5.2 Miary na σ ciele Definicja 5.3 Niech X będzie zbiorem niepustym a M dowolnym σ ciałem podzbiorów X. Mówimy, że funkcja µ : M [0, ] jest miarą jeśli: (i) µ( ) = 0, (ii) Dla dowolnego ciągu ( n ) zbiorów parami rozłącznych należących do M zachodzi równość: µ( n ) = µ( n ). Jeżeli µ(x) < to mówimy, że miara µ jest miarą skończoną, a jeżeli µ(x) = 1 to miarę nazywamy miarą probabilistyczną. Jeżeli istnieją takie zbiory n M, że µ( n ) < oraz X = n, to mówimy, że miara µ jest miarą σ skończoną. Uwaga 5.2 Dowolna miara jest funkcją addytywną. Dowód. Załóżmy, że, B M są zbiorami rozłącznymi i niech 1 =, 2 = B, n = gdy n 3. Ponieważ zbiory n są parami rozłączne więc: m( B) = m( n ) = m( n ) = m() + m(b). 18

Przykład 5.2 (a) Niech (ε n ) będzie ciągiem liczb nieujemnych. Zdefiniujmy funkcję µ : 2 N [0, ] wzorem: µ() = n ε n Łatwo sprawdzić, że µ jest miarą na 2 N. (b) Niech X będzie zbiorem niepustym a x dowolnym punktem zbioru X. Funkcja δ x : 2 X {0, 1} określona wzorem { 0, gdy x ; δ x ()) = 1, gdy x. jest miarą. Miarę tą nazywamy miarą Diraca. Twierdzenie 5.3 Jeżeli µ jest miarą na σ ciele M, to µ( n ) dla dowolnych zbiorów n M. µ( n ) (5) Dowód. Niech B n będą zbiorami zdefiniowanymi w następujący sposób: B 1 = 1, B n = n \ ( 1... n 1 ). Zbiory B n są parami rozłączne, należą do M oraz n = B n. Ponieważ B n n, więc µ( n ) = µ( B n ) = µ(b n ) µ( n ). Definicja 5.4 Funkcję określoną na σ ciele M o wartościach w [0, ] i spełniającą dla dowolnych zbiorów n M warunek (5) nazywamy funkcją przeliczalnie podaddytywną. Twierdzenie 5.4 Funkcja µ określona na σ ciele M jest miarą wtedy i tylko wtedy gdy jest funkcją addytywną i przeliczalnie podaddytywną. Dowód. Konieczność wynika z twierdzenia 5.3, natomiast wystarczalność z twierdzenia 5.2. Twierdzenie 5.5 Jeżeli µ jest miarą na σ ciele M, to µ( n ) = lim n µ( n) (6) dla dowolnego ciągu wstępującego ciągu zbiorów ( n ). 19

Dowód. Zdefiniujmy ciąg zbiorów (B n ) w następujący sposób: B 1 = 1, B n = n \ n 1 gdy n > 1. Oczywiście B n M dla dowolnego n N, ponadto zbiory B n są parami rozłączne, oraz B n = n. Stąd m µ( n ) = µ( B n ) = µ(b n ) = lim µ(b n ) = m lim µ( m B n ) = lim µ(b m). m m Twierdzenie 5.6 Jeżeli µ jest funkcją addytywną na σ ciele M spełniającą warunek (6) z tezy poprzedniego twierdzenia, to µ jest miarą na M. Dowód. Jeżeli ( n ) jest ciągiem zbiorów parami rozłącznych, to n = B n, gdzie B n = 1... n. Mamy więc ponieważ, ciąg zbiorów (B n ) jest ciągiem wstępującym więc: µ( n ) = µ( B n ) = lim m µ(b m) = lim Twierdzenie 5.7 Jeżeli µ jest miarą na σ ciele M, to µ( m µ( n ) = µ( n ). m n ) = lim n µ( n) (7) dla dowolnego ciągu ( n ) zbiorów należących do M, takiego, że µ( n0 ) < dla pewnego n 0 N. Dowód. Dla dowolnego n n 0 niech B n = n0 \ n. Tak zdefiniowane zbiory B n tworzą ciąg wstępujący więc z twierdzenia 5.5 mamy µ( B n ) = le lim µ(b n) = lim µ( n n n 0 \ n ) = lim [µ( n n 0 ) µ( n )] = µ( n0 ) lim n µ( n). µ( B n ) = µ( n0 \ n ) = µ( n0 ) µ( n ). Stąd dostajemy dowodzoną równość. Uwaga 5.3 Z dowodu twierdzenia 5.7 wynika, że jeżeli µ jest taką funkcją addytywną, że µ(x) < to spełnianie warunku 7 twierdzenia 5.7 jest równoważne spełnianiu warunku 6 twierdzenia 5.5. 20

Twierdzenie 5.8 Jeżeli µ jest funkcją addytywną na σ ciele M taką, że µ(x) < i spełniającą dla dowlnego ciągu zstępującego ( n ) dowarunek (7), to µ jest miarą na M. Szczególną rolę w teorii miary odgrywają zbiory miary zero. Uwaga 5.4 Załóżmy, że µ jest miarą na σ ciele M. Wówczas (a) jeżeli, B M, B, µ() = 0, to µ(b) = 0, (b) jeżeli n M oraz µ( n ) = 0 to µ( n ) = 0. Punkt (a) wynika z monotoniczności miar, a punkt (b) z przeliczalnej podaddytywności. Definicja 5.5 Mówimy, że zbiór M jest atomem miary µ, jeżeli (a) µ() > 0, (b) jeżeli B M i B, to albo µ(b) = 0 albo µ(b) = µ(). Jeżeli żaden zbiór M nie jest atomem miary µ to mówimy, że miara µ jest miarą bezatomową. Przykład 5.3 Niech δ x będzie miarą Diraca zdefiniowaną w przykładzie 5.2 punkt (b). Jak łatwo zauważyć dowolny zbiór X jest atomem miary δ x. 5.3 Zupełność miary Definicja 5.6 Mówimy, że miara µ określona na σ ciele M jest miara zupełną, jeżeli z tego, że M oraz µ() = 0 wynika, że B M dla dowolnego zbioru B. Uwaga 5.5 Miara µ jest miarą zupełną wtedy i tylko wtedy gdy: [ M i B C, gdzie C M, oraz µ(c) = 0] B M. (8) Dowód. Załóżmy, że spełniony jest warunek (8). Jeżeli M, µ() = 0 oraz B, to B więc z (8) wynika, że B M. Zatem miara µ jest miarą zupełną. Załóżmy, że µ jest miarą zupełną i załóżmy, że zbiory, B spełniają warunki z (8). Wówczas B = [( B) \ ] ( B) = [( B) \ ] [ \ ( \ B)]. (9) Zgodnie założeniem zbiór B należy do M i miarę równą 0. Z zupełności miary również zbiory ( B)\ oraz \B należą do M. Zatem na podstawie równości (9) również B M. 21

Twierdzenie 5.9 Załóżmy, że µ jest miarą na σ ciele M podzbiorów zbioru X. Niech M = {B C : B M, D M µ(d) = 0, C D}. Jeżeli = B C gdzie B M, C D, D M, µ(d) = 0 to przyjmujemy µ() = µ(b). Wówczas (a) M jest σ ciałem podzbiorów zbioru X zawierającym M, (b) definicja µ() nie zależy od przedstawienia zbioru w postaci sumy B C, (c) µ jest miarą zupełną na M taką, że µ() = µ() dla dowolnego M. Dowód. Udowodnimy najpierw, że M jest σ ciałem zbiorów. Weźmy dowolny zbiór M i niech = B C gdzie M, C D, D M, µ(d) = 0. Wówczas = B C = B [D\(D\C)] = B [D (D\C)] = (B D ) B (D\C). Oczywiście B D M, oraz B (D \ C) D, zatem M. Załóżmy dalej, że mamy ciąg zbiorów ( n ) należących do M. Niech n = B n C n, gdzie B n M, C n D n D n M, µ(d n ) = 0. Wówczas oraz n = n C n, C n D n, D n M, µ( D n ) = 0. Zatem M jest σ ciałem zbiorów zawierającym M. by pokazać punkt (b) twierdzenia załóżmy, że B 1 C 1 = B 2 C 2, gdzie C 1 D 1, C 2 D 2, oraz µ(d 1 ) = µ(d 2 ) = 0. Wówczas B 1 B 2 C 2 B 2 D 2, więc µ(b 1 ) = µ(b 2 )+µ(d 2 ) = µ(b 2 ). nalogicznie µ(b 2 ) µ(b 1 ) zatem µ(b 1 ) = µ(b 2 ). Jeżeli M, to = więc (µ)() = µ(). Udowodnimy dalej, że µ( n ) = µ( n ) dla dowolnych zbiorów n M parami rozłącznych. Załóżmy, że n = B n C n, gdzie n M, C n D n, D n M, µ(d n ) = 0. Wówczas n = B n C n, 22

oraz B n M, C n D n, oraz D n M, i µ( D n ) = 0. Zatem µ( n ) = µ(b n ), a ponieważ zbiory B n są parami rozłączne więc µ( n ) = µ(b n ) = µ( n ). 6 Funkcje addytywne i miary na półpierścieniach 6.1 Funkcje addytywne i miary na dowolnej rodzinie zbiorów Dalej będzie wygodniej rozpatrywać pojęcie funkcji addytywnej nie tylko dla funkcji określonych na pierścieniu zbiorów, ale dla funkcji określonej na dowolnej rodzinie zbiorów zawierającej zbiór pusty. Definicja 6.1 Niech R będzie dowolną rodziną zbiorów zawierającą zbiór pusty. Wówczas mówimy, że funkcja µ : R [0, ] jest (a) µ jest funkcją addytywną jeżeli µ() = µ( 1 ) +... + µ( n ) dla dowolnych, 1,..., n R takich, że = 1... n, oraz zbiory i (i = 1,..., n) są parami rozłączne, (b) µ jest miarą jeżeli µ() = µ( n ), dla dowolnego ciągu ( n ) zbiorów parami rozłącznych takiego, że n R, oraz = n R. (c) µ jest funkcją monotoniczną jeżeli µ(b) µ(), dla dowolnych, B R takich, że B. (d) µ jest funkcją podaddytywną jeżeli: µ() µ( 1 ) +... + µ( n ) dla dowolnych dla dowolnych, 1,..., n R takich, że = 1... n. 23

(e) µ jest funkcją przeliczalnie podaddytywną jeżeli: µ() µ( n ) przy założeniu, że n R dla dowolnego n N, oraz = n R. Zauważmy, że jeżeli rodzina R jest pierścieniem, to definicje pojęć podanych w punktach (a), (c), (d) pokrywają się z wcześniejszymi definicjami tych pojęć. nalogiczna uwaga dotyczy punktów (b), (e) w przypadku gdy R jest σ ciałem. Zupełnie analogicznie jak twierdzenie 5.3 dowodzimy: Lemat 6.1 Dowolna miara określona na pierścieniu jest funkcją przeliczalnie podaddytywną. 6.2 Przedłużanie funkcji addytywnych i miar z półpierścienia na pierścień Twierdzenie 6.1 Załóżmy, że P jest półpierścieniem podzbiorów zbioru X. Niech µ 0 : P [0, ) będzie funkcją addytywną. Niech M będzie pierścieniem generowanym przez P (patrz twierdzenie??). Jeżeli M oraz = C 1... C n, gdzie zbiory C i są parami rozłączne, to przyjmijmy Wówczas: µ() = µ 0 (C 1 ) +... + µ 0 (C n ). (a) funkcja µ jest poprawnie określona; to znaczy jej definicja nie zależy od przedstawienia zbioru z M w postaci sumy zbiorów parami rozłącznych należących do M, (b) µ jest funkcją addytywną na M. Dowód. (a) Załóżmy, że C 1... C n = D 1.. D m gdzie zbiory C i (i = 1,..., n) oraz D j (j = 1,..., m) są parami rozłączne. Wówczas dla dowolnego i = 1,..., n mamy m C i = C i D j j=1 zatem m µ 0 (C i ) = µ 0 (C i D j ). j=1 24

nalogicznie Zatem n µ 0 (B j ) = µ 0 (D i D j ). i=1 n n m m n m µ 0 (C i ) = µ 0 (C i D j ) = µ 0 (C i D j ) = µ 0 (D j ). i=1 i=1 j=1 j=1 i=1 j=1 Punkt (b) twierdzenia jest oczywisty. Ponieważ funkcje addytywne na półpierścieniach są podaddytywne (twierdzenie 5.1) więc z twierdzenia 6.1 wynika: Twierdzenie 6.2 Dowolna funkcja addytywna na półpierścieniu jest funkcją monotoniczną i podaddytywną. Twierdzenie 6.3 Załóżmy, że µ 0 jest miarą określoną na półpierścieniu P. Niech M będzie pierścieniem generowanym przez P, a µ funkcją addytywną będącą przedłużeniem µ 0 na M (zdefiniowanym tak jak w twierdzeniu 6.1). Wówczas µ jest miarą na M. Dowód. Załóżmy, że M oraz = n gdzie n M są parami rozłączne. Załóżmy najpierw, że P. Jeżeli n = n1... nkn, gdzie ni, i = 1,..., k n są zbiorami parami rozłącznymi należącymi do P, to k n = nki, (10) i=1 i wszystkie zbiory występujące w sumie po prawej (10) stronie są parami rozłącznymi zbiorami z półpierścienia P. Ponieważ µ 0 jest miarą na P, więc k n µ() = µ 0 () = µ 0 ( nki ) = µ( n ). i=1 Weźmy teraz dowolny zbiór M i załóżmy, że = C 1... C k, gdzie zbiory C i P są parami rozłączne. Wówczas µ() = µ 0 (C 1 ) +... + µ 0 (C k ), oraz C i = C i = (C i n ), zatem ponieważ C i P oraz C i n P dla dowolnego i = 1,..., k, oraz n N, więc µ(c i ) = µ(c i n ). 25

Stąd dostajemy równość: k k k µ() = µ(c i ) = µ(c i n ) = µ(c i n ) = i=1 i=1 i=1 k k µ( (C i n )) = µ(( C i ) n ) = µ( n ) = µ( n ). i=1 i=1 Twierdzenie 6.4 Niech P będzie półpierścieniem. Funkcja addytywna µ na P jest miarą jest miarą wtedy i tylko wtedy, gdy jest funkcją przeliczalnie podaddytywną. Dowód. Niech M będzie pierścieniem generowanym przez P, a ν funkcją addytywną na M będącą przedłużeniem µ. by udowodnić wystarczalność podanego warunku załóżmy, że ( n ) jest ciągiem zbiorów parami rozłącznych takim, że = n P. Z twierdzenia 5.2 wynika, że µ( n ) = ν( n ) ν() = µ(). Nierówność w przeciwną stronę wynika z przeliczalnej podaddytywności. Do dowodu konieczności zauważmy, że z twierdzenia 6.3 wynika, że ν jest miarą na M, więc z lematu 6.1 wnioskujemy, że ν jest funkcją przeliczalnie podaddytywną na M a więc również na R. 7 Funkcja addytywna na iloczynie kartezjańskim półpierścieni Definicja 7.1 Załóżmy, że P 1, P 2 są półpierścieniami a µ 1, µ 2 funkcjami addytywnymi odpowiednio na P 1, P 2. Niech P = { B : P 1, B P 2 } Zdefiniujmy funkcję µ na P przyjmując µ( B) = µ 1 ()µ 2 (B), przy czym przyjmujemy, że iloczyn po prawej stronie jest równy 0, gdy jeden z czynników jest równy 0, a drugi jest. 26

Dowód. Załóżmy, że P 1, B P 2 oraz, że B = i=1( i B i ) gdzie i P 1 oraz B i P 2 dla i = 1,..., n, oraz zbiory i B i są parami rozłączne. Na mocy twierdzenia 4.4 istnieje rodzina zbiorów {C 1,..., C k } P 1 będąca rozbiciem { 1,..., n } oraz rodzina {D 1,..., D m } P 2 będąca rozbiciem {B 1,..., B n }. Oczywiście możemy zakładać, że wszystkie zbiory C i i wszystkie zbiory D j są zbiorami niepustymi. Mamy ( n m ) k m µ( B) = µ 1 ()µ 2 (B) = µ 1 (C j ) µ 2 (D l ) = µ 1 (C j )µ 2 (D l ). j=1 l=1 i=1 j=1 Oznaczmy M i = {(j, l) : C j D l i B i }. dla i = 1,..., n. Wówczas M i są zbiorami parami rozłącznymi takimi, że (j, l) M i (C j D l ) = i B i. 7.1 Miara Jordana generowana przez funkcję addytywną Twierdzenie 7.1 Niech N będzie pierścieniem podzbiorów zbioru X, a µ skończoną funkcją addytywną na N. Dla dowolnego zbioru X zdefiniujmy dwie funkcje m w, m z : 2 X [0, ] w następujący sposób: m w () = sup{µ(b) : B N, B }, m z () = inf{µ(b) : C N, C}. Niech M = { X : m w () = m z () < }. Dla zbiorów M przez m() oznaczamy wspólną wartość funkcji m w, m z na zbiorze. Wówczas M jest pierścieniem zawierającym pierścień N. Funkcja m funkcją addytywną na X będącą przedłużeniem µ. Jeżeli µ jest miarą, to m jest miarą na pierścieniu M. Uwaga 7.1 Przy założeniach twierdzenia jeżeli jest dowolnym podzbiorem X, to M dla dowolnego ε > 0 istnieją zbiory B, C N takie, że B C, oraz µ(c \ B) < ε. Dowód twierdzenia Weźmy dowolne zbiory 1, 2 X takie, że, B M. 27

8 Miara zewnętrzna 8.1 Definicja i własności miary zewnętrznej Definicja 8.1 Niech X będzie dowolnym zbiorem niepustym. Mówimy, że funkcja µ : 2 X [0, ] jest miarą zewnętrzną, jeżeli spełnia następujące warunki: (a) µ ( ) = 0, (b) B X µ () µ (B), (c) µ ( n ) µ ( n ) dla dowolnego ciągu ( n ) podzbiorów zbioru X. Jak łatwo zauważyć jeśli założymy, że funkcja µ : 2 X [0, ] spełnia warunek (a) powyższej definicji, to warunki (b) i (c) można sformułować równoważnie w postaci jednego warunku: (c ) n µ() µ ( n ) dla dowolnego zbioru X i dowolnego ciągu ( n ) podzbiorów zbioru X. Inaczej mówiąc miara zewnętrzna na zbiorze X, jest to funkcja monotoniczna i przeliczalnie podaddytywna określona na σ ciele wszystkich podzbiorów zbioru X. W szczególności dowolna miara zewnętrzna jest również funkcją skończenie podaddytywną, to znaczy dla dowolnej skończonej ilości zbiorów 1, 2,..., n X zachodzi nierówność: µ ( 1 2... n ) µ ( 1 ) + µ ( 2 ) +... + µ ( n ). Z twierdzenia 5.3 wynika, że dowolna miara określona na 2 X jest miarą zewnętrzną na X, ponadto z twierdzenia 5.4 wnioskujemy, że miara zewnętrzna jest miarą wtedy i tylko wtedy gdy jest funkcją addytywną. Co więcej możemy sformułować następujące twierdzenie. Twierdzenie 8.1 Jeżeli µ jest miarą zewnętrzną, M jest takim σ ciałem podzbiorów zbioru X, że µ jest funkcją addytywną na M, to µ jest miarą na M. 8.2 Twierdzenie Caratheodyr ego Definicja 8.2 Niech µ będzie miarą zewnętrzną na zbiorze X. Mówimy, że zbiór X spełnia warunek Caratheodory ego względem miary zewnętrznej µ jeśli dla dowolnego zbioru Z X zachodzi równość: µ (Z) = µ (Z ) + µ (Z ). (11) 28

Ponieważ miara zewnętrzna jest funkcją podaddytywną, więc na to aby zbiór X spełniał warunek Caratheodory ego, wystarcza aby dla dowolnego zbioru Z X zachodziła nierówność: µ (Z) µ (Z ) + µ (Z ). (12) Lemat 8.1 Niech µ będzie miarą zewnętrzną na zbiorze X. Jeśli X jest takim zbiorem, że µ () = 0 to spełnia warunek Caratheodory ego względem µ. Dowód. Weźmy dowolny zbiór Z X. Wówczas z warunku (b) w definicji 8.1 miary zewnętrznej, mamy µ ( Z) = 0, oraz µ (Z) µ (Z ). Stąd µ (Z) µ ( Z) + µ ( Z ). Nierówność przeciwna wynika z podaddytywności miary zewnętrznej. Twierdzenie 8.2 (Caratheodorye go) Niech µ będzie miarą zewnętrzną na zbiorze X. Oznaczmy przez M klasę wszystkich podzbiorów X spełniających warunek Caratheodory ego względem µ. Wówczas: (a) M jest σ ciałem podzbiorów zbioru X, (b) µ jest miarą na M. Dowód. Dowodzimy najpierw, że M jest ciałem zbiorów. Oczywiście M, oraz jeśli M to M bo prawa strona w równości (11) nie zmienia się gdy zbiór zastąpić zbiorem. Wystarczy więc udowodnić, że suma dwóch zbiorów spełniających warunek Caratheodory ego również spełnia ten warunek. by to pokazać weźmy dwa dowolne zbiory, B M i dowolny zbiór Z X. Ponieważ zbiór spełnia warunek Caratheodory ego to biorąc w równości (11) zamiast zbioru Z kolejno zbiory Z B i Z B otrzymujemy równości: µ (Z B) = µ (Z B ) + µ (Z B ) (13) µ (Z B ) = µ (Z B ) + µ (Z B ) (14) Ponieważ zbiór B spełnia warunek Caratheodory ego więc mamy równość: µ (Z) = µ (Z B) + µ (Z B ), zatem wykorzystując równości (13) i (14) dostajemy: µ (Z) = µ (Z B )+µ (Z B )+µ (Z B )+µ (Z B ) (15) 29

Oznaczmy przez I, II, III, IV kolejne składniki sumy po prawej stronie równości (15). Ponieważ miara zewnętrzna jest funkcją podaddytywną, więc zachodzi nierówność I +II +III µ ((Z B ) (Z B )+(Z B )) = µ (Z ( B)), (16) bo (Z B ) (Z B ) + (Z B ) = Z ( B). Ponadto mamy B = ( B) więc: Z (15), (16) i (17) otrzymujemy nierówność: IV = µ (Z ( B)) (17) µ (Z) µ (Z ( B)) + µ (Z ( B) ), dla dowolnego zbioru Z X. Z nierówności tej wynika, że zbiór B spełnia warunek Caratheodory ego. Udowodniliśmy więc, że rodzina M wszystkich zbiorów spełniających warunek Caratheodory ego jest ciałem podzbiorów X. W następnym kroku dowodu udowodnimy indukcyjnie że dla dowolnego m N, dowolnych zbiorów parami rozłącznych 1, 2,..., m M i dowolnego zbioru Z X, zachodzi równość: m m µ (Z n ) = µ (Z n ). (18) Dla m=1 równość (18) jest oczywista. Załóżmy że jest prawdziwa dla pewnego m N i weźmy m+1 zbiorów parami rozłącznych 1, 2,..., m+1 M i dowolny zbiór Z X. Ponieważ zbiór m+1 spełnia warunek Caratheodory ego więc biorąc w (11) zamiast Z zbiór Z m+1 n a zamiast zbiór m+1 otrzymujemy równość: m+1 µ (Z oraz m+1 n ) = µ ((Z m+1 n ) m+1 )+µ ((Z n ) m+1) (19) Ponieważ wszystkie zbiory n są parami rozłączne, więc mamy równości: m+1 (Z n ) m+1 = Z m+1 (20) m+1 (Z n ) m+1 = Z Zatem z założenia indukcyjnego i z (21) mamy m+1 µ ((Z n ) m+1) = 30 m n. (21) m µ (Z n ) (22)

Z (19), (20) i (22) otrzymujemy więc równość: m+1 µ (Z ( n )) = m+1 µ ( n ) kończącą dowód indukcyjny równości (18) Dalej pokażemy że w równości (18) zamiast skończonej sumy zbiorów parami rozłącznych, można wziąć sumę nieskończoną. Dokładniej mówiąc udowodnimy, że jeśli ( n ) jest ciągiem zbiorów parami rozłącznych takim, że n M dla dowolnego n N to dla dowolnego zbioru Z X zachodzi równość: µ (Z n ) = µ (Z n ). (23) Zauważmy, że nierówność: µ (Z n ) µ (Z n ), (24) wynika bez żadnych założeń o zbiorach n z warunku (c) w definicji 8.1 miary zewnętrznej. Wystarczy więc pokazać nierówność przeciwną. Ponieważ miara zewnętrzna jest funkcją monotoniczną (warunek (b) w definicji miary zewnętrznej) więc dla dowolnego m N mamy nierówność: m µ (Z n ) µ (Z n ) (25) Wykorzystując powyższą nierówność i równość (18) widzimy, że dla dowolnego m N zachodzi nierówność: m µ (Z n ) µ (Z n ). Przechodząc z m do dostajemy nierówność µ (Z n ) µ (Z n ). (26) Nierówności (24), (26) dają nam równość (23). Udowodnimy dalej, że M jest σ ciałem podzbiorów zbioru X. Ponieważ udowodniliśmy wcześniej, że M jest ciałem zbiorów więc na podstawie twierdzenia 3.4 wystarczy pokazać, że jeśli ( n ) jest ciągiem zbiorów parami rozłącznych takim że n M dla dowolnego n N to n M. Weźmy dowolny zbiór Z X. Ponieważ M jest ciałem zbiorów więc dla dowolnego m N mamy nierówność: m m µ (Z) = µ(z n ) + µ (Z ( n )) ) (27) 31

Ponieważ miara zewnętrzna jest funkcją monotoniczną więc: m µ (Z ( n ) ) µ (Z ( n ) ) (28) Z równości (18) oraz z (28) i (27) otrzymujemy dla dowolnego m N nierówność: m µ(z) µ (Z n ) + µ (Z ( n ) ) Przechodząc w ostatniej nierówności z m do dostajemy nierówność: µ(z) µ (Z n ) + µ (Z ( n ) ) Na koniec wykorzystując równość (23) otrzymujemy nierówność: µ (Z) µ (Z n ) + µ (Z ( n ) ) dla dowolnego zbioru Z X. To zaś oznacza, że zbiór n spełnia warunek Caratheodory ego, a więc należy do M. Udowodniliśmy więc, że M jest σ ciałem podzbiorów zbioru X. by pokazać że µ jest miarą na M weźmy dowolny ciąg zbiorów ( n ) parami rozłącznych takich, że n M dla dowolnego n N. Biorąc w równości (23) Z = X, dostajemy równość: µ ( n ) = µ ( n ) dowodzącą, że µ jest miarą na M i kończącą dowód twierdzenia. Definicja 8.3 Jeżeli µ jest miarą zewnętrzną na zbiorze X, to σ ciało złożone z wszystkich zbiorów spełniających warunek Caratheodory ego względem tej miary zewnętrznej będziemy nazywać σ ciałem generowanym przez miarę zewnętrzną µ, a miarę będącą obcięciem miary zewnętrznej do σ ciała generowanego przez µ, nazywamy miarą generowaną przez miarę zewnętrzną µ. Z lematu 8.1 otrzymujemy. Twierdzenie 8.3 Miara generowana przez miarę zewnętrzną jest miarą zupełną. 32

Twierdzenie 8.4 Załóżmy, że µ jest miarą zewnętrzną na zbiorze X. Niech M będzie σ ciałem generowanym przez miarę zewnętrzną µ. Jeśli jest takim podzbiorem X, że dla dowolnego ε > 0 istnieją zbiory B, C M takie, że B C, oraz µ(c \ B) ε, to M. Dowód.Z założenie dla dowolnego n N istnieją zbiory B n, C n M takie, że B n C n oraz µ (C n \ B n ) < 1/n. Niech B = B n, C = C n. Wówczas B C, B, C M, oraz dla dowolnego n N zachodzi nierówność µ (C \ B) 1/n, zatem µ (C \ B) = 0. Ponieważ \ B C \ B więc również µ ( \ B) = 0. Z lematu 8.1 wynika więc, że \ B M a ponieważ B M oraz = B ( \ B) więc M. 8.3 Ogólna metoda konstrukcji miary zewnętrznej Następujące twierdzenie podaje ogólną metodę konstrukcji miary zewnętrznej. Twierdzenie 8.5 Niech X będzie dowolnym zbiorem niepustym, a R rodziną podzbiorów X. Załóżmy, że ν : R [0, ] jest taką funkcją, że Dla dowolnego zbioru X niech µ () = inf{ ν( n ) : inf{ν() : R} = 0 (29) n, n R dla dowolnego n N} (30) (przyjmujemy, że inf zbioru pustego jest równe.) Wówczas µ jest miarą zewnętrzną na X. Dowód. Funkcja zdefiniowana wzorem 8.4 Miara zewnętrzna generowana przez funkcję addytywną na półpierścieniu Uwaga 8.1 Jeżeli P jest półpierścieniem σ skończonym a ν funkcją addytywną ma P. Wówczas funkcja µ : 2 X [0, ] określona wzorem (30) jest miarą zewnętrzną na X. Jeżeli M jest pierścieniem generowanym przez P a nu : M [0, ] funkcją addytywną będącą przedłużeniem funkcji ν, to µ () = inf{ ν( n ) : n, n M} 33

Twierdzenie 8.6 Niech P będzie półpierścieniem sigma skończonym podzbiorów zbioru X, a µ : 2 X [0, ] miarą zewnętrzną zdefiniowaną tak jak w twierdzeniu 8.5. Wówczas: (a) dowolny zbiór należący do P spełnia warunek Caratheodory ego; (b) µ () ν() dla dowolnego P; (c) jeżeli ν jest miarą na P, to µ () = ν() dla dowolnego P. Dowód. Na podstawie uwagi 8.1 możemy zakładać, że P jest pierścieniem. by udowodnić (a) weźmy dowolny zbiór P i Z X. by pokazać nierówność (12) można zakładać, że µ (Z) <. Weźmy dowolne ε > 0 i dobierzmy takie ciągi zbiorów (C n ), że C n P dla dowolnego n N, oraz: Z C n oraz ν(c n ) < µ () + ε. Zauważmy, że Z (C n ), oraz Z (C n ), oraz dla dowolnego n N. Ponieważ C n, C n P, więc Stąd µ (Z ) + µ (Z ) ν(c n ) + ν(c n ) = [ν(c n ) + ν(c n )] = ν(c n ) µ (Z) + ε. Ze względu na dowolność ε mamy nierówność µ (Z )+µ (Z ) µ (Z). Ponieważ we wzorze (30) możemy przyjąć 1 =, oraz n = dla n > 1 więc mamy nierówność µ () ν(). by pokazać punkt (b) twierdzenia wystarczy udowodnić, że ν() µ () gdy N. Można zakładać, że µ () <. Weźmy dowolne ε > 0 i niech ( n ) będzie takim ciągiem zbiorów z N, że n oraz ν( n ) < µ () + ε. Wówczas = ( n ) więc ν() ν( n ) ν( n ) µ () + ε. Ze względu na dowolność ε dostajemy dowodzoną nierówność. 34

9 Miara Lebesque a w R k 9.1 Przedziały k wymiarowe, figury elementarne Przez R k oznaczamy przestrzeń euklidesową k wymiarową, to znaczy R k = {(x 1,..., x k ) : x i R (i = 1,..., k)} W przestrzeni tej będziemy rozpatrywać zwykłą metrykę euklidesową ( n ) 1 d k (x, y) = x i y i 2 2, i=1 jeżeli x = (x 1, x 2,..., x k ), y = (y 1, y 2,..., y k ). W stosunku do tej przestrzeni będziemy używać wszystkich pojęć wprowadzanych w teorii przestrzeni metrycznych i w topologii; jak pojęcia kuli, zbiorów otwartych, zbiorów domkniętych, wnętrza i domknięcia zbioru, zbiorów zwartych i.t.d. Definicja 9.1 (a) Przedziałem w R nazywamy dowolny ze zbiorów postaci (a, b), [a, b], [a, b), (a, b], gdzie a, b R oraz a b. W szczególności zbiór pusty i zbiór jednopunktowy jest przedziałem. (b) Przedziałem k wymiarowym nazywamy dowolny zbiór w R k postaci P 1 P 2... P k (31) gdzie P i jest przedziałem jednowymiarowym dla i = 1, 2,..., k. Rodzinę wszystkich przedziałów k wymiarowych będziemy oznaczać przez P k. Jeżeli conajmniej jeden z przedziałów P i jest zbiorem jednopunktowym lub zbiorem pustym, to mówimy, że przedział jest przedziałem zdegenerowanym. Jeżeli wszystkie przedziały P i są przedziałami domkniętymi (otwartymi) to przedział (31) nazywamy przedziałem domkniętym (otwartym). Definicja 9.2 Dla dowolnych a, b R k takich, że a = (a 1, a 2,..., a k ), b = (b 1, b 2,..., b k ) przyjmujemy, że a b jeżeli a i b i dla dowolnego i = 1,.., k, oraz a < b jeżeli a i < b i dla dowolnego i = 1,..., k. Jeżeli a, b R k i a b to przyjmujemy [a, b] = {x R k : a x b} [a, b) = {x R k : a x < b} (a, b] = {x R k : a < x b} 35

[a, b] = {x R k : a < x < b} Jeżeli a, b są dowolnymi liczbami rzeczywistymi takimi, że a b, to definiujemy [a, b] k jako przedział k wymiarowy [a, b] gdzie a = (a,..., a), b = (b,..., b). nalogicznie definujemy przedziały (a, b) k, [a, b) k, (a, b] k. Uwaga 9.1 Jeżeli P jest dowolnym przedziałem k wymiarowym postaci (31) to P = P 1 P 2... P k, oraz int(p ) = int(p 1 ) int(p 2 )... int(p k ). Twierdzenie 9.1 Dowolny zbiór otwarty można zapisać w postaci sumy przeliczalnej ilości przedziałów otwartych. Dowód. Udowodnimy najpierw, że dla dowolnego x U istnieją takie punkty a, b Q k, że a < x < b, oraz (a, b) U. Weźmy dowolny punkt x = (x 1,..., x k ) U i niech ε > 0 będzie takie, że K(x, ε) U. Weźmy δ > 0 takie, że δ < ε k. Niech a i, b i będą takimi liczbami wymiernymi, że a i < x i < b i, oraz x i a i, b i x i < δ dla i = 1,..., k. Niech a = (a 1,..., a k ), b = (b 1,..., b k ) i załóżmy, że y = (y 1,..., y k ) U. Wówczas ( n ) 1 ( d k (x, y) = (x i y i ) 2 2 n ) 1 < δ 2 2 = kδ < ε. i=1 i=1 Niech teraz dla dowolnego x U, a x, b x Q k będą takie, że a x < x < b x, (a x, b x ) U. Wówczas oraz rodzina (a x, b x ) = U x U {(a x, b x ) : x U} jest rodziną przeliczalną (bo Q k Q k jest zbiorem przeliczalnym). Twierdzenie 9.2 Dowolny zbiór otwarty można zapisać w postaci sumy przeliczalnej ilości przedziałów parami rozłącznych. Uwaga 9.2 Dowolny zbiór otwarty w R można zapisać w postaci sumy przeliczalnej ilości przedziałów otwartych (ograniczonych albo nieograniczonych) parami rozłącznych. 36

Lemat 9.1 Niech X będzie ośrodkową przestrzenią topologiczną. Jeżeli R jest rodziną podzbiorów niepustych, parami rozłącznych otwartych w X, to R jest rodziną przeliczalną. Dowód lematu. Niech będzie dowolnym podzbiorem przeliczalnym i gęstym w X. Niech f : R będzie taką funkcją, że f(u) U dla dowolnego zbioru U R. Funkcja f jest funkcją przeliczalną więc ℵ 0. Dowód twierdzenia. Niech U będzie dowolnym zbiorem otwartym w R. Dla dowolnego x U, niech a x = inf{a : (a, x] U}, b x = sup{b : [x, b) U}. Jak łatwo zauważyć, mamy x (a x, b x ) U, zatem (a x, b x ) = U. (32) x U Z definicji przedziałów (a x, b x ) wynika, że dla dowolnych punktów x, y U zbiory (a x, b x ) są albo identyczne albo rozłączne, zatem na podstawie lematu 9.1 rodzina {(a x, b x ) : x U} jest rodziną przeliczalną, stąd z (32) dostajemy tezę twierdzenia. Definicja 9.3 Mówimy, że zbiór R k jest k wymiarową figurą elementarną jeżeli można przedstawić w postaci = P 1 P 2... P n (33) gdzie P i dla i = 1, 2,..., n jest przedziałem k wymiarowym. Zbiór wszystkich k wymiarowych figur elementarnych będziemy oznaczać przez E k. Definicja 9.4 Mówimy, że figura elementarna jest figurą zdegenerowaną jeżeli daje się przedstawić w postaci sumy skończonej ilości przedziałów zdegenerowanych. Mówimy, że dwie figury elementarne, B są prawie rozłączne, jeżeli ich iloczyn B jest figurą elementarną zdegenerowaną. Twierdzenie 9.3 Rodzina P k wszystkich przedziałów k wymiarowych jest półpierścieniem. Dowód. Dla k = 1 twierdzenie jest oczywiste a dla dowolnego k wynika z twierdzenia 14.2. Z twierdzenia 9.3 wynika 37

Twierdzenie 9.4 Rodzina E k wszystkich figur elementarnych k wymiarowych jest pierścieniem. Dowolną figurą elementarną można przedstawić w postaci sumy P 1... P n, gdzie P i są przedziałami k wymiarowymi parami rozłącznymi. Wniosek 9.1 Jeżeli jest figurą elementarną domkniętą to można przedstawić w postaci skończonej sumy przedziałów dotkniętych prawie rozłącznych. 9.2 Objętość figur elementarnych Definicja 9.5 Dla dowolnego przedziału k wymiarowego P = P 1 P 2... P k definiujemy uogólnioną objętość tego przedziału jako P k = P 1 P 2... P k. gdzie dla dowolnego przedziału jednowymiarowego P i, przez P i oznaczyliśmy długość tego przedziału. Przedział k wymiarowy P jest przedziałem zdegenerowanym wtedy i tylko wtedy gdy jego objętość jest równa 0. Jak łatwo zauważyć, mamy P k = P k = int(p k ) k (34) dla dowolnego przedziału k wymiarowego P. Tak więc dla dowolnego przedziału k wymiarowego P istnieje przedział otwarty zawarty w tym przedziale i istnieje przedział domknięty zawierający P taki, że objętości obu przedziałów są równe P k. Lemat 9.2 Dla dowolnego przedziału k wymiarowego P i dla dowolnego ε > 0 istnieje przedział domknięty K i przedział otwarty Q takie, że K P Q oraz K k > P k ε, Q k < P k + ε. Definicja 9.6 Mówimy, że dwa przedziały k wymiarowe P i Q są prawie rozłączne jeżeli ich iloczyn jest przedziałem k wymiarowym zdegenerowanym, to znaczy gdy int(p Q) = albo równoważnie gdy P Q k = 0. Dalej będziemy używać następującego oczywistego choć trudnego technicznie w dowodzie lematu 38

Lemat 9.3 Jeżeli dowolny przedział k wymiarowy P przedstawić w postaci skończonej sumy rozłącznych przedziałów k wymiarowych to P = P 1 P 2... P k P k = P 1 k + P 2 k +... + P k k Inaczej mówiąc funkcja k jest funkcją addytywną na P k. Ponieważ pierścieniem generowanym przez P k jest rodzina wszystkich k wymiarowych figur elementarnych więc na podstawie twierdzenia 6.1 możemy zdefiniować objętość k wymiarowych figur elementarnych przyjmując, że E k = P 1 k +... + P n k gdy E = P 1... P n gdzie P i P j = gdy i j. W ten sposób przedłużamy k do funkcji addytywnej na pierścień E k. Lemat 9.4 (a) Jeżeli E jest figurą elementarną to int(e) i E są figurami elementarnymi o takiej samej objętości co E. (b) Dla dowolnej figury elementarnej E i dowolnego ε > 0 istnieją domknięta figura elementarna F oraz otwarta G takie, że F E G oraz F k > E k ε, G k < E k + ε. Wykorzystując lemat 9.3 udowodnimy. Twierdzenie 9.5 Funkcja k jest miarą na P k. Dowód. Na podstawie twierdzenia 9.3 P jest półpierścieniem. Z lematu 9.3 wynika, że k jest funkcją addytywną na P. Z twierdzenia 6.4 wystarczy pokazać, że jeżeli P jest dowolnym przedziałem k wymiarowym a (P n ) takim ciągiem przedziałów, że P P n to, P k P n k. (35) Załóżmy najpierw, że P jest przedziałem domkniętym. Weźmy dowolne ε > 0. Wówczas dla dowolnego n istnieje przedział otwarty Q n taki, że P n Q n oraz Q n k < P n k +ε/2 n. Ponieważ P Q n i P jest zbiorem zwartym więc istnieje takie m N, że P m Q n. Ponieważ k jest funkcją addytywną na P więc m P k Q n k Q n k P n k + ε 2 i=1 n = P n k + ε. 39