Podstawy matematyki asowej Omówimy tutaj odstawowe oj cia matematyki asowej. Jest to dobre miejsce, gdy» zagadieia te wi» si z ci gami, w szczególo±ci z ci giem arytmetyczym i geometryczym. Omówimy zagadieie lokowaia iei dzy w baku i sªaty kredytu. Ograiczymy si do ajrostszych sytuacji, gdy orocetowaie lokaty lub kredytu jest staªe. Procet rosty i skªaday Na ocz tek rzedstawimy kilka deicji: rocet rosty odsetki aliczae od kaitaªu co ewie ustaloy okres czasu ie s do tego kaitaªu doisywae, zatem za ka»dym razem otrzymujemy tyle samo odsetek i sta aszych oszcz do±ci tworzy ost arytmetyczy. rocet skªaday do kaitaªu s doisywae odsetki aliczoe od kaitaªu, a zatem w ast ym razem odsetki liczoe s od owego, wi kszego kaitaªu. Sta aszych oszcz do±ci tworzy ost geometryczy. kaitalizacja odsetek doisaie odsetek do kaitaªu; stoa omiala stoa orocetowaia wzgl dem jedostki czasu ajcz ±ciej 1 roku) liczoa tak jakby±my liczyli zgodie ze wzorem a rocet rosty czyli bez uwzgl dieia kaitalizacji odsetek). Je±li w ci gu roku odsetki s aliczae razy, za ka»dym razem w wysoko±ci q%, to stoa omiala wyosi = q. Gdy co miesi c aliczae s odsetki w wysoko±ci 0,3%, to stoa omiala wyosi 12 0,3% = 3,6%. Odwrotie, je±li stoa omiala wyosi 4,8% a odsetki s aliczae co dwa miesi ce, to za ka»dym razem bak alicza odsetki w wysoko±ci 4,8% = 0,8%. 6 stoa efektywa rzeczywisty, rocetowy rzyrost kaitaªu czyli z uwzgl dieiem kaitalizacji odsetek). Przykªad 6.1. Je±li mówimy,»e orocetowaie w skali roku rocza stoa omiala) wyosi 12%, a kaitalizacja odsetek ast uje miesi czie, ozacza to,»e co miesi c do kaitaªu jest doisywae 12% 12 = 1% odsetek, za± stoa efektywa wyosi 1 + 0,01)12 12,68%. Kilka wzorów Niech stoa omiala; e stoa efektywa, liczba kaitalizacji w ci gu jedostki czasu roku), t liczba lat, K t - kaitaª o t latach. Wtedy K 1 = razy { }} { ) ) ) 1 + 1 + 1 + K t = K 0 1 + e = 1 + ) t ) 1] = 1 + ) Ciekawostka. Zauwa»my, co si b dzie dziaªo, gdy kaitalizacje b d ast owaªy coraz cz ±ciej czyli zwi ksza si ). Rozwa»a si tak»e kaitalizacj ci gª odsetki s obliczae i doisywae a bie» co). Poiewa» ) 1 + x e x, to wtedy mamy K 1 = K 0 e K t = K 0 e t e = ] e 1 1
Oczywi±cie, we wszystkich rzykªadach i zadaiach orówuj cych oferty dwóch baków zakªadamy,»e wszelkie ie szczegóªy oferty oza orocetowaiem i kaitalizacj odsetek, s idetycze. Jest to zaªo»eie sesowe gdy orówujemy lokaty czemu, tak a rawd sªu» te rozwa»aia), cho i w tym wyadku baki si ró»i stoiem swobody w dysoowaiu iei dzmi i karami za zerwaie lokaty wcze±iejsze wyªaceie cz ±ci lub wszystkich iei dzy). Porówaie kot osobistych jest du»o bardziej skomlikowae ze wzgl du a ich fukcj raczej zarz dzaia iei dzmi i» oszcz dzaia iei dzy. W rzyadku kot osobistych orocetowaie zwykle ma drugorz de zaczeie, w stosuku do kosztu rowadzeia takiego kota, kosztu kart ªaticzych, dost u do bakomatów, oªat za rzelewy i wielu iych usªug oferowaych w ramach kota osobistego. Przykªad 6.2. Lokujemy 10 000 zª a dwa lata w baku, który oferuje lokat z miesi cz kaitalizacj odsetek o roczej stoie omialej 6%. Jaki b dzie asz zysk? Rozwi zaie: Kaitaª K 0 = 10 000, stoa omiala = 6, kaitalizacja jest miesi cza, czyli mamy = 12 kaitalizacji w ci gu roku. Zatem zgodie z owy»szym wzorem Zatem zysk wyosi 1 271,61 zª. ) 6 24 K 2 = 10 000 1 + = 11 271,60 12 Przykªad 6.3. Jaki byªby asz zysk, gdyby kaitalizacja ast owaªa raz w roku Rozwi zaie: W stosuku do orzediego zadaia zmiaie ulega jedyie liczba kaitalizacji tutaj = 1 jeda kaitalizacja roczie). St d Zatem zysk wyosi 1 236,00 zª. K 2 = 10 000 1 + 6 ) 2 = 11 236 Przykªad 6.4. Bak Zbbieraj SA oferuje lokat o stoie omialej 24% i miesi czej kaitalizacji odsetek. Bak Leiej SA oferuje lokat o stoie omialej 25% i óªroczej kaitalizacji odsetek. Lokata którego z baków jest lesza zakªadamy oczywi±cie,»e ozostaªe waruki obu lokat a rzykªad oªaty za rowadzeie s takie same)? Rozwi zaie: Policzymy stoy efektywe: dla baku Zbbieraj SA: e = 1 + 24 ) 12 1) = 26,82 12 Dla baku Leiej SA: e = 1 + 25 ) 2 1) = 26,56 2 Wiosek: Leszym bakiem jest Zbbieraj SA. Sªata kredytu. Chcemy zaci g kredyt w wysoko±ci K zª. Trzeba b dzie go sªaci w ratach. Mo»emy zada sobie dwa ytaia: a) jaka b dzie wysoko± rat, które b dziemy ªaci, gdy wiemy jak szybko chcemy sªaci kredyt; b) jak dªugo b dziemy sªaca kredyt wiedz c,»e mo»emy lub chcemy ªaci raty w wysoko±ci ie wi kszej i» b? Zakªadamy,»e kredyt jest orocetoway % w skali roku, odsetki s doliczae co miesi c 1200 w wysoko±ci q = taka jest zwykle rocedura rzy ormalych o»yczkach bakowych lub kredytach atomiast iektóre istytucje asowe oferuj o»yczki sªacae co tydzie«, wtedy oczywi±cie q = /5200 i odsetki s doliczae co tydzie«, a rozumowaie rzedstawioe oi»ej 2
ozostaje rawie bez zmia, z wyj tkiem, tego»e raty sªacamy co tydzie«a ie co miesi c). W rozwa»aiach rzyjmujemy staªe orocetowaie kredytu. W rzeczywisto±ci orocetowaie kredytów dªugookresowych. mieszkaiowych) jest zwykle zmiee i zale»y od stó rocetowych. Poiewa» ie jeste±my w staie rzewidzie w dªu»szej ersektywie) o ile wzros /sad stoy rocetowe, a w zwi zku z tym jak si zmiei orocetowaie, awet baki dokouj wyliczeia rat, zakªadaj c staªe orocetowaie. W rzyadku jego zmiay, ale»y oowie dokoa oblicze«. Raty rówe. Niech K i ozacza wysoko± zadªu»eia czyli ozostaªego do sªaty kredytu) o i-tym miesi cu od zaci gi cia kredytu. Na ocz tku miesi ca i-tgo do zadªu»eia, które mamy doliczae s odsetki w wysoko±ci q, czyli qk i 1 i odejmowaa jest sªacoa rzez as rata w wysoko±ci b. Pozostaje am do sªaty K i = K i 1 + qk i 1 b. St d mamy: K 0 = K K 1 = K1 + q) b K 2 = K1 + q) b ) 1 + q) b = K1 + q) 2 b1 + q) + 1) ) K1 ) + q) b 1 + q) b K 3 = 1 + q) b = K1 + q) 2 b1 + q) 2 + 1 + q) + 1). ] K = K1 + q) b 1 + q) 1 + 1 + q) 2 + + 1 + q) 2 + 1 + q) + 1 Zatem otrzymujemy, korzystaj c ze wzoru a sum wyrazów ci gu geometryczego: K = K1 + q) b 1 + q) 1 q = 1 q b b Kq) 1 + q) ] 6.1) Zauwa»my od razu,»e aby sªaci kredyt b > Kq, czyli sªacaa rata musi by wi ksza od aliczaych odsetek. Mo»emy teraz odowiedzie a ostawioe wy»ej ytaia. a) Zamy liczb rat i chcemy wyzaczy wysoko± rat b. Oczywi±cie, gdy sªacimy kredyt, to K = 0. Šatwiej b dzie am skorzysta z ierwszego z wyra»e«6.1) a K, gdy» b wyst uje tam tylko w jedym miejscu. Proste rzeksztaªceie daje am odowied¹: q1 + q) b = K 1 + q) 1 6.2) Z drugiej stroy, je±li zamy wysoko± raty, jak chcemy sªaca oczywi±cie, jak zauwa»yli±my wy»ej b > Kq), to chcemy wyzaczy. Tym razem u»yjemy drugiego z wyra»e«6.1) a K, rzyrówuj c je do zera bo kredyt ma by sªacoy). Mo» c stroami rzez q ozbywamy si 1/q stoj cego rzed awiasem kwadratowym, zatem wystarczy rzyrówa do zera wyra»eie stoj ce w awiasie kwadratowym. Przeksztaªcaj c je: 1 + q) b = b Kq ) l 1 + q) b ] = l b Kq l1 + q) = l b lb Kq) = l b lb Kq) l1 + q) 3
Poiewa» musimy sªaci caªkowit liczb rat, ale»y jako t liczb rzyj ajmiejsz liczb caªkowit wi ksz lub rów od wyzaczoej, czyli kredyt zostaie sªacoy gdy: l b lb Kq) =, 6.3) l1 + q) gdzie x ozacza ajmiejsz liczb caªkowit wi ksz lub rów x. Zauwa»my,»e sªacaj c kredyt asze zadªu»eie wobec baku maleje, a zatem malej tak»e aliczae odsetki od kredytu. Poiewa» ªacimy rówe raty, a comiesi cze odsetki s coraz miejsze, to a ocz tku sªaty kredytu, gªów cze± raty staowi odsetki i sªacamy jedyie maª cz ± kaitaªu. Wraz z uªywem czasu, roorcja si zmieia w ka»dej kolejej racie sªacay kaitaª staowi coraz wi ksz cz ±. Przykªad 6.5. Chcemy zaci g kredyt w wysoko±ci 150 000 zª a zaku owego mieszkaia. Orocetowaie kredytu wyosi 6%. a) Jak rat b dziemy musieli ªaci co miesi c je±li chcemy sªaci kredyt w 20 lat. b) Jak dªugo b dziemy sªaca te kredyt, je±li co miesi c b dziemy ªaci 1 000 zª a ile 1 150 zª. Rozwi zaie: Zauwa»my,»e q = 6 = 0,005, atomiast K = 150 000. 1200 a) W tym rzyadku = 20 12 =. Podstawiaj c dae do wzoru 6.2) otrzymujemy 0,005 1,005) b = 150 000 1,005) 1 = 1 074,65 b) Mo»emy ªatwo oliczy,»e Kq = 750. Rozwa»amy dwa rzyadki: Gdy b = 1 000, to odstawiaj c dae do wzoru 6.3) otrzymujemy: l 1 000 l1 000 750) = = 277,95 = 278. l 1,005 Zatem kredyt sªacimy o 23 latach i dwóch miesi cach. Gdy b = 1 150, to odstawiaj c dae do wzoru 6.3) otrzymujemy: l 1 150 l1 150 750) = = 211,74 = 212. l 1,005 Kredyt sªacimy o 17 latach i 8 miesi cach. Raty malej ce Baki oferuj tak»e mo»liwo± sªaty kredytu w ratach malej cych. Polegaj oe a tym,»e co miesi c sªacamy tak sam cz ± aszego zadªu»eia lus wszystkie aliczoe odsetki. Poiewa» kaitaª systematyczie maleje, odsetki aliczae od iego s coraz miejsze i raty tak»e malej. Korzystaj c z wrowadzoych ozacze«, w miesi cu i do zadªu»eia doliczae s odsetki w wysoko±ci qk i 1 i sªacamy rat w wysoko±ci b i teraz rata zmieia si w zale»o±ci od miesi ca i skªada si z aliczoych odsetek qk i 1, które sªacamy i cz ±ci kaitaªu K, czyli b i = qk i 1 + K. Zatem K i = K i 1 + qk i 1 b i = K i 1 + qk i 1 qk i 1 K = K i 1 K. Šatwo zauwa»y,»e K i 1 = K K i = K 1 i ) b i = qk i 1 + K q = K 1 i 1 ) + 1 ] 4 6.4)
Oczywiste jest,»e sªata kredytu ast i o ratach. Aby ustali wysoko± rat, musimy ajierw wyliczy jak cz ± kaitaªu b dziemy sªaca za ka»dym razem. Gdy wiemy ile rat b dziemy ªaci, jest to roste i liczy si dziel c kaitaª rzez liczb rat. Gdy chcemy ªaci raty ie wi ksze i» b, to musimy ustali wysoko± ajwi kszej raty ierwszej. Teraz mo»emy wyliczy liczb rat b = b 1 = K q + 1 ) = K 6.5) b qk któr rzyjdzie am zaªaci, a ast ie wysoko± dowolej raty. Przykªad 6.6. Rozwa»my te sam kredyt co w rzykªadzie 5. a) Policzmy, jaka b dzie wysoko± 1 i ostatiej raty, gdy b dziemy te kredyt sªaca rzez 20 lat? Jak b dzie rata zaªacoa o 10 latach, czyli o umerze i = 121? Która rata, jako ierwsza b dzie i»sza od 1 074,65, czyli od kiedy b dziemy ªaci raty miejsze i» rzy ratach rówych? b) Jak dªugo b dziemy sªaca kredyt gdy chcemy by ajwy»sza rata ie rzekraczaªa 1 000 zª, a jak dªugo gdy ajwy»sza rata ma ie rzekracza 1 150 zª. Jaka b dzie wysoko± ostatiej raty w ka»dym z tych dwóch rzyadków? Rozwi zaie: a) Zauwa»my,»e =, w zwi zku z tym K/ = 625. Korzystaj c ze wzoru 6.4) dla i = 1,, 121 otrzymujemy odowiedio: b 1 = 150 000 0, 005 + 1 ) = 1 375 0,005 b = 150 000 + 1 ) = 628,13 b 121 = 150 000 0,005 1 120 ) + 1 ) = 1 000. Pierwsza rata wyosi 1 375 zª, ostatia 628,13 za± o 10 latach czyli 121 rata) 1 000 zª. Policzmy teraz kiedy raty sta si miejsze i» b = 1 075,65. Poiewa» raty s malej ce wystarczy zale¹ ierwsz rat ie wi ksz i» b. Przeksztaªcamy wzór 6.4) i = 1 1 q b K 1 )] + 1 = 1 1 1 074,65 0, 005 150 000 1 ) ] + 1 = 87,112 St d wyika,»e ju» 98 rata b dzie i»sza i» wszystkie raty rzy sªacie kredytu ratami rówymi. Rzeczywi±cie, licz c wysoko± rat 97 i 98 otrzymujemy odowiedio 1 075 zª i 1 071,88 zª. b) Tym razem skorzystamy ze wzoru 6.5). Zauwa»my,»e rzy ajwy»szej racie w wysoko±ci 1 000 zª mamy b Kq = 250, atomiast gdy zdecydujemy si a ierwsz, ajwy»sz rat w wysoko±ci 1 150 zª, to b Kq = 400. Šatwo teraz wyliczy liczb rat, otrzebych do sªaty kredytu dziel c wysoko± kredytu rzez obliczo wcze±iej liczb czyli rzez wielko± ojedyczej sªaty kaitaªu. Otrzymujemy, w rzyadku 1 000 zª = 600, co ozacza,»e kredyt b dziemy sªaca 50 lat!! W rzyadku ierwszej raty w wysoko±ci 1 150 zª dostajemy = 375, czyli kredyt b dziemy sªaca 31 lat i 3 miesi ce. Wielko± ostatiej raty b dzie, odowiedio 251,25 zª i 402 zª. Proouj orówa uzyskae tu wyiki z wyikami z rzykªadu 5. Zauwa»my,»e sªacaj c kredyt ratami malej cymi, w efekcie, zaªacimy bakowi miej odsetek. Z drugiej stroy, warto± iei dza sada iacja). W efekcie koszt kredytu rzy obu sosobach sªaty jest odoby. Czy zatem warto wybra raty malej ce? Czasem tak, czasem ie. Wszystko zale»y od iych czyików, a rzykªad mo»liwo±ci adªacaia/wcze±iejszej sªaty kredytu, obecej i rzewidywaej sytuacji asowej. 5