4
Spis treści 1 Wektory i działania na wektorach 1 1.1 Dodawanie wektorów.......................... 1 1.2 Odejmowanie wektorów......................... 3 1.3 Mnożenie wektora przez liczbę..................... 4 1.4 Iloczyn skalarny wektorów....................... 5 1.5 Iloczyn wektorowy wektorów...................... 6 1.6 Iloczyny wielokrotne.......................... 7 2 Kinematyka 11 2.1 Opis ruchu................................ 11 2.2 Przyspieszenie w ruchu krzywoliniowym................ 15 2.3 Kinematyka ruchu obrotowego..................... 19 2.4 Opis ruchu w układzie współrzędnych biegunowych......... 22 2.5 Całkowanie równań ruchu....................... 26 2.6 Transformacja wektorów prędkości i przyspieszenia pomiędzy układami odniesienia.................... 31 3 Dynamika punktu materialnego 39 3.1 Zasada bezwładności i transformacja Galileusza........... 39 3.2 II zasada dynamiki Newtona...................... 41 3.3 Całkowanie drugiego prawa ruchu................... 42 3.4 Uogólniona postać II zasady dynamiki i zasada zachowania pędu.. 48 3.5 II zasada dynamiki dla ruchu obrotowego i zasada zachowania momentu pędu............................... 50 3.6 Wzór Bineta............................... 52 3.7 Praca, moc, energia kinetyczna.................... 54 3.8 Siły zachowawcze............................ 58 3.9 Zagadnienie Keplera.......................... 63 3.10 Prawa Keplera............................. 69 3.11 Newtonowskie prawo ciążenia powszechnego............. 72
4 Szczególna teoria względności 77 4.1 Doświadczenie Michelsona - Morleya................. 78 4.2 Transformacja Lorentza........................ 81 4.3 Relatywistyczne składanie prędkości.................. 83 4.4 Efekt aberracji gwiezdnej........................ 85 4.5 Efekt kontrakcji długości........................ 87 4.6 Efekt dylatacji czasu.......................... 88 4.7 Relatywistyczny efekt Dopplera.................... 89 4.8 Diagramy Minkowskiego........................ 91 4.9 Efekty relatywistyczne na diagramach Minkowskiego........ 94 4.10 Transformacja Lorentza jako obrót układu współrzędnych...... 96 4.11 Relatywistyczny pęd i moment pędu................. 99 4.12 Relatywistyczna energia kinetyczna.................. 103 4.13 Efekt Comptona............................. 106
Rozdział 1 Wektory i działania na wektorach Wektory to wielkości mające określoną wartość, kierunek i zwrot, oraz podlegające pewnym regułom algebry wektorów. Wielkości wektorowe to np. siła, prędkość, przyspieszenie, natężenie pola, itp. Wielkości, które można jednoznacznie określić za pomocą liczby i jednostki, a więc mające jedynie wartość, nazywane są skalarami. Skalary podlegają regułom zwykłej algebry. Wielkości skalarne to np. masa, długość, czas, energia, temperatura, itp. Matematycznie wielkość wektorową opisuje zbiór trzech liczb. Skalar, matematycznie to jedna liczba. Wektory znalazły szerokie zastosowanie w fizyce. Dlaczego? Otóż związki pomiędzy wektorami są niezmiennicze względem przesunięć (translacji) i obrotów (rotacji) układu współrzędnych. Notacja wektorowa jest więc idealnym językiem do wyrażania praw fizyki. Jeżeli prawo możemy przedstawić w postaci równania wektorowego, to zapewniona jest niezmienniczość tego prawa względem obrotów i przesunięć układu współrzędnych. 1.1 Dodawanie wektorów Dodawanie wektorów metodą geometryczną Aby znaleźć sumę wektorów A i B należy do końca wektora A dosunąć początek wektora B. Wektor sumy A + B otrzymamy wtedy jako trzeci bok trójkąta (metoda trójkąta).
2 Wektory i działania na wektorach Metodą tą można dodawać także większą liczbę wektorów: Przy dodawaniu wektorów można także posłużyć się metodą równoległoboku. Dwa wektory zaczepiamy w jednym punkcie i konstruujemy równoległobok. Przekątna tego równoległoboku wyznacza wektor sumy. A B B A A+B Własności dodawania wektorów Prawo przemienności: A + B = B + A Prawo łączności: A +( B + C )=( A + B )+ C Nie jest więc ważne w jakiej kolejności dodajemy wektory i jak je grupujemy.
1.2 Odejmowanie wektorów 3 Dodawanie wektorów metodą analityczną Metoda analityczna wykorzystuje rozkładanie wektorów na składowe. Dowolny wektor A w trójwymiarowym układzie współrzędnych opisują składowe A x, A y, A z, które są długościami rzutów wektora na kierunki osi liczbowych. Wtedy wektor A możemy zapisać następująco: A = Ax x + A y ŷ + A z ẑ, (1.1) gdzie x, ŷ, ẑ są wersorami osi liczbowych. Analitycznie sumę wektorów A =(A x, A y, A z ) i B =(B x, B y, B z ) otrzymamy następująco: A + B = (Ax + B x ) x + (A y + B y )ŷ + (A z + B z )ẑ (1.2) 1.2 Odejmowanie wektorów Wektor - B definiuje się jako wektor o tej samej długości lecz przeciwnie skierowany do danego wektora dodatniego B. Różnicę dwóch wektorów możemy określić następująco: A B = A + ( B ) (1.3) co oznacza, że aby znaleźć różnicę wektorów należy dodać wektor - B do wektora A. Odejmowanie wektorów metodą geometryczną Geometrycznie różnicę dwóch wektorów można znaleźć posługując się metodą trójkąta. A B -B A-B A -B
4 Wektory i działania na wektorach Do końca wektora A dosuwamy początek wektora - B. Początek wektora A i koniec - B wyznaczają położenie wektora A - B. Różnicę wektorów można też przedstawić jako przekątną równoległoboku. Wektor różnicy wyznacza przekątna równoległoboku rozpięta pomiędzy wierzchołkami, które wyznaczają końce wektorów A i B. Wektor różnicy skierowany jest w stronę końca wektora odjemnej. Odejmowanie wektorów metodą analityczną Różnicę wektorów wyznaczamy następująco: A B = (Ax B x ) x + (A y B y )ŷ + (A z B z )ẑ (1.4) 1.3 Mnożenie wektora przez liczbę Iloczyn skalara k i wektora A zapisujemy jako: k A (1.5) Jest to wektor o wartości (długości) k razy większej (jeśli k jest liczbą większą od 1) lub k razy mniejszej (jeśli k jest ułamkiem mniejszym od 1) od wartości wektora A. Nowy wektor ma taki sam kierunek jak A, a jego zwrot zależy od tego czy k jest dodatnie czy ujemne. Jeśli k jest liczbą dodatnią to zwrot wektora k A jest taki sam jak wektora A. Mnożenie wektora przez liczbę metodą analityczną Każdą ze składowych wektora A mnożymy przez k. k A = ka x x + ka y ŷ + ka z ẑ (1.6)
1.4 Iloczyn skalarny wektorów 5 1.4 Iloczyn skalarny wektorów W wyniku skalarnego mnożenia wektorów otrzymujemy liczbę. Wartość iloczynu skalarnego wektorów A i B wynosi A B = A B cos ( A, B ), (1.7) gdzie A i B to długości wektorów. Przypadki szczególne Gdy wektory A i B są równoległe, wtedy A B = A B, natomiast gdy A i B są antyrównoległe A B = -A B. Gdy wektory A i B są prostopadłe, wtedy A B = 0. Własności iloczynu skalarnego Przemienność: A B = B A Rozdzielność iloczynu względem dodawania: A ( B + C )= A B + A C Iloczyn skalarny w postaci analitycznej Iloczyn skalarny wektorów A i B wyznaczamy następująco: A B = Ax B x + A y B y + A z B z. (1.8) Wynika to z faktu, że x x=1, ŷ ŷ=1, ẑ ẑ=1. Natomiast x ŷ=0, x ẑ=0 oraz ŷ ẑ=0. W przypadku szczególnym iloczyn skalarny A A = A 2. (1.9) Stąd wynika, że długość wektora można otrzymać następująco: A = A A = A 2 x + A 2 y + A 2 z. (1.10) Interpretacja geometryczna iloczynu skalarnego Jeśli zrzutujemy wektor A na kierunek wektora B to długość rzutu wektora A wynosi A B =A cos α, gdzie α = ( A, B ).
6 Wektory i działania na wektorach A α B A Stąd A B = A B cos α = B (A cos α) = B AB. (1.11) Zatem iloczyn skalarny wektorów A i B znajdziemy mnożąc długość wektora B przez długość rzutu wektora A na kierunek B. Obliczenie iloczynu skalarnego wektorów jest więc operacją rzutowania jednego z wektorów na kierunek drugiego. W przypadku szczególnym rzutowania danego wektora A na kierunek osi liczbowej otrzymujemy składową wektora. Na przykład A x=a x. Składowe wektora A = (A x, A y, A z ) można więc wyrazić następująco A x = A x, A y = A ŷ, A z = A ẑ. 1.5 Iloczyn wektorowy wektorów W wyniku wektorowego mnożenia wektorów otrzymujemy wektor. Definicja iloczynu wektorowego musi zatem określić jego wartość, kierunek i zwrot. Iloczynem wektorowym wektorów A i B nazywamy taki wektor A B, który ma następujące własności: Długość wektora A B wynosi A B = A B sin ( A, B ), (1.12) gdzie ( A, B ) oznacza kąt mniejszy zawarty pomiędzy wektorami A i B. Wektor A B jest prostopadły zarówno do wektora A jak i B. Wektor A B tworzy z wektorami A i B układ prawoskrętny (zwrot wektora A B określa reguła śruby prawoskrętnej). Przypadki szczególne Gdy wektory A i B są równoległe, wtedy A B = 0. Stąd także zachodzi A A = 0. Własności iloczynu wektorowego
1.6 Iloczyny wielokrotne 7 Brak przemienności: A B =- B A Rozdzielność iloczynu względem dodawania: A ( B + C )= A B + A C. Iloczyn wektorowy w postaci analitycznej Można go wyrazić w postaci wyznacznika A B = x ŷ ẑ A x A y A z B x B y B z (1.13) Wynika to z faktu, że x ŷ=ẑ, ŷ ẑ= x, ẑ x=ŷ. Natomiast x x=0, ŷ ŷ=0, oraz ẑ ẑ=0. Interpretacja geometryczna iloczynu wektorowego Interpretację geometryczną ma tylko wartość iloczynu wektorowego. Jest ona równa polu powierzchni równoległoboku zbudowanego na wektorach. Ponieważ wysokość równoległoboku h=a sin ( A, B ), to pole powierzchni równoległoboku wynosi: P = B h = B A sin ( A, B ) = A B (1.14) 1.6 Iloczyny wielokrotne Podwójny iloczyn skalarny Wyznaczanie podwójnego iloczynu skalarnego to w istocie operacja mnożenia wektora przez liczbę A ( B C ) = k A, gdzie k = B C (1.15) Ważna uwaga: A ( B C ) ( A B ) C (1.16)
8 Wektory i działania na wektorach Podwójny iloczyn wektorowy Wektor A ( B C ) jest z definicji prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez wektory A i B C. Zatem leży on w płaszczyźnie wyznaczonej przez wektory B i C. (BxC) A C Ax(BxC) B Wektor A ( B C ) można więc wyrazić jako kombinację liniową wektorów B i C : A ( B C ) = λ B + µ C prawo rozwinięcia. (1.17) Dokładnie obliczenia pokazują, że λ = A C, µ = A B (1.18) Zatem ostatecznie: A ( B C ) = ( A C ) B ( A B ) C (1.19) Iloczyn mieszany Iloczyn mieszany ( A B ) C jest liczbą. Przyjmuje on wartości dodatnie lub ujemne w zależności od tego czy kąt α zawarty pomiędzy kierunkami wektorów A B i C jest kątem ostrym czy rozwartym. Wartość iloczynu mieszanego ma prostą interpretację geometryczną. Objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach A, B, C jest równa wartości iloczynu mieszanego ( A B ) C. h C B A
1.6 Iloczyny wielokrotne 9 Objętość równoległościanu znajdziemy mnożąc pole powierzchni jego podstawy A B przez wysokość h. Zatem V = A B h = A B C cos α = ( A B ) C (1.20) Z interpretacji geometrycznej wynika ważna własność iloczynu mieszanego - jeśli iloczyn mieszany znika, oznacza to, że wektory A, B i C leżą w jednej płaszczyźnie. Ponadto, ponieważ każdą ścianę równoległościanu możemy uważać za podstawę mamy: ( A B ) C = ( B C ) A = ( C A ) B. (1.21) Możliwa jest więc cykliczna zamiana wektorów. Inna własność iloczynu mieszanego: ( A B ) C = A ( B C ). (1.22) Zachowując kolejność wektorów można zamienić mnożenie wektorowe na skalarne i odwrotnie. Iloczyn mieszany wyliczamy wyznaczając wartość wyznacznika: ( A B ) C = A x A y A z B x B y B z C x C y C z. (1.23)
10 Wektory i działania na wektorach
Rozdział 2 Kinematyka 2.1 Opis ruchu Zajmować się będziemy w tym rozdziale opisem ruchu ciała, które możemy traktować jako obiekt punktowy. Takie przybliżenie możemy stosować w tych zagadnieniach ruchu, w których możliwe jest zaniedbywanie rozmiarów ciał. Ciało punktowe możemy traktować jako model matematyczny rzeczywistego ciała materialnego (może to być zarówno obiekt tak mały jak np. elektron, ale także ogromna planeta) jako jego idealizację, pozwalającą na prosty opis matematyczny wielu sytuacji fizycznych. Układ odniesienia Wszelkie ruchy ciał występujące w przyrodzie, są to ruchy względne. Mówimy, że jakieś ciało jest w ruchu, jeżeli jego położenie względem innego wybranego ciała lub układu ciał zmienia się wraz z upływem czasu. Ciało, które uważamy za poruszające się, porusza się względem innego ciała (czy też układu ciał), które uważamy za nieruchome. To nieruchome ciało (czy też ciała) stanowią układ odniesienia, względem którego odbywa się ruch. Jeżeli rozważane ciało nie zmienia swojego położenia względem układu odniesienia, to mówimy, że jest ono w spoczynku względem tego układu. Tak więc wybór układu odniesienia jest warunkiem koniecznym, jaki musi być spełniony, aby można było opisywać ruch lub spoczynek. Układ odniesienia, w różnych przypadkach można wybrać różnie. Zwykle wybiera się go w taki sposób, aby opis ruchu był możliwie prosty i jak najbardziej naturalny. Z ciałami stanowiącymi wybrany przez nas układ odniesienia wiążemy pewien układ współrzędnych np. układ współrzędnych kartezjańskich, sferycznych czy cylindrycznych. Oczywiście opis ruchu ciała w różnych układach odniesienia będzie różny. Przejście od opisu ruchu w jednym układzie odniesienia do opisu
12 Kinematyka ruchu w innym układzie odniesienia jest możliwy dzięki przekształceniom matematycznym - transformacjom współrzędnych. Wektor położenia, równanie ruchu i tor ruchu Położenie ciała w danym układzie współrzędnych opisujemy przy pomocy wektora r zwanego wektorem położenia, wektorem wodzącym czy też promieniem wodzącym. Jest to wektor zaczepiony w początku układu współrzędnych, którego koniec wskazuje aktualne położenie ciała. Wektor r jest funkcją swoich współrzędnych. W układzie współrzędnych kartezjańskich r = r (x,y,z). W układzie współrzędnych sferycznych r = r (r,θ, ϕ). Wektor jest określony poprzez podanie promienia sfery, na której znajduje się punkt oraz dwóch kątów θ i ϕ. z θ r φ y x W układzie współrzędnych cylindrycznych r = r (ρ,ϕ,h). Wektor jest określony poprzez podanie promienia cylindra ρ, na powierzchni którego znajduje się punkt oraz kąta biegunowego ϕ i wysokości h. z ρ r h φ y x Jeśli ciało punktowe znajduje się w ruchu to wektor położenia zmienia się w czasie r = r (t). Zależności r = r (t) jest wektorowym równaniem ruchu. Rów-
2.1 Opis ruchu 13 naniu temu w układzie współrzędnych kartezjańskich odpowiadają trzy skalarne równania ruchu: x = x(t), y = y(t), z = z(t) (2.1) Krzywą geometryczną, którą zakreśla punkt podczas swojego ruchu nazywamy torem ruchu. Skalarne równania ruchu są zarazem równaniami parametrycznymi toru z parametrem t. Rugując z równań ruchu czas t otrzymujemy równanie toru. Dla ruchu płaskiego równanie ruchu to: Po wyrugowaniu czasu t otrzymamy równanie x = x(t), y = y(t) (2.2) y = f(x), (2.3) które jest równaniem krzywej geometrycznej, po której porusza się cząstka. Prędkość ciała i droga Prędkością ciała v nazywamy wektor dany przez pierwszą pochodną wektora położenia r (t) względem czasu t: v = d r dt = r (2.4) Zapis pierwszej pochodnej w postaci kropki pochodzi od Newtona i dotyczy tylko różniczkowania po czasie. Składowe wektora prędkości v =(v x, v y, v z ) wyrażają się następująco: v x = ẋ, v y = ẏ, v z = ż. (2.5) Długość wektora prędkości to szybkość v = v = v 2 x + v 2 y + v 2 z (2.6) Szybkość jest więc wielkością skalarną. Możemy więc zapisać: v = v t, t = 1 (2.7)
14 Kinematyka Wektor t jest zawsze skierowany w kierunku wektora prędkości; jest wektorem jednostkowym stycznym do toru ruchu. Drogą ciała s w danym przedziale czasu nazywamy długość łuku, którą ciało zakreśla podczas ruchu. Droga jest więc wielkością skalarną. W przedziale czasu od chwili t 1 do t 2 =t 1 +dt (dt oznacza nieskończenie mały przyrost czasu) ciało pokonuje drogę ds. Jeśli przyrosty są nieskończenie małe to: d r = ds (2.8) Zatem d r = ds t. Stąd wynika definicja wersora stycznego t: t = d r ds (2.9) oraz także d r v = dt = d r ds ds dt = ds dt t = v t (2.10) Szybkość zatem jest pierwszą pochodną drogi względem czasu t: v = ds dt (2.11) Stąd ponieważ ds= vdt widać, że drogę s w przedziale czasu (t 1, t 2 ) możemy znaleźć jako wartość całki: t2 s = vdt (2.12) t 1 Wyznaczanie całki oznacza obliczanie pola powierzchni pod krzywą na wykresie zależności szybkości od czasu. Wartość całki jest równa zakreślonemu na rysunku poniżej polu powierzchni.
2.2 Przyspieszenie w ruchu krzywoliniowym 15 V S t t2 1 t Przyspieszenie Przyspieszenie ciała to wektor dany przez pierwszą pochodną wektora prędkości względem czasu t: d v a = dt = d2 r (2.13) dt 2 Rozpisując na składowe: a = ax x + a y ŷ + a z ẑ a x = v x = ẍ, a y = v y = ÿ, a z = v z = z (2.14) 2.2 Przyspieszenie w ruchu krzywoliniowym W ogólnym przypadku ruchu krzywoliniowego zarówno kierunek wersora t jak i wartość wektora prędkości są zmienne w czasie: a = d v dt = d dt (v t). (2.15) Traktując formalnie powyższe wyrażenie jako pochodną iloczynu mamy: d t dv a = v + t dt dt (2.16) Pierwszy człon tego wyrażenia bierze pod uwagę zmianę kierunku wektora prędkości, drugi człon wynika ze zmiany wartości wektora prędkości w czasie. Widać więc, że w ruchu krzywoliniowym istnieje zawsze różne od zera przyspieszenie, nawet jeśli wartość prędkości jest stała i dv dt = 0. Pokażemy teraz, że d t dt = v ρ n (2.17) gdzie ρ jest promieniem krzywizny toru krzywoliniowego, a n jest wersorem normalnym (prostopadłym) do kierunku wersora t ( n t=0).
16 Kinematyka Równanie (2.17) jest wyrażeniem wektorowym. Najpierw jednak posługując się konstrukcją geometryczną pokażemy, że dla ruchu po okręgu zachodzi następujący związek skalarny d t = 1 ds (2.18) ρ Z podobieństwa trójkątów równoramiennych AOB i DBC przedstawionych na rysunku wynika: gdzie ρ jest promieniem okręgu. Ponieważ t = 1, mamy: ds ρ = d t t, (2.19) d t = 1 ds. (2.20) ρ Aby wykazać zależność wektorową (2.17) musimy najpierw udowodnić proste twierdzenie matematyczne, które przyda się także w dalszych rozważaniach: Jeśli wektor ma stałą długość, to jego przyrost jest do niego prostopadły. Dla wektora A = A (q) (tzn. takiego, który jest funkcją pewnego parametru q), dla którego A = const, na podstawie wyrażonego twierdzenia zachodzi: Dowód twierdzenia jest bardzo prosty. Jeśli A = const., to także A 2 = const. Zatem A d A dq = 0 (2.21) 0 = d 2 d A A (q) = 2 A dq dq (2.22) A stąd otrzymujemy wyrażenie (2.21).
2.2 Przyspieszenie w ruchu krzywoliniowym 17 Po tej dygresji matematycznej wracając do naszych rozważań z kinematyki ruchu krzywoliniowego mamy: t d t = 0. (2.23) dt Zatem kierunki wektorów t i d t dt są wzajemnie prostopadłe. Wobec tego kierunek wektora d t dt jest zgodny z kierunkiem wersora n. Ze związku skalarnego Otrzymujemy zatem związek wektorowy: d t = 1 ds. (2.24) ρ d t dt = 1 ds ρ dt n = v ρ n (2.25) Przeprowadzone tutaj wyprowadzenie zależności (2.17) przedstawiono dla szczególnego przypadku ruchu po okręgu, ale zależność (2.17) jest prawdziwa dla każdego ruchu krzywoliniowego. W pełni formalnie wyprowadzenie zależności (2.17) można znaleźć w podręcznikach geometrii różniczkowej (tzw. wzór Freneta). Reasumując, w ruchu krzywoliniowym przyspieszenie składa się z dwóch wkładów a = at t + a n n, (2.26) a t to wartość przyspieszenia stycznego, a n to przyspieszenie normalne (dośrodkowe), gdzie: a t = v = s a n = v2 ρ. (2.27) Przyspieszenie styczne a t jest skierowane tak jak wersor t = d r ds, a jego zwrot zależy od znaku pochodnej v. Dla v > 0 mamy ruch przyspieszony a t = a t, t dla v < 0 mamy ruch opóźniony â t = a t. t Przyspieszenie normalne a n ma zawsze zwrot wersora n ( a n = a n n), bo zawsze a n = v2 ρ 0. Przyspieszenie normalne działa wzdłuż promienia krzywizny toru i jest zawsze skierowane do środka krzywizny toru. Stąd jego druga nazwa przyspieszenie dośrodkowe. a t a n a o
18 Kinematyka Przykład - przyspieszenie w ruchu po okręgu Dany jest ruch: x(t) = ρ cos ωt gdzie ρ i ω to stałe. Wektor położenia ma postać: y(t) = ρ sin ωt, (2.28) r (t) = ρ( x cos ωt + ŷ sin ωt). (2.29) Łatwo sprawdzić, że długość tego wektora jest stała w czasie r = ρ. (2.30) Tor ruchu znajdziemy jeśli z równań ruchu (2.28) wyrugujemy czas. Otrzymamy wtedy: x 2 + y 2 = ρ 2. (2.31) Jest to równanie okręgu o środku w początku układu współrzędnych i promieniu równym ρ. Znajdźmy prędkość: ẋ(t) = ωρ sin ωt ẏ(t) = ωρ cos ωt v = ωρ( x sin ωt + ŷ cos ωt). (2.32) Długość tego wektora jest także stała Ponadto, łatwo sprawdzić, że iloczyn skalarny wektorów v = ωρ. (2.33) v r = 0 (2.34) Oznacza to, że w czasie ruchu oba wektory pozostają cały czas wzajemnie prostopadłe. Przyspieszenie w tym ruchu: ẍ(t) = ω 2 ρ cos ωt ÿ(t) = ω 2 ρ sin ωt a = ω 2 ρ( x cos ωt + ŷ sin ωt) = ω 2 r. (2.35) Wartość przyspieszenia: a = ω 2 ρ (2.36)
2.3 Kinematyka ruchu obrotowego 19 nie zmienia się więc w czasie ruchu. Można także pokazać, że iloczyn wektorowy a r = 0. (2.37) Oznacza to, że w czasie ruchu wektor przyspieszenia jest skierowany wzdłuż kierunku wektora r. Potwierdza to analiza rozkładu przyspieszenia na składowe styczną i normalną - przyspieszenie styczne jest równe 0, całe przyspieszenie ma kierunek przyspieszenia normalnego (dośrodkowego): a t = v = 0 a n = v2 ρ = ω2 ρ. (2.38) Widać więc, że równania ruchu (2.28) opisują ruch jednostajny po okręgu o promieniu ρ. 2.3 Kinematyka ruchu obrotowego Do opisu ruchu obrotowego wprowadza się dodatkowe specyficzne dla tego ruchu wielkości fizyczne. Prędkość kątowa Najpierw zdefiniujemy wektor nieskończenie małego obrotu wektora położenia d ϕ. Obrotowi o kąt dϕ wektora położenia przypisujemy wektor d ϕ skierowany wzdłuż osi obrotu o zwrocie zgodnym z regułą śruby prawoskrętnej (patrz rysunek powyżej). Wielkość ω = d ϕ dt (2.39) nazywamy prędkością kątową. Używając pojęcia szybkości kątowej ω = ϕ możemy zapisać ω = ϕ ω 0, gdzie ω 0 jest wersorem, którego kierunek i zwrot jest zgodny z kierunkiem i zwrotem wektora d ϕ.
20 Kinematyka Wyprowadzimy teraz dla przykładu ruchu po okręgu związek łączący prędkość kątową ω i liniową v. Najpierw korzystając z definicji kąta w mierze łukowej możemy wyprowadzić związek skalarny v = ω r. Według tej definicji kąt dϕ otrzymujemy ze stosunku długości łuku ds do promienia r; dϕ = ds r. Stąd ponieważ ds = r dϕ otrzymujemy v = ds dt = rdϕ dt = r ω. (2.40) Ponadto z definicji wynika, że ω jest wektorem prostopadłym do płaszczyzny ruchu ( ω v ). Ponieważ w ruchu po okręgu r = const., zatem z twierdzenia, które niedawno udowodniliśmy wynika, że iloczyn skalarny r d r dt = 0. Stąd widać, że cały czas w czasie ruchu wektor v jest prostopadły do r. Związek pomiędzy wektorami ω i v jest wobec tego następujący: Przyspieszenie kątowe v = ω r (2.41) Zróżniczkujmy po czasie obie strony wyrażenia (2.41). Otrzymamy wtedy lub d v dt = ω d r dt + d ω dt r (2.42) gdzie wprowadziliśmy oznaczenie a = ω v + ε r, (2.43) ε = d ω dt. (2.44) Nowa wielkość fizyczna ε, która pojawiła się w tym wyrażeniu to przyspieszenie kątowe.
2.3 Kinematyka ruchu obrotowego 21 Pierwszy człon po prawej stronie wyrażenia (2.43) to przyspieszenie normalne: ω v = ω ( ω r ) = ( ω r ) ω ( ω ω ) r = ω 2 r (2.45) Występujący w tym wyrażeniu iloczyn skalarny ω r = 0, ponieważ wektory ω i r w czasie ruchu są do siebie prostopadłe. Wynika to z definicji ω. Wyrażenie (2.43) to w istocie zatem rozkład na dwa wektory wzajemnie prostopadłe - przyspieszenie styczne i normalne: a = a n + a t, (2.46) gdzie a n = ω 2 r oraz a t = ε r. Występujący w wyrażeniu na przyspieszenie styczne wektor ε ma kierunek zmian prędkości kątowej. Zmiany te mogą być związane zarówno ze zmianami wartości jak i kierunku ω. Ilustruje to następująca analiza: ε = d dt ( ω 0 ω) = ω 0 dω dt + ωd ω 0 dt. (2.47) Dla ruchu płaskiego nie ma zmian kierunku wektora ω w czasie; d ω 0 dt = 0. W takim przypadku przyspieszenie kątowe wynika wyłącznie ze zmian wartości wektora ω. ε = ω 0 ω (2.48) Widać stąd, że w ruchu płaskim wektor ε ma zawsze kierunek osi obrotu; zwrot wektora ε zależy, od tego czy prędkość kątowa rośnie czy maleje w czasie. Kiedy ω > 0, wtedy ε = ε ω 0. Kiedy ω < 0, wtedy ε = ε ω 0. Prędkość polowa W czasie nieskończenie małego obrotu wektor położenia zakreśla także pole powierzchni dσ. Temu polu powierzchni można przypisać wektor d Σ skierowany wzdłuż osi obrotu i o zwrocie zgodnym z regułą śruby prawoskrętnej. Z definicji iloczynu wektorowego wynika, że zakreślone pole powierzchni ma wartość równą długości wektora d Σ = 1 2 ( r r ). (2.49)
22 Kinematyka Ponieważ r = r + d r, to wektor dσ można też zapisać następująco d Σ = 1 2 ( r r + r d r ) = 1 2 ( r d r ), (2.50) bo r r = 0. Definicja prędkości polowej σ jest następująca: Z zależności (2.50) wynika: σ = d Σ dt. (2.51) 1 σ = 2 ( r d r dt ) = 1 r v (2.52) 2 Można pokazać, że wektor prędkości polowej jest proporcjonalny do prędkości kątowej i ma jej kierunek: 1 σ = r 1 v = 2 2 ( r ( ω r )) = 1 2 ( r 2 ω r ( r ω )) = 1 2 r2 ω, (2.53) ponieważ wektory r i ω są wzajemnie prostopadłe. Zatem mamy: oraz σ = 1 2 r2 ω, (2.54) σ = 1 2 r2 ϕ, (2.55) 2.4 Opis ruchu w układzie współrzędnych biegunowych Czasem wygodnie jest opisywać ruch płaski w układzie współrzędnych biegunowych. Układ współrzędnych biegunowych to zdegenerowany do dwóch wymiarów układ współrzędnych sferycznych. Układ taki szczególnie nadaje się do opisu ruchu krzywoliniowego z tzw. przyspieszeniem centralnym. Przyspieszenie centralne, jest to przyspieszenie skierowane zawsze ku temu samemu punktowi O, który wygodnie jest obrać za początek promieni wodzących. Położenie punktu w układzie współrzędnych biegunowych opisują dwie współrzędne r (odległość od początku układu współrzędnych) i kat biegunowy ϕ. Przy transformacji równań ruchu z układu współrzędnych kartezjańskich do układu współrzędnych biegunowych należy użyć następujących wzorów transformacyjnych. r = x 2 + y 2, ϕ = arc tg y x. (2.56)
2.4 Opis ruchu w układzie współrzędnych biegunowych 23 Dla transformacji odwrotnej mamy: x = r cos ϕ, y = r sin ϕ. (2.57) Wzory transformacyjne dla składowych wektora przy obrocie układu współrzędnych - przypadek dwuwymiarowy Poszukujemy związków transformacyjnych dla składowych wektora wyznaczonych w układach O i O, układ O jest obrócony o pewien kąt ϕ względem układu O. Weźmy pod uwagę dowolny wektor b w układzie współrzędnych kartezjańskich O. Składowe tego wektora to: b x = b cos ψ, b y = b sin ψ. (2.58) W układzie współrzędnych O składowe tego wektora: b x b y = b cos(ψ ϕ) = b(cos ψ cos ϕ + sin ψ sin ϕ) = b x cos ϕ + b y sin ϕ = b sin(ψ ϕ) = b(sin ψ sin ϕ + cos ψ sin ϕ) = b x sin ϕ + b y cos ϕ (2.59) Poszukiwany związek transformacyjny ma więc postać: b x = b x cos ϕ + b y sin ϕ b y = b x sin ϕ + b y cos ϕ (2.60) Dla transformacji pomiędzy układami O i O mamy związki: b x = b x cos ϕ b y sin ϕ b y = b x sin ϕ + b y cos ϕ (2.61)
24 Kinematyka Otrzymujemy je mnożąc obie strony wyrażeń (2.60) kolejno przez sin ϕ i cos ϕ, a następnie odejmując stronami pary otrzymanych wyrażeń. Rozkład wektora prędkości na składową radialna i transwersalną W układzie współrzędnych biegunowych w wielu przypadkach potrzebna jest znajomość składowych wektorów v i a. Składowa w kierunku promienia wodzącego r to składowa radialna ( v r lub a r ). Składowa styczna do okręgu o promieniu r (prostopadła do wektora r ) o zwrocie wskazującym kierunek przyrostu kąta biegunowego ϕ to składowa transwersalna ( v ϕ lub a ϕ ). Jeśli płaszczyzna x, y to płaszczyzna ruchu, to składowe radialna i transwersalna dowolnego wektora b są następujące: b r = b cos(ψ ϕ) = b x cos ϕ + b y sin ϕ b ϕ = b sin(ψ ϕ) = b x sin ϕ + b y cos ϕ (2.62) gdzie b x, b y, to składowe wektora w układzie kartezjańskim x, y. W wyprowadzeniu powyższych wzorów można posłużyć się schematem rozumowania przedstawionym w poprzednim rozdziale (składowe b r i b ϕ to składowe wektora w układzie obróconym o kąt ϕ). Ponieważ wzory (2.62) obowiązują dla dowolnego wektora b, to także dla wektora prędkości v mamy: v r = v x cos ϕ + v y sin ϕ v ϕ = v x sin ϕ + v y cos ϕ, (2.63) Wzory transformacyjne pomiędzy współrzędnymi w układzie kartezjańskim i biegunowym są następujące: x = r cos ϕ, y = r sin ϕ. (2.64) W czasie ruchu współrzędne r i ϕ są funkcjami czasu r=r(t), ϕ=ϕ(t). Składowe wektora prędkości w układzie kartezjańskim: v x = ẋ = ṙ cos ϕ r ϕ sin ϕ v y = ẏ = ṙ sin ϕ + r ϕ cos ϕ, (2.65)
2.4 Opis ruchu w układzie współrzędnych biegunowych 25 Podstawiając otrzymane wyrażenia na v x i v y do wzoru (2.63) otrzymujemy poszukiwane wyrażenia na składowe wektora prędkości: Zauważymy ponadto, że ponieważ szybkość polowa v r = ṙ, v ϕ = r ϕ. (2.66) σ = 1 2 r2 ϕ (2.67) to składowa transwersalna prędkości ma następujący związek z szybkością polową: v ϕ = 2σ r. (2.68) Rozkład wektora przyspieszenia na składowe radialną i transwersalną Dla składowych radialnej i transwersalnej wektora przyspieszenia mamy: a r = a x cos ϕ + a y sin ϕ a ϕ = a x sin ϕ + a y cos ϕ, (2.69) Składowe wektora przyspieszenia a x i a y otrzymamy różniczkując po czasie wyrażenia (2.65) na v x i v y : a x = ẍ = r cos ϕ 2ṙ ϕ sin ϕ r( ϕ sin ϕ + ϕ 2 cos ϕ) a y = ÿ = r sin ϕ + 2ṙ ϕ cos ϕ + r( ϕ cos ϕ ϕ 2 sin ϕ). (2.70) Wstawiając otrzymane wyrażenia na a x i a y do wzorów (2.69) otrzymamy ostatecznie: a r = r r ϕ 2 a ϕ = 2ṙ ϕ + r ϕ. (2.71) Przykład - opis ruchu w układzie współrzędnych biegunowych Kolista tarcza wiruje wokół swojej osi ze stałą prędkością kątową ω. Ze środka tarczy wyrusza biedronka. Porusza się ona wzdłuż wybranego promienia ze stałą prędkością v 0. Znaleźć równania ruchu biedronki w układzie nieruchomym (widzialnym przez zewnętrznego obserwatora), tor ruchu oraz składową radialną i transwersalną wektora prędkości i przyspieszenia. Z punktu widzenia zewnętrznego obserwatora najwygodniej jest opisywać ruch biedronki w układzie współrzędnych biegunowych. Wtedy równania ruchu są następujące: r = v 0 t, ϕ = ωt. (2.72)
26 Kinematyka Torem ruchu jest spirala Archimedesa o równaniu Składowe wektora prędkości: r = v 0 ϕ. (2.73) ω v r = ṙ = v 0 v ϕ = r ϕ = v 0 ωt (2.74) Prędkość radialna jest stała i wynosi v 0, a prędkość transwersalna rośnie liniowo w czasie ruchu. Wartość prędkości zmienia się w czasie: v = Składowe wektora przyspieszenia: Długość tego wektora wynosi: a = v 2 r + v 2 ϕ = v 0 1 + ω2 t 2. (2.75) a r = v 0 ω 2 t a ϕ = 2v 0 ω. (2.76) a 2 r + a2 ϕ = v 0ω 4 + ω 2 t 2. (2.77) 2.5 Całkowanie równań ruchu Jeśli znana jest zależność przyspieszenia od czasu a = a (t), to możemy znaleźć prędkość, położenie, drogę i tor ruchu. Zagadnienie takie rozwiązuję się poprzez całkowanie. v (t) = a (t)dt + C (2.78) Podobnie r (t) = v (t)dt + C (2.79)
2.5 Całkowanie równań ruchu 27 Każde z powyższych równań wektorowych jest równoważne trzem równaniom skalarnym, dla poszczególnych składowych. Stałe całkowanie C i C wyznacza się z tzw. warunków brzegowych czyli związków podających prędkość i położenie w jakiejś chwili czasu np. dla t=t 0 mamy v (t 0 )= v 0 oraz r (t 0 )= r 0. Można również posłużyć się całkami oznaczonymi - warunki brzegowe określają wówczas granice całkowania. Mamy wówczas np. oraz v d t v = a (t)dt (2.80) v0 t 0 r d t r = v (t)dt (2.81) r0 t 0 zamiast równań (2.78) i (2.79). Ruch jednostajny prostoliniowy ( a =0) Szczególnie prosto całkuje się przypadek ruchu, gdy a =0. Ponieważ d v dt = 0, to prędkość jako wektor jest stała v (t)=const., a ruch odbywa się wzdłuż prostej. Możemy przyjąć, że ruch odbywa się wzdłuż którejś z osi układu współrzędnych np. osi x. Wektor prędkości ma wówczas tylko jedną składową: Równanie (2.83) można scałkować x x 0 dx = v v = v x, v = const. (2.82) v = dx, dt dx = v dt (2.83) t t 0 dt; x x 0 = v(t t 0 ). (2.84) Mamy x(t) = x 0 + v(t t 0 ) - położenie jest liniową funkcją czasu.
28 Kinematyka Wykres zależności x = x(t) przedstawia rysunek powyżej. Na tym wykresie prędkość można odczytać z nachylenia prostej tg α = v. Przebytą drogę możemy otrzymywać jako wynik całkowania zależności prędkości od czasu s = v t t 0 dt = v(t t 0 ). (2.85) Wartość tej całki jest równa polu powierzchni pod prostą przedstawiającą zależność prędkości od czasu. W tym przypadku jest to pole prostokąta o bokach v i (t t 0 ). Ruch ze stałym przyspieszeniem ( a =const.) Całkowanie równań ruchu jest również proste, kiedy przyspieszenie nie zależy od czasu a (t) = const. W takim wypadku, jak łatwo pokazać, ruch odbywa się po torze płaskim. oraz v v0 d v = a d r dt t t 0 dt, v v0 = a (t t 0 ) (2.86) = v 0 + a (t t 0 ). (2.87) Po scałkowaniu tego ostatniego równania przyjmując r (t 0 )= r 0 otrzymujemy: r = r0 + v 0 (t t 0 ) + 1 2 a (t t0 ). (2.88) Równania (2.87) i (2.88) pokazują, że wektor prędkości v leży w płaszczyźnie wyznaczonej przez wektory v 0 i a. Na tej samej płaszczyźnie leży także wektor przemieszczenia r r 0. W ogólności więc ruch ze stałym przyspieszeniem odbywa się po torze płaskim, ale w przypadku, kiedy wektory prędkości początkowej v 0 i przyspieszenie a mają ten sam kierunek, albo kiedy v 0 = 0, ruch odbywa się po prostej, której kierunek wyznacza wektor przyspieszenia. Omówimy teraz oba te przypadki dla przykładu ruchu w ziemskim polu grawitacyjnym.
2.5 Całkowanie równań ruchu 29 (a) Ruch prostoliniowy - spadek swobodny W przypadku kiedy a =const. i prędkość początkowa v (0) = 0 ruch odbywa się po prostej. Przyjmijmy, że ruch odbywa się wzdłuż osi z układu współrzędnych. Ruch opisuje następujące kinematyczne ruchu ruchu a = g z. (2.89) Przyspieszenie g jest skierowane przeciwnie do kierunku osi z. Równanie (2.89) należy scałkować przy następujących warunkach początkowych: ż(0) = 0, z(0) = h. (2.90) W chwili początkowej t=0 ciało znajduje się na wysokości h i ma zerową prędkość początkową. Skalarne równanie ruchu ma postać dv z = g, (2.91) dt wynika to z faktu, że prędkość ciała w spadku swobodnym rośnie (funkcja jest rosnąca, jeśli pierwsza pochodna jest dodatnia). Mamy vz t dv z = g dt, v z = gt. (2.92) 0 0 Prędkość jest więc funkcją liniową czasu v = gtẑ. Droga w tym ruchu: s(t) = t 0 v zdt z = 1 2 g t 0 tdt = 1 2 gt2. (2.93) Na wykresie zależności prędkości od czasu droga jest polem powierzchni trójkąta o podstawie t i wysokości gt: Położenie ciała na osi z w funkcji czasu otrzymamy całkując wyrażenie: dz = gt. (2.94) dt Minus w wyrażeniu (2.94) gwarantuje, że położenie z(t) maleje w czasie ruchu. z h dz = g t 0 tdt, z = h 1 2 gt2. (2.95)
30 Kinematyka zna- Wykres zależności z(t) ma więc postać paraboli. Czas ruchu t s = jdziemy wstawiając w równaniu (2.95) z = 0. 2h g (b) Ruch płaski - rzut ukośny W ogólności, gdy kierunki przyspieszenia i prędkości początkowej nie pokrywają się, ruch ze stałym przyspieszeniem odbywa się po torze płaskim. Ruch opisuje następujące kinematyczne równanie ruchu: a = g (2.96) Geometrię problemu obieramy tak, aby wektor g był skierowany przeciwnie do kierunku osi z ( g =(0, 0, g)), a wektor prędkości początkowej v 0 leżał w płaszczyźnie y,z i tworzył kąt α z osią y. Równanie wektorowe (2.96) odpowiada wtedy następującym trzem równaniom skalarnym: a x = 0, a y = 0, a z = g. (2.97) Równania te należy scałkować przy następujących warunkach początkowych: ẋ(0) = 0 x(0) = 0 ẏ(0) = v 0 cos α y(0) = 0 ż(0) = v 0 sin α z(0) = 0. (2.98) Przyjmujemy, że w chwili początkowej t=0, ciało znajduje się w początku układu współrzędnych. Po scałkowaniu równań (2.97) otrzymujemy wyrażenia przedstawiające zmiany w czasie składowych wektora prędkości. Otrzymujemy: v x (t) = 0, v y (t) = v 0 cos α, v z (t) = v 0 sin α gt. (2.99) Widać więc, że ruch odbywa się w płaszczyźnie y,z, którą wyznaczył wektory przyspieszenia i prędkości początkowej. Wzdłuż osi x ciało nie porusza się. Wzdłuż osi y odbywa się ruch ze stałą prędkością, którą ciało nabyło w momencie wyrzucenia, a wzdłuż osi z ruch jest jednostajnie opóźniony.
2.6 Transformacja wektorów prędkości i przyspieszenia pomiędzy układami odniesienia 31 Po scałkowaniu wyrażeń (2.99) otrzymujemy następujące równania ruchu: x(t) = 0, y(t) = v 0 t cos α, z(t) = v 0 t sin α 1 2 gt2. (2.100) Po wyrugowaniu czasu z równań ruchu otrzymujemy równanie toru: g z = y tg α 2v0 2 cos 2 α y2. (2.101) Jest to równanie paraboli w płaszczyźnie y,z. Funkcja z(y) ma dwa miejsca zerowe t.j. z = 0, gdy y = 0 oraz gdy: y = v2 0 g sin 2α. (2.102) Pierwsze rozwiązanie odpowiada położeniu ciała w chwili t = 0, drugie natomiast wyznacza tzw. zasięg rzutu. Jak widać zasięg rzutu jest największy dla kąta α = π 4. Wysokość maksymalną z max ciało osiąga, gdy położenie na osi y wynosi połowę zasięgu rzutu: Wtedy mamy Warto jeszcze zauważyć, że czas trwania ruchu: y = 1 v0 2 sin 2α. (2.103) 2 g z max = v2 0 sin2 α. (2.104) 2g τ = 2 2z max g (2.105) Czas ten stanowi dwukrotność czasu trwania spadku swobodnego. Otrzymany rezultat ilustruje tzw. zasadę niezależności ruchów. Zasada ta mówi, że jeśli ciało porusza się ruchem złożonym, to każdy z tych składowych ruchów odbywa się bez zakłóceń w ten sposób jakby pozostałych ruchów nie było. Jak widać w rzucie ukośnym ruch wzdłuż osi z to rzut w górę, a następnie spadek swobodny. Ruch ten odbywa się niezależnie od ruchu jednostajnego wzdłuż osi y. 2.6 Transformacja wektorów prędkości i przyspieszenia pomiędzy układami odniesienia W kinematyce nie ma żadnych ograniczeń co do wyboru układu odniesienia względem, którego opisujemy ruch (chociaż najlepiej wybrać taki układ, w którym opis matematyczny problemu jest najprostszy).
32 Kinematyka Omówimy w tym rozdziale jedno z najważniejszych zagadnień kinematyki, a mianowicie zagadnienie transformacji wielkości kinematycznych, gdy zmienia się układ odniesienia względem, którego opisujemy ruch. Podczas ruchu układu O względem układu O, układ O przyjmuje położenia, które można przeprowadzić jedno w drugie przy pomocy transformacji, która jest złożeniem przesunięcia równoległego (translacji) i obrotu (rotacji) wokół pewnej osi. Innymi słowy, każda zmiana położenia układu O względem układu O jest sumą translacji i rotacji układu O względem układu O. Związki pomiędzy prędkością v i przyspieszeniem a mierzonymi przez obserwatora O, a analogicznymi wielkościami i mierzonymi przez obserwatora O można zapisać następująco: v = v + v D, vd = v tr + v rot, a = a + a D, ad = a tr + a rot. (2.106) Wielkości v D i a D są odpowiednio dodatkową prędkością i przyspieszeniem, które trzeba dodać, aby otrzymać prędkość i przyspieszenie względem układu O. W rozważaniach tych korzystamy z zasady niezależności ruchów; osobno wyprowadzimy wyrażenia opisujące wkłady v D i a D związane z ruchem translacyjnym i rotacyjnym układu odniesienia. Transformacja wektorów prędkości i przyspieszenia pomiędzy układami O i O, w przypadku ruchu translacyjnego układu O Pomiędzy wektorami położenia r i r, zachodzi podczas ruchu translacyjnego układu O, prosty związek: r (t) = r (t) + R (t). (2.107)
2.6 Transformacja wektorów prędkości i przyspieszenia pomiędzy układami odniesienia 33 Różniczkowanie względem czasu daje: r (t) = r (t) + R (t), (2.108) czyli v = v + v tr, (2.109) gdzie: v tr = R, v = ẋ x + ẏŷ + żẑ, v = ẋ x + ẏ ŷ + ż ẑ. (2.110) Podobny związek możemy znaleźć dla przyspieszenia: a = a + a tr, (2.111) gdzie: a tr = R, a = ẍ x + ÿŷ + zẑ, a = ẍ x + ÿ ŷ + z ẑ. (2.112) Transformacja wektorów prędkości i przyspieszenia pomiędzy układami O i O, w przypadku ruchu rotacyjnego układu O Rozważamy dwa kartezjańskie układy współrzędnych O i O, z których jeden obraca się ze stałą prędkością kątową ω dookoła osi z układu nieruchomego (oś z pokrywa się z osią z układu nieruchomego). Poszukujemy związku jaki istnieje pomiędzy wielkościami charakteryzującymi ruch ciała odniesiemy raz do układu O, drugi raz do układu O. Pomiędzy składowymi wektora położenia x,y,z w układzie O, a jego składowymi x,y,z w układzie O istnieją związki, który wyprowadziliśmy w poprzednim rozdziale (patrz wzory (2.61)): x = x cos ωt y sin ωt y = x sin ωt + y cos ωt z = z (2.113)
34 Kinematyka Różniczkując równania (2.113) względem czasu otrzymujemy wzory transformacyjne dla składowych wektora prędkości: ẋ = ẋ cos ωt ẏ sin ωt ω(x sin ωt + y cos ωt) ẏ = ẋ sin ωt + ẏ cos ωt + ω(x cos ωt y sin ωt) ż = ż. (2.114) Następnie po kolejnym różniczkowaniu otrzymujemy wzory transformacyjne dla składowych wektora przyspieszania: ẍ = ÿ = z = z. ẍ cos ωt ÿ sin ωt 2ω(ẋ sin ωt + ẏ cos ωt) ω 2 (x cos ωt y sin ωt) ẍ sin ωt + ÿ cos ωt + 2ω(ẋ cos ωt ẏ sin ωt) ω 2 (x sin ωt + y cos ωt) Zastosowanie otrzymanych wzorów zilustrujemy na przykładzie. Przykład - transformacja równań ruchu z układu znajdującego się w ruchu obrotowym do układu w spoczynku (2.115) Wracamy do opisu ruchu biedronki na kulistej tarczy wirującej wokół swojej osi ze stałą prędkością kątową ω. Biedronka wyrusza ze środka tarczy i porusza się wzdłuż jednego z promieni ze stałą prędkością v 0. Znajdziemy równanie ruchu, składowe wektorów prędkości i przyspieszenia oraz ich wartości z punktu wiedzenia obserwatora zewnętrznego (w układzie nieruchomym). Równania ruchu w układzie wirującym : x = v 0 t, y = 0, z = 0. (2.116) Przyjęliśmy więc, że biedronka porusza się wzdłuż osi x układu współrzędnych związanego z obracającą się tarczą. Po zastosowaniu wzorów transformacyjnych (2.113) dla składowych wektora położenia, w układzie nieruchomym O mamy następujące równania ruchu: x = v 0 t cos ωt, y = v 0 t sin ωt, z = 0. (2.117) Składowe wektora prędkości biedronki w układzie nieruchomym znajdujemy po zróżniczkowaniu względem czasu równań ruchu (2.117). Mamy więc: ẋ = v 0 cos ωt v 0 ωt sin ωt ẏ = v 0 sin ωt + v 0 ωt cos ωt ż = 0. (2.118)
2.6 Transformacja wektorów prędkości i przyspieszenia pomiędzy układami odniesienia 35 Wartość prędkości: v = v 0 1 + ω2 t 2 (2.119) Składowe wektora przyspieszenia: ẍ = 2v 0 ω sin ωt v 0 ω 2 t cos ωt ÿ = 2v 0 ω cos ωt v 0 ω 2 t sin ωt z = 0. (2.120) Wartość przyspieszenia: a = v 0 ω 4 + ω 2 t 2 (2.121) Wzór Coriolisa Pokażemy teraz, że równania skalarne (2.114) i (2.115) odpowiadają następującym wzorom transformacyjnym dla wektorów prędkości i przyspieszenia: v = v + ω r (2.122) a = a + 2 ω v + ω ( ω r ) (2.123) Ten ostatni wzór (dla transformacji przyspieszenia) nosi nazwę wzoru Coriolisa. Najpierw sprawdzimy, że równania skalarne (2.114) odpowiadają równaniu wektorowemu (2.122). Sprawdzimy to rzutując obie strony równości (2.122) na kierunki osi liczbowych układu współrzędnych O: v x = v x + ( ω r ) x v ŷ = v ŷ + ( ω r ) ŷ v ẑ = v ẑ + ( ω r ) ẑ (2.124) W obliczeniach tych musimy użyć wzorów transformacyjnych dla wersorów osi liczbowych: x = ŷ = x cos ωt ŷ sin ωt x sin ωt + ŷ cos ωt ẑ = ẑ (2.125) Wzory te wynikają ze wzorów transformacyjnych dla składowych dowolnego wektora (więc także dla wersorów osi liczbowych) przy obrocie układu współrzędnych (patrz wzory 2.61). Wersor x, który w układzie O ma składowe x=(1,0,0),
36 Kinematyka w układzie O ma składowe x=(cos ωt, sin ωt,0). Podobnie wersor ŷ w układzie O ma składowe (0,1,0), a w układzie O jego składowe to (sin ωt,cos ωt,0). Dla wersora ẑ w obu układach składowe są takie same: (0, 0, 1). Po dokonaniu obliczeń z wyrażeń (2.124) otrzymujemy wzory transformacyjne (2.114) dla składowych wektora prędkości. W obliczeniach tych należy pamiętać, że składowe wektorów r, v, ω są następujące: r = (x, y, z ), v = (ẋ, ẏ, ż ) oraz ω = (0, 0, ω). W podobny sposób można sprawdzić, że równania skalarne (2.115) odpowiadają równaniu wektorowemu (2.123). Aby to sprawdzić rzutujemy obie strony wzoru Coriolisa na osie x,y,z: a x = a x + 2( ω v ) x + ( ω ( ω r )) x a ŷ = a ŷ + 2( ω v ) ŷ + ( ω ( ω r )) ŷ a ẑ = a ẑ + 2( ω v ) ẑ + ( ω ( ω r )) ẑ (2.126) Po wykonaniu obliczeń ze wzorów (2.126) otrzymujemy wzory transformacyjne (2.115). Wzór Coriolisa (2.123) można zapisać następująco: gdzie a = a + a d, (2.127) ad = 2 ω v + ω ( ω r ), (2.128) jest dodatkowym przyspieszeniem, wynikającym z ruchu obrotowego układu O, jakie trzeba dodać, aby otrzymać przyspieszenie ciała względem układu nieruchomego. W wyrażeniu na a d mamy dwa wkłady. Pierwszy 2( ω v ) to przyspieszenie Coriolisa, drugi ω ( ω r ), to przyspieszenie dośrodkowe. Zauważmy, że przyspieszenie Coriolisa pojawia się tylko wtedy, gdy mamy do czynienia z ruchem ciała w układzie obracającym się. Przyspieszenie, to znika jednak, gdy ciało porusza się wzdłuż osi obrotu (wtedy kierunki v i ω są równoległe). Drugi wyraz w wyrażeniu na a d to przyspieszenie dośrodkowe. Jest to wektor prostopadły do osi obrotu i zawsze w czasie ruchu ku niej skierowany. Aby to wykazać, rozłóżmy wektor położenia r na część prostopadłą i równoległą do kierunku wektora ω : r = r + r. (2.129) Wtedy, biorąc pod uwagę, że ω r = 0 oraz ω r = 0 mamy: ω ( ω r ) = ω ( ω r ) = ω 2 r. (2.130)
2.6 Transformacja wektorów prędkości i przyspieszenia pomiędzy układami odniesienia 37 Dyskusja wzorów transformacyjnych Podczas ruchu układu O względem układu O układ O przyjmuje położenia, które można przeprowadzić jedno w drugie przy pomocy transformacji nie zmieniającej wzajemnej odległości punków - tzw. transformacji izometrycznej. Każda taka transformacja, jak wiadomo z geometrii analitycznej, jest złożeniem przesunięcia równoległego i obrotu wokół pewnej osi. Pokazaliśmy, że związki pomiędzy prędkością v i przyspieszeniem a mierzonymi przez obserwatora O, a analogicznymi wielkościami v i a mierzonymi przez obserwatora O można zapisać następująco: v = v + v tr + ω r a = a + a tr + 2( ω v ) + ω ( ω r ). (2.131) Należy tu wspomnieć, że te wzory transformacyjne wyprowadzono, biorąc pod uwagę dwa uproszczenia. Przyjęliśmy mianowicie, że układ obracający się porusza się ze stałą prędkością kątową ( ω = const.) oraz, że w czasie obrotu kierunek osi z pokrywa się z kierunkiem osi z (przyjęliśmy dwuwymiarową transformację obrotu). To drugie uproszczenie nie miało jednak wpływu na jakościowy obraz otrzymanych wzorów transformacyjnych. Natomiast, gdyby przyjąć w rozważaniach, że ω = ω (t) to we wzorze Coriolisa pojawiłby się dodatkowy wyraz ω r. Ostatecznie więc wzór Coriolisa ma postać: a = a + a tr + 2( ω v ) + ω ( ω r ) + ω r. (2.132) Zauważmy, że ciało spoczywające w układzie O ma w układzie O prędkość i przyspieszenie różne od zera: vu = v + v tr + ω r au = a + a tr + ω ( ω v ) + ω r. (2.133) Są to tzw. prędkość i przyspieszenie unoszenia. Wynikają one z ruchu układu O.
38 Kinematyka
Rozdział 3 Dynamika punktu materialnego Prawa ruchu Newtona wprowadziły do fizyki pojęcia siły i masy. Te pojęcia wprowadzono dla opisu ruchu abstrakcyjnego ciała - punktu materialnego. Punkt materialny to bezwymiarowy obiekt obdarzony masą. Pojęcie to jest idealizacją rzeczywistego ciała materialnego pozwalającą na prosty opis matematyczny jego ruchu. Model ten stosować można wtedy, gdy rozmiary ciała nie odgrywają roli w przebiegu zjawiska fizycznego. 3.1 Zasada bezwładności i transformacja Galileusza Pierwsze prawo ruchu zwane też zasadą bezwładności odpowiada na pytanie jak zachowuje się cząstka nie podlegająca żadnemu oddziaływaniu ze strony otoczenia. Zauważmy, że chodzi tutaj o pewną idealizację. Cząstka, która nie podlega żadnemu oddziaływaniu zewnętrznemu - cząstka odosobniona, w praktyce nie istnieje. Cząstka taka musiałaby być jedyną cząstką Wszechświata, poza tym, cząstka taka byłaby nieobserwowalna (w procesie obserwacji zachodzi zawsze oddziaływanie pomiędzy cząstką, a przyrządem obserwacyjnym). Zasadę bezwładności traktujemy jako postulat uogólniający wyniki doświadczeń przeprowadzonych z ciałami, które ściśle biorąc nie są odosobnione. Pierwsza zasada dynamiki brzmi następująco: Cząstka odosobniona zawsze pozostaje w spoczynku lub porusza się po linii prostej ze stałą prędkością. Zauważmy jednak, że ruch zawsze opisujemy względem jakiegoś układu odniesienia. Tak wybrany układ odniesienia, względem którego cząstka nie podlegająca oddziaływaniu, cząstka odosobniona spoczywa lub jest w ruchu jednostajnym po linii prostej, nazywamy układem inercjalnym. Zasadę bezwładności uznać więc możemy za postulat istnienia układu inercjal-
40 Dynamika punktu materialnego nego. Można ponadto znaleźć kryterium, które wyróżni układy inercjalne spośród wszystkich innych układów odniesienia. Można otóż pokazać, że każdy układ O poruszający się względem układu inercjalnego O ruchem postępowym bez przyspieszenia jest też układem inercjalnym. Wynika to ze wzoru Coriolisa: a = a + a tr + 2 ω v + ω ( ω r ) + ω r. (3.1) Biorąc pod uwagę, że dla ruchu układu O mamy a tr = 0 oraz ω = 0 (co zachodzi dla ruchu postępowego przez przyspieszenie) ze wzoru Coriolisa wynika: a = a (3.2) Zatem w przypadku, gdy oddziaływanie zewnętrzne nie występuje w układzie O (tzn. gdy a = 0) mamy także a = 0, tzn. brak jest także oddziaływań zewnętrznych w układzie O. Układ O jest więc układem inercjalnym. Zasada bezwładności stwarza podstawy podziału wszystkich możliwych układów odniesienia na inercjalne i takie, w których zasada bezwładności nie obowiązuje. Formułując prawa dynamiki będziemy zakładać, że układ w którym rozważamy ruch jest inercjalny. Odróżnia to rozważania w dynamice punktu materialnego od rozważań w kinematyce, gdzie było rzeczą obojętną, w którym układzie opisywaliśmy ruch. Transformacja Galileusza Położenie dowolnego punktu P w układach inercjalnych O i O dane jest przez wektory położenia r i r powiązane ze sobą tzw. transformacją Galileusza. Pomiędzy wektorami r i r istnieje związek: r = R + r. (3.3) Gdy układy O i O są układami inercjalnymi wówczas zmiana wektora R można być spowodowana tylko ruchem translacyjnym ze stałą prędkością: r = r V t; V = const. (3.4)
3.2 II zasada dynamiki Newtona 41 W sytuacji, gdy prędkość względna ma kierunek osi x oraz przyjmując, że w chwili t=0 początki obu układów pokrywały się, to równanie wektorowe (3.4) odpowiada trzem skalarnym równaniom transformacyjnym: x y = x V t = y z = z (3.5) Trzeba tu jeszcze dodać t =t. Te wzory transformacyjne dla współrzędnych pomiędzy układami inercjalnymi to tzw. transformacja Galileusza. Trzeba tu zauważyć, że żądanie niezmienniczości praw fizyki ze względu na transformację Galileusza nakłada określone ograniczenia na możliwą postać praw fizyki. Zauważmy, że z transformacji Galileusza wynika, że odległości przestrzenne, zmiany prędkości, przyspieszenia i długości mierzonych przedziałów czasowych są takie same dla obserwatorów w układach O i O. 3.2 II zasada dynamiki Newtona Z zasady bezwładności wiemy, że w inercjalnym układzie odniesienia cząstka nie podlegająca żadnemu oddziaływaniu spoczywa lub porusza się ruchem jednostajnym po prostej. Zatem jeśli obserwator w tym układzie zauważy, że ruch cząstki nie jest ruchem jednostajnym po prostej, to powie, że cząstka podlega oddziaływaniu. Za miarę tego oddziaływania można uznać przyspieszenie cząstki, ta bowiem wielkość fizyczna opisuje zmiany prędkości, a więc wspomniane zmiany odstępstwa od ruchu ze stałą prędkością po linii prostej. Miarą oddziaływania jest siła F. Zmiany prędkości i przyspieszenie mają kierunek działającej siły. Drugie prawo ruchu ma postać: a = F m (3.6) Przyspieszenie jest proporcjonalne do przyłożonej siły i ma kierunek prostej, wzdłuż której siła jest przyłożona. Masa, która pojawia się w tym równaniu ruchu charakteryzuje właściwość cząstki - stawianie oporu przy jej przyspieszaniu (podatność na działanie siły). Cząstka o dużej masie ma większą bezwładność, stawia większy opór przy przyspieszaniu na skutek działania siły, niż cząstka o małej masie. Wydaje się, że zasadę bezwładności (I zasadę dynamiki) można by uznać za szczególny przypadek II prawa ruchu. Z równania (3.6) wynika mianowicie, że gdy