Teora metoy optymalzacj Nelowe zaae optymalzacj bez ograczeń umerycze metoy teracyje optymalzacj m x R f = f x Algorytmy poszuwaa mmum loalego zaaa programowaa elowego: Bez ograczeń Z ograczeam Algorytmy zbeŝe o mmum loalego x*, jeŝel ta put steje. I. Tech optymalzacj loalej A.I Iteracyje algorytmy optymalzacj Algorytmy optymalzacj w eruu Algorytmy optymalzacj bez ograczeń Algorytmy optymalzacj z ograczeam Algorytmy zbeŝe o mmum loalego x*, jeŝel ta put steje. Algorytm optymalzacj loalej - przemerzae obszaru rozwązań opuszczalych w poszuwau estremum fucj celu weług teracyjego schematu. Teora metoy optymalzacj Dr Ŝ. Ewa Szlachcc Wyzał Eletro stua II st. er. Automatya Robotya Teora metoy optymalzacj Dr Ŝ. Ewa Szlachcc Wyzał Eletro stua II st. er. Automatya Robotya Schemat algorytmu optymalzacj loalej bez ograczeń ( Wyberz put startowy xo=x. ( Oblcz wartość fucj f(x oraz jeŝel jest to wymagae to jej graet f(x (3 Zbaaj przyjęte ryterum zbeŝośc. Jeśl ryterum jest spełoe to oec algorytmu uzysao rozwązae optymale x optymalą wartość fucj celu f(x JeŜel e, to przejź o (4 Do mmalzacj w eruu moŝa uŝyć lu algorytmów tach ja p.: Algorytmy bez-graetowe: złotego pozału, aprosymacj waratowej, (4 Wyzacz ustaloy erue poszuwań : (5 Wyoaj mmalzację eruową wybraą metoą: + x T( x, (6 Postaw przejź o ( x x + oraz + Algorytmy graetowe: espasj otracj geometryczej z testem jeosośym, logarytmczy złoty pozał oca ze wstępą espasją otracją geometryczą, aprosymacj parabolczej z testem jeosośym, bsecj z testem wusośym Golste a, Teora metoy optymalzacj Dr Ŝ. Ewa Szlachcc Wyzał Eletro stua II st. er. Automatya Robotya Iteracja metoy poszuwaa mmum w eruu Przebeg typowej -tej teracj owolej metoy realzującej eę poszuwaa wzłuŝ eruu:. Oreśl erue poszuwań. ZbeŜość cągu putów { x } Defcja. Mówmy, Ŝe cąg putów = jest zbeŝy o putu x jeŝel cąg róŝc -tych przyblŝeń putu optymalego (putu mmum h = x x zbega o zera, co w przestrze R ozacza, Ŝe h ~. Zajźα mmalzujące f ( α = f + α ze wzglęu a α. 3. Postaw x = x + α. + Teora metoy optymalzacj Dr Ŝ. Ewa Szlachcc Wyzał Eletro stua II st. er. Automatya Robotya Teora metoy optymalzacj Dr Ŝ. Ewa Szlachcc Wyzał Eletro stua II st. er. Automatya Robotya
Teora metoy optymalzacj Krytera zbeŝośc: Algorytmy optymalzacj loalej. Test teoretyczy f fˆ, x xˆ. PrzyblŜoa stacjoarość rozwązaa = g 3. Testy pratycze: x x, =,..., lub f f + g Algorytmy bezgraetowe Algorytm Hooe a-jeeves a Algorytm Neler -Meae a Algorytm Gauss a-sela Algorytm Powella Algorytmy graetowe Algorytm ajwęszego spau Zmoyfoway algorytm Newtoa Algorytm Zagwlla Algorytm Fletchera-Reeves a Algorytm Polaa-Rbery Algorytm Fletchera-Powella-Davoa Teora metoy optymalzacj Dr Ŝ. Ewa Szlachcc Wyzał Eletro stua II st. er. Automatya Robotya Teora metoy optymalzacj Dr Ŝ. Ewa Szlachcc Wyzał Eletro stua II st. er. Automatya Robotya Metoy postawowe eruów poprawy. Metoa Gaussa-Sela (bezgraetowa.. Metoa ajwęszego spau (graetowa. 3. Metoa Newtoa (graet hesja. x ( ( ( H= = e ( = = Hx { h } ( ( ( ( f j = x xj, j {,,..., } Metoa Gaussa-Sela (barzo wola zbeŝość lowa Metoa ajwęszego spau (zbeŝość lowa Metoa Newtoa (zbeŝa waratowo ale osztowa e zawsze stabla Ilustracja metoy Gaussa-Sela Najefetywejsze są tzw. metoy quas-ewtoowse, w tórych w olejych teracjach ostruuje sę przyblŝee owrotośc hesjau. Teora metoy optymalzacj Dr Ŝ. Ewa Szlachcc x Wyzał Eletro stua II st. er. Automatya Robotya Teora metoy optymalzacj Dr Ŝ. Ewa Szlachcc Wyzał Eletro stua II st. er. Automatya Robotya Algorytm Gauss a-seela Istotą metoy jest mmalzacja fucj f(x wzłuŝ olejych eruów ortogoalej bazy, tóra utworzoa jest z wersorów ułau współrzęych artezjańsch. Algorytm Gaussa-Seela polega a cylczym stosowau owzorowaa T o eruów. Wyoae jeego taego cylu azywa sę -tą terację. Owzorowae T: T( x, = + + + { x } : f = mf + τ, x = x + τ τ σ Algorytm oblczeń metoa Gauss a-sela ( Wyberz put startowy x o =x. Oblcz wartość fucj f(x ( Zbaaj ryterum zbeŝośc: x x + +, =,..., oraz f f gze ε [, δ ] p.: ε = 6 Jeśl ta, to oec, jeśl e, to przejź o (3 Teora metoy optymalzacj Dr Ŝ. Ewa Szlachcc Wyzał Eletro stua II st. er. Automatya Robotya Teora metoy optymalzacj Dr Ŝ. Ewa Szlachcc Wyzał Eletro stua II st. er. Automatya Robotya
Teora metoy optymalzacj (3 Wyzacz erue poszuwań : są to oleje eru ortogoalej bazy =e Np. e = [,,...,] (4 Wyoaj mmalzację eruową wybraą metoą: + x T, (5 Postaw x x + oraz + powtórz ( Metoa ajwęszego spau NS jest to metoa graetowa, tóra pozwala szuać mmum róŝczowalej fucj elowej f(x. Kocepcja metoy wya z lematu, w tórym wyazao, Ŝe jeśl steje erue w przestrze R to ta, Ŝe, < f +τ < f Teora metoy optymalzacj Dr Ŝ. Ewa Szlachcc Wyzał Eletro stua II st. er. Automatya Robotya Teora metoy optymalzacj Dr Ŝ. Ewa Szlachcc Wyzał Eletro stua II st. er. Automatya Robotya Algorytm oblczeń metoa NS ( Wyberz put startowy x o =x. Oblcz wartość fucj f(x oraz jej graet f(x ( Zbaaj ryterum zbeŝośc: f, = czyl, (3 Wyzacz erue poszuwań : = ( x (4 Wyoaj mmalzację eruową wybraą metoą: + x T, (5 Postaw x x + oraz + powtórz ( gze ε [, δ ] p.: ε = 6 Jeśl ta, to oec, jeśl e, to przejź o (3 Teora metoy optymalzacj Dr Ŝ. Ewa Szlachcc Wyzał Eletro stua II st. er. Automatya Robotya Teora metoy optymalzacj Dr Ŝ. Ewa Szlachcc Wyzał Eletro stua II st. er. Automatya Robotya Algorytm bsecj z testem wusośym Golste a algorytm graetowy Do mmalzacj w eruu zastosowao graetowy algorytm bsecj z testem wusośym Golste a : Pratycze o wyszuaa putów spełających test wusośy Golstea stosuje sę astępujący algorytm bsecj: ( Oblcz pochoą w eruu p= o T oraz współczy rou τ R > ta, Ŝe f + τ R < f ( Wyzacz τ = ( τl+ τr. Oblcz f + τ. (3 Jeśl f + τ < f + ( β pτ to postaw τ L przejź o rou (, w przecwym raze przejź o rou (4 (4 Jeśl f + τ > f + βpτ to postaw τ R przejź o rou (, w przecwym przypau oec. Teora metoy optymalzacj Dr Ŝ. Ewa Szlachcc Wyzał Eletro stua II st. er. Automatya Robotya 3
Teora metoy optymalzacj Dzałae algorytmu bsecj z testem wusośym Golste'a la fucj: Pochoa w eruu zatem mamy: p= o T f(x, x = (x + (x 6x + x x put początowy x = [, ] T erue = [, ] T współczy testu β = początowa wartość współczya rou τ R = 9 ołaość la testu ε = 5 5 la x = x = [, ] T = f, f = x 6+ x,4x + x x x = [ 6,] Otrzymujemy wartość pochoej p: o T p= = [ 6 ] = 6 Teora metoy optymalzacj Dr Ŝ. Ewa Szlachcc Wyzał Eletro stua II st. er. Automatya Robotya Teora metoy optymalzacj Dr Ŝ. Ewa Szlachcc Wyzał Eletro stua II st. er. Automatya Robotya ( Oblczamy τ = ( τl+ τr oraz f + τ. τ = ( τr = (9 = 4,5 f + τ = f(, + (4,5, =,5-7= - 6,75 (3 JeŜel f + τ < f + ( β pτ to postaw τ L przejź o rou (. W przecwym wypau przejź o rou (4 Przechozmy o rou (3 sprawzamy: -6,75 <? NIE + ( 6 (,6 (4,5 = 6, Przechozmy o rou (4 Teora metoy optymalzacj Dr Ŝ. Ewa Szlachcc Wyzał Eletro stua II st. er. Automatya Robotya Teora metoy optymalzacj Dr Ŝ. Ewa Szlachcc Wyzał Eletro stua II st. er. Automatya Robotya (4 JeŜel to postaw f + τ > f + βpτ τ R przejź o rou (. W przecwym wypau KONIEC ( 8 sprawzamy: -6,75 >? TAK + ( 6,4 (4,5 =, przechozmy o rou ( DRUGA ITERACJA (... Po trzecej teracj otrzymujemy wy τ=3,375 Dzałae algorytmu ajszybszego spau la fucj: f(x, x = (x + (x x x put początowy x = [, 3] T współczy testu β = 4 początowa wartość współczya rou τ R = Teora metoy optymalzacj Dr Ŝ. Ewa Szlachcc Wyzał Eletro stua II st. er. Automatya Robotya 4
Teora metoy optymalzacj Oblczamy = = [, ] T PoewaŜ perwsza stosowaa wartość współczya rou τ R = speła test wusośy Golstea, węc: x = x + τ = [ ] T = = [ ] T W rugej teracj mamy: f + τ = τ 8τ + Otrzymujemy: T p= = [ ] = 8 Zatem test wusośy ma postać -6 τ - 8τ - Za pomocą algorytmu bsecj (test wusośy Golstea w trzecej próbe zajujemy wartość współczya τ =,5 Stą x = x + τ = [ ] T Postępując zgoe z algorytmem otrzymujemy oleje wartośc putów optymalzowaej fucj. Teora metoy optymalzacj Dr Ŝ. Ewa Szlachcc Wyzał Eletro stua II st. er. Automatya Robotya Teora metoy optymalzacj Dr Ŝ. Ewa Szlachcc Wyzał Eletro stua II st. er. Automatya Robotya Kolejo poae są puty wyzaczoe za pomocą algorytmu ajszybszego spau la fucj: f(x, x = (x + (x x x Fucja celu f(x x = [ 3] x = [ ] x = [ ] 3 x = [ ] 4 4 x = [ ] t... 4 4 I ta olejo, aŝ o mometu gy zostae spełoy warue ^, ^ < ε = 3 Ta uzysao rozwązae optymale x =[,] f(x =. M Teora metoy optymalzacj Dr Ŝ. Ewa Szlachcc Wyzał Eletro stua II st. er. Automatya Robotya Teora metoy optymalzacj Dr Ŝ. Ewa Szlachcc Wyzał Eletro stua II st. er. Automatya Robotya Koleje teracje metoy ajwęszego spau NS Algorytmy optymalzacj z ograczeam x W celu uwzglęea ograczeń moŝa postąpć w poŝszy sposób: ooać trasformacj zmeych ecyzyjych ooać trasformacj fucj celu wprowazając fucje ary. Przyłay trasformacj zmeych la typowych ograczeń: x x 5 x 3 x^ x 4 x.. 3. x x a x b x = u x = exp( u x = u x s = u exp( u x = exp( u + exp( u x = a + ( b a s ( u Teora metoy Moptymalzacj Dr Ŝ. Ewa Szlachcc Wyzał Eletro stua II st. er. Automatya Robotya Teora metoy optymalzacj Dr Ŝ. Ewa Szlachcc Wyzał Eletro stua II st. er. Automatya Robotya 5
Teora metoy optymalzacj Algorytmy optymalzacj z ograczeam c. Algorytmy optymalzacj z ograczeam c. Trasformacja fucj ryteralej: m P( x, σ, θ = f + σϕ ( g + θ H ( g + θ = Fucja ary charateryzuje sę tym, Ŝe w zborze rozwązań opuszczalych X przyjmuje wartość rówą zeru lub blsą zeru, a poza tym obszarem przyjmuje barzo uŝe wartośc. Gze: σ >, σ = [ σ, σ,..., σ ] m θ >, θ = [ θ, θ,..., θ ] m φ( fucja ary jest wetorem współczyów ary jest wetorem przesuęć ary ϕ ( g + θ : p. ( g + θ lub ( g + θ Fucja H ma poŝszą własość: H ( g + θ = lag + θ > lag + θ. Metoy zewętrzej fucj ary (metoa Courata, metoa Schmta Foxa. Metoy wewętrzej fucj ary (metoa Rosebroca, metoa Carolla 3. Metoy przesuwaej fucj ary (metoa Powella. Teora metoy optymalzacj Dr Ŝ. Ewa Szlachcc Wyzał Eletro stua II st. er. Automatya Robotya Teora metoy optymalzacj Dr Ŝ. Ewa Szlachcc Wyzał Eletro stua II st. er. Automatya Robotya 6