Zezyty Nakowe Wydział Elektrotechniki i Atomatyki Politechniki Gdańkiej Nr XXIV Seminarim ZASOSOWANIE KOMPUERÓW W NAUCE I ECHNICE Oddział Gdańki PEiS ZMIANA POŁOŻENIA UKŁADU ODWRÓCONEGO WAHADŁA PRZY UŻYCIU SEROWANIA ŚLIZGOWEGO Miroław OMERA Akademia Morka w Gdyni, Wydział Elektryczny, l. Morka 8, 8-5 Gdynia tel: 8 58 69 7 fax: 8 58 69 5 e-mail: tomera@am.gdynia.l Strezczenie: W referacie rzedtawione zotało terowanie ślizgowe zatoowane do zmiany ołożenia wózka w kładzie odwróconego wahadła. Obiekt terowania jet nieliniowy, o dwóch toniach wobody (kąt tawienia wahadła i ozycja wózka) i jednym wejści (iła rzyłożona do wózka). Zadanie terowania olega na takim rzemiezczani ołożenia wózka, aby wraz z jego zmianami, ręt wahadła balanował w ołożeni ionowym i nie rzewrócił ię. Model matematyczny obiekt kłada ię z czterech nieliniowych równań tan. Sterowanie ślizgowe zazwyczaj toowane jet do obiektów drgiego rzęd, zaiywanych w otaci zmiennych fazowych. Dlatego też w rzyadk kład odwróconego wahadła konieczna była dekomozycja roblem i zatoowane zotało dwwartwowe terowanie ślizgowe. W części równoważnej terowania rozważone zotały reglatory: liniowo-kwadratowy (LQR) i roorcjonalno-całkjącoróżniczkjący (PID), które ą owzechnie toowane do terowania roceami dynamicznymi. Uzykane kłady terowania ślizgowego ą odorne na wływ działających zakłóceń. Wyniki badań ymlacyjnych okazją efektywność racy zaroonowanych trktr kładów terowania. Słowa klczowe: terowanie ślizgowe, LQR, odwrócone wahadło.. WPROWADZENIE Układ odwróconego wahadła ma właności nieliniowego model czwartego rzęd, jet nietabilny, wielowymiarowy, i może być traktowany jako tyowy roblem terowania do analizowania nowoczenych teorii terowania. Sterowanie tego ty kładami, z życiem metod klaycznych, jet zadaniem tonkowo trdnym. Związane jet to głównie z tym, że jet to roblem nieliniowy o dwóch toniach wobody rch (kąt tawienia ręta wahadła i ozycja wózka) i tylko jednym wejściem terowania [7]. Obecnie toowane ą różne tyy kładów odwróconych wahadeł: liniowe, obrotowe, z ojedynczym rzegbem lb wielorzegbowe []. W niniejzej racy, do rozważań nad algorytmem terowania ślizgowego, rozatrzony zotał liniowy kład odwróconego wahadła z ojedynczym rzegbem, który zotał chematycznie okazany na rynk. Pręt rzytwierdzony jet do wózka, którego droga orzania ię jet ograniczona, i balanje ionowo w wynik iły rzykładanej do wózka. Wózek jet jednocześnie rzemiezczany do ewnego zadanego ołożenia na wojej drodze. Ry.. Układ odwróconego wahadła Celem niniejzej racy jet zarezentowanie metody terowania ślizgowego, zatoowanego do rzemiezczania wózka wraz z rzytwierdzonym, ionowo balanjącym rętem. Główna idea zatoowanego terowania ślizgowego olega na tym, że ygnał terjący jet mą terowania równoważnego e i terowania rzełączającego w []. ( ( ( () e Synteza terowania rzełączającego związana jet z zarojektowaniem tabilnej owierzchni ślizgania, natomiat ynteza terowania równoważnego olega na zarojektowani takiego terowania, które rzerowadzi tany kład na wybraną owierzchnię ślizgania w kończonym czaie. Sterowanie równoważne zajmje ię kierowaniem dynamiką kład, natomiat terowanie rzełączające wa zakłócenia. Jako terowanie równoważne może zotać wybrany dowolny algorytm, który będzie w tanie śledzić trajektorię zadaną z ewną określoną dokładnością. Do realizacji terowania równoważnego wybrane zotały reglatory najczęściej toowane w raktyce: liniowo-kwadratowy (LQR) i roorcjonalno-całkjącoróżniczkjący (PID). Do yntezy arametrów tych reglatorów zatoowany zotał zlinearyzowany model matematyczny kład odwróconego wahadła. Linearyzacja rzerowadzona zotała w nietabilnym nkcie racy, tzn. rzy ionowo tawionym ręcie wahadła, gdyż takiego tan dotyczy cel terowania. W racy dokonano orównania omiędzy zykanymi i badanymi trktrami reglatorów ślizgowych zatoowanych do terowania kładem odwróconego wahadła. Dynamika model i wymagania rojektowe zotały zaczernięte ze trony internetowej Uniwerytet z Michigan []. Artykł recenzowany w
. MODEL MAEMAYCZNY UKŁADU ODWRÓCONEGO WAHADŁA Układ odwróconego wahadła kłada ię z wózka z zamocowanym na rzegbie rętem, który chematycznie okazany zotał na rynk. Przemiezczanie ię wózka o maie M natęje od wływem rzykładanej do niego iły F, rzy czym iła ta mi być tak miejętnie rzykładana aby zamocowane na nim wahadło nie rzewróciło ię, czyli nie może odchylić ię od ion o więcej niż o kilka toni... Analiza ił oraz równania rch Równania różniczkowe oijące kład odwróconego wahadła, wyrowadzone zotały dla chemat okazanego na rynk. W cel dokładniejzej analizy ił działających na obiekt, model wahadła rzedtawiony zotał w otaci dwóch wobodnych brył. Zarówno wózek jak i wahadło mają o jednym toni wobody (odowiednio x i θ). Równania różniczkowe zotaną wyrowadzone w oarci o drgą zaadę dynamiki Newtona (F ma). w zależności od ochodnych kąta θ. Najierw wyrowadzone zotaną ochodne w oi x x x Linθ (6) & & x Lθ coθ (7) & x && & θ inθ & θ x L L coθ (8) natęnie ochodne w oi y y L coθ (9) y& & Lθ inθ () & y & θ coθ & θ L L inθ () Podtawiając wyrażenie (8) do zależności (), otrzymje ię równanie oijące iłę N N m( & x L & θ in θ L & θ coθ ) () natomiat o odtawieni wyrażenia () do równania (5), otrzymje ię zależność na iłę P P m( L & θ coθ L& θ inθ g) () Równanie oijące dynamikę rch wózka w oi oziomej zykje ię o odtawieni wyrażenia na iłę N, oianą wzorem () do zależności () Ry.. Iltracja wahadła w otaci dwóch brył Dla rch wzdłżnego, o zmowani ił działających na bryłę wózka w kiernk oziomym, otrzymje ię natęjące równanie rch: M & x Fi F b N () Dynamika rch obrotowego wahadła związana jet z momentami, działającymi kręcająco na ręt wahadła I& θ τ i PL inθ NL coθ () Aby dokładnie określić model dynamiki kład odwróconego wahadła, konieczne jet określenie interakcji ił P i N, działających omiędzy wózkiem i wahadłem. Siły te związane ą z rzemiezczaniem ię środka ręta wahadła w kiernk oziomym x i ionowym y. Dynamika rzemiezczania ię środka ręta wahadła w kiernk oziomym x, oiana jet wzorem natomiat w kiernk ionowym y m & x N () m & y P mg (5) Jednakże wółrzędne ołożenia środka ręta wahadła (x, y ) ściśle ą owiązane z kątem nachylenia wahadła θ. Dlatego też ich ochodne mogą zotać wyrażone ( M m) x bx mlθ co θ ml & & & && θ in θ F () Otateczne równanie oijące dynamikę zmian kąta obrot wahadła zykiwane jet rzez odtawienie wyrowadzonych zależności na iły N () i P () do wzor () ( I ml )& θ mgl in θ mlx & coθ (5).. Nieliniowe równania dynamiczne W cel zamodelowania w rogramach ymlacyjnych, zykanego model matematycznego kład odwróconego wahadła, oianego równaniami () i (5), wyrowadzone zotały nieliniowe równania dynamiczne. W ierwzej kolejności z równania () wyznaczona zotała drga ochodna wółrzędnej x wózka (& ) i zykane wyrażenie odtawione zotało do równania (5). W ten oób zykano natęjące nieliniowe równanie drgiego rzęd ( M m) mgl in θ m L & && θ in θ co θ θ mlb co θ ml co θ F (6) gdzie: I(Mm)mML m L in θ. W odobny oób zykane zotało drgie nieliniowe równanie drgiego rzęd. Z równania (5), wyznaczona zotała drga ochodna kąta wychylenia wahadła (θ & ) i zykane wyrażenie odtawione zotało do równania (). Zezyty Nakowe Wydział Elektrotechniki i Atomatyki PG, ISSN 5-9, Nr /
b( I ml ) m gl in θ co θ && x ml( I ml ) & θ in θ ( I ml ) F (7) gdzie: I(Mm)mML m L in θ. Równania (6) i (7) tanowią odtawę do wyrowadzenia nieliniowych równań tan. W tym cel rzyjęto natęjący wektor tan, który rerezentje ołożenia i rędkości wahadła oraz wózka. x [ x & θ (8) x x x ] [ θ x ] Na odtawie równań (6) oraz (7) wyrowadzone zotały nieliniowe równania tan, oijące zależności zachodzące omiędzy wahadłem a wózkiem. mgl( M m) in x.5m L mlb co x x b( I ml ( I ml x & x (9) ) x ml co x in x x () x & x () ) mlx.5m in x gl in x ( I ml ) () gdzie: I(Mm)mML m L in x, natomiat F jet terowaniem olegającym na rzyłożeni określonej iły do wózka... Równania zlinearyzowane Linearyzacja równań tan ozwala na zaianie ich w otaci natęjącego kład macierzowo- wektorowego x &( Αx( B( () y ( Cx ( D( () Linearyzacja nieliniowych równań różniczkowych (9)-() dokonana zotała wokół nkt równowagi wahadła θ π. W tym cel z owyżzych, nieliniowych równań tan nięte zotały kładniki zawierające zmienne tan wytęjące w kwadratach, natomiat fnkcje trygonometryczne zatąione zotały fnkcjami liniowymi w natęjący oób: in θ θ, coθ, in θ inθ coθ θ. Uzykane w ten oób liniowe równania tan zaiano w otaci macierzowej (5). akiej amej linearyzacji oddane zotały ojedyncze równania różniczkowe oijące model matematyczny kład odwróconego wahadła oiane wzorami () i (). W tym rzyadk zykane zotały natęjące równania zlinearyzowane ( I ml )θ & mgl θ mlx & (6) ( M m)&& x b ml & θ (7).. ranmitancje oeratorowe W oarci o zlinearyzowane równania (6) i (7) wyznaczone zotały tranmitancje oeratorowe oijące zależności omiędzy rzyłożoną iłą wzdłżną do wózka F, a zmianą jego wółrzędnych ołożenia x i zmianą kąta wychylenia wahadła θ. W ierwzej kolejności zlinearyzowane równania (6) i (7) oddane zotały rzekztałceni oeratorowem Lalace a ( I ml ) θ ( ) mgl θ ( ) ml X ( ) (8) ( M m) X ( ) bx ( ) ml θ ( ) U ( ) (9) Po wyznaczeni X() z równania (9) i odtawieni zykanej zależności do równania (8) zykano ierwzą tranmitancję θ ( ) U ( ) b( I ml ) ml mgl ( M m) mglb () gdzie: I(Mm)mML. W odobny oób zykana zotała drga tranmitancja oijąca zależność omiędzy iłą wzdłżną rzyłożoną do wózka, a zmianą jego ołożenia. W tym cel z równania (8) wyznaczona zotała zależność na θ() i odtawiona do równania (9) I ml mgl X ( ) () U ( ) b( I ml ) mgl ( M m) mglb gdzie: I(Mm)mML. W dalzych obliczeniach wykorzytane zotały wartości arametrów kład odwróconego wahadła zykane ze trony internetowej [] i arametry te znajdją ię w tablicy. mgl( M m) I( M m) MmL m gl x & I( M m) MmL x ml mlb I M m MmL ( ) x I M m MmL ( ) x ( I ml ) b x I ml I M m MmL ( ) I( M m) MmL (5) Zezyty Nakowe Wydział Elektrotechniki i Atomatyki PG, ISSN 5-9, Nr /
ablica. Wartości arametrów kład odwróconego wahadła Zmienna Parametr Wartość Jednotka M Maa wózka.5 kg m Maa wahadła. kg b Wółczynnik tarcia. N/m/ L Dłgość wahadła. m I Bezwładność wahadła.6 kgm g Przyśiezenie ziemkie 9.8 m/. REGULAORY NOMINALNE W odrozdziale tym rzedtawiona zotała ynteza reglatorów nominalnych, wyracowjących równoważną część kładową ygnał terjącego e, dla rojektowanego reglatora ślizgowego działającego w oarci o wzór ()... Reglator LQR W literatrze można znaleźć różne metody wykorzytane do terowania kładem odwróconego wahadła. W tym odrozdziale oiany zotanie reglator LQR (Linear Qadratic Reglator). Do wyznaczenia wzmocnień reglatora LQR e ( Kx( () ozwalającego na rzemiezanie wózka rzy trzymywani ionowego ołożenia ręta wahadła (Ry. ), rzyjęto natęjący model matematyczny kład odwróconego wahadła: ( (.6 ( (.6755 x(.55 x ( x (.88 x (.555 (.88 () x ( x ( y( [ ] ( () x ( x ( Problem reglatora LQR rozwiązywany jet rzy natęjących założeniach [5]:. Wzytkie tany x( ą dotęne, tzn. że ą mierzone rzez czjniki;. Układ jet terowalny i oberwowalny. W cel rawdzenia terowalności i oberwowalności zatoowane zotały fnkcje Matlaba obv(a,c) i ctrb(a,b). Wyniki tych badań wyadły ozytywnie. Reglator LQR zaliczany jet do tzw. terowania otymalnego i wyznaczany jet w oarci o liniowe równania dynamiczne oraz kwadratowy wkaźnik jakości, zaiywany w otaci natęjącej fnkcji Ry.. Schemat blokowy reglatora LQR, wyznaczającego terowanie równoważne J x ( Qx( ( R( dt (5) gdzie QQ oraz RR ą arametrami ważącymi ygnały zmiennych tan oraz ygnałów terjących i zarazem troją reglator. W oarci o oiadane liniowe równania dynamiczne wyznacza ię macierz wzmocnień reglatora LQR K R B S (6) która ozwala na minimalizację kwadratowego wkaźnika jakości (5). Macierz S wyznaczana jet w wynik rozwiązania algebraicznego równania Riccati ego SA A S Q PBR B S (7) Proce minimalizacji kwadratowego wkaźnika jakości (5) obejmje rozwiązanie równania Riccati ego, które to zadanie może zotać wykonane rzy życi fnkcji lr znajdjącej ię w Matlabie (K lr(a,b,q,r)). Wartości arametrów macierzy Q i R zotały wyznaczone rzy życi regły Bryon a ([6], trona 9).6 Q, R (8) 6.5 6 Zatoowanie fnkcji Matlaba lr ozwoliło na wyznaczenie natęjących wartości arametrów reglatora K [.75 6.7.5 5.576 ] (9) Dodatkowo jezcze wyznaczone zotało wzmocnienie kaljące ygnał zadany ołożenia wózka, w oarci o natęjące wzory N x N A C B D () N KN.5 () N x Zarojektowany kład terowania zotał zamodelowany w Simlink w kładzie okazanym na rynk. Blok oznaczony jako Układ odwróconego wahadła zawiera model matematyczny obiekt oiany równaniami (9)-(). Zezyty Nakowe Wydział Elektrotechniki i Atomatyki PG, ISSN 5-9, Nr /
Ry.. Schemat blokowy reglatora PID-PD, wyznaczającego terowanie równoważne.. Reglator PID-PD Możliwe jet zykanie terowania ołożeniem wózka w kładzie odwróconego wahadła z wykorzytaniem reglatorów ty PID. Wyjściowy ygnał terjący reglatora ty PID jet zazwyczaj wyznaczany na odtawie różnicy omiędzy wartością zadaną i omierzoną wartością wyjściową. W rzyadk kład odwróconego wahadła itnieje konieczność tabilizacji ionowego ołożenia ręta wahadła θ i zadanego ołożenia wózka x, do którego na rzegbie rzytwierdzony jet ręt. Sełnienie tych wymagań wiąże ię z zatoowanie dwóch oddzielnych reglatorów ty PID, o jednym dla każdej wartości zadanej, co zotało okazane na rynk, gdzie K P, K I oraz K D ą odowiednio wzmocnieniami: roorcjonalnym (P), całkjącym (I) i różniczkjącym (D). Do tabilizacji ionowego ołożenia wahadła, zatoowany zotał reglator PID o tranmitancji G PID K I K D K P K I ( ) K P K D () Synteza wartości arametrów tego reglatora rzerowadzona zotała z wykorzytaniem linii ierwiatkowych i tranmitancji oianej wzorem (). W tym cel tranmitancja reglatora () zotała rzekztałcona do otaci oianej wzorem () ( z )( z ) k k( z z ) kzz ( ) k () G PID Wymagania nałożone na rojektowaną odowiedź kokową były natęjące: makymalne rzereglowanie (M P < 5%), cza reglacji (t R < ). Z orównania wółczynników w licznikach wzorów () i () wyznaczone zotały wartości arametrów reglatora PID łżącego do tabilizacji ionowego ołożenia ręta wahadła K P, K I 8 oraz K D. Dobór arametrów reglatora PD do tabilizacji ołożenia wózka x G () PD ( ) K P K D rzerowadzony zotał ręcznie w Simlink, metodą rób i doświadczeń, na model nieliniowym. W tym rzyadk okazało ię, że dynamika model liniowego, oianego tranmitancją () bardzo mocno odbiegała od dynamiki model nieliniowego (7) w tym torze i nie owiodła ię ynteza znanymi metodami analitycznymi. W wynik trojenia ręcznego rzyjęte zotały natęjące wartości arametrów reglatora PD: K P, K D. Po rawdzeni tabilności tranmitancji wyadkowej kład reglacji w torze x, kładającej ię z reglatora PD () i tranmitancji () okazało ię, że jeden biegn znajdje ię w rawej ółłazczyźnie co gerowałoby, że zarojektowany kład reglacji nie owinien racować tabilnie. Jednak w badaniach ymlacyjnych wykazana zotała orawna raca reglatora PD z dobranymi arametrami, który zaewniał tabilne rzemiezczanie ołożenia wózka w kładzie odwróconego wahadła.. REGULAOR PRZEŁĄCZAJĄCY W odrozdziale tym rzedtawiona zotała ynteza terowania rzełączającego e, będąca nieliniową częścią kładową, rojektowanego reglatora ślizgowego, działającego w oarci o wzór (). Sterowanie rzełączające zazwyczaj toowane jet w kładach nieliniowych drgiego rzęd, które w rzetrzeni tanów ą zaiywane w natęjącej otaci kanonicznej x & x ( ) (5a) ( t ( f ( x( ) b( x( ) ( ) (5b) t y ( t ) x ( t ) (5c) gdzie x [x, x ] jet wektorem tan, f(x) oraz b(x) ą fnkcjami nieliniowymi, jet terowaniem. Jednakże, model matematyczny kład odwróconego wahadła kłada ię z czterech równań, które w otaci ogólnej można zaiać natęjąco x & x ( ) (6a) ( t f ( x( ) b ( x( ) ( ) (6b) ( t x & x ( ) (6c) ( t f ( x( ) b ( x( ) ( ) (6d) ( t gdzie x [x, x, x, x ] jet wektorem tan, f (x), f (x) oraz b (x), b (x) ą fnkcjami nieliniowymi, natomiat jet terowaniem. W odrozdziale tym wykorzytana zotanie idea odległości ze znakiem, wyrowadzona w racy [] (rozdział, trona 7). Zezyty Nakowe Wydział Elektrotechniki i Atomatyki PG, ISSN 5-9, Nr /
Ry. 5. Schemat blokowy terowania rzełączającego, wykorzytjący dwwartwową owierzchnię ślizgania Dla równania (6) zotaną zdefiniowane dwie linie rzełączania c ( x z x (7) ) oddziałjących na wózek równolegle z iłą terjąca (. Analizowana róba tetowa obejmowała zmianę ołożenia (8) c x x gdzie: x θ θ z, x & θ, x x xz, x. Celem terowania jet rzerowadzanie tan kład do oczątkowego nkt równowagi. Zmienne linii rzełączania i ą toniowo redkowane do zera, w tym amym czaie, rzez zmienną ośrednią z. W równani (7) z jet wartością wyrowadzaną z, wedłg natęjącej zależności z Z at( / Φ) (9) Φ jet wartwą rzełączania zmiennej, natomiat definicja fnkcji at( ) jet natęjąca dla φ at( φ ) φ dla φ < (5) dla φ Sygnał wyjściowy reglatora rzełączającego w wyznaczany jet w oarci o oniżzy wzór w K d K (5) c Zaroonowana trktra reglatora rzełączającego w, wykorzytana do terowania ołożeniem wózka w kładzie odwróconego wahadła, rzedtawiona zotała na rynk 5. W wynik rzerowadzonych badań ymlacyjnych dobrane zotały arametry reglatora rzełączającego c.5, c 5, Φ.5, Z, K. 5. BADANIA ZAPROJEKOWANYCH UKŁADÓW SEROWANIA ŚLIZGOWEGO Złożenie reglatora nominalnego, okazanego na rynk lb oraz reglatora rzełączającego okazanego na rynk 5, daje w efekcie rojektowany reglator ślizgowy. Badania zarojektowanych reglatorów rzerowadzone zotały w środowik obliczeniowym Matlab/Simlink, w kładzie terowania rzedtawionym na rynk 6 i obejmowały dwa rzyadki: (a) brak zakłóceń Z( ; (b) obecność zakłóceń tałych Z(. (, Ry. 6. Schemat blokowy zarojektowanych kładów terowania wózka o metr i rozatrzone zotały cztery tyy reglatorów: (a) reglator LQR bez włączonej części rzełączającej (LQR); (b) reglator LQR z włączoną częścią rzełączającą (LQRSMC); (c) reglator PID-PD bez włączonej części rzełączającej (PID-PD); (d) reglator PID-PD z włączoną częścią rzełączającą (PID-PDSMC). Z reglatorem ślizgowym ma ię do czynienia wówcza gdy włączona jet część rzełączająca. Uzykane wyniki terowania rzy brak zakłócenia rzedtawione zotały na rynk 7, natomiat w obecności zakłócenia okazane zotały na rynk 8. Zmienne wykreślone na tych rynkach (7 i 8) zarejetrowane zotały co. ekndy, zykjąc w ten oób N 5 omierzonych róbek w badanym odcink tabilizacji. Ocena jakości racy rozważanych kładów reglacji olegała na ocenie wkaźników jakości definiowanych na odtawie odowiedzi kokowej i były to: makymalne rzereglowanie M, cza reglacji t R mierzony rzy trefie dokładności %. Dodatkowo na odtawie zarejetrowanych wartości wółrzędnej ołożenia wózka i ygnał terjącego wyznaczone zotały natęjące fnkcjonały: J E N k N e( k) J ( k), (5) k gdzie: e(k) x zad (k) x(k) jet chybem reglacji, natomiat (k) iłą rzykładaną do wózka. Wkaźniki jakości wyznaczone dla rób tetowych bez zakłóceń znajdją ię w tablicy, natomiat z zakłóceniem w tablicy. W badaniach rzerowadzonych w kładzie terowania bez zakłóceń, w róbach rzerowadzonych z dowolnym reglatorem, chyb w tanie talonym był równy zero (e ). Przy czym włączenie części rzełączającej do dowolnego reglatora nominalnego (LQR lb PID-PD) owodowało krócenie cza reglacji. Po dodani zakłócenia o tałej wartości wyniki badań kład terowania z reglatorami nominalnymi charakteryzowały ię Zezyty Nakowe Wydział Elektrotechniki i Atomatyki PG, ISSN 5-9, Nr /
niezerowym chybem w tanie talonym. Włączenie części rzełączającej ozwalało na zredkowanie chyb w tanie talonym bardzo bliko zera. Ry. 7. Porównanie wyników terowania ołożeniem kład odwróconego wahadła, rzy brak zakłóceń Ry. 8. Porównanie wyników terowania ołożeniem kład odwróconego wahadła, w obecności zakłóceń Analizjąc wyniki zawarte w tablicach i, widać że najkrótzy cza reglacji (t R ) i najmniejzy całkowy wkaźnik jakości (J E ) związany z dokładnością terowania, zykany zotał dla reglatora ślizgowego w którym część nominalną rerezentował reglator LQR. 6. WNIOSKI KOŃCOWE W rozważanej racy zamiezczone zotało wyrowadzenie model matematycznego kład odwróconego wahadła, zarówno w otaci nieliniowych równań różniczkowych oijących dynamikę wózka i ręta wahadła, jak również wyrowadzenie nieliniowych równań dynamicznych i ich linearyzacja. W oarci o model zlinearyzowany wyrowadzone zotały dwie tranmitancje oeratorowe, ierwza dla zmian kąta tawienia wahadła, natomiat drga dla zmian ołożenia wózka, obydwie od wływem iły rzyłożonej do wózka kład odwróconego wahadła. Uzykane nieliniowe równania dynamiczne zamodelowane zotały w Simlink. Zezyty Nakowe Wydział Elektrotechniki i Atomatyki PG, ISSN 5-9, Nr / 5
ablica. Wkaźniki oceny jakości terowania zykane z wykreów czaowych okazanych na rynk 7 (bez zakłóceń) y kład M t R J E J e reglacji [%] [] [-] [-] [-] LQR 6.8 9.. LQR SMC..8.5. PID-PD.6. 5.9 PID-PD SMC.5.8 76.8 6.6 ablica. Wkaźniki oceny jakości terowania zykane z wykreów czaowych okazanych na rynk 8 (z zakłóceniami) y kład M t R J E J e reglacji [%] [] [-] [-] [-] LQR 6.8.7 95.9.8 LQR SMC.69.79 7... PID-PD.6 8.8 95.. PID-PD SMC.6.8.8.. W oarci o zlinearyzowane równania dynamiczne zarojektowany zotał ierwzy reglator nominalny którym był reglator liniowy LQR. Drgim reglatorem nominalnym był reglator PID-PD, kładający ię z ołączenia równoległego: reglatora PID do tabilizacji ionowego ołożenia ręta wahadła i reglatora PD do tabilizacji ołożenia wózka. Synteza reglatora PID dokonana zotała z wykorzytaniem tranmitancji dla tego tor i z zatoowaniem linii ierwiatkowych. Parametry reglatora PD zotały dobrane ręcznie. Wyznaczenie części rzełączającej wymagało dekomozycji owierzchni ślizgania do dwóch wartw, każda z nich zatoowana zotała do oddzielnego tor. Pierwza wartwa do tabilizacji tor związanego z ołożeniem wahadła, natomiat drga do tabilizacji ołożenia wózka. W racy zamiezczone zotały badania reglatora ślizgowego zatoowanego do terowania ozycją wózka w kładzie odwróconego wahadła. Badane były dwie konfigracje reglatora ślizgowego, w ierwzej z nich reglatorem nominalnym był reglator LQR, natomiat w drgim PID-PD. Uzykane wyniki badań orównane zotały z równoważnymi wynikami otrzymanymi z zatoowaniem reglatorów nominalnych będących częścią kładową reglatorów ślizgowych. Wyniki rzerowadzonych badań ozwalają twierdzić, że zatoowanie reglatora ślizgowego ozwala na zykanie lezych wyników terowania, aniżeli zatoowanie amego reglatora LQR lb kład reglatorów PID-PD. W kładzie reglacji z reglatorem ślizgowym z częścią nominalną LQR zykano najleze wyniki, zarówno w rzyadk brak zakłóceń jak i ich obecności chyb był zawze rawie równy zero, jak również cza reglacji (t R ) był najkrótzy. 7. BIBLIOGRAFIA. Banrejee A., Nigam M.J.: Deigning of Proortional Sliding Mode Controller for Linear one Stage Inverted Pendlm, Power Engineering and Electrical Engineering, Vol. 9, No.,. 8-89,.. Bhavar P., Kmar V.: rajectory racking of Linear Inverted Pendlm ing Integral Sliding Mode Control, Intelligent Sytem and Alication, Vol. 6,. -8,.. Carnegie Mellon, Univerity of Michigan, (htt://www.engin.mich.ed/gro/ctm). Chen S.-Y., Y F.-M., Chng H.-Y.: Decoled fzzy controller deign with ingle-int fzzy logic, Fzzy Set and Sytem, Vol. 9, No.,. 5-,. 5. Eide R., Egelid P.M., Stamo A., Karimi H.R.: LQG Control Deign for Balancing an Inverted Pendlm Mobile Robot, Intelligent Control and Atomation, Vol.,. 6-66,. 6. Franklin G.F., Powell D.J., Emami-Naeini A.: Feedback Control of Dynamic Sytem, 5 th edition, Pearon Prentice Hall, 6. 7. Nair A.N.K, Raja Imail R.M.., Ahmad M.A.: Performance Comarion between Sliding Mode Control (SMC) and PD-PID Controller for a Nonlinear Inverted Pendlm Sytem, World Academy of Science, Enginering and echnology, Vol. 6,. 58-6,. POSIION CHANGING OF INVERED PENDULUM SYSEM USING A SLIDING MODE CONROL Key-word: liding mode control, LQR, inverted endlm. he aer reent liding mode control, which wa ed to change the oition of the cart in the inverted endlm ytem. he lant of control i non-linear, with two degree of freedom (the angle of the endlm and the oition of the car and one int (force alied to the car. he tak i to control the movement of the cart oition to get along with hi change, balancing the endlm rod in the right oition. he mathematical model of the object conit of for nonlinear eation of tate. Sliding mode control i normally alied to the econd-order ytem, reented in the canonical form. herefore, in the cae of an inverted endlm ytem, the decomoition of the roblem wa neceary and two-layer liding mode control wa alied. In the eivalent art of the control, two controller were conidered: linear adratic reglator (LQR) and Proortional-Integral-Derivative (PID), which are commonly ed to control dynamic rocee. he relting liding mode control ytem are robt to the inflence of ditrbance int. he relt of imlation tdie how the effectivene of the work of the rooed trctre of control ytem. 6 Zezyty Nakowe Wydział Elektrotechniki i Atomatyki PG, ISSN 5-9, Nr /