Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania. Systemy sterowania i wspomagania decyzji

Transkrypt

1 Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Systemy sterowania i wsomagania decyzji Synteza regulatora wieloobszarowego stabilizującego ołożenie wahadła w niestabilnym unkcie równowagi Zadania do ćwiczeń laboratoryjnych termin Oracowanie: Mieczysław A. Brdyś, rof. dr hab. inż. omasz Zubowicz, mgr inż. Andrzej Woronowski, mgr inż. Gdańsk, luty 0

2 Zalecana literatura. atjewski, P. (00). Sterowanie zaawansowane obiektów rzemysłowych. Struktury i algorytmy. Akademicka Oficyna Wydawnicza EXI, Warszawa. ISBN Żak S.H. (003). Systems and Control. Oxford University Press, New York, Oxford, ISBN3: Domanski, P., Brdys, M.A., atjewski, P. (999). Design and stability of fuzzy logic multi regional outut controllers. Int. Al. Math. And Com. Sci., Vol.9, No.4, Ruiyun Qi, Mietek A. Brdys. (008). Stable indirect adative control based on discrete-time -S fuzzy model. Fuzzy Sets and Systems. Vol. 59, Issue 8, Aril 008, heme: Fuzzy and Nonlinear Control Uwaga! Niniejsze ćwiczenie laboratoryjne orusza nietrywialnie zagadnienia z zakresu modelowania i rojektowania systemów sterowania. Mimo, że odejście do realizacji systemu stabilizacji wahadła w niestabilnym ołożeniu równowagi z wykorzystaniem logiki rozmytej nie jest nowe, to zakres dostęnej literatury i różnorodność wariacji rozwiązań okazuje, że roblem jest nadal aktualny. Nie można też owiedzieć, że znane jest najlesze rozwiązanie związane z wykorzystaniem tej technologii. Ocena zaliczenie tego ćwiczenia laboratoryjnego (wewnątrz danej gruy laboratoryjnej) zależeć będzie ściśle od uzyskanych wyników. Kryteria brane rzy ocenie gruy są jak nastęuje: zarojektowany układ owinien gwarantować stabilizację dla maksymalnie dużego zakresu warunków oczątkowych wychylenia wahadła α. W rzyadku idealnym zakres ten owinien wynosić α π; π rad; jednocześnie moduł wychylenia się ramienia θ owinien być jak najmniejszy.

3 Przewidziany czas na wykonanie ćwiczenia to dwa kolejne zajęcia laboratoryjne. Na trzecich zajęciach grua owinna złożyć odowiednie oracowanie wyników w ostaci srawozdania. Formę i oczekiwaną zawartość oddawanego srawozdania ustala osoba rowadząca zajęcia z dana gruą. Od studentów oczekuje się umiejętnego odziału czasu racy tak, aby wykonać zamieszczone w instrukcji zadania w określonym owyżej czasie. Jednocześnie zajęcia te kładą istotny nacisk na samodzielność racy gru laboratoryjnych, co oznacza, że wskazane jest sięgniecie do fachowej literatury w celu oszerzenia zakresu wiedzy. Ois obiektu sterowania Obiektem sterowania jest odwrócone wahadło obrotowe zamocowane na ramieniu silnika rądu stałego zasilanego z zasilacza tyu PWM, którego schemat został rzedstawiony na Rys.. m α L θ r Silnik Rys.. Wahadło odwrócone 3

4 Zachowanie obiektu oisują równania dynamiki: ( ) ɺ ( ) + ɺɺ θ ɺɺ α α + α α = ɺ θ ( J eq m r ) m l r cos m l r sin Beq ɺɺ ɺɺ ( ) ( ) ( m l + J ) α m l r θ cos α m g l sin α = 0 gdzie: θ - kąt odchyłu ramienia wahadła; α - kąt odchyłu wahadła; l - długość od osi obrotu wahadła do środka masy; m - masa wahadła; r - długość ramienia; J eq silnika ; J - moment bezwładności wahadła z ramieniem względem osi obrotu wału - moment bezwładności wahadła względem jego osi obrotu; B eq - wsółczynnik tłumienia ramienia; g - rzysieszenie ziemskie. Ramię wahadła oruszane jest rzez silnik rądu stałego. Moment wytwarzany rzez silnik wyrażony jest równaniem: K mk w K mkt = u ɺ θ, R R m m gdzie: u - naięcie zasilania; - moment na wale silnika; K - stała SEM silnika; m K t - stała momentu silnika; K w R m - wzmocnienie wzmacniacza; - rezystancja w obwodzie twornika. 4

5 Rozumowanie rozmyte akagi Sugeno - wrowadzenie Sterowanie obiektami nieliniowymi za omocą regulatorów liniowych często nie jest możliwe z owodu braku stabilności takiego układu oraz niewystarczającej jakości regulacji. Pojawia się wtedy otrzeba zastosowania regulatorów nieliniowych, które swoją budową uwzględniają nieliniowości wystęujące w obiekcie. Jednym z takich regulatorów jest wieloobszarowy regulator budowany w oarciu o logikę rozmytą akagi-sugeno (-S). Cechą charakterystyczną tego regulatora jest to, że jest on łatwy i intuicyjny w rojektowaniu i imlementacji. Wynika to z tego, że do syntezy regulatora -S wykorzystuje się dobrze znaną automatykom teorię liniowych układów sterowania oraz teorię logiki rozmytej. Połączenie wiedzy deterministycznej i rozmytej umożliwia budowanie regulatorów wieloobszarowych, które składają się z szeregu lokalnych regulatorów liniowych, z których każdy jest rojektowany dla innego unktu racy. Sklejanie (rzełączanie) tych regulatorów lokalnych jest zrealizowane z wykorzystaniem logiki rozmytej -S i w wyniku takiego działania otrzymuje się regulator globalny. Nieliniowe działanie regulatora globalnego jest wynikiem właśnie miękkiego rzełączania liniowych regulatorów lokalnych. Logika -S jest rozwinięciem klasycznej teorii systemów rozmytych i umożliwia ona wykorzystywanie obiektywnej, jawnej wiedzy o danym obiekcie. Osiągnięte to zostało orzez wrowadzenie alternatywnej do wnioskowania Mamdaniego metody wnioskowania -S. Wnioskowanie Mamdaniego, nazywane także lingwistycznym, stosowane jest owszechnie w systemach rozmytych. Ogólny schemat takiego systemu rzedstawiono na Rys.. Baza reguł Zmienne wejściowe Fuzyfikacja (rozmywanie) Wnioskowanie (interferencja) Defuzyfikacja (wyostrzanie) Zmienne wyjściowe Rys.. Schemat systemu rozmytego Różnica omiędzy wnioskowaniem Mamdaniego a -S jest taka, że w logice -S we wnioskach reguł wystęują deterministyczne funkcje zmiennych wejściowych, a nie tak jak ma to miejsce w logice Mamdaniego zbiory rozmyte. Różnice tą łatwo 5

6 zaobserwować orównując budowę reguł w logice rozmytej z wykorzystaniem wnioskowania Mamdaniego oraz -S. Przykładową regułę we wnioskowaniu Mamdaniego dla trzech wejść i dwóch wyjść można zaisać w nastęujący sosób: IF ( x ) AND ( x ) AND ( x 3 3 ) HEN ( u 4 ), ( u 5 ) gdzie: x, x, x to zmienne wejściowe, u, u zmienne wyjściowe, a F, F, F 3, F 4 oraz F 5 to zbiory rozmyte. Analogiczna do owyższej reguła zaisana w logice -S miałaby ostać: IF ( x ) AND ( x ) AND ( x 3 3 ) HEN u = f ( x, x, x3 ), u = f ( x, x, x3) Przyjmując że dynamika rozważanego systemu nieliniowego oisana jest za omocą równania różniczkowego (): xɺ = f ( x ( t ), u ( t )), () gdzie: x(t) jest wektorem stanu; u(t) sterowanym wejściem; i rzy założeniu, że funkcja f(.) jest znana; zgodnie z twierdzeniem o uniwersalnej aroksymowalności dynamika systemu () może zostać rzedstawiona rzy omocy modelu rozmytego -S z arbitralnie małym błędem modelowania ε. Zestaw reguł rozmytych oisujących taki system może być zaisany w nastęujący sosób: ( ) ( ) xɺ ( ) = A x( ) + B u( ) + a ( ) :... v v R if z t is MF and z t is MF then t t t t ( ) ( ) xɺ ( ) = A x( ) + B u( ) + a ( ) :... v v R if z t is MF and z t is MF then t t t t () gdzie: x(k) R n, u(k) R m są odowiednio wektorem stanu i sterowania; A R nxn, B R nxn, a R xn są macierzami systemu; z i (k) jest mierzoną zmienną systemu n. j zmienną stanu; MF i są zbiorami rozmytymi; stanowi liczbę regionów; v stanowi liczbę zbiorów rozmytych; R rerezentuje zbiór liczb rzeczywistych. 6

7 Konkluzje reguł () wykorzystują aroksymacje systemu w ostaci afinicznej. W trakcie realizacji ćwiczenia laboratoryjnego dążyć się będzie natomiast do wykorzystania aroksymacji liniowej, co można zaisać analogicznie do () rzyjmując odowiednio elementy a i = 0 dla i=,..,. Podejście to ozwala na zastosowanie znanej teorii dotyczącej układów liniowych dla celów rojektowania i oceny owstałych w ten sosób odsystemów regionalnych. Model rozmyty () może zostać równoważnie zaisany w ostaci: ( ) ( ) ( ) x i ɺ ( t) = h z ( t) A i x t + B i u t + a i. (3) i= gdzie siła zadziałania i-tej reguły rozmytej h i (z(k)) jest dana zależnością (4): v v i i i ( ( )) = j v ( ) j v j= i= j= ( ) ( ( )) h z t w z t / w z t. (4) Przykład Niech będzie dany nieliniowy system tyu SISO oisany dwiema regułami rozmytymi gdzie konkluzje mają ostać liniowych odsystemów dynamicznych: ( ) xɺ ( ) = x( ) + u( ) ( ) xɺ ( ) = x( ) + u( ) R : if z t is MF then t 0.7 t 0.8 t R : if z t is MF then t 0.3 t 0. t (5) rzykładowe zbiory rozmyte rzedstawiono na rys. 3. Rys.3.Przykład zbiorów rozmytych dla z (t)=x(t) 7

8 Wyjście z tak zdefiniowanego systemu wyznaczane jest na odstawie zależności (3) i (4). Projektowanie regulatora -S rozoczyna się od znalezienia lokalnych liniowych modeli obiektu zlinearyzowanych w wybranych unktach racy. Modele liniowe można wyznaczyć metodą linearyzacji nieliniowych równań dynamiki obiektu. Nastęnie dla każdego liniowego modelu budowany jest oddzielnie liniowy regulator. Regulatory te są ze sobą sklejane za omocą logiki rozmytej -S tak, że każdemu lokalnemu układowi regulacji odowiada jedna reguła z wykorzystanej bazy reguł. Model rozmyty Regulator rozmyty Reguła Reguła Reguła Reguła n Reguła Reguła n Synteza regulatora w oarciu o teorię liniowych układów sterowania Rys.4.Projektowanie regulatora wieloobszarowego -S Podczas laboratorium zadaniem układu regulacji będzie stabilizacja wahadła w unkcie równowagi niestabilnej. Stabilizacja odwróconego wahadła to klasyczny roblem w teorii sterowania obiektem nieliniowym. Jest to obiekt silnie nieliniowy i strukturalnie niestabilny w ętli otwartej, co owoduje, że jest bardzo trudny w regulacji. Silne nieliniowości uniemożliwiają zastosowanie regulatora liniowego, który otrafiłby stabilizować wahadło w szerokim zakresie odchyleń od ołożenia równowagi. Aby okazać korzyści jakie daje zastosowanie w układzie sterowania 8

9 regulatora wieloobszarowego odczas laboratorium dokonane zostanie orównanie działania wahadła w dwóch układach regulacji - z regulatorem liniowym (srzężenie od stanu) oraz regulatorem -S. Konstruowanie liniowych modeli lokalnych Przy budowie lokalnych modeli liniowych użyteczne mogą być dwa, rzedstawione oniżej, mechanizmy. Ich użyteczność uzależniona jest od rzyjętego unktu racy systemu. Linearyzacja w unkcie racy systemu o wsółrzędnych zerowych może zostać rzerowadzona z wykorzystaniem rozwinięcia w szereg aylora. Prowadzi to do uzyskania liniowej aroksymacji nieliniowej dynamiki. W rzyadku zastosowania tego mechanizmu rzy inaczej wybranym unkcie racy uzyskuje się aroksymację o ostaci afinicznej. W celu uzyskania liniowej aroksymacji systemu nieliniowego w unkcie racy o niezerowych wsółrzędnych można osłużyć się oisanym oniżej mechanizmem zaczerniętym z racy []. Przyjmując ostać dynamiki systemu (): ( ) ( ) xɺ = f x + G x u () jego liniowa aroksymacja xɺ = Ax + Bu w unkcie x = x może zostać wyznaczona z nastęujących zależności (), (3). ( ) B = G x () ( x ) x f ( x ) fi i ai = fi ( x ) + x, x 0 x gdzie: a i jest i-tym wierszem macierzy A; jest gradientem; i ( ) wierszem macierzy f ( x ). (3) f x jest i-tym Na odstawie: Żak S.H. (003). Systems and Control. Oxford University Press. 9

10 Przykład Zakładając, że obiekt nieliniowy oisany jest za omocą: xɺ x 0 u, x = sin ( x + ) cos( x ɺ ) oraz rzyjmując unkt racy x = [0, π/4] jego aroksymację liniową można uzyskać w nastęujący sosób: wyznaczenie macierzy A: a a a a f f f ( x ) x, x x f f X= X, x x x X= X P = + x = 0.5π [ 0 0.5π ][ 0 ] [ ] ( 0.5π ) [ 0 ] [ 0 0] [ 0 ] [ 0 ] [ 0] [ 0 0] [ 0] [ 0] P [ π ] = = = + = = = + = = a 0 A = = 0 a wyznaczenie macierzy B: 0 0 B = G ( x ) = = cos( 0 ) stąd ostatecznie: xɺ 0 x 0 u x = + 0 x. ɺ 0

11 Zadanie Wykorzystując metodę wnioskowania rozmytego tyu akagi Sugeno oraz mechanizm konstruowania modeli lokalnych zbuduj model rozmyty wahadła z uwzględnieniem dynamiki oraz ograniczeń urządzenia wykonawczego. Przyjmij stoień dokładności modelowania tak, aby wykorzystać maksymalnie dane zawarte w sekcji Parametry techniczne obiektów. Przyjmij nastęujące założenia: wektor stanu dla oisu dynamiki obiektu ma ostać: x = θ α ɺ θ ɺ α ; górne ołożenie równowagi ma wsółrzędną α = 0 ; do sklejania modeli regionalnych wykorzystaj trójkątne funkcje rzynależności. W trakcie realizacji zadania rozważ nastęujące unkty racy dla modeli regionalnych: x = [0,0,0,0] ; x = [0,90,0,0] ; x = [0,80,0,0]. Czy zaroonowane unkty racy nadają się do konstrukcji modeli regionalnych w oarciu, o które zarojektowane zostaną regionalne rawa sterowania? Porównaj, zarówno ilościowo jak i jakościowo, działanie i dokładność zbudowanego modelu rozmytego względem modelu analitycznego oisanego w sekcji Ois obiektu sterowania. Zaroonuj stosowne miary oceny. Zadanie Zarojektuj wieloobszarowy regulator zaewniający stabilizację wahadła w górnym ołożeniu równowagi rzy zachowaniu dobrej jakości jego racy. Zadanie wykonaj w taki sosób, aby zmaksymalizować kąt wychylenia oczątkowego wahadła α, dla którego system sterowania będzie w stanie dorowadzić i utrzymać wahadło w górnym ołożeniu równowagi. Jednocześnie zadbaj o to, aby moduł kąta wychylenia ramienia wahadła θ był jak najmniejszy. Przy rojektowaniu regulatorów regionalnych wykorzystaj technologię rojektowania regulatorów LQR oraz ICLQR (IC integral control). Rozocznij

12 roces od górnego, niestabilnego, unktu równowagi stosujac LQR. Rozważ zasadność zastosowania metody ICLQR do syntezy ozostałych regulatorów regionalnych. W ierwszych krokach, rojektując system w oarciu o LQR rzyjmij orientacyjne wartości macierzy wag dla górnego obszaru równe:.e e 0 0 Q = ; R = [.33e 4 ]; N = e e 4 Porównaj działanie regulatora liniowego zarojektowanego dla celu stabilizacji wahadła w górnym ołożeniu równowagi oraz działanie regulatora rozmytego dla różnych warunków oczątkowych wychylenia wahadła α. Oceń stabilność otrzymanych regionalnych układów sterowania. Zadanie 3 Wykorzystując udostęnione orogramowanie oraz bazę srzętową laboratorium, rzetestuj zarojektowany w wyniku realizacji zadania nr system sterowania. Czy działa on dokładnie tak jak w symulacjach? Skąd wynikają ewentualne różnice? Zadanie 4 zadanie dla chętnych (unktowane dodatkowo) Przedyskutuj stabilność rozmytego układu sterowania. Dlaczego klasyczne metody nie srawdzają się rzy ocenie stabilności tego tyu układu? Czy znane są Ci metody oceny stabilności dla tego tyu układów regulacji. Na czym one olegają? Jak zastosować je do zarojektowanego w zadaniu drugim układu?

13 Parametry techniczne obiektów Wahadło naędzane rzez duży silnik Symbol Descrition Value Unit Motor: R m Motor armature resistance ohms K t Motor torque constant N.m K m Motor back-emf constant (same as K t in SI units) V/(rad/s) J m Moment of inertia of motor rotor. 9.64e-6 kg.m J eq Equivalent moment of inertia about motor shaft.3e-4 kg.m ivot axis. Pendulum Arm: M arm Mass of the arm kg r Length of arm ivot to endulum ivot m B eq Arm viscous daming N.m/(rad/s) Pendulum Link: M Mass of the endulum link and weight combined kg L otal length of endulum. 0.9 m l Length of endulum center of mass from ivot m J Pendulum moment of inertia about its ivot axis..0e-4 kg.m B Pendulum viscous daming N.m/(rad/s) Pulse-Width Modulated Amlifier: V max PWM amlifier maximum outut voltage 4 V PWM amlifier maximum outut current 5 A K w PWM amlifier gain.3 V/V Wahadło naędzane rzez mały silnik Symbol Descrition Value Unit Motor: R m Motor armature resistance ohms K t Motor torque constant N.m K m Motor back-emf constant (same as K t in SI units) V/(rad/s) J m Moment of inertia of motor rotor..80e-6 kg.m J eq Equivalent moment of inertia about motor shaft.84e-4 kg.m ivot axis. Pendulum Arm: M arm Mass of the arm kg r Length of arm ivot to endulum ivot m B eq Arm viscous daming N.m/(rad/s) Pendulum Link: M Mass of the endulum link and weight combined kg L otal length of endulum. 0.9 m l Length of endulum center of mass from ivot m J Pendulum moment of inertia about its ivot axis..70e-4 kg.m B Pendulum viscous daming N.m/(rad/s) Pulse-Width Modulated Amlifier: V max PWM amlifier maximum outut voltage 4 V PWM amlifier maximum outut current 5 A K w PWM amlifier gain.3 V/V 3