a 1, a 2, a 3,..., a n,...

III. Ciągi liczbowe. 1. Definicja ciągu liczbowego. Definicja 1.1. Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R i oznaczamy przez {a n }. Używamy zapisu a n = a(n). Ciąg {a n } można też zapisywać w postaci a 1, a 2, a 3,..., a n,... Liczbę a n nazywamy n-tym wyrazem ciągu {a n }. Przykłady określania ciągów liczbowych:. wzorem, np. a n = 3 n, b n = n 1 n, c n = 1 + 2 2 + 3 3 +... + n n ; rekurencyjnie, np. a 1 = 3, a n+1 = a n + 2 ciąg arytmetyczny, b 1 = 1, b n+1 = 3b n ciąg geometryczny; opisowo, np. a n - n-ta liczba pierwsza. 1

Przykłady ciągów liczbowych:. ciąg liczb parzystych dodatnich a n = 2n; ciąg liczb nieparzystych dodatnich a n = 2n 1; ciąg arytmetyczny a n = p + (n 1)d (p - pierwszy wyraz ciągu, d - różnica ciągu); ciąg geometyczny a n = pq n 1 (p - pierwszy wyraz ciągu, q - iloraz ciągu); ciąg stały a n = c (c - dowolna liczba); a n = ( 1 + 1 n) n; 1, +1, 1, +1,..., ( 1) n ; 1, 2, 3 3, 4 4,..., n n. 2. Monotoniczność i ograniczoność ciągu liczbowego. Definicja 2.1. Mówimy, że ciąg {a n } jest: rosnący, jeżeli dla każdego n N a n < a n+1 niemalejący, jeżeli dla każdego n N malejący, jeżeli dla każdego n N a n a n+1 a n > a n+1 nierosnący, jeżeli dla każdego n N a n a n+1. 2

Ciągi rosnące, niemalejące, malejące i nierosnące nazywamy ciągami monotonicznymi. Można mówić o ciągach monotonicznych od pewnego miejsca tj. pewnego numeru n 0 N. Uwaga. Monotoniczność dowolnego ciągu {a n } można ustalić badając znak różnicy a n+1 a n, a ciągu {b n } o wyrazach dodatnich porównując iloraz z liczbą 1. b n+1 b n Przykład. Sprawdzimy, że ciąg a n = n 2 n jest rosnący. Otrzymujemy a n+1 a n = (n+1) 2 (n+1) (n 2 n) = n 2 +2n+1 n 1 n 2 +n = 2n > 0 dla wszystkich n N. Zatem a n < a n+1 dla n N. Przykład. Sprawdzimy, że ciąg b n = n! n n n N badamy iloraz b n+1 b n. Otrzymujemy b n+1 b n = jest malejący. Ponieważ b n > 0 dla wszystkich (n + 1)! nn (n + 1) (n+1) n! = dla wszystkich n N. Zatem b n+1 < b n dla n N. ( ) n n < 1, n + 1 Definicja 2.2. Ciąg {a n } nazywamy ograniczonym, jeżeli istnieją takie liczby m 1 i m 2, że dla wszystkich n N m 1 a n m 2, lub równoważnie, jeżeli istnieje taka liczba M > 0, że dla wszystkich n N a n M. 3

3. Granica ciągu liczbowego. Definicja 3.1. Liczbę g nazywamy granicą ciągu {a n }, jeżeli dla dowolnego ɛ > 0 można dobrać taką liczbę n 0 N, że dla każdego n > n 0 zachodzi nierówność zapisywana równoważnie w postaci a n g < ɛ, g ɛ < a n < g + ɛ. Mówimy, że ciąg {a n } jest zbieżny do granicy g, co zapisujemy lim a n = g. n Ciągi posiadające granicę nazywamy ciągami zbieżnymi. Twierdzenie 3.2. (o jednoznaczności granicy) Ciąg zbieżny nie może mieć dwóch różnych granic. Przykłady ważnych ciągów zbieżnych: lim n c = c; lim n 1 n = 0; lim n q n = 0 dla q < 1; lim n n a = 1 dla a > 0;; lim n n n = 1; lim n ( 1 + 1 n) n = e 2, 718281 4

Przykład. n (a) Wykażemy, że lim n n+1 = 1. Zgodnie z definicją należy pokazać, że n ɛ > 0 n 0 N N n > n 0 1 < ɛ. n + 1 Weźmy dowolny ɛ > 0. Nierówność epsilonową n względu na n. Otrzymujemy n+1 n n + 1 1 < ɛ n > 1 ɛ. ɛ 1 < ɛ rozwiązujemy ze Zatem przyjmując n 0 := [ 1 ɛ ɛ + 1], gdzie symbol [x] oznacza część całkowitą z liczby x, otrzymamy, że dla wszystkich n > n 0 zachodzi nierówność n 1 < ɛ. n + 1 (b) Rozważmy ciąg a n = 2 ( 1) n. Mamy a 2n = 2, a 2n 1 = 2 dla n N. Przypuśćmy, że ciąg {a n } ma granicę g < 2. Wtedy przyjmując ɛ = 2 g 2 otrzymujemy, że żaden wyraz a 2n nie spełnia nierówności a 2n g < ɛ, czyli g nie może być granicą ciągu {a n }. Podobnie pokazuje się, że granicą nie może być żadna liczba g 2. Zatem granica ciągu {a n } nie istnieje. 5

4. Twierdzenia o ciągach zbieżnych. Twierdzenie 4.1. (o jednoznaczności granicy) Ciąg zbieżny nie może mieć dwóch różnych granic. Twierdzenie 4.2. Ciąg zbieżny jest ograniczony. Twierdzenie 4.3. Ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny. Twierdzenie 4.4. (o arytmetyce granic) Załóżmy, że ciągi {a n } i {b n } są zbieżne, tzn. lim n a n = a i lim n b n = b. Wówczas 1. lim n (a n + b n ) = lim n a n + lim n b n = a + b; 2. lim n (a n b n ) = lim n a n lim n b n = a b; 3. lim n (c a n ) = c lim n a n = c a; 4. lim n (a n b n ) = lim n a n lim n b n = a b; 5. lim n a n bn = lim n a n lim n b n = a b, o ile b n 0; 6. lim n (a n ) p = (lim n a n ) p, gdzie p Z \ {0}; 7. lim n k a n = k lim n a n, gdzie k N \ {1}. W dwóch ostatnich wzorach zakłada się, że wyrażenia po obu stronach równości mają sens. Przykład. ( Obliczymy lim n n n n 4 +5n 1 3n 4 2n + 4n +3 n 2 8 n +7 ). n 6

Twierdzenie 4.5. (o trzech ciągach) Jeżeli ciągi {a n }, {b n }, {c n } spełniają warunki: (i) a n b n c n dla n n 0 (n 0 - pewna liczba naturalna); (ii) lim n a n = lim n c n = g, to lim n b n = g. Przykład. Obliczymy lim n n 2 n + 3 n + 5 n. Twierdzenie 4.6. Jeżeli lim n a n = 0 i ciąg b n jest ograniczony, to lim (a n b n ) = 0. n Przykład. Obliczymy lim n n sin n n 2 +1. Twierdzenie 4.7. Ciąg e n = ( 1 + 1 n) n jest rosnący i ograniczony z góry. Wniosek 4.7. Ciąg e n = ( 1 + 1 n) n jest zbieżny. Definicja 4.8. Granicę ciągu {e n } oznaczamy przez e, tj. lim n ( 1 + 1 n) n = e. 7

5. Ciągi rozbieżne do nieskończoności. Definicja 5.1. Mówimy, że ciąg {a n } jest rozbieżny do nieskończoności, co zapisujemy lim a n =, n jeżeli dla dowolnej liczby M można dobrać taką liczbę naturalną n 0, że dla wszystkich n > n 0 zachodzi nierówność a n > M. Mówimy, że ciąg {a n } jest rozbieżny do minus nieskończoności, co zapisujemy lim a n =, n jeżeli dla dowolnej liczby M można dobrać taką liczbę naturalną n 0, że dla wszystkich n > n 0 zachodzi nierówność a n < M. Jeżeli ciąg {a n } jest rozbieżny do + lub, to mówimy, że ciąg ten ma granicę niewłaściwą. Przykład. Pokażemy, że ciąg a n = n 3 + 2 jest rozbieżny do +. Weźmy dowolną liczbę M. Należy tak dobrać n 0, aby dla n > n 0 zachodziła nierówność n 3 + 2 > M. Mamy n 3 + 2 n + 2 > M o ile n > M 2. Wystarczy więc przyjąć n 0 = [M 1] Twierdzenie 5.2. 1. Jeżeli a n 0 i a n > 0, to 1 a n 2. Jeżeli a n 0 i a n < 0, to 1 a n 3. Jeżeli a n ±, to 1 a n 0. +.. 4. Jeżeli a n + i b n b > 0, to a n b n +. 5. Jeżeli a n + i b n b < 0, to a n b n. 6. Jeżeli a n + i b n +, to a n + b n +. 7. Jeżeli a n + i {b n } jest ograniczony, to a n + b n +. 8

Uwaga. Jeżeli c n = a n b n oraz a n 0 i b n +, to bezpośrednio z takiej postaci ciągu {c n } nie można nic wywnioskować na temat granicy tego ciągu. O ciągu {c n } mówimy, że jest ciągiem typu 0 lub nieoznaczonością typu 0. Wyróżniamy następujące symbole nieoznaczone : 0,,, 0 0, 00, 1, 0. Przykład. Obliczymy lim n ( n 2 + n n). Twierdzenie 5.3. (o dwóch ciągach) Załóżmy, że ciągi {a n } i {b n } spełniają nierówność a n b n dla n n 0, gdzie n 0 - pewna liczba naturalna. 1. Jeżeli lim n a n = +, to lim n b n = +. 2. Jeżeli lim n b n =, to lim n a n =. Przykład. ( Wykażemy, że lim n 1 1 + 1 2 + 1 ) 3 +... + 1 n = +. Twierdzenie 5.4. Jeżeli a n > 0 dla n N i lim n a n = +, to lim n (1 + 1 a n ) an = e. Przykład. ( Obliczymy lim 3n+1 n. n 3n+4) 9

W poprzednim materiale proszę zwrócić uwagę na stronę 4, Twierdzenie 4.4 (o arytmetyce granic) i Przykład po nim następujący. Ważne jest też Twierdzenie 4.5 (o trzech ciągach) i Przykład oraz Twierdzenie 5.2 o symbolach nieoznaczonych i Uwaga po nim. O jednej z najważniejszych stałych w matematyce mówi Twierdzenie 5.4. A w następnej części pochodzącej z książki Mariana Gewerta i Zbigniewa Skoczylasa ten sam materiał jest jeszcze raz podany w Twierdzeniach o numerach 1.3.4, 1.3.7, 1.3.12, 1.4.3, 1.4.5, 1.4.6.

Ciagi liczbowe i ich własności. Ciagi liczbowe. Granica ciagu. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010 Ciagi liczbowe i ich własności. str. 1/30

Ciagi Ciagiem nazywamy każdą funkcjęf, której dziedziną jest zbiór liczb naturalnych N (lub zbiór N 0 = N {0}) (ciąg nieskończony) f: N A (lubf: N 0 A) lub skończony początkowy podzbiór zbioru liczb naturalnych {1,2,3,...,k} (ciąg skończony). f:{1,2,3,...,k} A Wartość funkcjif dla argumentun,f(n), nazywamyn-tym wyrazem ciagu i oznaczamy symbolema n : a n =f(n). AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010 Ciagi liczbowe i ich własności. str. 2/30

Ciagi liczbowe Ciąg o wyrazacha n zapisujemy symbolicznie jako(a n ). Wyrazami ciągu mogą być elementy dowolnego zbioru A. Jeśli zbiór A jest zbiorem liczb rzeczywistych, tj. A=R, (lub zespolonych, tj. A=C), to ciąg nazywamy ciagiem liczbowym. Jeżeli A=R, to a 2 a n a 1 1 2 3 4 5 n AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010 Ciagi liczbowe i ich własności. str. 3/30

Sposoby opisu ciagów liczbowych: Wzór ogólny - podaje zależność międzyn-tym wyrazem ciągu a jego numeremn(wskaźnikiemn), np. a n = n+2 2 5n, b n =( 1) nn2 2 n, c n =2 n, d n =5+3n. AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010 Ciagi liczbowe i ich własności. str. 4/30

Sposoby opisu ciagów liczbowych: Wzór rekurencyjny (indukcyjny) - wyraza n ciągu zostaje wyrażony przy pomocy poprzednich wyrazów tego ciągu, przy czym musi zostać podany wyraz pierwszya 1, np. a 1 =3 a n+1 =a n +2n+1 u 0 =0 u 1 =1 ciąg Fibonacciego. u n+2 =u n +u n+1, AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010 Ciagi liczbowe i ich własności. str. 5/30

Sposoby opisu ciagów liczbowych: Nie każdy ciąg liczbowy daje się przedstawić przy pomocy wzorów (ogólnych lub rekurencyjnych). Istnieją ciągi, które możemy określać opisowo, np.a n =n-ta liczba po przecinku w rozwinięciu dziesiętnym liczbyπ. π=3,141592653589... AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010 Ciagi liczbowe i ich własności. str. 6/30

Ciagi ograniczone Ciąg(a n ) jest ograniczony z dołu, jeżeli a n m R n N a n m. m 1 2 3 4 5 6 7 n AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010 Ciagi liczbowe i ich własności. str. 7/30

Ciagi ograniczone Ciąg(a n ) jest ograniczony z góry, jeżeli M R n N a n M. M a n 1 2 3 4 5 6 7 n AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010 Ciagi liczbowe i ich własności. str. 8/30

Ciagi ograniczone Ciąg(a n ) jest ograniczony, jeżeli m,m R n N m a n M. M a n m 1 2 3 4 5 6 7 n Ciąg jest ograniczony def M R n N a n M. AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010 Ciagi liczbowe i ich własności. str. 9/30

Ciag rosnacy Ciąg(a n ) nazywamy rosnacym, jeżeli n N a n+1 >a n tzn. każdy następny wyraz jest większy od poprzedniego. a n 1 2 3 4 5 6 7 n AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010 Ciagi liczbowe i ich własności. str. 10/30

Ciag niemalejacy Ciąg(a n ) nazywamy niemalejacym, jeżeli n N a n+1 a n każdy następny wyraz jest nie mniejszy od poprzedniego (większy bądź równy). a n 1 2 3 4 5 6 7 n AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010 Ciagi liczbowe i ich własności. str. 11/30

Ciag malejacy Ciąg(a n ) nazywamy malejacy, jeżeli n N a n >a n+1 tzn. każdy następny wyraz jest mniejszy od poprzedniego. a n 1 2 3 4 5 6 7 n AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010 Ciagi liczbowe i ich własności. str. 12/30

Ciag nierosnacy Ciąg(a n ) nazywamy nierosnacym, jeżeli n N a n a n+1 każdy następny wyraz jest nie większy od poprzedniego (mniejszy bądź równy). a n 1 2 3 4 5 6 7 n AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010 Ciagi liczbowe i ich własności. str. 13/30

Ciag stały Ciąg(a n ) nazywamy stałym, jeżeli n N a n+1 =a n tzn. wszystkie wyrazy ciągu są takie same. a n 1 2 3 4 5 6 7 n AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010 Ciagi liczbowe i ich własności. str. 14/30

Ciagi monotoniczne Ciąg stały jest nierosnący i niemalejący jednocześnie. Ciąg nierosnący lub niemalejący nazywamy monotonicznym, ciąg rosnący lub malejący nazywamy ściśle monotonicznym. AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010 Ciagi liczbowe i ich własności. str. 15/30

Monotoniczność ciagu Aby zbadać monotoniczność ciagu wyznaczamy różnicę a n+1 a n i badamy jej znak. Ponadto monotoniczność ciągu(b n ) o wyrazach dodatnich możemy ustalić porównując znak ilorazu b n+1 b n z 1. a n+1 a n b n+1 b n Ciag >0 >1 rosnący <0 <1 malejący 0 1 niemalejący 0 1 nierosnący =0 =1 stały AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010 Ciagi liczbowe i ich własności. str. 16/30

Granica ciagu Liczbęg spełniającą dla danego ciągu nieskończonego(a n ) warunek: ε>0 n0 N n N [n>n 0 a n g <ε] nazywamy granica właściwa tego ciagu, co symbolicznie zapisujemy w postacilim n a n =g. lim a n n=g def ε>0 n0 N n N [n>n 0 a n g <ε] AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010 Ciagi liczbowe i ich własności. str. 17/30

Granica ciagu g+ε g g ε a n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 n Granica ciągu jest wyznaczona jednoznacznie. Z definicji wynika, że liczbag jest granicą ciągu(a n ), jeśli prawie wszystkie wyrazy tego ciągu (tzn. wszystkie wyrazy ciągu nieskończonego bez pewnej liczby jego początkowych wyrazów) należą do przedziału(g ε,g+ε). Mówiąc inaczej dla coraz większychn, różnica pomiędzy liczbąg, a wyrazem a n jest coraz mniejsza. AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010 Ciagi liczbowe i ich własności. str. 18/30

Ciag rozbieżny do+ Ciąg nazywamy rozbieżnym do+ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczbym prawie wszystkie wyrazy tego ciągu są większe odm. lim a n n=+ def M R n0 N n N [n>n 0 a n >M]. Z definicji wynika, że ciąg jest rozbieżny do nieskończoności, jeśli jego kolejne wyrazy są coraz większe. AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010 Ciagi liczbowe i ich własności. str. 19/30

Ciag rozbieżny do+ a n M 1 2 3 4 5 6 7 8 9 n AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010 Ciagi liczbowe i ich własności. str. 20/30

Ciag rozbieżny do Ciąg(a n ) nazywamy rozbieżnym do wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczbym prawie wszystkie wyrazy tego ciągu są mniejsze odm. lim a n n= def M R n0 N n>n0 n N [n>n 0 a n <M]. Z definicji wynika, że ciąg jest rozbieżny do minus nieskończoności, jeśli jego kolejne wyrazy są coraz mniejsze i ujemne. AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010 Ciagi liczbowe i ich własności. str. 21/30

Ciagi zbieżne i rozbieżne Ciag majacy granicę właściwa nazywamy ciagiem zbieżnym. Ciag nie majacy granicy właściwej nazywamy ciagiem rozbieżnym. AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010 Ciagi liczbowe i ich własności. str. 22/30

Podciag ciagu Niech(a n ) będzie dowolnym ciągiem i(k n ) będzie rosnącym ciągiem liczb naturalnych. Podciągiem ciągu(a n ) nazywamy ciąg(b n ) określony wzorem def b n =a kn,n N. Twierdzenie: Każdy podciąg ciągu zbieżnego jest zbieżny do tej samej granicy. Każdy podciąg ciągu rozbieżnego do± jest rozbieżny do tej samej granicy. AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010 Ciagi liczbowe i ich własności. str. 23/30

Twierdzenia o ciagach zbieżnych Każdy ciąg zbieżny jest ograniczony. Każdy ciąg ograniczony i monotoniczny jest zbieżny. Granicą ciągu stałego o wyrazach równychajest liczbaa. AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010 Ciagi liczbowe i ich własności. str. 24/30

Twierdzenia o ciagach zbieżnych Jeżeli ciągi(a n ) i(b n ) są zbieżne, przy czym lim a n=ai n + lim b n=b, to zbieżne są też ciągi(a n +b n ),(a n b n ), n + (a n b n ), a przy założeniu, żeb 0 ib n 0 jest zbieżny ciąg ( ) an b n i zachodzą związki: lim (a n+b n )=a+b. n + lim (a n b n )=a b. n + lim (a n b n )=a b. n + a n lim = a n + b n b. AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010 Ciagi liczbowe i ich własności. str. 25/30

Twierdzenia o ciagach zbieżnych Dla dowolnej liczby rzeczywistejk R i ciągu(a n ) o granicy a zachodzi: lim k a n=k a. n + Twierdzenie o trzech ciagach: Jeżeli ciągi(a n ) i(b n ) są zbieżne do tej samej granicyg i jeśli(c n ) jest ciągiem, którego prawie wszystkie wyrazy spełniają zależność:a n c n b n, to ciąg(c n ) jest zbieżny do granicyg. AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010 Ciagi liczbowe i ich własności. str. 26/30

Twierdzenia o ciagach zbieżnych Jeśli Ciąge n = lim a n=±, to n + lim n + 1 a n =0. ( 1+ 1 n) n jest rosnący i ograniczony z góry, a zatem zbieżny. Granicę tego ciągu oznaczamy przeze: ( e= lim 1+ 1 n. n + n) e 2, 71828182845904523536028746965373635497034382159977990 Jeżelilim n a n =0 oraza n 0dlan N, to lim (1+a n n) 1 an =e. AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010 Ciagi liczbowe i ich własności. str. 27/30

Twierdzenia o ciagach zbieżnych Granice niektórych ciagów: 1. lim n + a=a. 2. lim n + 3. lim n + 4. lim n + 5. lim n + 6. lim n + 1 n =0. n a=1, dlaa>0. n n=1. a n =0, dlaa>0. n! a n nk=+, dlaa>1ik>1. AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010 Ciagi liczbowe i ich własności. str. 28/30

Twierdzenia o ciagach zbieżnych Granice niektórych ciagów: ( 1+ n) 1 n =e. 7. lim n + 8. lim n + 9. lim n + 10. lim n + an = ( 1 1 n) n = 1 e. ( 1+ a n) n=e a, dlaa R. 0, gdya (0,1) 1, gdya=1. +, gdya>1 AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010 Ciagi liczbowe i ich własności. str. 29/30

Dziękuję za uwagę AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010 Ciagi liczbowe i ich własności. str. 30/30

Szeregi liczbowe Szeregi liczbowe i ich kryteria zbieżności Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Automatyka i Robotyka, sem. I, Białystok, rok. akad. 2008/2009 Szeregi liczbowe str. 1/25 c Małgorzata Wyrwas

Szereg liczbowy Niech (a n ) będzie ciągiem liczbowym. SZEREGIEM liczbowym o wyrazach a n nazywamy wyrażenie postaci a 1 + a 2 + a 3 + = n=1 a n. Automatyka i Robotyka, sem. I, Białystok, rok. akad. 2008/2009 Szeregi liczbowe str. 2/25 c Małgorzata Wyrwas

Sumy Sumy częściowe szeregu S 1 = a 1 S 2 = a 1 + a 2. S n = a 1 + a 2 + + a n n=1 a n nazywamy sumami częściowymi szeregu n=1 a n. Automatyka i Robotyka, sem. I, Białystok, rok. akad. 2008/2009 Szeregi liczbowe str. 3/25 c Małgorzata Wyrwas

Sumy częściowe szeregu n=1 a n Liczbę a n nazywamy n-tym wyrazem szeregu, a sumę S n def = a 1 + a 2 + + a n nazywamy n-ta suma częściowa szeregu a n. Ciąg n=1 (S n ) będziemy nazywać ciagiem sum częściowych powstałych z ciągu (a n ). Automatyka i Robotyka, sem. I, Białystok, rok. akad. 2008/2009 Szeregi liczbowe str. 4/25 c Małgorzata Wyrwas

Przykład Weźmy następujący szereg ( 1 n=1 n 1 n + 1 Wypiszmy wybrane sumy częściowe tego szeregu ). S 1 = 1 2 S 2 = 1 1 2 + 1 2 1 3 = 2 3. S n = 1 1 2 + 1 2 1 3 +... + 1 n 1 n + 1 = 1 1 n + 1. Automatyka i Robotyka, sem. I, Białystok, rok. akad. 2008/2009 Szeregi liczbowe str. 5/25 c Małgorzata Wyrwas

Szereg zbieżny i rozbieżny Szereg liczbowy n=1 a n nazywamy zbieżnym, jeżeli jego ciąg sum częściowych (S n ) jest ciągiem zbieżnym (ma granicę skończoną), tzn. lim S n = S. n + Liczbę S nazywamy suma tego szeregu, tzn. n=1 a n = a 1 + a 2 + a 3 + = S. Jeżeli ciąg sum częściowych (S n ) jest rozbieżny (tzn. ma granicę niewłaściwą + lub albo nie ma granicy) to mówimy, że szereg jest rozbieżny. Automatyka i Robotyka, sem. I, Białystok, rok. akad. 2008/2009 Szeregi liczbowe str. 6/25 c Małgorzata Wyrwas

Reszta szeregu n-ta reszta szeregu zbieżnego n=1 a n nazywamy liczbę R n def = k=n+1 a k Uwaga. Zmiana skończonej liczby początkowych wyrazów szeregu nie ma wpływu na jego zbieżność. Uwaga. Jeżeli szereg ma wyrazy nieujemne, to jest zbieżny albo rozbieżny do +. Automatyka i Robotyka, sem. I, Białystok, rok. akad. 2008/2009 Szeregi liczbowe str. 7/25 c Małgorzata Wyrwas

Rozważmy szereg n=1 Przykład ( 1 n 1 ) n + 1 Wtedy n-ta suma częściowa tego szeregu ma postać (1) S n = 1 1 2 + 1 2 1 3 +... + 1 n 1 n + 1 = 1 1 n + 1. ( Ponieważ n lim S n = n lim 1 1 ) = 1, więc ( n + 1 1 n 1 ) = 1, czyli szereg (1) jest zbieżny. n + 1 n=1 Automatyka i Robotyka, sem. I, Białystok, rok. akad. 2008/2009 Szeregi liczbowe str. 8/25 c Małgorzata Wyrwas

Rozważmy szereg Przykład n=1 1 (2) Wtedy n-ta suma częściowa tego szeregu ma postać S n = 1 + 1 +... + 1 = n. Ponieważ n lim S n = n lim n = +, więc szereg (2) jest rozbieżny. Automatyka i Robotyka, sem. I, Białystok, rok. akad. 2008/2009 Szeregi liczbowe str. 9/25 c Małgorzata Wyrwas

Warunek konieczny zbieżności szeregów liczbowych Jeżeli szereg liczbowy n=1 a n jest zbieżny, to lim a n n = 0. Uwaga. Jeżeli warunek konieczny nie jest spełniony, tzn. n lim a n 0 albo n lim a n nie istnieje, to szereg n=1 a n jest rozbieżny. Jeżeli warunek konieczny jest spełniony, to nie wiemy czy szereg jest zbieżny czy rozbieżny. Automatyka i Robotyka, sem. I, Białystok, rok. akad. 2008/2009 Szeregi liczbowe str. 10/25 c Małgorzata Wyrwas

Przykład Rozważmy szereg n=1 n 2n + 1. (3) n Wówczas n lim 2n + 1 = 1, więc warunek konieczny 2 nie jest spełniony, zatem szereg (3) jest rozbieżny. Automatyka i Robotyka, sem. I, Białystok, rok. akad. 2008/2009 Szeregi liczbowe str. 11/25 c Małgorzata Wyrwas

Przykład Rozważmy szereg n=1 1 n. (4) 1 Ponieważ n lim n = 0, więc warunek konieczny jest spełniony, ALE n-ta suma częściowa szeregu (4) ma postać S n = 1+ 1 + 1 + + 1 1 + 1 + + 1 1 = n = n. 2 3 n n n n n Wówczas lim n S n = +, więc szereg (3) jest rozbieżny. Automatyka i Robotyka, sem. I, Białystok, rok. akad. 2008/2009 Szeregi liczbowe str. 12/25 c Małgorzata Wyrwas

Szereg geometryczny Szeregiem geometrycznym nazywamy szereg postaci n=1 a 1 q n 1. (5) Szereg geometryczny jest sumą wyrazów ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie a 1 i ilorazie q. Automatyka i Robotyka, sem. I, Białystok, rok. akad. 2008/2009 Szeregi liczbowe str. 13/25 c Małgorzata Wyrwas

Zbieżność szeregu geometrycznego Jeżeli a 1 = 0, to szereg ma sumę równą 0. n=1 Jeżeli a 1 0 i q 1, to szereg rozbieżny. a 1 q n 1 jest zbieżny i n=1 Jeżeli a 1 0 i q < 1, to szereg zbieżny i n=1 a 1 q n 1 jest a 1 q n 1 jest S n = a 1 + a 1 q + a 1 q 2 + a 1 q n 1 = a 1 1 q n 1 q. 1 q n Wtedy n lim S n = n lim a 1 1 q gdy q <1 ===== a 1 1 q. Automatyka i Robotyka, sem. I, Białystok, rok. akad. 2008/2009 Szeregi liczbowe str. 14/25 c Małgorzata Wyrwas

Szereg harmoniczny Szereg harmoniczny to szereg postaci n=1 1 n. (6) Szereg harmoniczny rzędu p (szereg Dirichleta) to szereg postaci 1 n. (7) p n=1 Twierdzenie. Szereg harmoniczny rzędu p > 1 jest zbieżny. Twierdzenie. Szereg harmoniczny rzędu p 1 jest rozbieżny. Automatyka i Robotyka, sem. I, Białystok, rok. akad. 2008/2009 Szeregi liczbowe str. 15/25 c Małgorzata Wyrwas

Kryterium całkowe Niech funkcja f : n 0, + ) 0, + ) będzie nierosnąca, gdzie n 0 N. Wówczas szereg szereg n=n 0 f(n) jest zbieżny całka n=n 0 f(n) jest rozbieżny całka n 0 n 0 f(x)dx jest zbieżna. def Uwaga. Reszta tego szeregu, to jest wyrażenie R n = spełnia oszacowanie: n+1 f(x)dx R n f(x)dx jest rozbieżna. n f(x)dx. Automatyka i Robotyka, sem. I, Białystok, rok. akad. 2008/2009 i=n+1 f(i), Szeregi liczbowe str. 16/25 c Małgorzata Wyrwas

Kryterium porównawcze zbieżności szeregów Jeżeli mamy dwa szeregi liczbowe szereg n=1 n=1 a n, n=1 b n i b n jest zbieżny oraz od pewnego miejsca n 0 dla każdego n N, takiego że n n 0 spełniona jest nierówność 0 a n b n, to szereg n=1 a n również jest zbieżny. Automatyka i Robotyka, sem. I, Białystok, rok. akad. 2008/2009 Szeregi liczbowe str. 17/25 c Małgorzata Wyrwas

Kryterium porównawcze rozbieżności szeregów Jeżeli mamy dwa szeregi liczbowe szereg n=1 n=1 a n, n=1 b n i a n jest rozbieżny oraz od pewnego miejsca n 0 dla każdego n N, takiego że n n 0 spełniona jest nierówność 0 a n b n, to szereg n=1 b n również jest rozbieżny. Automatyka i Robotyka, sem. I, Białystok, rok. akad. 2008/2009 Szeregi liczbowe str. 18/25 c Małgorzata Wyrwas

Kryterium d Alemberta Niech lim n a n+1 a n = g. Wtedy szereg n=1 a n jest zbieżny, jeżeli g < 1. jest rozbieżny, jeżeli g > 1. W przypadku, kiedy g = 1, to zbieżność szeregu należy badać za pomocą innego kryterium, ponieważ z tej informacji nie wynika zbieżność ani rozbieżność szeregu. Automatyka i Robotyka, sem. I, Białystok, rok. akad. 2008/2009 Szeregi liczbowe str. 19/25 c Małgorzata Wyrwas

Kryterium Cauchye go n Niech n lim an = g. Wtedy szereg liczbowy n=1 jest zbieżny, jeżeli g < 1. jest rozbieżny, jeżeli g > 1. Jeżeli g = 1, to kryterium nie rozstrzyga zbieżności lub rozbieżności. a n Automatyka i Robotyka, sem. I, Białystok, rok. akad. 2008/2009 Szeregi liczbowe str. 20/25 c Małgorzata Wyrwas

Szereg naprzemienny Szereg liczbowy postaci n=1 ( 1) n a n, (8) gdzie dla każdego n N a n 0 nazywamy naprzemiennym. Przykład. Szereg postaci ( 1) n+1 = 1 1 n=1 n 2 + 1 3 1 +. jest przykładem 4 szeregu naprzemiennego. Będziemy nazywać go szeregiem anharmonicznym. Automatyka i Robotyka, sem. I, Białystok, rok. akad. 2008/2009 Szeregi liczbowe str. 21/25 c Małgorzata Wyrwas

Kryterium Leibniza Jeżeli mamy dany szereg naprzemienny ( 1) n a n, taki że spełnione są warunki: ciąg (a n ) jest nierosnący, lim a n n = 0, to szereg jest zbieżny. n=1 Uwaga. Z kryterium Leibniza wynika, że szereg anharmonicznym ( 1) n+1 = 1 1 n 2 + 1 3 1 +. jest zbieżny ponieważ 4 n=1 ciąg a n = 1 n jest ciągiem malejącym dążącym do zera. Automatyka i Robotyka, sem. I, Białystok, rok. akad. 2008/2009 Szeregi liczbowe str. 22/25 c Małgorzata Wyrwas

Zbieżność bezwzględna szeregów Szereg liczbowy n=1 a n nazywamy szeregiem bezwzględnie zbieżnym, jeżeli szereg (bezwzględnych wartości) n=1 a n jest zbieżny. Szereg liczbowy, który jest zbieżny a nie jest bezwzględnie zbieżny nazywamy warunkowo zbieżnym. Twierdzenie. Jeżeli dany szereg liczbowy jest bezwzględnie zbieżny, to jest zbieżny. Automatyka i Robotyka, sem. I, Białystok, rok. akad. 2008/2009 Szeregi liczbowe str. 23/25 c Małgorzata Wyrwas

Podsumowanie Szeregi liczbowe - definicje i podstawowe twierdzenia. Kryteria zbieżności szeregów. Zbieżność bezwzględna szeregów. Automatyka i Robotyka, sem. I, Białystok, rok. akad. 2008/2009 Szeregi liczbowe str. 24/25 c Małgorzata Wyrwas

Dziękuję za uwagę Automatyka i Robotyka, sem. I, Białystok, rok. akad. 2008/2009 Szeregi liczbowe str. 25/25 c Małgorzata Wyrwas