Prace Naukowe Istytutu Maszy, Napędów i Pomiarów Elektryczych Nr 62 Politechiki Wrocławskie Nr 62 Studia i Materiały Nr 28 2008 siliki liiowe tubowe, prądy wirowe, magesy trwałe, metody umerycze, metoda elemetów skończoych Jacek MIKOŁAJEWICZ* DYNAMIKA SILNIKÓW LINIOWYCH TUBOWYCH Siliki liiowe staowią obecie szeroką gałąź maszy elektryczych. W związku z ciągle rosącym zaiteresowaiem tego typu maszyami, a ich proektatów oraz producetów akłada się coraz ostrzesze wymagaia dotyczące zarówo parametrów akościowych ak i fukcoalych tych maszy. Dotyczy to ie tylko staów ustaloych, ale także staów prześciowych. Postulue się, by maszyy takie charakteryzowały się możliwie wysoką sprawością, iezawodością czy też małymi stałymi czasowymi. W artykule przedstawioo model matematyczy oraz oprogramowaie pozwalaące a aalizę parametrów eksploatacyych tego typu przetworików. 1. MODEL MATEMATYCZNY Rozpatryway w artykule liiowy silik sychroiczy o magesach trwałych charakteryzue się symetrią osiową. W układzie współrzędych cylidryczych r, z, ϕ pole elektromagetycze może być rozpatrywae ako dwuwymiarowe; wówczas wielkości opisuące pole ie są fukcą współrzęde ϕ. W przypadku układów osiowosymetryczych wygodie est posługiwać się zastępczym potecałem magetyczym: Φ ( r, z, t) = ρaϕ ( r, z, t) ; przy czym ρ = 2 πr ; A ϕ składowa obwodowa wektorowego potecału magetyczego. Model matematyczy zawisk zachodzących w układzie musi obemować: rówaie opisuące ieustaloe pole elektromagetycze w środowisku przewodzącym ruchomym, zawieraącym magesy trwałe [1,2]: 1 Φ r ν 2π r r + Φ γ Φ ν = + U z 2πr t p + v z Φ + H cr H r * Politechika Pozańska, Piotrowo 3a, 60-965 Pozań, e-mail acek.mikolaewicz@put.poza.pl cz (1)
308 rówaie obwodów elektryczych [1,2]: d Ψ / dt + Ri = u (2) rówaie rówowagi mechaicze z uwzględieiem sił tarcia [2]: przy czym: m 2 2 ( d x / dt ) k ( dx / dt) + F ( x) F ( x,φ) + (3) t o = U p apięcie a elemecie przewodzącym; e H cr, H cz składowe wektora atężeia powściągaącego H c ; ν, γ reluktywość i koduktywość środowiska; x, v położeie i prędkość elemetu ruchomego; i wektor prądów w uzwoeiach; R wektor rezystaci uzwoeń; u wektor apięć zasilaących; Ψ wektor strumiei magetyczych skoarzoych z uzwoeiami; m masa elemetów ruchomych; k t współczyik tarcia; F e, Fo siły: elektromagetycza i obciążeia. 1.1. RÓWNANIA MES Do umerycze implemetaci algorytmu zastosowao metodę elemetów skończoych (MES). W wyiku miimalizaci fukcoału eergetyczego dotyczącego rówaia (1) otrzymue się układ rówań w postaci [1, 2, 3]: S Φ = Θ u + Θm Θw Θ v (4) przy czym: S macierz sztywości; Φ wektor poszukiwaych potecałów węzłowych; Θ u wektor przepływów geerowaych przez prądy w uzwoeiach wzbudzaących; Θ w wektor przepływów geerowaych w wyiku zmia pola w czasie; Θ m wektor przepływów geerowaych przez magesy trwałe; Θ v wektor przepływów geerowaych w wyiku ruchu biegika. W rozważaiach przyęto, że mages trwały est edorodie amagesoway, a ego przeikalość wewętrza est rówa przeikalości powietrza. Pukt pracy zadue się a liiowe części krzywe odmagesowaia rys. 1. B stycza do krzywe odmagesowaia B r H H cz H c Rys. 1. Charakterystyka odmagesowaia magesu Fig. 1. Demagetizatio characteristic of the maget
309 Założoo poadto, że mages ie ulega odmagesowaiu. Przy takich założeiach wpadkowy przepływ pochodzący od magesu moża wyrazić ako iloczy ego wysokości h i zastępczego atężeia powściągaącego H : cz Θ m = hh cz (5) 1.2. WYMUSZENIE NAPIĘCIOWE Rozpatrzmy przetworik z liiowym obwodem magetyczym, zawieraący masywe elemety przewodzące, w których idukuą się prądy wirowe. Załóżmy, że obwód elektryczy przetworika składa się z e gałęzi, przy czym poedycza -ta gałąź zawiera w zwoów o rezystaci R u. Uzwoeie to est skoarzoe ze strumieiem magetyczym postaci: W wyiku dyskretyzaci czasu, pochodą zapisuemy w postaci: ( Ψ t) = ( Ψ Ψ )/ σ t Ψ. Rówaie Kirchhoffa dla te gałęzi moża zapisać w Ψ / t + R i = u (6) u Ψ / t w -te chwili czasowe / 1 ; Ψ 1 = Ψ 1 + (1 σ) ( dψ / dt) przy czym σ parametr wagowy, przymoway z przedziału ( 0, 1. t (7) Uwzględiaąc rówaia wiążące strumieie Ψ skoarzoe z uzwoeiami, ze zmodyfikowaym potecałem magetyczym Φ otrzymuemy rówaie dotyczące poedyczego, -tego uzwoeia w postaci: 1 u. w które: = ( σ 1)( dψ / dt) Dla wszystkich uzwoeń moża zapisać: ( u u ) T Φ + σ trui = σ t w (8) ( u u ) T Φ + σ trui = σ t W (9) 1.3. MODELOWANIE RUCHU Rówaie ruchu, podobie ak układ rówań pola i rówań obwodów elektryczych moża rozwiązywać wykorzystuąc schemat z wagami. Uwzględiaąc zależości:
310 v 1 ( x )/ σ t ( σ 1) v 1 = x (10) 1 ( dv/d ) = ( v v 1) / σ t ( σ 1)( v/ t ) t (11) moża wyzaczyć położeie elemetu ruchomego: x + = x [ m + k ( 1 σ) σ t] 2 [ σ ( F F ) + m( 1 σ) σ ( v/ t) ] ( t) e + o t v m + k σ t m + k σ t t t 1.4. OBLICZANIE SIŁ t + Jeżeli obiekt est umieszczoy w zmieym polu magetyczym, to siłę w rówaiu r r r (12) moża obliczyć wykorzystuąc obętościową gęstość siły F = J B. W układzie o symetrii osiowe ruch odbywa się rówolegle do osi z układu współrzędych, a wektor gęstości prądu posiada tylko składową obwodową, zatem F = J B. Wówczas: F e przy czym: ΩF w płaszczyźie ( ) e= 1 Ωe e= 1 Ωe 2 (12) lef lef γ 1 Φ Φ = 2 π rj ϕbr dω = 2π rj ϕbr dω = d Ω (13) 2π r t Ω F powierzchia przekrou obiektu, a który działa siła F e r, z ; e umer elemetu skończoego, l ef liczba elemetów skończoych w rozpatrywaym obszarze e -tego elemetu. Ω F, a który działa siła; Ω e powierzchia ϕ r 2. WYNIKI BADAŃ Opracoway model został wykorzystay do aalizy wybraych staów pracy liiowego silika sychroiczego o magesach trwałych. Kształt aalizowaego obiektu pokazao a rys. 2 a, a ego wymiary geometrycze przyęte do obliczeń a rys. 2 b, c. Należy edak w tym miescu zauważyć że kształt obiektu ie odpowiada przedstawioym wymiarom, bowiem w celu zwiększeia czytelości rysuku iektóre z ich celowo powiększoo, p. szczelię roboczą czy grubość alumiium.
311 a) b) c) Rys. 2. Kształt i wymiary geometrycze aalizowaego obiektu Fig. 2. Shape ad geometrical dimesios of aalyzed obect Na początku przedstawioo rozkłady pola magetyczego wywołae obecością w układzie magesów trwałych rys. 3. Rozważaia dotyczą stau, w którym zarówo apięcie zasilaia, ak i prędkość biegika są rówe zeru. Rozkłady pokazao dla trzech różych wartości współczyika sz / τ zapełieia biegua ( sz m szerokość magesu; τ podziałka bieguowa). We wszystkich przypadkach zachowao stałą wartość przepływów magesów trwałych. m a) b) c) Rys. 3. Rozkłady pola magetyczego dla współczyika zapełieia podziałki bieguowe rówego: a) 0,125; b) 0,5 i c) 0,9 Fig. 3. Magetic field distributios for coefficiet of fillig pole pitch equal: a) 0,125; b) 0,5 ad c) 0,9 Następie przedstawioo przebiegi czasowe prądów fazowych, siły, położeia i prędkości biegika podczas rozruchu, tz. po załączeiu trófazowego, symetryczego układu apięć zasilaących u i ( t) = 100si( 2π50t + ( i 1) 2π / 3) ; i =1,2,3. Uzyskae przebiegi są często spotykae w literaturze, co wskazue, że opracoway model matematyczy oraz oprogramowaie działaą poprawie.
312 Rys. 4. Przebiegi prądów fazowych, siły, przemieszczeia i prędkości biegika Fig. 4. Waveforms of phase currets, force, displacemet ad velocity of the ruer 3. WNIOSKI Przedstawioy model matematyczy oraz oprogramowaie może służyć ako skutecze arzędzie do aalizy staów statyczych i dyamiczych liiowych silików sychroiczych z magesami trwałymi. LITERATURA [1] MIKOŁAJEWICZ J., Aalysis of the dyamic operatio of the cascade electromagetic coil gu, XIX EPNC, Jue 28-30, 2006, Maribor, SLOVENIA, 9 10. [2] NOWAK L., MIKOŁAJEWICZ J., Field-circuits simulatio of dyamics of tubular liear iductio motor, XXXIX SME, Jue 9-11, 2003, Gdańsk Jurata, 44. [3] NOWAK L., DEMENKO A., MIKOŁAJEWICZ J., RADZIUK K., Pulse-excited trasiet electromagetic field, XVI EPNC, September 18-20, 2000, Kraków, 19 22. DYNAMICS OF TUBULAR LINEAR MOTORS At the momet, liear motors belog to broad brach of electrical machies. Therefore for the desigers ad the producers, requiremets relatig to the better ad better fuctioal parameters of these machies icrease. It cocers ot oly statioary states, but also dyamic states. I the paper, the mathematical model ad software, which make possible a aalysis of fuctioal parameters of these devices, have bee preseted.