Kilka zastosowań pochodnej funkcji w podstawowych pojęciach ekonomicznych



Podobne dokumenty
Rys Mo liwe postacie funkcji w metodzie regula falsi

gdy wielomian p(x) jest podzielny bez reszty przez trójmian kwadratowy x rx q. W takim przypadku (5.10)

Innym wnioskiem z twierdzenia 3.10 jest

III. INTERPOLACJA Ogólne zadanie interpolacji. Niech oznacza funkcjê zmiennej x zale n¹ od n + 1 parametrów tj.

(wymiar macierzy trójk¹tnej jest równy liczbie elementów na g³ównej przek¹tnej). Z twierdzen 1 > 0. Zatem dla zale noœci

Temat: Funkcje. Własności ogólne. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1

Rachunek Różniczkowy

(0) (1) (0) Teoretycznie wystarczy wzi¹æ dowoln¹ macierz M tak¹, by (M) < 1, a nastêpnie obliczyæ wektor (4.17)

Ekstrema funkcji wielu zmiennych.

PRAWA ZACHOWANIA. Podstawowe terminy. Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc

MATEMATYKA 4 INSTYTUT MEDICUS FUNKCJA KWADRATOWA. Kurs przygotowawczy na studia medyczne. Rok szkolny 2010/2011. tel

Wykłady z matematyki inżynierskiej EKSTREMA FUNKCJI. JJ, IMiF UTP

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

POMIAR STRUMIENIA PRZEP YWU METOD ZWÊ KOW - KRYZA.

1. Rozwiązać układ równań { x 2 = 2y 1

Wyk³ad INTERPOLACJA.

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji

Witold Bednarek. Konkurs matematyczny w gimnazjum Przygotuj siê sam!

Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP

IV. UK ADY RÓWNAÑ LINIOWYCH

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

K P K P R K P R D K P R D W

2010 W. W. Norton & Company, Inc. Nadwyżka Konsumenta

Matematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI

Konkurs matematyczny dla uczniów gimnazjum

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

Wykład 4 Przebieg zmienności funkcji. Badanie dziedziny oraz wyznaczanie granic funkcji poznaliśmy na poprzednich wykładach.

Sytuacja na rynkach zbytu wêgla oraz polityka cenowo-kosztowa szans¹ na poprawê efektywnoœci w polskim górnictwie

2.Prawo zachowania masy

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji.

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI

Ogólna charakterystyka kontraktów terminowych

5. Badanie przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość

Analiza matematyczna - pochodna funkcji 5.8 POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW

CZY JEDNYM POSUNIÊCIEM DA SIÊ ROZWI ZAÆ WSZYSTKIE UK ADY DWÓCH RÓWNAÑ LINIOWYCH?

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.

Zadania ćwiczeniowe do przedmiotu Makroekonomia I

PRZYBLI ONE METODY ROZWI ZYWANIA RÓWNA

Zestaw nr 6 Pochodna funkcji jednej zmiennej. Styczna do krzywej. Elastyczność funkcji. Regu la de l Hospitala

Matematyka na szóstke

Zestaw nr 7 Ekstremum funkcji jednej zmiennej. Punkty przegiȩcia wykresu. Asymptoty

Pochodną funkcji w punkcie nazywamy granicę ilorazu różnicowego w punkcie gdy przyrost argumentu dąży do zera: lim

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM ROZSZERZONY. S x 3x y. 1.5 Podanie odpowiedzi: Poszukiwane liczby to : 2, 6, 5.

Krótkoterminowe planowanie finansowe na przykładzie przedsiębiorstw z branży 42

7. REZONANS W OBWODACH ELEKTRYCZNYCH

1 Pochodne wyższych rzędów

22 Pochodna funkcji definicja

14.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe.

Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA. Dariusz Gozdowski. Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW

4b. Badanie przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość

Temat: Zastosowania pochodnej

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI

Projektowanie procesów logistycznych w systemach wytwarzania

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:

Z-EKON-461 Rachunkowoœã korporacyjna Corporate Accounting. Ekonomia I stopieñ. Ogólnoakademicki. Niestacjonarne

ARKUSZ WICZENIOWY Z MATEMATYKI MARZEC 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzysztof KOŁOWROCKI

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY PRZYK ADOWY ZESTAW ZADA NR 2. Miejsce na naklejk z kodem szko y CKE MARZEC ROK Czas pracy 150 minut

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

Analiza CVP koszty wolumen - zysk

I Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji. iloraz ró»nicowy x y x

lim Np. lim jest wyrażeniem typu /, a

Pochodna funkcji c.d.-wykład 5 ( ) Funkcja logistyczna

ZADANIA ZAMKNI TE. W zadaniach od 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi jedn poprawn odpowied.

Następnie przypominamy (dla części studentów wprowadzamy) podstawowe pojęcia opisujące funkcje na poziomie rysunków i objaśnień.

Regulamin Krêgów Harcerstwa Starszego ZHR

11. Pochodna funkcji

Wykład 13. Informatyka Stosowana. 14 stycznia 2019 Magdalena Alama-Bućko. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 1 / 34

Arytmetyka. Działania na liczbach, potęga, pierwiastek, logarytm

Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna

Matematyka na szóstke

Arkusz maturalny treningowy nr 7. W zadaniach 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź.

Powszechność nauczania języków obcych w roku szkolnym

Uniwersytet Warszawski Organizacja rynku dr Olga Kiuila LEKCJA 12

ze stabilizatorem liniowym, powoduje e straty cieplne s¹ ma³e i dlatego nie jest wymagany aden radiator. DC1C


Pochodna funkcji. Zastosowania pochodnej. Badanie przebiegu zmienności

Zagro enia fizyczne. Zagro enia termiczne. wysoka temperatura ogieñ zimno

Rozdział 6. Pakowanie plecaka. 6.1 Postawienie problemu

MATERIAŁY DIAGNOSTYCZNE Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PLANY WYNIKOWE W ZAKRESIE III KLASY GIMNAZJUM. opracowane na podstawie materia³ów katechetycznych Jezus prowadzi i zbawia z serii W DRODZE DO EMAUS

Pochodna funkcji: zastosowania przyrodnicze wykłady 7 i 8

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

3.2 Warunki meteorologiczne

Mikroekonomia Wykład 9

PAKIET MathCad - Część III

ROZPORZ DZENIE MINISTRA GOSPODARKI z dnia 11 sierpnia 2000 r. w sprawie przeprowadzania kontroli przez przedsiêbiorstwa energetyczne.

MATERIA DIAGNOSTYCZNY Z MATEMATYKI

Elementy rachunku różniczkowego i całkowego

Matematyka licea ogólnokształcące, technika

SYMULACJA STOCHASTYCZNA W ZASTOSOWANIU DO IDENTYFIKACJI FUNKCJI GÊSTOŒCI PRAWDOPODOBIEÑSTWA WYDOBYCIA

Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r

Wykłady z matematyki - Pochodna funkcji i jej zastosowania

1. Wstêp. 2. Metodyka i zakres badañ WP YW DODATKÓW MODYFIKUJ CYCH NA PODSTAWOWE W AŒCIWOŒCI ZAWIESIN Z POPIO ÓW LOTNYCH Z ELEKTROWNI X

BADANIE UMIEJĘTNOŚCI UCZNIÓW W TRZECIEJ KLASIE GIMNAZJUM CZĘŚĆ MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZA

Transkrypt:

MARIA DĄBROWA ilka zastosowań pochodnej funkcji w podstawowych pojęciach ekonomicznych Wstęp Matematyka jest rozleg³¹ dziedzin¹ wiedzy obejmuj¹c¹ wiele dyscyplin naukowych o bardzo ró norodnej tematyce i zró nicowanych metodach badawczych Jest dziedzin¹ naukow¹ nadal otwart¹ wci¹ powstaj¹ i s¹ dowodzone nowe twierdzenia, stosowane nowe metody badawcze Szczególnie atrakcyjne s¹ tzw zastosowania matematyki w innych dyscyplinach naukowych (w tym nawet w biologii, medycynie 1, naukach humanistycznych 2, teorii gier, sporcie itp) Tak wiêc zastosowanie matematyki w naukach ekonomicznych jest czymœ zupe³nie oczywistym Matematyka jest tu wspania³ym narzêdziem, które pozwoli lepiej zrozumieæ znane ekonomiœcie pojêcia, fakty i zale noœci i spojrzeæ na nie pod nieco innym k¹tem W tej pracy chcê pokazaæ kilka zastosowañ analizy pochodnej funkcji Jest to zaledwie niewielki (i mam nadziejê, najbardziej przystêpny) fragment zastosowañ rachunku ró niczkowego w podstawowych pojêciach ekonomicznych W tym celu muszê przypomnieæ podstawowe definicje i twierdzenia, staraj¹c siê jednak do minimum ograniczyæ formalizm wypowiedzi i zapisów 1 Matematyczne ujęcie przyrostu funkcji i definicji pochodnej funkcji w punkcie W poni szych rozwa aniach zajmowaæ siê bêdê funkcjami rzeczywistymi o wartoœciach rzeczywistych, a wiêc funkcjami typu: f : D R, D R, gdzie D jest dziedzin¹ funkcji f 1 Materia³y naukowe z XXX Ogólnopolskiej onferencji Zastosowañ Matematyki, Zakopane 18 25 wrzeœnia 21, Warszawa 21 2 Matematyka Stosowana, Pismo Polskiego Towarzystwa Matematycznego, 21, nr 2

4 Maria D¹browa Przypomnê teraz kilka definicji i twierdzeñ (byæ mo e znanych Czytelnikowi) u³atwiaj¹cych zrozumienie omawianych tu problemów Przyrost argumentu Niech D i + h D, h wówczas h j e s t p r z y r o s t e m a r g u m e n t u (mo e on byæ dodatni lub ujemny) Przyrost wartoœci funkcji odpowiadaj¹cy przyrostowi argumentu h Jest to ró nica f( + h) f( ) (rysunek 1) y y = f() R y s u n e k 1 f ( +h) f ( +h) f( ) f( ) h +h Przyrost przeciêtny wartoœci funkcji odpowiadaj¹cy przyrostowi argumentu h f( + h) f( ) (od wartoœci ) jest to iloraz: h Jest on znany równie jako iloraz ró nicowy funkcji f w punkcie Wa na jest interpretacja geometryczna tego ilorazu Niech krzywa y = f() bêdzie wykresem funkcji f WeŸmy sieczn¹ tej krzywej przechodz¹c¹ przez punkty P, f i P = + h f + h ( ( ) ( ( ) =, Iloraz ró nicowy jest tangensem k¹ta a, który ta sieczna tworzy z kierunkiem dodatnim osi OX (rysunek 2)

ilka zastosowañ pochodnej funkcji w podstawowych pojêciach ekonomicznych 41 R y s u n e k 2 y y = f() f ( +h) P f ( +h) f( ) tg a = h f ( ) P a +h P r z y r o s t w z g l ê d n y (procentowy) wartoœci funkcji f odpowiadaj¹cy ( ) ( ) f przyrostowi argumentu h liczonemu od jest to iloraz: + h f f( ) przy f ( ), a wiêc stosunek przyrostu wartoœci funkcji do wartoœci funkcji w punkcie wyjœciowym Stosuje siê go czêsto do porównywania tempa przyrostu funkcji Iloraz ten bardzo czêsto wyra any jest w procentach (jako wyra enie niemianowane) st¹d jego nazwa przyrost procentowy P r z e z p o c h o d n ¹ f u n k c j i w punkcie rozumiemy granicê ilorazu ró nicowego (o ile ta granica istnieje i jest w³aœciwa) przy h zmierzaj¹cym do ( + h ) f ( ) ( + h) f( ) f = lim h h Graniczne po³o enie, do którego zmierza sieczna (przedstawiona na rysunek 2), gdy h d¹ y do zera, uwa a siê za po³o enie stycznej do wykresu w punkcie P = (, f( ) Tak wiêc f ( )= tg b, gdzie b jest k¹tem utworzonym przez styczn¹ do krzywej y = f() w punkcie P = (, f( ) z dodatnim kierunkiem osi OX (rysunek )

42 Maria D¹browa R y s u n e k y y = f() f( ) P tg b = f() b 2 Interpretacja ekonomiczna pochodnej oszt wytworzenia dowolnej wielkoœci produkcji zale y od wielkoœci nak³adów poszczególnych czynników produkcji oraz ich cen Jest on wiêc funkcj¹ kilku zmiennych Je eli jednak nasze rozwa ania ograniczymy do krótkiego okresu, a wiêc czasu, w którym przynajmniej jeden czynnik produkcji jest sta³y mo emy koszt przedstawiæ jako funkcjê jednej zmiennej: wielkoœci produkcji oszty ca³kowite s¹ sum¹ kosztów sta³ych i kosztów zmiennych Niech : R + R + bêdzie funkcj¹ kosztu ca³kowitego zale n¹ od wielkoœci produkcji ; gdzie (,+ ) Wtedy funkcjê () () p : p = n a z y w a m y f u n- k c j ¹ k o s z t ó w p r z e c i ê t n y c h, a jej wartoœæ ( ) ( ) p = k o s z t e m p r z e- c i ê t n y m (jednostkowym) wytworzenia jednostki produktu przy poziomie produkcji Przy podejmowaniu decyzji dotycz¹cych wielkoœci produkcji (i jej wp³ywu na koszty) bardzo wa n¹ wskazówk¹ jest kszta³towanie siê kosztów jednostkowych przy ró nych rozmiarach produkcji W tego typu analizach przydatne jest wykorzystanie kosztów krañcowych o s z t k r a ñ c o w y to koszt wytworzenia dodatkowej jednostki produktu (przy za³o eniu, e produkcja zmienia siê skokowo), czyli przyrost kosztów spowodowany zwiêkszeniem produkcji o jednostkê Tak wiêc koszty krañcowe informuj¹ o tym, jak wzrosn¹ koszty ca³kowite przy wzroœcie produkcji o jedn¹ jednostkê k =

ilka zastosowañ pochodnej funkcji w podstawowych pojêciach ekonomicznych 4 Czêsto jednak zak³adamy ci¹g³¹, a nie skokow¹ zmianê wielkoœci produkcji Przy za³o eniu, e funkcja () jest ró niczkowalna oraz, >, >, + >, gdzie D jest dodatnim przyrostem argumentu funkcji (przyrostem produkcji), mo na zbudowaæ iloraz ró nicowy (przyrost przeciêtny) tej funkcji: ( + ) ( ) = Wyra a on przeciêtny koszt wytworzenia dodatkowych jednostek produktu (D) poczynaj¹c od poziomu Granic¹ tego ilorazu przy jest pochodna funkcji w punkcie (na podstawie przytoczonej powy ej definicji pochodnej funkcji w punkcie) lim = ( ) St¹d k ( ) = ( ) Natomiast funkcja k : () jest funkcj¹ kosztu krañcowego Na podstawie definicji pochodnej funkcji w punkcie i definicji granicy funkcji w punkcie mo na stwierdziæ, e dla dostatecznie ma³ych przyrostów h zachodzi przybli ona równoœæ: f( + h) f( ) f ( ) h Mamy wiêc analogicznie: ( ) przy dostatecznie ma³ym przyroœcie D Zatem przy dostatecznie ma³ym przyroœcie produkcji zachodzi przybli ona równoœæ: ( ) Zwiêkszaj¹c produkcjê o D jednostek od poziomu wyjœciowego, spowodujemy przyrost kosztu ca³kowitego w przybli eniu o wartoœæ ( ) Przyjmuj¹c w szczególnoœci D = 1 (a wiêc wzrost produkcji o 1 jednostkê w porównaniu z poziomem wyjœciowym ), otrzymamy: ( ) = k( ) Tak wiêc wartoœæ nak³adów zu ytych do wyprodukowania dodatkowej jednostki produktu,w stosunku do poziomu wyjœciowego, jest w przybli eniu równa kosztowi krañcowemu przy produkcji Analogicznie mo na zinterpretowaæ pochodn¹, gdy funkcja opisuje zale noœæ utargu od wielkoœci sprzedanej produkcji Niech U() oznacza utarg uzyskany ze sprzeda y jednostek pewnego produktu, >, D >, wówczas, U k ( ) = U ( ) gdzie U k ( ) oznacza u t a r g k r a ñ c o w y na poziomie sprzedanej produkcji, a funkcja U k : U () jest funkcj¹ utargu krañcowego P r z y k ³ a d 1 oszt ca³kowity wyprodukowania jednostek pewnego artyku³u wyra a siê wzorem: c () =,1 + 1 + 2 Przy jakiej wielkoœci produkcji koszt przeciêtny wyprodukowania jednostki tego artyku³u bêdzie równy kosztowi krañcowemu?

44 Maria D¹browa Funkcja kosztu przeciêtnego ma postaæ:,1 + 1+ 2 2 2 p () = =,1 + 1+, a funkcja kosztu krañcowego: () =, 2 k + 1 Aby sprawdziæ, dla jakiej produkcji te koszty s¹ równe, budujemy i rozwi¹zujemy równanie: 2 2 2 k () = p(), + 1 =,1 + 1 + Rozwi¹zaniem równania jest = 1 Zatem przy produkcji = 1 koszt krañcowy jest równy kosztowi przeciêtnemu Mo na pokazaæ (i zrobiê to poni ej), e koszt przeciêtny osi¹ga minimum tam, gdzie koszt przeciêtny równa siê kosztowi krañcowemu Elastyczność funkcji Je eli weÿmiemy stosunek przyrostu wzglêdnego wartoœci funkcji do przyrostu wzglêdnego jej argumentu (liczonemu od ) to otrzymamy dla h : f ( + h) f( ) f( ) : Granica tego wyra enia (o ile istnieje) przy h jest elastycznoœci¹ funkcji w punkcie f ( ) ( + h) f ( ) f ( ) E f = lim = h h f f T w i e r d z e n i e Je eli zmienna wzroœnie o a% od poziomu, to wartoœæ funkcji f wzroœnie (zmaleje) w przybli eniu o b%, gdzie b a E f( ) Elastycznoœæ funkcji w punkcie informuje wiêc, o ile procent (w przybli eniu) wzroœnie lub zmaleje wartoœæ funkcji, jeœli argument wzroœnie o 1% od poziomu Elastycznoœæ funkcji ma szerokie zastosowanie w ekonomii, szczególnie przy badaniu zale noœci popytu od wzrostu ceny, a wiêc przy badaniu rynku i jego reakcji na planowan¹ podwy kê cen wybranych produktów P r z y k ³ a d 2 Obliczyæ i zinterpretowaæ elastycznoœci funkcji popytu wzglêdem ceny: 2,5p a) Q( p) = p e przy p = 1, 2 p,9 p ( ) b) Q p = 8 e przy p = 1 ( + h) f( + h) f( ) = ( ) ( ) h f ( )

ilka zastosowañ pochodnej funkcji w podstawowych pojêciach ekonomicznych 45 Ad a) Obliczamy pochodn¹ funkcji Q(p):,5p Q ( p) = p e ( 2,5p), E pq( p) = 2,5 p E pq( 1) = Zatem je eli cena p wzroœnie o 1% od poziomu p = 1, to popyt na ten towar zmniejszy siê o oko³o % 2 p,9 p Ad b) Pochodna funkcji ma postaæ 1 Q ( p) = 8 e,9, p a elastycznoœæ funkcji E pq( p) = p,9p E pq( 1) = 1 Tak wiêc przy wzroœcie ceny p od poziomu p = 1 popyt wzroœnie o oko³o 1% Ekonomiczn¹ analizê tej sytuacji w tym odpowiedÿ na pytanie: Z jakiego typu dobrami mo emy tu mieæ do czynienia? pozostawiam Czytelnikowi Pragnê jeszcze zwróciæ tu uwagê na kwestiê znaku elastycznoœci w punkcie Znak elastycznoœci popytu jest na ogó³ ujemny, gdy krzywe popytu maj¹ nachylenie ujemne Oznacza to, e k¹t a nachylenia wykresu funkcji popytu (lub stycznej do tego wykresu w punkcie A, którego pierwsza wspó³rzêdna jest równa ) do osi odciêtych jest rozwarty, a wiêc jego tangens jest liczb¹ ujemn¹ Przypomnê, e f ( )= tg a, ( f ( ) < ), tak wiêc ( ) f ( ) E f = < ; f( ) wartoœæ funkcji f( ) jest dodatnia (jako popyt na dane dobro przy cenie ) podobnie jak (czyli wyjœciowa cena) Ekonomiœci w dyskusjach na ten temat zwykle dla wygody opuszczaj¹ znak minus, traktuj¹c go w kategoriach wartoœci bezwzglêdnej W przypadku gdy wartoœæ bezwzglêdna cenowej elastycznoœci popytu jest równa 1, mówimy o elastycznoœci wzorcowej Gdy E p Q( p) > 1, a wiêc wzglêdna zmiana popytu jest wiêksza ni wzglêdna zmiana ceny, mówimy o popycie wysoce elastycznym Im bardziej ta wartoœæ oddala siê od jedynki, tym popyt jest bardziej elastyczny Nale y jednak pamiêtaæ o tym, e znak minus (przy elastycznoœci popytu) na ogó³ istnieje Powinien o tym pamiêtaæ zw³aszcza matematyk, który mo e wyznaczaæ elastycznoœci funkcji nie tylko w odniesieniu do funkcji popytu i uzyskiwaæ liczby ujemne, dodatnie a nawet zero 4 Badanie przebiegu zmienności funkcji Proces sporz¹dzania wykresu funkcji okreœlonej danym wzorem poprzedzony jest szeregiem, czêsto doœæ mudnych, operacji badania tej funkcji Nie bêdê ich omawia³a szczegó³owo schemat badania funkcji zawiera 1 11 elementów, które nale y sprawdziæ 4 H R V a r i a n, Mikroekonomia, PWN, Warszawa 1997, s 29 4 Patrz: T S t a n i s z, Zastosowania matematyki w ekonomii, Wydawnictwo TRAPEZ, raków, s 75, lub G M F i c h t e n h o l z, Rachunek ró niczkowy i ca³kowy, PWN, Warszawa 1972, t I, s 267

46 Maria D¹browa Zatrzymam siê jednak chwilê nad niektórymi elementami tego procesu 1 Badanie pochodnej pierwszego rzędu funkcji Pozwala ono wyznaczyæ ekstrema i przedzia³y monotonicznoœci funkcji, a wiêc przedzia³y, w których funkcja roœnie lub maleje W punkcie istnieje m a k s i m u m (lub m i n i m u m), je eli istnieje taki przedzia³ otaczaj¹cy punkt, e f( ) jest najwiêksz¹ (wzglêdnie najmniejsz¹) spoœród wartoœci, jakie funkcja przyjmuje w tym przedziale Warunkiem koniecznym (ale nie wystarczaj¹cym) istnienia ekstremum w punkcie jest zerowanie siê pochodnej w tym punkcie Twierdzenie Lagrange a pozwala ustaliæ zwi¹zek miêdzy znakiem pochodnej a wzrastaniem wzglêdnie zmniejszaniem siê wartoœci funkcji T w i e r d z e n i e Je eli funkcja jest ró niczkowalna w przedziale ( a, b) R i dla ka dego ( a, b) zachodzi nierównoœæ f () >, to funkcja f jest w tym przedziale rosn¹ca Je eli zaœ, f () <, to funkcja f jest malej¹ca Je eli zatem funkcja f jest ró niczkowalna w przedziale (a,b), ( a, b) jest miejscem zerowym pochodnej oraz: f () < dla < f ( ) = funkcja f ma w punkcie minimum f () > dla > f f f () > ( ) () < = dla dla < > funkcja f ma w punkcie maksimum 2 Badanie pochodnej drugiego rzędu T w i e r d z e n i e Je eli funkcja f :( a, b) R ma pochodn¹ drugiego rzêdu w przedziale (a,b) oraz f () > dla ( a, b), to funkcja jest wypuk³a w przedziale (a,b) Je eli zaœ f < dla a, b, to funkcja jest wklês³a w przedziale (a,b) () ( ) Funkcja rosn¹ca i wypuk³a w pewnym przedziale roœnie szybciej ni rosn¹ca funkcja wklês³a Funkcja malej¹ca i wklês³a w pewnym przedziale maleje szybciej ni malej¹ca funkcja wypuk³a Widaæ tu, jak ogromne znaczenie w funkcjach opisuj¹cych procesy ekonomiczne bêdzie mia³o ustalenie jej przedzia³ów wypuk³oœci Wypuk³oœæ pozwoli ustaliæ tempo wzrostu (lub zmniejszania siê) wartoœci funkcji Nie trzeba t³umaczyæ, jak wa ne jest pojêcie tempa wzrostu w badaniu procesów ekonomicznych

ilka zastosowañ pochodnej funkcji w podstawowych pojêciach ekonomicznych 47 Z pochodn¹ drugiego rzêdu zwi¹zany jest p u n k t p r z e g i ê c i a Warunek f ( ) = jest warunkiem koniecznym (ale nie wystarczaj¹cym) istnienia punktu przegiêcia P = (, f ( ) Natomiast jeœli przy przejœciu przez wartoœæ = pochodna f () zmienia znak, to punkt P (, f ( ) jest punktem przegiêcia Inaczej mówi¹c, punkt przegiêcia oddziela czêœæ krzywej, gdzie funkcja jest wypuk³a, od czêœci, gdzie funkcja jest wklês³a Przy przejœciu przez ten punkt zmienia siê charakter wypuk³oœci funkcji, a wiêc i tempa jej wzrostu (lub zmniejszania siê) Na prostym przyk³adzie poka ê, w jaki sposób sporz¹dziæ i zinterpretowaæ wykres funkcji P r z y k ³ a d W przedsiêbiorstwie o produkcji jednorodnej dana jest funkcja kosztu (zale nego od wielkoœci produkcji ) () = 1 2 + 12 + 1, a zale noœæ dochodu przedsiêbiorstwa R od wielkoœci sprzedanej produkcji okreœla funkcja R() = 12 2 + 1 Zbadaæ, w jaki sposób na zysk Z przedsiêbiorstwa wp³ywa zmiana wytworzonej produkcji Nale y zbudowaæ funkcjê zysku: Z() = R() () = + 2 Ustalamy dziedzinê tej funkcji (zakres w jakim mo e siê zmieniaæ produkcja); (,+ ) oznacza to, e produkcja jest wielkoœci¹ dodatni¹ i jej wzrost jest nieograniczony Miejscem zerowym funkcji Z jest = 6 lim Z + () = lim Z() = + Badamy pochodn¹ pierwszego rzêdu funkcji Z(): 2 Z () = + 4, Z = = 4 () Dla = 4 mo e istnieæ ekstremum, badamy wiêc znak pochodnej: Z () > (,4), Z < 4, + () ( ) Na podstawie przytoczonego wczeœniej twierdzenia wiemy, e dla = 4 istnieje maksimum oraz, e funkcja Z roœnie w przedziale (, 4), a maleje dla ( 4+, ) Obliczamy i badamy pochodn¹ drugiego rzêdu: Z () = 2 + 4 Z () = = 2 Z () > (,2) Z < 2, + () ( ) 1 2

48 Maria D¹browa ( ) Funkcja jest wiêc wypuk³a dla,2 i wklês³a dla ( 2+, ), a punkt 1 A = 2,5 jest jej punktem przegiêcia Przedstawiamy te informacje w tabelce: (,2) 2 (2,4) 4 (4,6) 6 (6, + ) Z () + + - - Z () + - - - Z() 1 5 pp ma Sporz¹dzamy wykres funkcji (rysunek 4): 2 1 zysk 1 2 z R y s u n e k 4 5 2 A 2 4 6 produkcja

ilka zastosowañ pochodnej funkcji w podstawowych pojêciach ekonomicznych 49 Spróbujmy zinterpretowaæ ten wykres, pos³uguj¹c siê interpretacj¹ pochodnych funkcji Zysk przedsiêbiorstwa roœnie w przedziale (, 4), osi¹gaj¹c wartoœæ maksymaln¹ przy produkcji = 4(j) Jednak e dla (,2) roœnie szybciej ni w przedziale (2, 4) W pierwszym z tych przedzia³ów funkcja jest bowiem wypuk³a, a w drugim wklês³a 1 Punkt A= 2,5 jest punktem przegiêcia Po przekroczeniu produkcji równej 2(j) zmieni³o siê tempo wzrostu zysku Je eli natomiast produkcja przekroczy wartoœæ 4 j, zysk bardzo szybko maleje (funkcja zysku jest wtedy wklês³a, malej¹ca) W stosunkowo niewielkim przedziale zmiennoœci produkcji: dla ( 4,6), wartoœæ zysku gwa³townie maleje, osi¹gaj¹c wartoœæ zero przy produkcji wynosz¹cej 6 j Po przekroczeniu tej wartoœci przedsiêbiorstwo zacznie ponosiæ straty (zysk ujemny) Optymalna dla przedsiêbiorstwa jest wiêc produkcja wynosz¹ca 4 j lub oscyluj¹ca wokó³ tej liczby Bez analizy tego wykresu (i samej funkcji) w³aœciciel firmy móg³by wysnuæ b³êdne wnioski: Skoro zysk firmy pocz¹tkowo tak wspaniale rós³ wraz ze wzrostem produkcji, to dlaczego nie zwiêkszaæ tej produkcji nadal? Mam œwiadomoœæ, e dla ekonomistów ten przyk³ad mo e wydaæ siê nieco banalny Jednoczeœnie mam nadziejê, e pozwoli on doceniæ rolê analizy pochodnych funkcji opisuj¹cych zale noœci ekonomiczne Zgodnie z zapowiedzi¹ (z punktu 2), poka ê teraz, e koszt przeciêtny osi¹ga minimum przy takiej produkcji, dla której koszt przeciêtny jest równy kosztowi krañcowemu Funkcja kosztu przeciêtnego okreœlona jest jako: () () p = Aby znaleÿæ ekstremum tej funkcji, musimy zbadaæ jej pochodn¹ pierwszego rzêdu p () = () () 1 () () 2 () = () () p k = () k () = k = = k () () Za³ó my, e jest rozwi¹zaniem tego równania p ( ) = Wówczas: p () < dla (, ) dla = istnieje minimum funkcji p p () > dla (, + ) p 2

5 Maria D¹browa Mo na wiêc teraz spokojnie wyznaczaæ minimum kosztu przeciêtnego, rozwi¹zuj¹c równanie: p () = k() Wyznaczenie produkcji, przy której koszt przeciêtny jest najni szy, jest z punktu widzenia przedsiêbiorstwa bardzo wa ne Punkt A= (, p( ) okreœla tzw o p t i- m u m t e c h n o l o g i c z n e Jednak e w dobie gospodarki rynkowej optimum technologiczne nie musi oznaczaæ, e produkcja jest optymalna dla przedsiêbiorstwa z ekonomicznego punktu widzenia Na optimum ekonomiczne maj¹ bowiem wp³yw jeszcze inne czynniki, jak chocia by poziom cen i oddzia³ywanie na ich zmiany, ch³onnoœæ rynku, stopieñ konkurencyjnoœci itp Mimo ogromnej wagi optimum technologicznego czynniki te przes¹dzaj¹ o racjonalnym podejmowaniu decyzji dotycz¹cych rozmiarów produkcji Niemniej jednak umiejêtnoœæ wyznaczenia tego punktu mo e byæ bardzo przydatna Zakończenie Mam nadziejê, e w tej krótkiej i wycinkowej pracy uda³o mi siê pokazaæ, jak pomocnym narzêdziem w analizie ekonomicznej mog¹ staæ siê rozwa ania prowadzone przez pryzmat analizy matematycznej Jednoczeœnie chcia³am wyjaœniæ, e wzory funkcji wykorzystanych w przyk³adach 1, jak równie wystêpuj¹ce w zbiorach zadañ dla studentów s¹ tak konstruowane, aby obliczenia by³y w miarê wygodne Nie chodzi tu przecie o kszta³cenie umiejêtnoœci arytmetycznych ani o przeprowadzanie mudnych, czasoch³onnych obliczeñ czy przekszta³ceñ, ale o zrozumienie sensu wykonywanych operacji Nale y jednak mieæ œwiadomoœæ, e mo na zbudowaæ wzory oparte na empirycznych danych Mo na to zrobiæ, stosuj¹c metodê najmniejszych kwadratów do empirycznych punktów Uzyskuje siê wtedy przybli one równanie krzywej dopasowanej do danych punktów Stanowi to jednak odrêbny temat, którego rozwa ania w tym artykule nie przewidywa³am Wzory uzyskane z takich obliczeñ by³yby bardziej realistyczne, ale bez w¹tpienia bardziej uci¹ liwe w obliczeniach Bibliografia Matematyka Stosowana Pismo Polskiego Towarzystwa Matematycznego, nr 2/21 F i c h t e n h o l z G M, Rachunek ró niczkowy i ca³kowy, t I, PWN, Warszawa 1972 G r y g l a s z e w s k a A, o s i o r o w s k a M, P a s z e k B, S t a n i s z T, Zadania z matematyki stosowanej, Wydawnictwo AE w rakowie, raków 1999 u r a t o w s k i, Rachunek ró niczkowy i ca³kowy, PWN, Warszawa, 197 L e j a F, Rachunek ró niczkowy i ca³kowy, PWN, Warszawa, 197 Materia³y naukowe z XXX Ogólnopolskiej onferencji Zastosowañ Matematyki, Zakopane 18 25 wrzeœnia 21, Warszawa 21 M i l e w s k i R, Podstawy ekonomii, PWN, Warszawa 1998 S l o m a n J, Podstawy ekonomii, PWE, Warszawa 21 S t a n i s z T, Zastosowania matematyki w ekonomii, Wydawnictwo TRAPEZ, raków [2] V a r i a n H R, Mikroekonomia, PWN, Warszawa 1997