PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

Transkrypt

1 PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 120 minut Instrukcja dla zdaj¹cego 1. SprawdŸ, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 13 stron (zadania 1 11). Ewentualny brak zg³oœ przewodnicz¹cemu zespo³u nadzoruj¹cego egzamin. 2. Rozwi¹zania zadañ i odpowiedzi zamieœæ w miejscu na to przeznaczonym. 3. W rozwi¹zaniach zadañ przedstaw tok rozumowania prowadz¹cy do ostatecznego wyniku. 4. Pisz czytelnie. U ywaj d³ugopisu/pióra tylko z czarnym tuszem/atramentem. 5. Nie u ywaj korektora, a b³êdne zapisy przekreœl. 6. Pamiêtaj, e zapisy w brudnopisie nie podlegaj¹ ocenie. 7. Obok ka dego zadania podana jest maksymalna liczba punktów, któr¹ mo esz uzyskaæ za jego poprawne rozwi¹zanie. 8. Mo esz korzystaæ z zestawu wzorów matematycznych, cyrkla i linijki oraz kalkulatora. yczymy powodzenia!

2 Zadanie 1. (3 pkt) Pan Kowalski chcia³ wykupiæ ubezpieczenie swojego samochodu. Porówna³ oferty dwóch towarzystw ubezpieczeniowych: Zni ka za bezszkodow¹ jazdê Zwy ka za wiek samochodu Towarzystwo ubezpieczeniowe A Towarzystwo ubezpieczeniowe B 40% 30% 30% 20% Podstawowa stawka ubezpieczeniowa w obu towarzystwach by³a taka sama. Oblicz, jaki procent stawki podstawowej musia³by zap³aciæ pan Kowalski wykupuj¹c polisê w towarzystwie A, a jaki wykupuj¹c polisê w towarzystwie B. Wska korzystniejsz¹ ofertê dla pana Kowalskiego. 2

3 Zadanie 2. (3 pkt) Korzystaj¹c z danych na rysunku, oblicz d³ugoœæ odcinka DB. Wynik zaokr¹glij do 0,1 cm. h = 4,7 cm 47 C sin cos tg 27 0,454 0,891 0, ,731 0,682 1,072 A D X 27 B 70 0,940 0,342 2,747 3

4 Zadanie 3. (5 pkt) Dany jest wykres funkcji y = f(x), x 7, 1. Y Y y= f( x) y = g( x) X 0 1 X Korzystaj¹c z wykresu funkcji zapisz: a) maksymalne przedzia³y monotonicznoœci funkcji f, b) zbiór argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartoœci dodatnie, c) liczbê argumentów, dla których wartoœæ jest równa 1, Naszkicuj wykres funkcji g(x)=f (x + 3). 4

5 Zadanie 4. (5 pkt) W ci¹gu geometrycznym sk³adaj¹cym siê z piêciu wyrazów iloczyn pierwszego, trzeciego i pi¹tego wyrazu jest równy 1, a iloczyn wyrazu pierwszego i drugiego jest równy 2. 8 Wyznacz ten ci¹g. 5

6 Zadanie 5. (4 pkt) Skoczek narciarski oddaj¹c skok na skoczni mamuciej otrzymuje punkty za d³ugoœæ i styl skoku. Punkty za d³ugoœæ skoku przyznawane s¹ wed³ug nastêpuj¹cej regu³y: Jeœli skoczek wyl¹duje na tzw. punkcie K znajduj¹cym siê na 185 metrze, to otrzymuje 120 punktów. Za skok d³u szy ni 185 m zawodnik otrzymuje dodatkowo 1,2 punktu za ka dy metr przekraczaj¹cy punkt K. Jeœli zawodnik wyl¹duje przed punktem K, to wówczas liczbê 120 punktów pomniejsza siê o 1,2 punktu za ka dy metr brakuj¹cy do punktu K. a) Napisz wzór funkcji y = f(x), która d³ugoœci skoku x przyporz¹dkowuje liczbê punktów f (x) uzyskan¹ za tê d³ugoœæ skoku. b) Jak¹ d³ugoœæ skoku osi¹gn¹³ zawodnik, jeœli za d³ugoœæ skoku otrzyma³ 90 punktów? c) Ile punktów zdoby³ zawodnik, który wyl¹dowa³ na linii bezpieczeñstwa znajduj¹cej siê na 215 metrze? 6

7 Zadanie 6. (3 pkt) Promieñ podstawy sto ka ma tak¹ sam¹ d³ugoœæ jak promieñ podstawy walca. Wysokoœæ sto ka jest równa wysokoœci walca. Objêtoœæ walca jest o 216 cm 3 wiêksza od objêtoœci sto ka. Oblicz: a) objêtoœæ sto ka, b) d³ugoœæ promienia podstawy sto ka wiedz¹c dodatkowo, e wysokoœæ sto ka jest szeœæ razy wiêksza od d³ugoœci promienia podstawy. 7

8 Zadanie 7. (7 pkt) Dane s¹ punkty A(1, 1) i B(5, 3). Wyznacz punkt C na osi OY, który jest równoodleg³y od punktów A i B. Oblicz pole trójk¹ta ABC. 8

9 Zadanie 8. (4 pkt) Szeœcian pomalowano, a nastêpnie rozciêto na 1000 jednakowych szeœcianików, które wrzucono do pude³ka i wymieszano. Oblicz prawdopodobieñstwo wylosowania z tego pude³ka jednego szeœcianika, który bêdzie mia³ jedn¹ lub dwie œciany pomalowane. 9

10 Zadanie 9. (6 pkt) Zapisz wzór y = f(x) trójmianu kwadratowego w postaci ogólnej wiedz¹c, e: suma miejsc zerowych tego trójmianu wynosi 4, zbiór wartoœci jest równy (,6 oraz do wykresu tej funkcji nale y punkt 15, 1. Rozwi¹ nierównoœæ f (x) > x

11 Zadanie 10. (5 pkt) Dany jest wielomian W(x)=4x 4 49x 2 56x 16. a) Roz³ó wielomian W(x) na czynniki liniowe stosuj¹c grupowanie wyrazów i wzory skróconego mno enia. b) Rozwi¹ równanie W(x)=0. c) Wska niewymierne pierwiastki wielomianu W(x). 11

12 Zadanie 11. (5 pkt) W trójk¹cie ostrok¹tnym ABC wysokoœci AD i CE przeciê³y siê w punkcie O. Wiedz¹c, e AO = 5 cm, OD = 6 cm, CO = 10 cm i OE = 3 cm, oblicz d³ugoœci boków AB i BC. 12

13 BRUDNOPIS 13

14 ODPOWIEDZI 1. Korzystniejsza jest oferta towarzystwa ubezpieczeniowego A 2. 6,7 cm 3. a) Funkcja jest rosn¹ca w przedzia³ach 7, 2, 1, 1, a malej¹ca w przedziale 2, 1 b) ( 4, 1) ( 1, , 1, 1 2, 1 4, a) y = 1,2x 102 b) 160 m c) 156 p 6. a) V s = 108 cm 3 3 b) r =3 2 cm 7. C(0, 8), P = ,48 9. y = 1 2 x2 +2x +4; f (x)> x + 4 dla x (0, 6) 10. Rozwi¹zania równania: 1 2,4, AB = 13,75 cm, BC = 16, 25 cm,