Innym wnioskiem z twierdzenia 3.10 jest

Transkrypt

1 38 Innym wnioskiem z twierdzenia 3.10 jest Wniosek 3.2. Jeœli funkcja f ma ci¹g³¹ pochodn¹ rzêdu n + 1 na odcinku [a, b] zawieraj¹cym wêz³y rzeczywiste x i (i = 0, 1,..., k) i punkt x, to istnieje wartoœæ [a, b], przy czym = (x), e (3.20) W dowodzie tego wniosku korzysta siê z przedstawienia ca³kowego uogólnionego ilorazu ró - nicowego, a nastêpnie stosuje siê twierdzenie o wartoœci œredniej dla ca³ek. Wzór (3.20) jest czêsto stosowany w praktyce, gdy w wielu przypadkach potrafimy z w³asnoœci rozwa anego zagadnienia oszacowaæ pochodn¹ nieznanej funkcji f. Jeœli dla x [a, b], to bezpoœrednio z wzoru (3.20) mamy 3.7. Interpolacja wymierna Definicja 3.9. Zadanie interpolacji wymiernej polega na znalezieniu dla danej funkcji f funkcji wymiernej W postaci mn w której stopieñ licznika jest równy co najwy ej m, a stopieñ mianownika co najwy ej n, spe³niaj¹cej dla danych wêz³ów x i i wartoœci funkcji w tych wêz³ach f(x ) (i = 0, 1,..., m + n) warunki i (3.20) Zauwa my, e funkcja W mn zawiera m + n + 2 wspó³czynniki, podczas gdy warunków postamn z dok³adnoœci¹ do wspól- ci (3.20) jest m + n + 1. Najczêœciej okreœla siê bowiem funkcjê W nego czynnika 0. Z zale noœci (3.20) mamy (3.21)

2 3.8. Interpolacja trygonometryczna 39 Jest to uk³ad równañ jednorodnych ze wzglêdu na niewiadome wspó³czynniki a ki b k. Okazuje siê jednak, e zast¹pienie zadania interpolacji wymiernej rozwianiem ww. uk³adu nie zawsze prowadzi do rozwi¹zania. Przyk³ad 3.7 Niech m = n = 1 oraz i Spróbujmy okreœliæ funkcjê wymiern¹ xi f(x) i spe³niaj¹c¹ warunki (3.20). Z zale noœci (3.21) mamy Rozwi¹zaniem tego uk³adu z dok³adnoœci¹ do wspólnego czynnika ró nego od 0 jest St¹d Dla x = 0 mamy wyra enie nieokreœlone. Jeœli dokonamy redukcji, to otrzymamy funkcjê ale i ta funkcja nie rozwi¹zuje zagadnienia interpolacji w punkcie x = 0, bo mamy # Wniosek 3.3. Zadanie interpolacji wymiernej nie zawsze jest rozwi¹zalne. Prawie ka de rozwi¹zanie uk³adu (3.20) jest rozwi¹zaniem uk³adu (3.21), ale nie na odwrót. W podrêczniku [2] s¹ podane zale noœci pomiêdzy rozwi¹zaniami uk³adów (3.20) i (3.21). W ksi¹ ce tej podano tak e algorytm interpolacji wymiernej, który odpowiada algorytmowi Neville a w interpolacji wielomianowej Interpolacja trygonometryczna Niech bêdzie dany przedzia³ [0, 2 ] oraz punkty wêz³owe i wartoœci funkcji w tych wêz³ach f(x ) (k = 0, 1,..., n 1), przy czym wartoœci f(x ) mog¹ byæ zespolone. k k

3 40 Definicja Zadanie interpolacji trygonometrycznej polega na znalezieniu dla danej funkcji okresowej f o okresie 2 wielomianu trygonometrycznego (3.22) exp( i) = cos + isin (wzór Eulera), i oznacza jednostkê urojon¹, takiego e (3.23) Funkcja f jest funkcj¹ zmiennej rzeczywistej o wartoœciach zespolonych. Wspó³czynniki k w ogólnoœci mog¹ byæ liczbami zespolonymi. Je eli dana jest funkcja g o okresie T, tj. g(y + T) = g(y), to dokonuj¹c zamiany zmiennej wed³ug zale noœci otrzymamy a wiêc funkcjê okresow¹ o okresie 2. Bez zmniejszania ogólnoœci mo emy zatem rozwa aæ tylko funkcje o okresie 2. Podobnie, jak w przypadku interpolacji wielomianowej, mo emy udowodniæ Twierdzenie 3.9. Dla dowolnych liczb zespolonych f(x k) i rzeczywistych wêz³ów (k = 0, 1,..., n 1), gdzie liczba n jest ustalona, istnieje dok³adnie jeden wielomian trygonometryczny (3.22) spe³niaj¹cy warunki (3.23). Dowód. Podstawiaj¹c w = exp(xi) z wzoru (3.22) otrzymujemy i zagadnienie interpolacji trygonometrycznej sprowadza siê do zagadnienia interpolacyjnego Lagrange a znalezienia wielomianu stopnia n 1, gdy # W kolejnym twierdzeniu podano wzory na wspó³czynniki k wielomianu (3.22). Twierdzenie Je eli dla wielomianu trygonometrycznego (3.22) zachodz¹ zale noœci (3.23), to (3.24) Dowód. Oznaczmy w = exp(x i). Poka emy najpierw, e a) dla liczb ca³kowitych j oraz k, k k b) gdzie 0 j, h n 1. Równoœæ a) jest oczywista, gdy wynika z definicji liczb w k. W celu udowodnienia zale noœci b) zauwa my, e dla k = 0, ±1, ±2,..., liczba w jest pierwiastkiem równania k

4 3.8. Interpolacja trygonometryczna 41 Zatem w k 1 dla wszystkich k 0, ±n, ±2n,.... Mamy a st¹d otrzymujemy zale noœæ b). )) okreœlimy ilon Je eli w przestrzeni C zawieraj¹cej wszystkie wektory f = (f(x ), f(x ),..., f(x czyn skalarny 0 1 n 1 gdzie oznacza sprzê enie liczby to w³asnoœci a) i b) oznaczaj¹, e przyporz¹dkowane funkcji exp(jxi) specjalne uk³ady n liczb n tworz¹ bazê ortonormaln¹ w przestrzeni C, tj. Poniewa T n(x k) = f(x k), wiêc z uwagi na zale noœæ (3.25) mamy (3.25) # Niech teraz wartoœci f(x k) bêd¹ rzeczywiste. Oznaczmy (3.26) gdzie j oznacza liczbê ca³kowit¹. Z wzoru (3.24) wynika, e (3.27)

5 42 Mo emy teraz udowodniæ twierdzenie o interpolacji rzeczywistymi wielomianami trygonometrycznymi. Twierdzenie Dla danych punktów wêz³owych i rzeczywistych wartoœci funkcji w tych wêz³ach f(x k) istnieje dok³adnie jeden wielomian trygonometryczny o w³asnoœci T (x ) = f(x ), przy czym dla n parzystego (n = 2m) n k k (3.28) a dla n nieparzystego (n = 2m + 1) (3.29) Dowód. Istnienie i jednoznacznoœæ wielomianów (3.28) i (3.29) wynika z twierdzenia 3.9. Dla n = 2m z wzorów (3.22), (3.24), (3.26) i (3.27) mamy (3.30) Z zale noœci (3.26) otrzymujemy bo i dlatego wzór (3.30) daje zale noœæ (3.28) dla x = x k. Gdy liczba n jest nieparzysta dowód przebiega podobnie. #

6 3.9. Interpolacja funkcjami sklejanymi Interpolacja funkcjami sklejanymi W dotychczas rozpatrywanych zagadnieniach interpolacji wielomianowej zak³adaliœmy, e dana funkcja jest przybli ana jednym wielomianem na ca³ym odcinku [a, b] = [x 0, x n]. Jedyn¹ mo liwoœci¹ uzyskania lepszego przybli enia by³o zwiêkszenie stopnia wielomianu. Wiadomo jednak, e nawet dla bardzo regularnych funkcji ci¹g wielomianów interpolacyjnych nie musi byæ zbie ny do interpolowanej funkcji. Dlatego do zagadnienia tego podchodzi siê w inny sposób. Dzielimy ca³y przedzia³ [a, b] na N czêœci i w ka dym z podprzedzia³ów przybli amy funkcjê wielomianem ustalonego (mo liwie niskiego) stopnia. Istotne jest przy tym, aby tak skonstruowane przybli enie by³o ci¹g³e wraz z pochodnymi odpowiednich rzêdów na ca³ym odcinku [a, b]. Funkcje o tej w³asnoœci nazywaj¹ siê funkcjami sklejanymi. Definicja Funkcjê rzeczywist¹ S nazywamy funkcj¹ sklejan¹ stopnia m z wêz³ami jeœli a) w ka dym przedziale (x i 1, x i) dla i = 0, 1,..., n + 1, przy czym przyjmujemy x 1 =, x n+1 = +, funkcja S jest wielomianem stopnia nie wy szego ni m, b) funkcja S i jej pochodne rzêdu 1, 2,..., m 1 s¹ ci¹g³e na ca³ej osi rzeczywistej. Zauwa my, e gdy m = 1, to funkcja sklejana jest ³aman¹. Wœród funkcji sklejanych specjaln¹ rolê (zob. dalej) spe³niaj¹ pewne ich klasy. Definicja Funkcjê sklejan¹ S stopnia 2m 1 z wêz³ami nazywamy naturaln¹ funkcj¹ sklejan¹, gdy w przedzia³ach (, x 0) i (x n, + ) dana jest wielomianem stopnia m 1 (a nie 2m 1). Definicja Funkcjê sklejan¹ S stopnia m z wêz³ami nazywamy okresow¹ funkcj¹ sklejan¹ o okresie b a, gdy dla i = 0, 1,..., m 1. W dalszym ci¹gu przyjmiemy nastêpuj¹ce oznaczenia: S m( ) klasa funkcji sklejanych stopnia m z wêz³ami, P m( ) klasa okresowych funkcji sklejanych stopnia m z wêz³ami, N ( ) klasa naturalnych funkcji sklejanych stopnia 2m 1 z wêz³ami. 2m 1 Definicja Zadanie interpolacji funkcjami sklejanymi polega na znalezieniu dla danych punktów (x, f(x )), i = 0, 1,..., n, funkcji sklejanej S, takiej e i i (3.31) W ca³ej klasie S m( ) zadanie to nie ma jednoznacznego rozwi¹zania, natomiast w klasach P m( ) i N 2m 1( ) istnieje dok³adnie jedna funkcja sklejana S spe³niaj¹ca warunki (3.31) (dowód tego twierdzenia znajduje siê m. in. w [1]).

7 44 Poni ej podajemy algorytm wyznaczania naturalnej i okresowej funkcji sklejanej stopnia trzeciego. Tak¹ funkcjê najczêœciej stosuje siê w praktyce. Zak³adamy zatem, e gdzie t = x x i dla x [x i, x i+1), i = 0, 1,..., n 1, S N 3( ) lub S P 3( ) oraz S(x i) = f(x i) w wêz³ach. Z wzoru (3.32) wynika, e nale y wyznaczyæ 4n wspó³czynników (jeœli przedzia³ [a, b] jest podzielony na n podprzedzia³ów). Z warunków interpolacji (3.31) oraz z okreœlenia funkcji S wzorem (3.32) otrzymujemy gdy dla x = x i mamy t = 0. Nale y zatem jeszcze wyznaczyæ 3n wspó³czynników. 3n 3 równai (i = 1, nia na te wspó³czynniki otrzymamy z za³o enia ci¹g³oœci funkcji S, S i S w wêz³ach x 2,..., n 1), a pozosta³e równania z faktu, e funkcja S jest naturaln¹ lub okresow¹ funkcj¹ sklejan¹. Z okreœlenia (3.32) funkcji S mamy (3.32) (3.33) Z ci¹g³oœci funkcji S w wêz³ach x i (i = 1, 2,..., n 1), czyli z warunku otrzymujemy czyli Obliczaj¹c pochodn¹ funkcji S z wzoru (3.32) mamy (3.34) i z warunku ci¹g³oœci funkcji S w wêz³ach x i, tj. z warunku mamy a wiêc Postêpuj¹c dalej podobnie, z ci¹g³oœci funkcji S w wêz³ach x i otrzymamy równania (3.35) (3.36) Z zale noœci (3.34) wyznaczamy d i 1: (3.37)

8 3.9. Interpolacja funkcjami sklejanymi 45 gdzie przyjêto oznaczenie po czym podstawiamy te wartoœci do wzorów (3.35) i (3.36) uwzglêdniaj¹c warunki (3.33). Otrzymujemy czyli gdzie dla prostoty oznaczyliœmy f i = f(x i). Z drugiego z powy szych równañ mo emy obliczyæ b. Mamy i 1 (3.38) i po podstawieniu do pierwszego równania dostajemy (3.39) Równanie (3.38) mo emy tak e zapisaæ nastêpuj¹co: (3.40) Dla i = 1, 2,..., n 2 z równañ (3.39) i (3.40) otrzymujemy czyli Jest to uk³ad n 2 równañ z n niewiadomymi c 0, c 1,..., c n 1. Warunek (3.41) musi zachodziæ tak e w punkcie x = b, czyli w punkcie x, a st¹d (por. wzór (3.34)) i n Rozumuj¹c jak poprzednio dostaniemy (por. wzory (3.37) i (3.38)) (3.42)

9 46 a wiêc uk³ad (3.41) zachodzi dla i = 1, 2,..., n 1 (z n + 1 niewiadomymi c 0, c 1,..., c n). Po prostych przekszta³ceniach mo emy go zapisaæ w postaci (3.43) Je eli funkcja S jest naturaln¹ funkcj¹ sklejan¹, to poza przedzia³em [a, b] jest ona wielomianem stopnia m 1, a w przedziale [a, b] stopnia 2m 1. W naszym przypadku 2m 1 = 3, a st¹d m = 2. Oznacza to, e w przedzia³ach (, a) i (b, + ) funkcja S jest wielomianem stopnia pierwszego, a st¹d S (x) = 0 dla x [a, b]. Z drugiej strony funkcja S musi byæ ci¹g³a w punktach x 0 = a i x n = b, czyli S (x 0) = S (x n) = 0. Zatem c 0 = 0, bo S (x) = 2c 0 + 6d 0(x x 0) dla x [x, x ) oraz c = 0 z warunku 2c = S (x 0). Uk³ad (3.43) przyjmuje wiêc postaæ 0 1 n n n gdzie Macierz tego uk³adu jest trójprzek¹tniowa. Sposób rozwi¹zania uk³adu równañ liniowych z tak¹ macierz¹ jest podany w p Jeœli funkcja S jest okresow¹ funkcj¹ sklejan¹ stopnia trzeciego, to musz¹ byæ spe³nione warunki a st¹d dla i = 0 otrzymujemy a wiêc warunek, jaki powinna spe³niaæ funkcja f w interpolacji funkcj¹ okresow¹. Dla i = 1 mamy czyli (3.44) Wreszcie, dla i = 2 otrzymujemy

10 3.9. Interpolacja funkcjami sklejanymi 47 Z zale noœci (3.44) po uwzglêdnieniu równañ (3.38) i (3.42) mamy St¹d, uwzglêdniaj¹c, e c 0 = c n, po prostych przekszta³ceniach otrzymujemy (3.45) Równania (3.43) i wzór (3.45) prowadz¹ do uk³adu n równañ liniowych z n niewiadomymi c 1, c,..., c postaci 2 n gdzie a pozosta³e wielkoœci w i, u i i v i (i = 1, 2,..., n 1) s¹ okreœlone jak poprzednio. Korzystaj¹c z obliczonych wspó³czynników c funkcjê S mo emy przedstawiæ w postaci i B³¹d interpolacji funkcjami sklejanymi jest okreœlony w poni szych twierdzeniach. Twierdzenie Jeœli funkcja f spe³nia warunek Höldera, tzn. istniej¹ sta³e L > 0 i (0, 1], takie e dla dowolnych x, y [a, b] mamy to (3.46)

11 48 Dowód tego twierdzenia znajduje siê w [1]. Zauwa my, e z wzoru (3.46) wynika, e jeœli chcemy, aby oszacowanie b³êdu by³o rzêdu to wielkoœæ powinna byæ w przybli eniu równa 1. Oznacza to, e wêz³y powinny byæ roz³o one w miarê równomiernie. Za³o enie to nie jest konieczne dla bardziej regularnej funkcji. Mamy bowiem (2) Twierdzenie Je eli f C [a, b], to gdzie Dowód tego twierdzenia te znajduje siê w [1]. Zadania 1. ZnaleŸæ wielomian interpolacyjny Lagrange a, który w punktach 2, 1, 2, 4 przyjmuje wartoœci odpowiednio 3, 1, 3, 8. Jaka jest wartoœæ tego wielomianu w punkcie x = 0? 2. ZnaleŸæ wielomian interpolacyjny Lagrange a, który w punktach 0, 1, 2 przyjmuje wartoœci odpowiednio 1, 1, 3. Obliczyæ wartoœæ tego wielomianu w punkcie x = 1/2. 3. Dla danych z zadania 2 znaleÿæ wartoœæ wielomianu interpolacyjnego w punkcie x = 1/2 stosuj¹c algorytm Neville a. 4. Dla danych z zadania 2 znaleÿæ wielomian interpolacyjny stosuj¹c wzór interpolacyjny Newtona. 5. Napisaæ wzór interpolacyjny Newtona dla funkcji f(x) i nastêpuj¹cych danych: f(0) = 1, f(2) = 3, f(3) = 2, f(4) = 5, f(6) = Udowodniæ, e je eli to Jaka jest wartoœæ tego ilorazu ró nicowego, gdy n = p. + 1? 7. Obliczyæ ró nice progresywne wielomianu przyjmuj¹c h = ZnaleŸæ ró nice wsteczne wielomianu W 4(x) z zadania Udowodniæ, e jeœli x i = x 0 + ih, i = 0, 1,..., k, to

12 3.9. Interpolacja funkcjami sklejanymi Pokazaæ, e 11. Udowodniæ, e 12. Korzystaj¹c z przedstawienia wielomianu interpolacyjnego za pomoc¹ ró nic progresywnych znaleÿæ ten wielomian, gdy f(0) = 1, f(1) = 3, f(2) = 2 i f(3) = Dla danych z zadania 12 znaleÿæ wielomian interpolacyjny korzystaj¹c jego przedstawienia za pomoc¹ ró nic wstecznych. 14. Dane s¹ punkty x i(i = 0, 1, 2) o krotnoœciach m ioraz wartoœciach funkcji f i jej pochodnych w tych punktach: i xi mi f(x) i f (x) i 2 1 f (x) i 2 Skonstruowaæ wielomian interpolacyjny Hermite a pos³uguj¹c siê wzorami (3.15) na wspó³czynniki. 15. Dla danych z zadania 14 wyznaczyæ wspó³czynniki wielomianu interpolacyjnego Hermite a korzystaj¹c z uogólnionych ilorazów ró nicowych. 16. Z jak¹ dok³adnoœci¹ mo na obliczyæ ln(100,5) przy u yciu wzoru interpolacyjnego Lagrange a, je eli dane s¹ wartoœci ln(100), ln(101), ln(102) i ln(103). 17. Udowodniæ, e jeœli funkcja g interpoluje funkcjê f w wêz³ach x 0, x 1,..., x n 1, a funkcja h interpoluje funkcjê f w wêz³ach x, x,..., x, to funkcja 1 2 n interpoluje funkcjê f we wszystkich wêz³ach x 0, x 1,..., x n(funkcje g i h nie musz¹ byæ wielomianami). 18. Udowodniæ, e jeœli funkcja g (wielomian lub nie) interpoluje funkcjê f w wêz³ach x 0, x 1,..., x n 1, a funkcja h jest funkcj¹ tak¹, e h(x i) = in (0 i n), to istnieje sta³a c, dla której funkcja g + ch interpoluje funkcjê f w punktach x, x,..., x. 0 1 n

13 Wielomian interpoluje cztery pocz¹tkowe punkty z tablicy x f(x) Dodaj¹c do wielomianu p jeden sk³adnik, wyznaczyæ wielomian interpoluj¹cy wszystkie dane. 20. Dla jakich wartoœci a, b i c funkcja mo e byæ w przedziale [0, 3) naturaln¹ funkcj¹ sklejan¹ stopnia trzeciego? 21. Dla jakich wartoœci parametrów a, b, c i d funkcja jest funkcj¹ sklejan¹ stopnia trzeciego? 22. Dla jakich wartoœci parametrów a i b funkcja jest funkcj¹ sklejan¹ stopnia trzeciego? 23. Dla jakich wartoœci parametrów a, b, c i d funkcja mo e byæ w przedziale [ 1, 1) naturaln¹ funkcj¹ sklejan¹ stopnia trzeciego?