O układzie Lorenza Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja kopernika Toruń, 3 grudnia 2009
Spis treści 1 Wprowadzenie Wyjaśnienie pojęć 2 O dziwnych atraktorach 3
Wyjaśnienie pojęć Dowolny układ fizyczny, który zachowuje się nieokresowo, jest nieprzewidywalny. xxx Edward Norton Lorenz
Dlaczego efekt motyla? Wyjaśnienie pojęć Edward Lorenz był pierwszym meteorologiem, który odkrył, że nie sposób zrobić dobrej prognozy pogody na dłużej niż kilka dni naprzód, bo równania opisujące stan atmosfery są chaotyczne. Lorenz obrazowo mawiał, że nawet machnięcie skrzydeł motyla w Brazylii może wywołać tornado w Teksasie. W roku 1963 ukazała się jego praca, w której przedstawił swoj powszchnie dziś znany układ trzech równań różniczkowych zwyczajnych, opisujący zjawiska atmosferyczne. Równania te pomogły mu pokazać, iż niewielka zmiana w jednym z punktów atmosfery może być przyczyną wielkich zmian w innym jej obszarze. Od tamtego czasu fakt, że niezwykle małe zaburzenia mogą prowadzić w rezultacie do rewolucyjnych zmian w różnych dziedzinach nauki, zwykło się nazywać efektem motyla. W naszym kontekście chodzi o wielką wrażliwość zachowania układów nieliniowych na niewielkie zmiany zadanych warunków początkowych.
Dlaczego dziwny atraktor? Wyjaśnienie pojęć Globalny atraktor intuicyjnie jest zbiorem, do którego zbliżają się asymptotycznie wszystkie trajektorie. Jedna z bardziej znanych i przyjętych definicji mówi, że dziwny atraktor, to taki, który posiada strukturę fraktala. Taki atraktor przejawia przy tym wszelkie oznaki chaosu. są pomostem łączącym chaos i fraktale. Jeżeli patrzymy na nie jako na struktury geometryczne, widzimy fraktale (związane jest to z wymiarem Hausdorffa atraktorów), jeżeli chcemy je analizować jako układy dynamiczne, to mamy do czynienia z chaosem (co z kolei wiąże się z wykładnikiem Lapunowa). W rzeczywistości trudno podać konkretną definicję matematyczną dziwnego atraktora. Spróbujmy to zrobić na następnym slajdzie.
O dziwnych atraktorach Własności dziwnego atraktora próba zdefiniowania tego obiektu Niech T (x,y,z) będzie danym przekształceniem w przestrzeń ze współrzędnymi x i y. Ograniczony podzbiór A tej płaszczyzny jest chaotycznym i dziwnym atraktorem dla przekształcenia T, jeśli istnieje zbiór R spełniający następujące warunki: Atraktor R jest otoczeniem A, tzn. dla każdego punktu (x,y) ze zbioru A istnieje mały dysk o środku w punkcie (x,y), który jest zawarty w R. To implikuje w szczególności, że A jest zawarty w R. R jest obszarem-pułapką, tzn. każda orbita startująca w R, pozostaje w R dla wszystkich iteracji. Co więcej, orbita staje się bliska A i zostaje tak blisko niego, jak tylko chcemy. Zatem A jest atraktorem.
O dziwnych atraktorach Własności dziwnego atraktora próba zdefiniowania tego obiektu Niech T (x,y,z) będzie danym przekształceniem w przestrzeń ze współrzędnymi x i y. Ograniczony podzbiór A tej płaszczyzny jest chaotycznym i dziwnym atraktorem dla przekształcenia T, jeśli istnieje zbiór R spełniający następujące warunki: Wrażliwość Orbity startujące w R wykazują czułą zależność od warunków początkowych. To czyni A atraktorem chotycznym.
O dziwnych atraktorach Własności dziwnego atraktora próba zdefiniowania tego obiektu Niech T (x,y,z) będzie danym przekształceniem w przestrzeń ze współrzędnymi x i y. Ograniczony podzbiór A tej płaszczyzny jest chaotycznym i dziwnym atraktorem dla przekształcenia T, jeśli istnieje zbiór R spełniający następujące warunki: Fraktal Atraktor ma strukturę fraktala a zatem nazwiemy go dziwnym atraktorem.
O dziwnych atraktorach Własności dziwnego atraktora próba zdefiniowania tego obiektu Niech T (x,y,z) będzie danym przekształceniem w przestrzeń ze współrzędnymi x i y. Ograniczony podzbiór A tej płaszczyzny jest chaotycznym i dziwnym atraktorem dla przekształcenia T, jeśli istnieje zbiór R spełniający następujące warunki: Mieszanie A nie może zostać podzielony na dwa różne atraktory (Odnotujmy tu uwagę, że to nie implikuje, że atraktor musi być zbiorem spójnym). Istnieją punkty początkowe ze zbioru R z orbitami, które podchodzą dowolnie blisko do dowolnego punktu atraktora A.
układu Lorenza Obecnie układ Lorenza jest bardziej znany jako układ 3 nieliniowych równań różniczkowych: ẋ = σ(y x) ẏ = x(ρ z) y ż = xy βz gdzie: σ stała Prandtla, ρ stała Rayleigha, σ, ρ, β > 0. Jednakże zwykle podaje się: σ = 10, β = 8 3, ρ jest zmienne. Rysunek: Atraktor Lorenza dla ρ = 28, σ = 10, β = 8 3.
Atraktor Lorenza możemy także narysować przy pomocy Maple a:
Zachowanie atraktora Lorenza Z rysunku na poprzednim slajdzie wiemy już jak wygląda ten atraktor. Widzimy tam dwie powierzchnie (skrzydła motyla), po których trajektorie poruszają się ruchem spiralnym na zewnątrz. Kiedy odległość od środka jednej spirali staje się większa niż pewien określony próg, rozwiązanie jest wyrzucane z tej spirali i przyciągane do drugiej, gdzie znowu zaczyna wędrować ruchem spiralnym na zewnątrz i tak dalej. Liczby takich spiralnych iteracji jakie orbita spędza w jednej spirali a później w drugiej, potraktowane jako ciąg liczbowy nie wykazują żadnej regularności (Ta własność zależy ściśle od wyboru trajektorii!). Nawet przy wyborze dwóch bardzo bliskich punktów startu, albo nawet tego samego punktu startu, ale obliczenia wykonamy na dwóch komputerach, wówczas ciągi te różnią się między sobą od pewnego miejsca. Tu właśnie ujawnia się chaos i ogromna wrażliwość na warunki początkowe.
Problem: pytanie retoryczne, a może zadanie... Rzecz warta przemyślenia Czy dla dowolnego ciągu liczb naturalnych, nie za dużych, na przykład 3,11,7,... istnieje trajektoria na atraktorze Lorenza, dla której kolejne liczby ciągu określają ilość ruchów po każdej ze spiral na przemian? Zatem czy istnieje rozwiązanie, które obiega prawą spiralę 3 razy, potem lewą spiralę 11 razy, prawą 7, i tak dalej?
Punkty stacjonarne Znajdujemy je rozwiązując prosty układ równań: σ(y x) = 0 x(ρ z) y = 0 xy βz = 0 Punktami tymi są: P 1 = (0, 0, 0) ( P 2 = β(ρ 1), ) β(ρ 1), ρ 1 ( ) P 3 = β(ρ 1), β(ρ 1), ρ 1
Następnie zbadajmy stabilność otrzymanych punktów. Macierz linearyzacji układu Lorenza ma postać: σ σ 0 ρ z 1 x y x β Nietrywialne rozwiązanie jest możliwe wtedy i tylko wtedy, gdy: det(a λi) = 1, czyli, gdy: det σ σ 0 ρ z 1 x = 0. y x β
Wartościami własnymi dla P 1 = (0, 0, 0), w tym przypadku są: λ 1 = β λ 2 = 1 [ (σ + 1) + ] (σ + 1) 2 2 4σ(1 ρ) λ 3 = 1 [ (σ + 1) + ] (σ + 1) 2 2 4σ(1 ρ).
Dla punktów P 2 i P 3 otrzymujemy równanie charakterystyczne postaci: gdzie: λ 3 + a 2 λ 2 + a 1 λ + a 0 = 0, a 0 = 2σβ(ρ 1) a 2 = β(ρ + σ) a 3 = σ + β + 1. Zakładając, że istnieje wartość krytyczna ρ c dla ρ, poniższe nierówności są prawdziwe: Reλ < 0 dla 1 < ρ < ρ c, Reλ > 0 dla ρ > ρ c.
To prowadzi nas do otrzymania wartości ρ c : ( ) σ + β + 3 ρ c = σ. σ β 1 Lorenz przyjął: σ = 10, β = 8 3, co prowadzi do: ρ c = 470 19 24, 74.
Zatem układ Lorenza możemy zapisać w postaci: ẋ = 10y 10x ẏ = x(ρ z) y ż = xy 8 3 z.
KONIEC