Analiza Matematyczna Szeregi liczbowe Alexander Denisjuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych zamiejscowy ośrodek dydaktyczny w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdańsk Analiza Matematyczna p. 1
Szeregi liczbowe Najnowsza wersja tego dokumentu dostępna jest pod adresem http://users.pjwstk.edu.pl/~denisjuk/ Analiza Matematyczna p. 2
Szeregi zbieżne i rozbieżne Definicja 1. 1. Szeregiem liczbowym nazywa się formalna suma u 1 + u 2 + + u k + = u k, (1) gdzie u k R dla k = 1,2,.... 2. Suma S n = u 1 + u 2 + + u n = n częściowa szeregu 1. u k nazywa się suma 3. Szereg 1 nazywa się zbieżnym, jeżeli istnieje granica S = lim n S n ciagu sum częściowych przy n. 4. Granica ta nazywa się suma szeregu 1, oznaczenie S = u k. 5. Szereg, który nie jest zbieżnym, nazywa się rozbieżnym. Analiza Matematyczna p. 3
Przykłady szeregów Przykład 2. 1. 2. 3. x k 1 (k 1)!. ( 1) k 1 x 2k 1 (2k 1)! q k. 4. Szereg harmoniczny:. 1 k. Analiza Matematyczna p. 4
Własności szeregów zbieżnych Twierdzenie 3. Niech dane będa dwa zbieżne szeregi Wtedy u k oraz v k. 1. Suma i różnica ciagów jest zbieżna, przy czym (u k ± v k ) = 2. λ R szereg u k ± 3. Szereg, otrzymany z szeregu wyrazów, jest zbieżnym. v k. λu k jest zbieżnym oraz λu k = λ u k zamiana skończonej ilości u k. Analiza Matematyczna p. 5
Kryterium Cauchy ego zbieżności szeregów Twierdzenie 4 (Kryterium Cauchy ego). Szereg u k jest zbieżnym wtedy i tylko wtedy, gdy ε > 0 N N takie, że n 1 > n 2 > N spełnia się n 1 nierówność u k k=n 2 < ε. Wniosek 5 (Konieczny warunek zbieżności szeregu). Niech szereg będzie zbieżnym. Wtedy u k = o(1) przy k. Przykład 6. Szereg 1 k 2 1+20k+400k 2 jest rozbieżnym. u k Uwaga 7. Warunek 5 nie jest dostatecznym warunkiem zbieżności szeregu, patrz, na przykład, szereg harmoniczny. Analiza Matematyczna p. 6
Szeregi o wyrazach nieujemnych Twierdzenie 8. Szereg o wyrazach nieujemnych jest zbieżnym wtedy i tylko wtedy, gdy ciag sum częściowych jest ograniczonym Twierdzenie 9 (Kryterium porównawcze zbieżności szeregu o wyrazach nieujemnych). Niech, poczynajac z pewnego k, zachodzi nierówność 0 u k v k. Wtedy 1. Jeżeli szereg 2. Jeżeli szereg Przykład 10. 1. Szereg v k jest zbieżnym, to u k jest rozbieżnym, to u k też jest zbieżnym. v k też jest rozbieżnym. 1 2+b k, gdzie b > 0 jest zbieżnym dla b > 1 oraz rozbieżnym dla 0 < b 1. 1 k jest rozbieżnym dla 0 < α 1. α 2. Szereg Analiza Matematyczna p. 7
Kryterium d Alemberta Twierdzenie 11 (Kryterium d Alemberta zbieżności szeregu o wyrazach = L. Wtedy u nieujemnych). Niech będzie u k > 0 oraz lim k+1 k u k 1. Jeżeli L < 1, to 2. Jeżeli L > 1, to Przykład 12. ( k) k k!. u k jest zbieżnym. u k jest rozbieżnym. u Uwaga 13. Jeżeli w warunkach twierdzenia 11 lim k+1 k u k u k może być zarówno zbieżnym ( później) jak i rozbieżnym ( 1/k). = 1, co szereg 1/k 2, dowód będzie podany Analiza Matematyczna p. 8
Kryterium Cauchy ego Twierdzenie 14 (Kryterium Cauchy ego zbieżności szeregu o wyrazach nieujemnych). Niech będzie u k 0 oraz lim k k u k = L. Wtedy 1. Jeżeli L < 1, to 2. Jeżeli L > 1, to Przykład 15. k 2 k. u k jest zbieżnym. u k jest rozbieżnym. Analiza Matematyczna p. 9
Całkowe kryterium Cauchy ego-maclaurina Twierdzenie 16 (Całkowe kryterium Cauchy ego-maclaurina zbieżności szeregu o wyrazach nieujemnych). Niech dana będzie funkcja f(x): nieujemna i niemalej szereg k=m aca na półprostej [m,+ ), gdzie m Z. Wtedy f(k) = f(m) + f(m + 1) + f(m + 2) +... jest zbieżnym wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje granica ciagu lim n n m Dowód. k n, x [k,k + 1] zachodzi nierówność f(k) f(x) f(k + 1). Wynika stad, że f(x)dx. k+1 k f(k)dx k+1 k f(x)dx k+1 k f(k + 1)dx. Analiza Matematyczna p. 10
Całkowe kryterium Cauchy ego-maclaurina. Przykład Przykład 17. 1. 2. k=2 1 k ln β k. 1 k α, Analiza Matematyczna p. 11
Zbieżność warunkowa i bezwzględna Definicja 18. 1. Szereg (bezwarunkowo), jeżeli zbieżnym jest szereg 2. Zbieżny szereg warunkowa jeżeli szereg Twierdzenie 19. Jeżeli szereg jest zbieżnym. u k nazywa się zbieżnym bezwzględnie u k. u k nazywa się zbieżnym warunkowo,zbieżność u k jest rozbieżnym. u k jest zbieżnym, to szereg u k też Analiza Matematyczna p. 12
Zbieżność warunkowa i bezwzględna. Przykłady Przykład 20. 1. 2. ( 1) k 1 k. ( 1) k 1 k 2, Twierdzenie 21 (Riemann). Niech szereg u k będzie zbieżnym warunkowo. Wtedy L R można tak przestawić wyrazy szeregu, że szereg przekształcony zostanie zbieżnym do L. Twierdzenie 22 (Cauchy). Niech szereg u k będzie zbieżnym bezwarunkowo. Wtedy dowolny szereg otrzymany poprzez przestawienie wyrazów z istotnego szeregu będzie zbieżnym bezwarunkowo do tej samej sumy. Analiza Matematyczna p. 13
Szeregi przemienne Definicja 23. Szereg naprzemian dodatnie i ujemne. Twierdzenie 24 (Leibniz). Jeśli 1. 0 u k+1 u k dla k = 1,2,..., 2. lim k u k = 0, ( 1) k u k jest zbieżnym. to szereg Przykład 25. ( 1) k k u k nazywamy przemiennym, jeśli jego wyrazy sa Analiza Matematyczna p. 14