Metody Knetyk Booleklarnej n vtro n vvo czwarta sera zadań 25 paźdzernka 26 Zadane. Rch cząstk w ośrodk lepk pod wpływe (stałej sły. W zadan 4 perwszej ser zadań rozważana była dyfzja w obecnośc stałej sły zewnętrznej. Obecność tej sły prowadz do pojawena sę prędkośc noszena cząstk określonej jako współczynnk proporcjonalnośc ędzy x pływe czas t. Zostało zasygnalzowane, że prędkość ta jest równa stosnkow dzałającej na cząstkę sły współczynnka opor. Wyprowadź ten zwązek (zwązek wyprowadzony przez Stokesa w 845 rok. Rozwązane: Rch cząstk w ośrodk lepk z słą opor proporcjonalną do prędkośc skerowaną przecwne do kernk rch oraz pod wpływe stałej sły opsje następjące równane rch: d2 x dt 2 dt + F gdze jest asą cząstk a współczynnke opor. Zaenay to równane na równane perwszego rzęd, w który szkaną fnkcją jest prędkość dv dt v + F Rozwązjey to równane podstawając v f g skąd otrzyjey ( df dt g + dg dt f + fg F Wyberay taką fnkcję g aby dg dt + g stosowne do tego określy fnkcję f. Otrzyjey dg g ( dt g g o t skąd równane na f a postać df dt F g o ( t f F ( ( t g o Tak węc otrzyjey następjące wyrażene na prędkość v F ( e t/ Równane to ów na, że po nagły przyłożen zewnętrznej sły cząstka porsza sę przez czas rzęd / rche zenny, po czy jej prędkość jest stała wartość tej prędkośc wynos F/.
Proble ten ożey też rozwązać zaważając, że równane ( jest to nejednorodne lnowe równane różnczkowe perwszego rzęd, o stałych współczynnkach korzystając z ogólnej etody rozwązywana takch równań (etody Elera. W etodze tej najperw rozwązjey równane jednorodne szkając rozwązana w postac dv dt v v e λt po podstawen proponowanego rozwązana do równana jednorodnego dostaney λe λt λv v a węc λ następne szkay rozwązana równana nejednorodnego w postac v c(te t/ gdze c(t s spełnać narzcony warnek początkowy [w naszy przypadk jest to v( ]. Dostajey Czyl c (te t/ c(t e t/ c (te t/ v v + F c (t F et/ co daje dc F et/ dt skąd c(t c o + F ( e t/ v(t [ c o + F ( e t/ ] e t/ Korzystay z warnk początkowego c o czyl ostateczne v(t F ( e t/ e t/ F ( e t/ W końc, rozważana teoretyczne dotyczące etody rozwązywana nejednorodnych lnowych równań różnczkowych perwszego rzęd (które pownn Państwo poznać na stdach perwszego stopna, tj. równań postac dy + q(ty r(t dt 2
prowadzą do wzor ogólnego na rozwązane spełnające warnk początkowe w postac gdze nas Podstawene daje oraz skąd [ t ] [ t ] t y y o q(τdτ + q(τdτ r(τq(τdτ q(t [ t ] Q(τ q(τdτ oraz ( Q(t t r(t F v(t ( t ( t F τ dτ F ( t v(t F [ ( ] t [ ( ] t Zadane 2. Dyfzja w obecnośc zewnętrznej sły (równane Solchowskego. Korzystając z etody zastosowanej w Zadan perwszej ser zadań z rozwązana poprzednego zadana, wyprowadź jednowyarowe równane dyfzj cząsteczk poddanej dzałan sły zewnętrznej. Rozwązane: Rozwązjąc zadane perwszej ser, wyszlśy z I prawa Fcka zapsanego dla sytacj jednowyarowej J D c x gdze J(x, t jest strene cząsteczek następne rozważalśy wynk netto transport dyfzyjnego cząsteczek przez dwe równoległe powerzchne odległe od sebe o. W przypadk stnena sły zewnętrznej (powyższe równane wążące streń cząsteczek z gradente stężena podane przez Fcka trac słszność. Zacznjy węc od odyfkacj tego równana. Jak wykazalśy rozwązjąc perwsze zadane dzsejszej ser, wywerając słę F na cząstkę wpraway ją w rch z prędkoścą noszena określoną wzore v F/. Ta prędkość netto nadana wszystk cząstko daje wkład do strena cząstek przechodzących przez powerzchnę S prostopadłą do kernk rch, w czase t. Lczba cząsteczek, które przepłyną przez powerzchnę S jest określona przez loczyn stężena objętośc prostopadłoścan o powerzchn S wysokośc v t: n c S v t J F n S t cv F c całkowty streń przez powerzchnę S w pnkce x wynos J D c x + F c 3
Prawo zachowana asy a foralne tę saą postać co w sytacj opsanej w zadan ser perwszej, tyle że zena sę wyrażene na streń: skąd dostajey c t J x ( D c x x + F c c t D 2 c x F 2 Jest to szkane jednowyarowe równane dyfzj w obecnośc sły zewnętrznej. Zadane 3. Równane Enstena. Wykorzystaj rozważana przedstawone przy rozwązywan poprzednego zadana do wyprowadzena zwązk ędzy współczynnke dyfzj współczynnke opor lepkego. Rozwązane: Zwązke jak jest na potrzebny jako pnkt startowy jest równane na całkowty streń cząstek przez powerzchnę S w pnkce x w przypadk dyfzj w obecnośc sły zewnętrznej: J(x D dc + F c c x W warnkach równowag streń netto znka, J(x, skąd D dc F c To równane różnczkowe pokazje w jak sposób nejednorodny rozkład stężena oże być stanowony przez dzałane sły zewnętrznej. Ma ono zastosowane np. do charakteryzowana rozkład jonów w sąsedztwe błony koórkowej. Separjąc zenne dostajey: D dc c F Aby to równane scałkować, potrzebne jest na wyrażene na zależność F od x. Jeśl dzałająca sła F jest słą potencjalną, np. słą elektrostatyczną, to ożey ją przedstawć jako jeny gradent pewnego potencjał, F du/. Podstawając to do naszego równana otrzyjey D dc c du Całkowane tego równana daje U(x c(x c( e D e U( D co przypona prawo rozkład Boltzanna jest dokładne ty prawe jeśl przyjąć, że D kt, lb naczej D kt Jest to słynne równane Enstena. W 95 rok, Ensten nezależne astraljsk fzyk Stherland, wykorzystjąc równane Stokesa równane van t Hoffa na cśnene osotyczne, Π crt 4
powązal współczynnk dyfzj translacyjnej cząstk sferycznej ze współczynnke opor Stokes a, otrzyjąc: D t kt 6πησ w który η to lepkość ośrodka, a σ to proeń cząstk sferycznej. Ensten, wyprowadzając powyższe równane, wystartował z pewnych rozsądnych założeń, a następne łożył rozwązał cząstkowe równane różnczkowe (znane jako równane Fokker a-planck a na ewolcję czasową gęstośc prawdopodobeństwa położena cząsteczk Brownowskej. Znaczne prostszy było podejśce do tego proble przedstawone przez Pala Langevn a, który zastosował do ops rch cząsteczk Brownowskej drge prawo Newtona. Z ty podejśce wąże sę kolejne zadane. Zadane 4. Zwązek ędzy stałą dyfzj a współczynnke opor Stokes a etoda Pala Langevn a. Wyprowadź zwązek: D t kt 6πησ korzystając z równana Langevn a, opsjącego rch brownowsk cząstk w lepk płyne, zderzającej sę przypadkowo z cząsteczka rozpszczalnka: d2 x dt 2 dt + F L(t gdze F L (t jest słą stochastyczną opsjącą wynk zderzeń danej cząstk z cząsteczka rozpszczalnka. Rozwązane: Mnożąc obe strony równana Langevna przez x oblczając średną w przedzale czas δt dostajey x d2 x dt 2 δt x dt δt + xf L (t δt (2 Drg wyraz po prawej strone jest równy zer z wag na właścwośc sły F L jej neskorelowane z x. Różnczkjąc obstronne względe t równane dostajey d 2 x 2 2 dt 2 skąd po prosty przekształcen ay 2 2 dt x dt ( 2 + x d2 x dt dt 2 x d2 x dt d 2 x 2 2 2 dt 2 ( 2 dt Mnożyy to ostatne równane obstronne przez średnay x d2 x dt x 2 ( 2 2 2 d2 dt 2 dt 5
Jak wdać lewa strona powyższego równana jest tożsaa z lewą stroną równana (2, skąd ay d 2 x 2 ( 2 d x 2 2 dt 2 dt 2 dt gdze przy zapsan prawej strony skorzystalśy ze zwązk x dt 2 2 dt jż żytego powyżej. Rozwązjąc to ostatne równane podstaway ( 2 kt dt czyl przyrównjey energę knetyczna cząsteczk z energą terczną wprowadzay zenną z d x2 dt skąd dostajey równane na z dz 2 dt kt + 2 z czyl dz dt + z 2kT Jest to nejedorodne lnowe równane różnczkowe perwszego rzęd o stałych współczynnkach. W zadan perwszy tej ser rozwązalsy take równane na trzy sposoby. Korzystając z przyponena ogólnej postac rozwązana lnowego równana różnczkowego perwszego rzęd 2, ay rozwązane następjące: z q(τ Natoast r(τ 2kT t z z( [ q(τdτ] + t Q(t [ r(τq(τdτ] Q(t [ t q(τdτ]. Oblczy najperw t ( Q(t [ dτ] t t ( [ dτ] t 2 Przedstawając ogólne lnowe równane różnczkowe perwszego rzęd w postac ẏ + q(ty f(t Jeśl y jest rozwązane równana jednorodnego, czyl ẏ + q(ty y 2 jest dowolny rozwązane równana nejednorodnego, to cy + y 2, gdze c [y o y 2 (]/y ( to dowolna stała, jest rozwązane równana nejednorodnego, spełnający warnek początkowy y( y o. Wyagany przy ty warnek, że y ( jest spełnony, gdyż y [ t q(τdτ]. Natoast, y 2 [ t r(τq(τdτ]/q(t, gdze Q(t [ t q(τdτ]. Poneważ y ( y 2 (, rozwązane spełnający warnek początkowy jest y y o y + y 2 6
w końc t ( 2kT τ dτ 2kT [ ( ] t 2kT [ ( ] t Podstaway wszystke te cząstkowe wynk do naszego ogólnego rozwązana z z( ( t + ( 2kT [ ( ] t t co ożey przedstawć jako: z C z( + 2kT/. z 2 kt ( + C t Dla obektów welkośc olekły bałka / jest rzęd 3 sek. Dla czasów dłższych nż ta wartość, ay z t>/ 2 kt d x2 x 2 2 kt dt t skąd dostajey D kt/, wyrażene wyprowadzone przez Enstena przez Stherlanda w 95 rok, gdyż w rch jednowyarowy x 2 2Dt Zadane 5. Mając wzór na stosnek prawdopodobeństwa znalezena kład w stane o energ E ( do prawdopodobeństwa znalezena go w stane o energ E (2 E ( p ( E (2 e E( /k B T e E(2 /k B T wyprowadzony przy rozwązywan zadana 2 z poprzednej ser, wykaż, że p ( E ( gdze Z jest są stanów (Z e E( /k B T. e E( /k B T Z Rozwązane: Relacja E ( p ( E (2 e E( /k B T e E(2 /k B T oznacza, że prawdopodobeństwo p ( E ( p ( E ( jest proporcjonalne do e E ( /k B T, a węc k e E ( /k B T Skoro sa wszystkch prawdopodobeństw jest równa, to p ( E ( k e E( 7 /k B T k e E( /k B T
a stąd ay nasz wzór k p ( E ( e E( /k B T Z e E( /k B T Z Alternatywne ożna ten wynk osągnąć startjąc z wyrażena E (. Podzely obe strony przez E (k E ( May czyl dalej e E(k E ( e E( /k B T e E(k /k B T e E( /k B T e E(k /k B T /k B T e E( /k B T Wprowadzając oznaczene Z e E( /k B T, ay e E(k Z /k B T skąd ay nasz wzór e E(k /k B T Z 8