Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria Środowiska w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
9. Funkcja logarytmiczna 1. Logarytmy. Niech a R + \ {1}, b R +. Logarytmem liczby b przy podstawie a nazywamy liczbę c wtedy i tylko wtedy, gdy a c = b. Piszemy log a b = c b = a c. log a 1 = 0 log a a = 1 a log a b = b log = log 10 a logarytm dziesiętny ln a = log e a logarytm naturalny (e, 7188188) Działania na logarytmach log a (b 1 b ) = log a b 1 + log a b, a R + \ {1}, b 1, b R + log a ( b 1 b ) = log a b 1 log a b, a R + \ {1}, b 1, b R + log a b m = m log a b, a R + \ {1}, b R +, m R log a b = log c b log c a, a, c R + \ {1}, b R + log a b = 1 log b a, a, b R + \ {1}. Funkcja logarytmiczna. Funkcja logarytmiczna to funkcja postaci f(x) = log a x, gdzie a R + \ {1}, x R +. WŁASNOŚCI: dziedzina R + ; zbiór wartości R; funkcja różnowartościowa; funkcja ciągła; funkcja odwrotna do funkcji wykładniczej o tej samej podstawie; jeśli a > 1, to funkcja jest rosnąca; jeśli 0 < a < 1, to funkcja jest malejąca. 40
. Równanie logarytmiczne Jeżeli f(x) > 0, g(x) > 0, a R + \ {1}, to log a f(x) = b f(x) = a b. lub log a f(x) = log a g(x) f(x) = g(x). 4. Nierówności logarytmiczne Jeśli 0 < a < 1, to log a f(x) > log a g(x) f(x) < g(x). Jeśli 0 < a < 1, to Jeśli a > 1, to Jeśli a > 1, to log a f(x) log a g(x) f(x) g(x). log a f(x) > log a g(x) f(x) > g(x). log a f(x) log a g(x) f(x) g(x). Przykładowe zadania 1. Obliczyć log. log = log 5 = 5 log = 5 Odpowiedź: 5.. Obliczyć log 1 7. log 1 7 = log 1 = log 1 Odpowiedź:. ( 1 ) =. Obliczyć log 5 log 5 81. log 5 log 5 81 = log 5 log 81 log 5 = log 5 log 4 log 5 = log 5 4 log log 5 = 4 = Odpowiedź:. 4. Obliczyć 4 log. 4 log = ( ) log = log = log = = 9 Odpowiedź: 9. 41
5. Rozwiązać równanie log 4 x =. Założenia: x > 0. Z definicji logarytmu otrzymujemy x = 4 = 64 Odpowiedź: x = 64. 6. Rozwiązać równanie log (x + 1) + log (x + ) =. Założenia: x + 1 > 0, czyli x > 1 oraz x + > 0,czyli x >. Zatem D = ( 1, + ). Korzystamy ze wzoru log a (x y) = log a x + log a y log ((x + 1)(x + )) = Z definicji logarytmu (x + 1)(x + ) = x + 4x 5 = 0 = 6, x 1 = 5 / D, x = 1 Odpowiedź: x = 1. 7. Rozwiązać równanie log 4 (x + ) log 4 (x 1) = log 4 8. Założenia: x + > 0, czyli x > oraz x 1 > 0, czyli x > 1. Zatem D = (1, + ). Korzystamy ze wzoru log a ( x y ) = log a x log a y oraz x = log a a x x+ log 4 x 1 = log 4 4 log 4 8 x+ log 4 x 1 = log 4 16 8 x+ log 4 x 1 = log 4 x+ x 1 = x + = (x 1) x = 5 Odpowiedź: x = 5. 8. Rozwiązać równanie log (x + 4x + 1) =. Założenia: x + 4x + 1 > 0, = < 0, D = R. Z definicji logarytmu x + 4x + 1 = x + 4x + = 0 = 4, x 1 =, x = 1 Odpowiedź: x {, 1}. 9. Rozwiązać równanie log x log(5x 4) = 1. Założenia: x > 0 oraz 5x 4 > 0, czyli x > 4 5 x 1 oraz log(5x 4) 0, log(5x 4) log 1, 5x 4 1, 4
Zatem D = ( 4 5, + ) \ {1}. Mnożymy obie strony przez log(5x 4) log x = log(5x 4) log x = log(5x 4) x = 5x 4 x 5x + 4 = 0 = 9, x 1 = 1 / D, x = 4 Odpowiedź: x = 4. 10. Rozwiązać nierówność log (x + ) >. Założenia: x + > 0, czyli x >, zatem D = (, + ). Korzystamy ze wzoru log a b m = m log a b log (x + ) > log x + > 8, czyli x > 6 Po uwzględnieniu dziedziny otrzymujemy, że x (6, + ). Odpowiedź: x (6, + ). 11. Rozwiązać nierówność log 1 (x 1) <. Założenia: x 1 > 0, czyli x > 1, zatem D = (1, + ). Korzystamy ze wzoru log a b m = m log a b ( log 1 (x 1) < log 1 1 ) x 1 > 1 4 (bo 1 (0, 1)) x > 5 4 ( ) Po uwzględnieniu dziedziny otrzymujemy x 5 4, + ( ) Odpowiedź: x 5 4, +. 1. Rozwiązać nierówność log (x 7) log (8 x). Najpierw wyznaczamy dziedzinę: x 7 > 0, czyli x > 7 oraz 8 x > 0, czyli x < 8. Zatem D = ( 7, 8). log (x 7) + log (8 x) Korzystamy ze wzoru log a (x y) = log a x + log a y oraz log a a k = k log ((x 7)(8 x)) log ((x 7)(8 x)) log 16x x 56 + 7x 9 x + x 65 0 x x + 65 0 = 9, x 1 = 5, x = 1 x (, 5] [ 1, + ) ( ] [ ) Po uwzględnieniu dziedziny x 7, 5 1, 8. 4
1 5 x Odpowiedź: x ( ] [ 7, 5 1 )., 8 1. Rozwiązać nierówność log x x > 1. Najpierw wyznaczamy dziedzinę: Założenie: x > 0 oraz x > 0, czyli x > oraz x 1, czyli x. Zatem D = (, ) (, + ). Rozważamy dwie sytuacje: gdy podstawa logarytmu jest większa od 1 lub gdy jest z przedziału (0, 1). a) x > 1, czyli x > wtedy funkcja logarytmiczna jest rosnąca, zatem log x x > log x (x ) x > x, czyli x < Po uwzględnieniu założeń x (, ). b) 0 < x < 1, czyli < x < 4, więc zatem log x x > log x (x ) x < x ( ) x > nie należy do przedziału, Odpowiedź: x (, ). < x < wtedy funkcja logarytmiczna jest malejąca, Zadania Obliczyć: 1. log 1 7.. log 1 9.. log 16 5. 4. log 8 1. 5. 49 log 7. 6. log 1. 9 7. ( 9) 1 5 log 5. 8. 4 +log 4 7. 9. log 6 4, gdy log 6 = a. Rozwiązać równanie: 10. log( x) = log(x + ). 11. log 1 (15 x) = 8. 1. log (x + 5) = 1. 1. log (x + x + ) =. 14. log 1 (x + ) =. 4 15. log x + log(x + ) = 1. 16. log ( log5 (x + 1) ) = 0. 17. log x 9 =. 18. log x = 6 + log x. 19. log x log(5x 4) = 1. 0. log x 4 log x =. 1. log (x 1) log = log (5 x) 1. 44
Rozwiązać nierówność: ( ). log x 4x+5 x 1 0.. log (x + ) + log (x + 14) < 6. 4. log x 1 < 0. 5. log (x + ) >. 6. log 1 (x ) <. 4 7. log x 5 (x 1) > 1. ( 8. log 1 log4 (x 5) ) > 0. 9. log x 5 < 5. 0. log x+5 x > 1. 1. log 0,1 x 5 log 0,1 x 6 0.. log x <.. log x 1 < 1. 4. log x 1 <. x+1 5. log 1 x <. 4 Naszkicować wykresy funkcji: 6. f(x) = log( x) +. 7. f(x) = log (x ) +. 8. f(x) = log 1 (x + 1). 9. f(x) = log 1 (x + ) 1. 5 Wyznaczyć dziedzinę funkcji: 40. f(x) = log(x 4) + 6 x. log(9 x 41. f(x) = ) x 1. 4. f(x) = log 1 (x ) 1. 4. f(x) = log x ( x). 44. f(x) = log (1 log 1 (x 5x + 6)). 45. f(x) = 1 log x 10 log (x+1). 45