XI Iteratioal PhD Workhop OWD 009, 17 0 October 009 ZASTOSOWANIE PREDYKCYJNYCH HYBRYDOWYCH UKŁADÓW STEROWANIA DO CELÓW STEROWANIA ZESPOŁEM SERWONAPĘDÓW W OBRABIARKACH NUMERYCZNYCH CNC USING THE HYBRID PREDICTIVE CONTROL SYSTEMS TO CONTROL A GROUP OF SERVO DRIVES USED IN CNC MACHINES Grzegorz Mikołajczyk, Ititute o Cotrol Egieerig, Wet Poeraia Uiverity o Techology, Szczeci Abtract Over the pat everal year egieer have bee carryig out reearch o dieret ethod o eective cotrol o coplicated oliear ad tievariat yte. Mot o the oliear yte odel paraeter ay have igiicat ucertaity ad their iput are coied to predeied aplitude liit. They reveal eature o cotiuou a well a dicrete yte aely they have aalog ad biary igal. Solutio baed o the theory o hybrid predictive cotrol ued i deigig o cotrol yte ay prove very ueul. The hybrid predictive cotrol yte ea that the yte iclude both aalog proce igal ad biary deciive igal, which are geerated by cotroller o the itelliget uperior cotrol yte. Techology baed o hybrid predictive cotrol yte could be helpul i a lot o practical ipleetatio. The paper preet a hybrid predictive cotrol trategy or cotrol ad tabilizatio o cotraied oliear yte with ucertaity ad deotrate oe o it beeit i ter o providig a ae olutio or the practical ipleetatio o MPC. It i how how the hybrid predictive cotrol trategy ca be ued to cotrol the group o ervo drive i a CNC achie. The cetral idea i to ue a aily o local liear cotroller, each with a explicitly characterized tability regio, a all-back cotroller ad ebed the operatio o MPC withi the uio o thee regio. The eectivee o the propoed approach i deotrated through exaple o iulatio carried out i Matlab/Siulik. Strezczeie IŜyierowie od kilkuatu lat prowadzą badaia ad róŝyi etodai kuteczej regulacji złoŝoych proceów ieliiowych (ag. oliear NL) oraz zieych w czaie (ag. tie-variat TV). Bardzo częto procey takie wykazują właściwości zarówo układów ciągłych jak i dykretych, to zaczy wytępują w ich ygały aalogowe oraz zerojedykowe. W projektowaiu układów regulacji dla tak złoŝoych proceów pooce ogą ię okazać rozwiązaia bazujące a teorii hybrydowych predykcyjych układów terowaia rozuiaych jako układy, w których wytępować ogą rówocześie aalogowe I biare (zerojedykowe) ygały obiektowe I decyzyje, które ą geerowae w adrzędy iteligety układzie terujący. Techika wykorzytująca regulację proceów opartą a hybrydowych układach terowaia oŝe ię okazać poocą w wielu praktyczych przypadkach autoatyzacji. Wyika to.i. z opiywaej w literaturze duŝej kuteczości takich regulatorów oraz aktu łatwej ich realizacji przy poocy układów prograowalych. W artykule przedtawioo podtawy teorii hybrydowych układów terowaia obiektai ieliiowyi i/lub ietacjoaryi (NLTV) oraz poób tworzeia układów regulacji hybrydowej dla potrzeb terowaia zepołe erwoapędów odpowiadających za pracę obrabiarek ueryczych typu CNC. W układach hybrydowych korzytających z teorii regulacji predykcyjej MPC wykorzytuje ię oŝliwość odelowaia ieliiowego obiektu zepołe lokalych odeli liiowych (ag. Liear Tie-Ivariat LTI) przełączaych w ukcji wektora tau, dla których projektuje ię lokale regulatory tau. Spooby i kuteczość działaia hybrydowych układów terowaia prawdzoo a drodze badań yulacyjych zaipleetowaych w arzędziu Matlak/Siulik przy poocy Hybrid Toolbox. Opiao podtawowe właściwości terowaego obiektu, zapropoowao poób ytezy terowaia układe wykorzytujący etodykę właściwą dla układów hybrydowych oraz przedtawioo przykładowe wyiki badań. 43
1. Hybrydowe predykcyje ytey terowaia Jedy z podtawowych waruków braych pod uwagę w trakcie projektowaia regulatora jet wyóg zachowaia tabilości układu regulacji. Staje ię to zczególie waŝe jeśli obiekt wykazuje właściwości ieliiowe. W przypadku hybrydowych układów regulacji typu MPC (Model Predictive Cotrol) touje ię róŝe etody liiowego terowaia optyalego p. terowaie predykcyje z odele proceu/obiektu, przełączae w ukcji wektora tau [3]. Główą zaletą takiego podejścia jet oŝliwość wykorzytaia zaej etodyki ytezy liiowych układów predykcyjych w projektowaiu ieliiowego układu regulacji oraz łatwość ipleetacji docelowego regulatora. Syteza układu wyaga wyzaczeia hybrydowego odelu proceu/obiektu, a atępie doboru paraetrów regulatora horyzotów predykcji i terowaia, wpółczyików wagowych kryteriu optyalości oraz ewetualych ograiczeń ygałów dla pozczególych obzarów odelu hybrydowego. Regulator hybrydowy rozwiązując ciągło-dykrety proble optyalizacyjy wypracowuje w ogólości wielowyiarowy ygał terujący oddziaływujący a eleety ciągłe i dykrete wchodzące w kład całego regulowaego proceu. W hybrydowych yteach terowaia dla obiektów ieliiowych z ograiczoyi ygałai wejściowyi i poiadającego róŝego rodzaju iepewości pooce ogą ię okazać truktury zawierające regulator predykcyjy oraz odpory ograiczoy regulator oparty a teorii Lapuowa. Ry.1. Scheat logiczy odporego hybrydowego predykcyjego yteu terowaia [1]. Fig.1. A logic diagra o the robut hybrid predictive cotrol tructure [1].. Projektowaie odporych hybrydowych predykcyjych yteów terowaia Deiicja opiująca hybrydowe ytey terowaia oŝe być wyraŝoa w atępujący poób: Hybrydowy układ regulacji H jet złoŝeie w potaci H = (Q, X,, Ii Iv, E, G, R) gdzie Q = {q 1,,q }- jet kończoą wartością taów dykretych, X = R - odwzorowuje tay ciągłe obiektu/układu, : Q x X X - jet pole wektorowy, Iit: Q x X - określa tay początkowe obiektu/układu, Iv: Q P(X) - opiuje tay iezieicze, E: Q x Q - określa tay przejść w układzie, G: E P(X) - jet warukie zadziałaia regulacji, R: E P(X x X) - jet tzw. apą reetującą, określającą powiązaie bieŝących taów ciągłych ze taai, które iały iejce w przezłości. Otrzyujey wyraŝeie (q, x) Q X jako ta hybrydowego układu regulacji H. W dalzej części artykułu pod uwagę będą wzięte ytey ieliiowe charakteryzujące ię ograiczeiai wejść i iepewościai zieych, a atępie podjęta zotaie próba zdeiiowaia i zaprojektowaia odporego hybrydowego predykcyjego yteu terowaia zapewiającego kuteczą regulację proceu w oparciu o ogólie orułowaą regulację predykcyją typu MPC z uwzględieie dowolych iepewości proceu [1, ]. Główą ideą jet wykorzytaie w trukturze yteu terowaia odporego regulatora opartego a teorii Lapuowa, dla którego oŝliwe jet oiągięcie tabilości proceu regulacji w pętli zwrotej układu, zapewiające ty ay prawidłowe regulowaie całego proceu, za który odpowiedzialy jet podtawowy regulator predykcyjy. Jet to oiągięte poprzez wypracowaie odpowiedio zdeiiowaych praw przełączaia poiędzy regulatore predykcyjy i odpory ograiczoy regulatore Lapuowa, w taki poób aby peraetie wykorzytywać regulator predykcyjy w kaŝdy przypadku kiedy jet to oŝliwe, a więc kiedy jakość regulacji jet atyakcjoująca, a jedyie przełączać układ regulacji a działaie regulatora zajdującego ię w pętli zwrotej układu tylko wtedy, gdy kolejo wypracowae ygały terujące z regulatora predykcyjego ie zapewiają utrzyaia odpowiedio wyokiej tabilości układu. 44
.1 Wprowadzeie teoretycze Niech będzie rozwaŝoy ieliiowy yte zawierający iepewości zieych i ograiczeia ygałów wejściowych, który oŝe być przedtawioy jako acierz w przetrzei tau [1]: x& u = ( x) + G( x) u + W ( x) θ U (1) gdzie x R ozacza wektor tau, [ ] = u u 1 u jet wektore terujący dla ograiczoych wejść, uwzględiając ieputy zbiór U = u R u < u, jet U R, gdzie { : ax } wektore Euklideowy, u ax>0 jet wartością bezwzględą ograiczeń ygałów wejściowych, a 1 q q θ = [ θ θ ] Θ R określa wektor iepewości (rówieŝ tych zieych w czaie), ale ograiczoych wartościai zawierającyi ię w podzbiorze R q. Wektor iepewości, θ(t) oŝe opiywać ziee w czaie róŝe paraetry iepewości i/lub zewętrze zakłóceia. W rozwaŝaiach załoŝoo, Ŝe wartość początkowa jet dla t) = θ(t) 0 ZałoŜoo, Ŝe wektor ukcji (x), acierze G( x) = [ g ( x) g ( x) ] 1 1 q i W ( x) = [ w ( x) w ( x) ], gdzie g1 ( x) R, i = 1... i w1 ( x) R, i = 1... q ą ukcjai gładkii.. Ograiczoy odpory regulator Lapuowa Niech będzie rozpatrzoy ieliiowy yte (1), w który wytępują ziee w czaie iepewości W(x)θ, dla którego opracowao odporą ukcję terującą Lapuowa V (RCLF Robut Cotrol Lyapuov uctio) [1, 4]. PoiewaŜ wytępujące iepewości ie zaikają w czaie, zbieŝość ayptotycza dla wartości początkowej ie oŝe być oiągięta w pętli zwrotej układu. Ale tay yteu w pętli zwrotej ogą być terowae, w kończoy czaie, dla dowolie ałych przedziałów czaowych w taki poób aby zapewić tabilość układu poprzez odpowiedi wybór regulatora [1]. ZałoŜoo itieie zaych obzarów obejujących wzytkie iepewości wytępujące w czaie. ZałoŜeie to jet powiązae z obzarowością wytępowaia trajektorii taów w pętli zwrotej układu i zapewia dowoly topień ołabieia eektu pojawiaia ię iepewości w wektorze tau. JeŜeli zotaie uŝyta ukcja RCLF, V to taie ię oŝliwe zaprojektowaie odpowiedio dobrze działającego odporego regulatora Lapuowa, działającego w pętli zwrotej układu zgodie z rówaie [1, 4]: k ( ) ( x, u )( L ) u = k,θ V () b ax G + ( u ax ( LGV ) ) ( u ( L V ) ) * ** L V + ( L V ) = ( L ) 1 + GV ax G 0, ( L V ) G = 0 * L V = L V + ( ρ x + χθ L V ) ** L V = L V + ρ x + χθ L gdzie LGV [ L V L V ] Ŝe ( ) 1 g g b b W W V 4, ( L GV ) 0 (3) x x φ + (4) = 1 jet wektore wierzowy, θb jet dodatią liczba rzeczywitą taką, θ t θ, dla kaŝdego t 0, a ρ, χ i φ ą regulowayi paraetrai, które pełiają waruki: ρ > 0, χ > 1 i φ > 0. Niech Π będzie zdeiiowae jako: ( ) ** Π θ u = x R L V u ( L V) b, ax : ax G (5) oraz załóŝy, Ŝe ta początkowy układu jet zawarty wew. Π. RówieŜ iech Ω będzie podzbiore zbioru Π zdeiioway jako: ax Ω = { x R : V ( x) c } (6) wtedy dając dowolą dodatią liczbę rzeczywitą d, taką Ŝe D : = x R : x d (7) { } Ω i dla dowolego waruku początkowego x 0 Ω, oŝe to wyraŝeie być przedtawioe jako dodatia * * liczba rzeczywita ε, taka Ŝe jeśli φ ( χ 1) < ε, to tay yteu w pętli zwrotej układu pełiają waruki: x t Ω t oraz li up x d. ( ) 0 t.3 Regulator predykcyjy MPC W ty podrozdziale przedtawioo podtawowe orułowaia pojawiające ię w teorii regulacji predykcyjej dla jej ajczęściej wytępujących przypadków. Wykorzytao te ogóle orułowaia cele zapropoowaia ajbardziej eektywej etody tworzeia odporych hybrydowych predykcyjych układów regulacji ogących łączyć w obie dowole właściwości dla typowej regulacji predykcyjej [1, 4, 5]. W regulacji predykcyjej MPC, terowaie w czaie t jet uowie uzykae poprzez rozwiązaie w czaie rzeczywity probleu optyalej regulacji uzykaej w kończoy horyzocie czaowy. Najczęściej propoowaą orą rozwiązaia probleu optyalizacyjego jet wyraŝeie: 45
J t+ T ) ) = ( x ( ) Q ) ) t ) = arg i{ A}: = M A = a J t.. & t) = t + T) (8) + u ( ) R )) d+ F( t + T)) ( x), )) θ ( ) Θ} ) S) ( t)) + G( t)) t) + W( t)) θ( t), 0) = x Ω MPC θ) 0 (9) (10) gdzie S = S( T ) jet grupą okreowych ukcji ciągłych, z okree, odwzorowaie [ t, t + T] wew. dopuzczalych ygałów terujących, T jet długością horyzotu, a θ określa obzar iepewości aleŝących do obzaru Θ. Sygał terujący u ( ) w S jet charakteryzoway przez wyraŝeie { u[ k] } gdzie u [ k] : = k ) i pełiające waruek u = u[ k] dla kaŝdego t [ k,( k + 1) ). J jet wkaźikie jakościowy, R iq ą całkowicie dodatii acierzai yetryczyi, a ukcja F ( t + T)) reprezetuje karę dla taów układu a końcu horyzotu predykcji. Wykraczaie poza wartość θ ie ui być uŝywae i rozwaŝae, jeśli regulacja predykcyja MPC ie jet orułowaa jako typu i-ax. Fukcja Q MPC θ ) oŝe być zieiaa, utawiaa bądź oŝe reprezetować ograiczeia ierówościowe. Te ograiczeia ogą bądź teŝ ie zawierać iepewości. Stabilość zagwaratowaa w regulacji predykcyjej jet zaleŝa od załoŝeń waruków początkowych. Oiągięcie bezpośrediej tabilości układu w pętli zwrotej yteu zawierającego iepewości i ograiczeia a wejściach układu jet podtawowy problee projektowy. 3. Odpory hybrydowy regulator predykcyjy badaia i yulacje 3.1 Przykład W ty podrozdziale pokazae zotaą wyiki zatoowaia propoowaego odporego hybrydowego predykcyjego regulatora do terowaia apędu obrabiarki pozwalającego a rozwiązaie/oiągięcie dwóch podtawowych zagadień: odpowiedio zodyikować pętlę prędkości, zczególie kiedy paraetry echaicze apędu ą porówywale z elektroechaiczyi i drugi waruek: - zapewić ztywość paraetrów pracy erwoapędu DC zczególie przy ałej prędkości obrotowej i ziey oecie obrotowy wału. Zaprezetowaa poiŝej etoda zoptyalizowaia paraetrów regulacji zapewia wyoką jakość adąŝaia za wartością zadaą (główie dla prędkości) i zaczący wzrot ztywości charakterytyki erwoapędu przy ziey przypiezeiu i ziey obciąŝeiu wału. Właściwości elektroechaicze apędu DC (wykorzytaego w badaiach jako uprozczoy odel działaia erwoapędu) ogą być przedtawioe za poocą rówań [5, 6, 8]: di Te + i = u ω dt dω T = i Tload dt (11) gdzie: T = T + T e e e T = T + T (1) gdzie Te, T ą zieyi elektryczyi (elektroagetyczyi) i echaiczyi (elektroechaiczyi) ającyi tałą wartość w czaie. Dla odelu oialego przyjęto T = 0, T = 0, T = 0. Natoiat ziee load e Te oraz T ogą ię zieiać w czaie i ogą być obarczoe róŝyi iepewościai. Układ rówań (11) oŝe być przekztałcoy do wyraŝeia: d ω dω TeT + T ( ) + ω t = dt dt dtload (13) = u Tload Te dt Zakładając zerowe obciąŝeie i wykoując przekztałceia traoraty Laplace a z uwzględieie zerowych waruków początkowych, rówaie (1) przyjuje potać: TeT + T + 1 ω( ) = ) (14) Jeśli wzięte zotaą pod uwagę izycze prawa odpowiadające za dyaikę przeyłowego yteu terowaia oŝa dojść do wioku, Ŝe te prawa ą bardzo złoŝoyi i trudyi zagadieiai [9]. Bardzo trudy zadaie jet zaprojektowaie i yteza praw rządzących układe terowaia dla obiektów ieliiowych. Wpólie przyjętyi i zaakceptowayi praktykai jet podejście liearyzacji rówań ieliiowych względe puktu pracy układu. W ty celu oŝa korzytać z teorii regulacji typu: PID, MPC czy wielu iych dających oŝliwość wykorzytaia przybliŝoych odeli 46
liiowych. Ale więkzość proceów przeyłowych zazwyczaj przedtawiaa jet jako złoŝeie części proceów wykazujących właściwości liiowe [10]. NiŜej zaprezetowae wykrey przedtawiają wyiki yulacyjych badań porówawczych w poobie działaia układów terowaia zepołai erwoapędów w obrabiarce ueryczej CNC. W ty celu do badań wykorzytao trzy etodologie: oawiaą w artykule hybrydową regulację predykcyją (RHPC), regulację typu PID i regulację typu MFC-V (Model-Followig Cotrol yte or velocity cotrol) [9, 11]. łuzość zatoowaia. Zatoowaie oawiaych truktur pozwoliło a zachowaie więkzej ztywości charakterytyki echaiczej działaia erwoapędów w porówaiu do klayczych etod regulacji, jak chociaŝby typu PID czy MFC-V [9, 11]. W rezultacie zatoowaia w odporych hybrydowych predykcyjych yteach terowaia odporego regulatora Lapuowa działającego w pętli zwrotej układu pozwoliło a pracę całego układu terującego w obzarze tabilości, a poprzez wykorzytaie zaad przełączaia poiędzy obydwoa regulatorai otrzyao wyoki wkaźik jakościowy dobrze zachowaej tabilości, awet w ytuacjach gdy regulacja predykcyja ie pozwalała a oiągięcie optyalych wyików. Cocluio I thi paper a robut hybrid predictive cotrol yte that provide greater tie o the echaical characteritic o a DC otor ervo-drive copared to the claic igle-loop PID cotrol yte or aother cotrol tructure i how (or exaple MFC-V ethod [9, 11]). The reultig robut hybrid predictive cotrol trategy ivolved uig a bouded robut cotroller, with a well characterized regio o robut tability, a a all back echai ad deviig a et o witchig rule that take the ucertaity ito accout ad orchetrate, accordigly, the traitio ro MPC to bouded cotrol to aitai robut cloed loop tability i the evet that the predictive cotroller wa uable to aitai it [1]. Ry.. Wyiki badań yulacyjych w poobie działaia hybrydowego odporego predykcyjego yteu terowaia Fig.. Robut Hybryd Predictive Cotroller - iulatio Warukie zadziałaia lokalego odelu regulatora taowiącego część złoŝoego odelu proceu, tj. warukie jego zadziałaia/przełączeia jet rówaie: Di = i ω ω. Do badań yulacyjych wykorzytao i zatoowao dziewięć odeli lokalych obiektu. Wioki Przedtawioe w iiejzy artykule zagadieia dotyczące odporych hybrydowych predykcyjych yteów terowaia i ich wykorzytaia do celów tabilej regulacji zepołai erwoapędów w obrabiarkach ueryczych CNC pozwalają wyuć wioek, Ŝe zapropoowaa etodologia a p Literatura 1. Chritoide P.D., El-Farra N.H.: Cotrol o Noliear ad Hybrid Proce Syte, LNCIS 34, 179-3 (005). Lygero J.: Lecture Note o Hybrid Syte, Rio, Patra, Eieta -6//004 3. Mikołajczyk G.: Hybrydowy układ terowaia tłuieie drgań otela kierowcy pojazdu aochodowego, Kraków, Projektowaie echatroicze, zagadieia wybrae. Praca zbiorowa pod red. Tadeuza Uhla 008 4. Khalil H.K.: Noliear Syte Third Editio, Pretice Hall Upper Saddle River, New Jerey 07458 5. Caacho E.F., Bordo C.: Model Predictive Cotrol, Spriger-Verlag 6. Metz J.: Motio Cotrol Theory Needed i the Ipleetatio o Practical Robotic Syte, Virgiia Blackburg April 4 000 7. Kool J.: Servo drive o the uerical cotrol achie tool, Wydawictwa Naukowe Techicze 1998 8. Nakaura M., Goto S., Kyura N.: Mechatroic Servo Syte Cotrol. Proble i idutrie ad their theoretical olutio, Spriger-Verlag 47
9. Skoczowki S., Pietruewicz K.: New ethod o ipliied idetiicatio or PID-OVR deig, 1t It. Coerece o Modelig, Siulatio ad Applied Optiizatio, Sharjah, U.A.E. 10. Dworak P., Pietruewicz K.: A uzzy-logic baed tuig or a velocity cotroller o the DC ervo drive Solid State Pheoea, Vol. 147 149, pp. 179 184, 009. 11. Pietruewicz K., Dworak P., Broel-Plater B.: Robut Model-Followig Cotrol or the DC ervo drive, Advace i Mauacturig Sciece ad Techology 007, Vol. 31, No. 3, pp. 45 6. Adre łuŝbowy: Mgr iŝ. Grzegorz Mikołajczyk Wydział Elektryczy, Zachodiopoorki Uiwerytet Techologiczy w Szczeciie ul. Sikorkiego 37 70-313 Szczeci tel. (091) 449 41 50 eail: grzegorz.ikolajczyk@zut.edu.pl 48