JAKUB KISIEL OPRÓśNIANIE JENOKOMOROWYCH ZBIORNIKÓW O KSZTAŁCIE BRYŁ OBROTOWYCH EMPTYING OF MONOCULAR CONTAINERS OF THE SOLI OF REVOLUTION SHAPE S t r e s z c z e n i e A b s t r a c t W niniejszym artykule przedstawiono rozwiązania równań róŝniczkowych opisujących procesy opróŝniania komór zbiornika o kształtach brył obrotowych. Wybrane zostały tylko takie bryły obrotowe oraz ich ułoŝenie, które znajdują zastosowanie w praktyce. Wybrano zatem komory o następujących kształtach: walca ułoŝonego na swej pobocznicy, kuli oraz stoŝka zwróconego wierzchołkiem ku dołowi. W rozwiązaniach równań róŝniczkowych opisujących procesy opróŝniania tych komór zbiornika dokonano moŝliwych uogólnień, które zwiększają zakres otrzymanych rozwiązań dla wszystkich przypadków dotyczących określonego kształtu bryły obrotowej. Słowa kluczowe: ruch nieustalony, opróŝnianie komór zbiorników In the present article solving differential equations describing processes of emptying chambers of the container about shapes of solids of revolution was described. Only such solids of revolution and their setting which they are finding were chosen practical implementation. And so a chamber was chosen as the arranged cylinder on one s side surface, about the shape hammered the chamber and chamber in the form of the cone returned with top downwards. In solutions of differential equations describing processes of emptying these chambers of the container they made possible generalizations which are increasing the scope of ultimate solutions for all cases in the given solid of revolution. Keywords: transient move, emptying of chambers containers r inŝ. Jakub Kisiel, Instytut InŜynierii Środowiska, Wydział InŜynierii i Ochrony Środowiska, Politechnika Częstochowska.
56 1. Wstęp Problematyka nieustalonego ruchu cieczy przy jej wypływie z opróŝnianych komór zbiorników nie znajduje w literaturze fachowej, szczególnie w podręcznikach akademickich, naleŝytego miejsca, aby moŝna było stwierdzić, Ŝe jest ona przez autorów ksiąŝek uznawana za równie istotną, jak inne zagadnienia z hydrodynamiki przepływów. W niektórych podręcznikach moŝna jednak znaleźć opis procesów opróŝniania prostopadłościennej komory w wariancie bez dopływu i ze stałym dopływem do tej komory oraz opis procesu wyrównywania poziomów cieczy w dwóch prostopadłościennych komorach zbiornika. Podejmując prace w zakresie nieustalonych procesów opróŝniania szeregowo połączonych komór zbiorników [], dokonano równieŝ prezentacji podstawowych rozwiązań z jednokomorowymi zbiornikami, w tym takŝe przypadki brył obrotowych, które zostały opisane w niniejszym artykule. Przedstawione rozwiązania mogą zatem stanowić uzupełnienie podstawowej podręcznikowej wiedzy w tym zakresie, jak równieŝ mogą być przydatne w praktyce inŝynierskiej. Komory zbiornika o kształtach brył obrotowych znajdują praktyczne zastosowanie jako retencyjne zbiorniki kanalizacyjne (zbiorniki rurowe), kuliste zbiorniki wodociągowe wieŝy ciśnień oraz zbiorniki stoŝkowe stosowane w oczyszczalni ścieków.. Komora zbiornika w kształcie walca poziomo ułoŝonego na swej pobocznicy Q i Rys. 1. Cylindryczna komora zbiornika ułoŝona poziomo na swej pobocznicy Fig. 1. Cylindrical chamber of the container laid horizontally on its side surface W literaturze [1] zdefiniowane zostały bezwymiarowe hydrauliczno-geometryczne parametry dotyczące kolektorów o kołowym przekroju poprzecznym. Wybrane z nich dotyczą (rys. ): h Kh = =,5( 1 cosβ ) stosunku napełnienia (h) kolektora do jego średnicy (), B KB = = sin β stosunku szerokości zwierciadła cieczy (B) do średnicy () kolektora,
cosβ = 1 h wartości cosinusa połowy kąta środkowego (β) opartego na cięciwie (B), którą stanowi szerokość zwierciadła cieczy w poprzecznym przekroju kolektora. 57 Rys.. Schemat obliczeniowy opróŝniania cylindrycznej komory zbiornika ułoŝonej poziomo na swej pobocznicy przekrój poprzeczny komory Fig.. Computational outline of emptying the cylindrical chamber of the container laid horizontally on its side surface cross section of the chamber Q i W rozwaŝanym przypadku komorę zbiornika stanowi poziomo ułoŝony na swej pobocznicy walec, dla którego występują identyczne zaleŝności jak przedstawione wyŝej w odniesieniu do kolektora o przekroju kołowym. Wartość natęŝenia (Q i ) wypływu cieczy odpowiadająca chwilowemu napełnieniu (h) tak ułoŝonej komory walcowej wynosi Q = µ f g h (1) i gdzie: µ f odpowiednio współczynnik wydatku i powierzchnia przekroju otworu odpływowego (rys. ). Maksymalna wartość natęŝenia (Q ) wypływu cieczy z komory występuje równieŝ przy największym jej napełnieniu h = i jest równa Q = µ f g () Związek pomiędzy chwilowym wypływem a jego wartością maksymalną jest następujący czyli Q = µ f gh = µ f gh/ = µ f g h/ i Q = Q h () i / W dowolnej chwili (t) i przy napełnieniu komory (h) w przedziale czasowym dt następuje obniŝenie napełnienia o wartość dh. Zatem ubytek objętości (dv = F dh) cieczy w komorze jest równy iloczynowi chwilowego natęŝenia wypływu (Q i ) cieczy z komory i przedziału czasowego dt
58 Qi dt = dv (4) gdzie dv = LBdh. Równanie róŝniczkowe (4) po przyjęciu, Ŝe: B = sin β przyjmuje następującą postać Uwzględniając ponadto, Ŝe oraz, Ŝe dla L sin β dt = dh (5) µ f g h/ x = h/, zaś dh = dx sin β = 1 cos β = 1 (1 x) = x x cosβ = 1 h / = 1 x przy β π równanie (5) po stosownych przekształceniach moŝna przedstawić następująco L sin β L x x dt = dh = dx µ f g x µ f g x Ostatecznie równanie róŝniczkowe (5) uzyskało kolejną postać L dt = 1 xdx µ f g (6) Przyjmując z kolei w równaniu róŝniczkowym (6) podstawienie: z = 1 x, z którego wynika, Ŝe: x = 1 z oraz dx = zdz, moŝna równanie to przedstawić następująco 4 L dt = z dz (7) µ f g Czas (T) całkowitego opróŝnienia komory przy jej początkowym napełnieniu h = wyniesie i równowaŝnie czyli 1 L 4 L 4 T = z dz = z µ f g (8) µ f g 4 L / T = ( 1 h / ) µ f g T = 4 L µ f g 1 (9) (1)
Uwzględniając, Ŝe pojemność całkowita (V W ) komory, która odpowiada objętości początkowej przy napełnieniu h = jest równa V W 59 π = L (11) 4 zatem czas (T) całkowitego opróŝnienia komory moŝe być równieŝ wyraŝony następującym równaniem 16 π L / 4 8 T = = 6π µ f g π V W Q (1) Czas (t) opróŝnienia komory zbiornika od h = do dowolnej wartości h = h wyznaczony zostanie z równania (7) z którego otrzymujemy 1 L 4 L 4 t = z dz = z µ f g (1) µ f g z 4 L t = µ f g Ostatecznie uzyskujemy następujący wzór ( 1 h / ) / h (14) 4 L t = h = T h µ f g ( 1 / ) ( 1 / ) / / (15) Funkcję zmiany napełnienia (h) komory w czasie (t) w postaci bezwymiarowej na podstawie wzoru (1) moŝna zapisać następująco czyli: ( h ) / t/ T = 1 / ( t T ) / h/ = 1 / (16) h / = Q / Q, moŝna Z kolei bezwymiarową funkcję zmiany natęŝenia wypływu (Q i ) w czasie (t) opróŝniania komory na podstawie wzoru (16), po uwzględnieniu, Ŝe: ( ) wyrazić następująco a ostatecznie ( Q / Q ) = 1 ( t / T ) i i / ( ) / i Q / Q = 1 t / T (17)
6 h/ 1,,8,6,4,,,,,4,6,8 1, t/t Rys.. Wykres bezwymiarowej zmiany napełnienia (h/) w zbiorniku o kształcie walca leŝącego na swej pobocznicy w zaleŝności od bezwymiarowej wartości czasu (t/t ) w procesie jego opróŝniania Fig.. iagram of non-dimensional change of filling (h/) in a cylinder-shaped reservoir lying on its back side in relation to non-dimensional time (t/t) during its emptying Qi/Q 1,,8,6,4,,,,,4,6,8 1, t/t Rys. 4. Wykres bezwymiarowej funkcji zmiany natęŝenia wypływu (Q i /Q ) z komory zbiornika o kształcie walca leŝącego na swej pobocznicy w zaleŝności od bezwymiarowego czasu (t/t ) w procesie jego opróŝniania Fig. 4. iagram of non-dimensional change of discharge from a chamber (Q i /Q ) in a cylinder-shaped reservoir lying on its back side in relation to non-dimensional time (t/t ) during its emptying. Kulista komora zbiornika W przekroju pionowym kuli przechodzącym przez jej środek związki między głębokością (h) jej napełnienia, średnicą () oraz kątem środkowym opartym ramionami na cięciwie (B), którą stanowi swobodne zwierciadło cieczy (rys. 5), są identyczne z zaleŝnościami, jakie zostały opisane dla kolektora o przekroju kołowym [1]. NaleŜą do nich (rys. 6): h Kh = =,5( 1 cosβ ) stosunek napełnienia (h) kuli do jej średnicy (),
K B B = = sin β stosunek szerokości zwierciadła cieczy (B) do średnicy kuli (), cosβ = 1 h wartość cosinusa połowy kąta środkowego opartego na cięciwie (B), którą stanowi szerokość zwierciadła cieczy występująca w przekroju pionowym kuli przechodzącym przez jej środek. 61 Rys. 5. Komora zbiornika w kształcie kuli w trakcie procesu jej opróŝniania Fig. 5. The chamber of the container in the shape is hunching in the process of the process for her of emptying Q i Rys. 6. Schemat obliczeniowy opróŝniania kulistej komory zbiornika przekrój pionowy przez środek kuli Fig. 6. Computational outline of emptying the spherical chamber of the container a vertical section through agent is hunching Q i NatęŜenie wypływu cieczy (Q i ) z komory o kształcie kuli w dowolnym czasie (t), któremu odpowiada chwilowy stan napełnienia (h), jest opisany wzorem Q = µ f g h (18) i gdzie: µ f jak poprzednio dla walca leŝącego na swej pobocznicy. Maksymalna wartość natęŝenia wypływu cieczy (Q ) z komory zbiornika występuje w początkowej chwili procesu jej opróŝniania, gdy napełnienie komory jest największe (h = ) i wynosi
6 Q = µ f g (19) W dowolnej chwili (t) i przy napełnieniu komory (h) w przedziale czasowym dt następuje obniŝenie napełnienia o wartość dh. Zatem ubytek objętości (dv = F dh) cieczy w komorze jest równy iloczynowi chwilowego natęŝenia wypływu (Q i ) cieczy z komory i przedziału czasowego dt gdzie: Qi dt = d V () B dv π π = dh = sin β dh. 4 4 Przyjmując, Ŝe x = h / to dh = dx, natomiast cosβ = 1 h / = 1 x i wówczas sin 1 cos 1 ( 1 x) 4 ( x x ) β = β = = dla β π. Ubytek objętości cieczy (dv ) w komorze zbiornika w czasie (dt) moŝna teraz przedstawić wzorem ( ) π dv = sin β dh = π x x dx 4 natomiast chwilowe natęŝenie wypływu z komory zbiornika moŝna wyrazić następującą zaleŝnością Q = Q h / = Q x i Równanie róŝniczkowe () po uwzględnieniu powyŝszych zaleŝności przyjmie postać f 1/ / ( ) π dt = x x dx µ g Czas (T ) opróŝnienia całkowicie napełnionej kulistej komory zbiornika od głębokości h = do h = wyznaczony zostanie z równania (1) 1 / 5/ π / 5/ ( / / 5 ) ( / / 5 ) π T = x x = x x µ f g µ f g 1 Po uwzględnieniu granic całkowania czas (T ) wynosi lub inaczej π 4 π T = ( / / 5) = µ f g 15 µ f g T = 8 π / 6 5 µ f g PoniewaŜ początkowe napełnienie kulistej komory zbiornika wynosi V K (1) () () π = (4) 6
a początkowe (maksymalne) natęŝenie wypływu Q = µ f g (wzór (19)) to czas (T ) moŝe być obliczany od objętości kulistej komory zbiornika (V K ) oraz maksymalnej wartości natęŝenia wypływu cieczy (Q ) 6 8 VK 4 VK T = 5 Q = 5 Q (5) Czas (t) częściowego opróŝnienia kulistej komory zbiornika od napełnienia początkowego h = do dowolnego napełnienia < h < wyznaczony zostanie takŝe z równania (1) h/ 1 / 5/ π / 5/ ( / / 5 ) ( / / 5 ) π t = x x = x x µ f g µ f g 1 h/ Po uwzględnieniu granic całkowania otrzymano / 5/ { ( / / 5) / ( / ) / 5 ( / ) } π t = h h = µ f g π 5/ / 4 = 1 + / / 5 / / 15 µ f g lub teŝ równowaŝnie ( h ) ( h ) π 5/ / 8 / 6 t = 1 + / h / 5 / h / 5 µ f g ( ) ( ) Po uwzględnieniu we wzorze (6) formuł na objętość kulistej komory zbiornika (V K ) oraz maksymalną wartość natęŝenia wypływu cieczy (Q ) z tej komory, otrzymujemy lub równowaŝnie V K 8 t = 1 + / h / 5 / h / 5 Q ( ) ( ) 5/ / ( ) ( ) t = T 1 + / h / 5 / h / 5/ / Funkcję zmiany napełnienia (h) komory w czasie (t) w postaci bezwymiarowej na podstawie wzoru (8) moŝna zapisać następująco ( ) ( ) 5/ / (6) (7) (8) t / T = 1 + / h / 5 / h / (9) Z kolei bezwymiarową funkcję zmiany natęŝenia wypływu (Q i /Q ) w czasie (t/t ) opróŝniania komory na podstawie wzoru (5) oraz po uwzględnieniu, Ŝe ( ) h / = Q / Q i
64 moŝna wyrazić następująco ( ) ( ) 5 i i t / T = 1 + / Q / Q 5 / Q / Q () 1, h/,8,6,4,,,,,4,6,8 1, t/t Rys. 7. Wykres bezwymiarowej funkcji zmiany napełnienia (h/) w kulistej komorze w zaleŝności od wartości bezwymiarowego czasu (t/t ) w procesie jej opróŝniania Fig. 7. iagram of non-dimensional change of filling (h/) in a sphere-shaped reservoir in relation to non-dimensional time (t/t ) during its emptying, Qi/Q,8,6,4,,,,,4,6,8 1, Rys. 8. Wykres bezwymiarowej funkcji zmiany natęŝenia wypływu z kulistej komory (Q i /Q ) zbiornika w zaleŝności od bezwymiarowego czasu (t/t ) w procesie jej opróŝniania Fig. 8. iagram of non-dimensional change of discharge from a chamber (Q i /Q ) in a sphere-shaped reservoir in relation to non-dimensional time (t/t ) during its emptying t/t
4. Komora zbiornika w kształcie stoŝka zwróconego wierzchołkiem w dół 65 NatęŜenie wypływu cieczy (Q i ) z komory o kształcie stoŝka zwróconego wierzchołkiem w dół w dowolnym czasie (t), której odpowiada chwilowy stan jej napełnienia (h) jest opisany wzorem Q = µ f g h (1) i gdzie: µ f odpowiednio współczynnik wydatku i powierzchnia przekroju otworu odpływowego. Rys. 9. Komora zbiornika w kształcie stoŝka zwróconego wierzchołkiem w dół w trakcie procesu jej opróŝniania Fig. 9. The chamber of the container as the returned cone with top into the hole in the route of the process for her of emptying Maksymalna wartość natęŝenia wypływu cieczy (Q ) z komory zbiornika występuje w początkowej chwili procesu jej opróŝniania, gdy napełnienie komory jest największe (h = H ) i wynosi Q = µ f g H () MoŜna i dla komory stoŝkowej podać związek, który występuje pomiędzy wypływem chwilowym a początkowym (maksymalnym) Q = Q h / H () i z którego z kolei wynika następująca zaleŝność ( ) h / H = Q / Q (a) i Całkowita objętość komory stoŝkowej wynosi V S 1 π = H (4) 4 natomiast średnica koła (d) stanowiącego powierzchnię swobodnego zwierciadła cieczy w komorze stoŝkowej przy jej napełnieniu równym (h) jest równa
66 d = h (5) H Równanie róŝniczkowe opisujące proces opróŝniania komory ma postać Q dt = d V (6) której ubytek objętości (dv ) cieczy w komorze w chwili (dt) wyraŝony jest wzorem πd π dv = dh = h dh 4 4H Zatem lub równowaŝnie po przekształceniu 4H π µ f g h dt = h dh (7) π h π / dt = dh = h dh 4H f g h 4H f g µ µ Rys. 1. Schemat obliczeniowy opróŝniania komory zbiornika w kształcie stoŝka zwróconego wierzchołkiem w dół przekrój pionowy przez oś bryły Fig. 1. Computational outline of emptying the chamber of the container about the shape of the cone returned with top into the bottom vertical section through the axis of the lump Czas (T ) opróŝnienia całkowicie napełnionej stoŝkowej komory zbiornika od głębokości h = H do h = wyznaczony zostanie z równania (8): (8) π 5/ π 5/ µ 5 5 H µ T = h = h 4H f g 4H f g H Po uwzględnieniu granic całkowania otrzymano wzór 1/ π 5/ π H H µ µ 1 T = = 4H f g 5 4 f g 5 (9)
a po odpowiednich przekształceniach 67 1/ 1 π H 1 π 1 T = = H 4 µ 5 5 4 f g f gh µ Po uwzględnieniu () i (4) we wzorze (4) otrzymano kolejną jego postać (4) 1 V T = S (41) 5 Q Czas (t) częściowego opróŝnienia kulistej komory zbiornika od napełnienia początkowego h = H do dowolnego napełnienia < h < H wyznaczony zostanie takŝe z równania (8) h π 5/ π 5/ 5 5 µ H µ t = h = h 4H f g 4H f g Po uwzględnieniu granic całkowania otrzymano H h 5/ 5/ 5/ ( ) 1 ( / ) π π 5/ 5 5 µ µ t = H h = H h H 4H f g 4H f g i dalej po przekształceniach czyli π 1 5/ t = H 1 ( h / H ) 5 4 f g H µ ( ) 5/ t = T 1 h / H Bezwymiarową funkcję zmiany napełnienia (h) komory w czasie (t) na podstawie wzoru (4) moŝna przedstawić następująco ( t T ) /5 (4) (4) h / H = 1 / (44) Z kolei bezwymiarową funkcję zmiany natęŝenia wypływu (Q i /Q ) z komory w zaleŝności od czasu jej opróŝniania (t/t ) na podstawie wzoru (44) oraz po uwzględnieniu, Ŝe moŝna wyrazić następująco ( ) h / H = Q / Q (wzór (a)) i i ( ) 1/5 Q / Q = 1 t / T (45) Natomiast bezwymiarową funkcję zmiany objętości napełnienia komory (V i /V S ) od czasu trwania (t/t ) procesu jej opróŝniania, na podstawie wzorów (4), (5), (a) oraz (44), moŝna zapisać następująco
68 co oznacza, Ŝe ( ) ( ) 6 i / S = / = i / V V h H Q Q /5 6/5 ( ) ( ) Vi / VS = 1 t / T = 1 t / T (46) 1, h/h,8,6,4,,,,,4,6,8 1, t/t Rys. 11. Wykres bezwymiarowej funkcji zmiany napełnienia (h/) w zbiorniku w kształcie stoŝka zwróconego wierzchołkiem w dół w zaleŝności od wartości bezwymiarowego czasu (t/t ) w procesie jego opróŝniania Fig. 11. iagram of non-dimensional change of filling (h/) in a reservoir shaped as an upturned cone in relation to non-dimensional time (t/t ) during its emptying Qi/Q 1,,8,6,4,,,,,4,6,8 1, t/t Rys. 1. Wykres bezwymiarowej zmiany natęŝenia wypływu (Q i /Q ) z komory w kształcie stoŝka zwróconego wierzchołkiem w dół w zaleŝności od wartości bezwymiarowego czasu (t/t ) w procesie jego opróŝniania Fig. 1. iagram of non-dimensional change of discharge from a chamber (Q i /Q ) in a reservoir shaped as an upturned cone in relation to non- -dimensional time (t/t ) during its emptying
5. Uwagi i wnioski końcowe 69 Przedstawione matematyczne opisy przebiegu procesów opróŝniania jednokomorowych zbiorników o kształtach brył obrotowych są uzupełnieniem wiedzy z zakresu problematyki nieustalonych przepływów opisywanych w literaturze fachowej. MoŜliwe było w dokonanych rozwiązaniach równań róŝniczkowych przedstawienie wyników uogólnionych w postaci bezwymiarowych parametrów. W materiałach literaturowych [] analogicznymi uogólnieniami objęte zostały równieŝ procesy opróŝniania jednokomorowych prostopadłościennych zbiorników oraz procesy wyrównywania poziomów cieczy w dwóch prostopadłościennych komorach zbiornika. Równania róŝniczkowe opisujące opróŝnianie, względnie napełnianie komór zbiornika o kształcie bryły obrotowej z równocześnie występującym do nich dopływem cieczy (równieŝ stałym), mogą być rozwiązane na drodze obliczeń numerycznych. la jednokomorowych zbiorników o kształtach wybranych tu brył obrotowych praktyczny przypadek z równoczesnym dopływem cieczy do zbiornika, wyłączając rozwiązania kanalizacyjnych zbiorników rurowych, jest mało prawdopodobny. L i t e r a t u r a [1] K i s i e l A., Wymiarowanie konstrukcji prostokątnych i trapezowych wypadów budowli wodnych oraz obliczanie parametrów odskoku hydraulicznego w kolektorach kołowych, cz. VI, Kolektory o przekroju kołowym, Wyd. Politechniki Krakowskiej, Kraków 1995. [] K i s i e l J., Wybrane zagadnienia nieustalonego wypływu cieczy z szeregowo połączonych komór zbiornika, Monografia przygotowana do druku.