Transformacje Fouriera * podstawowe własności

Podobne dokumenty
Rozpraszanie i dyfrakcja promieniowania X

Transformata Fouriera i analiza spektralna

CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE

Przekształcenia widmowe Transformata Fouriera. Adam Wojciechowski

Transformata Fouriera

Wykład VI Dalekie pole

Ćwiczenie 3. Właściwości przekształcenia Fouriera

Wstęp do metod numerycznych Dyskretna transformacja Fouriera. P. F. Góra

Różne reżimy dyfrakcji

Podstawowe człony dynamiczne

Analiza szeregów czasowych: 2. Splot. Widmo mocy.

DYSKRETNE PRZEKSZTAŁCENIE FOURIERA C.D.

Rejestracja i rekonstrukcja fal optycznych. Hologram zawiera pełny zapis informacji o fali optycznej jej amplitudzie i fazie.

PRZETWARZANIE SYGNAŁÓW

uzyskany w wyniku próbkowania okresowego przebiegu czasowego x(t) ze stałym czasem próbkowania t takim, że T = t N 1 t

Analiza szeregów czasowych: 2. Splot. Widmo mocy.

dr inż. Artur Zieliński Katedra Elektrochemii, Korozji i Inżynierii Materiałowej Wydział Chemiczny PG pokój 311

Przekształcenie Fouriera obrazów FFT

Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski

DYSKRETNA TRANSFORMACJA FOURIERA

Wykład 2. Transformata Fouriera

Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie

Funkcje analityczne. Wykład 1. Co to są i do czego służą funkcje analityczne? Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017)

dr inż. Artur Zieliński Katedra Elektrochemii, Korozji i Inżynierii Materiałowej Wydział Chemiczny PG pokój 311

Przetwarzanie sygnałów

9. Dyskretna transformata Fouriera algorytm FFT

Teoria sygnałów Signal Theory. Elektrotechnika I stopień (I stopień / II stopień) ogólnoakademicki (ogólno akademicki / praktyczny)

Wykład 2: Szeregi Fouriera

Szereg i transformata Fouriera

Teoria sterowania - studia niestacjonarne AiR 2 stopień

Politechnika Wrocławska Wydział Elektroniki Mikrosystemów i Fotoniki Przetwarzanie sygnałów laboratorium ETD5067L

Matematyka liczby zespolone. Wykład 1

Przetwarzanie i transmisja danych multimedialnych. Wykład 8 Transformaty i kodowanie cz. 2. Przemysław Sękalski.

Dyskretne przekształcenie Fouriera cz. 2

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania. Podstawy Automatyki

Wykład 1. Przestrzeń Hilberta

Drgania i fale II rok Fizyk BC

7. Szybka transformata Fouriera fft

LICZBY ZESPOLONE. 1. Wiadomości ogólne. 2. Płaszczyzna zespolona. z nazywamy liczbę. z = a + bi (1) i = 1 lub i 2 = 1

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ

Propagacja w przestrzeni swobodnej (dyfrakcja)

Wykład 6: Reprezentacja informacji w układzie optycznym; układy liniowe w optyce; podstawy teorii dyfrakcji

PROPAGACJA PROMIENIOWANIA PRZEZ UKŁAD OPTYCZNY W UJĘCIU FALOWYM. TRANSFORMACJE FAZOWE I SYGNAŁOWE

2. Próbkowanie Sygnały okresowe (16). Trygonometryczny szereg Fouriera (17). Częstotliwość Nyquista (20).

1 Podstawowe oznaczenia

Kurs wyrównawczy - teoria funkcji holomorficznych

Równania dla potencjałów zależnych od czasu

Funkcje analityczne. Wykład 2. Płaszczyzna zespolona. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018)

Spis treści. Metody nieparametryczne. Transformacja Fouriera

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

Akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych

Plan wykładu. Własności statyczne i dynamiczne elementów automatyki:

Analiza szeregów czasowych: 1. Dyskretna transformata Fouriera i zagadnienia pokrewne

SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa

METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ

METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ

IMPLEMENTATION OF THE SPECTRUM ANALYZER ON MICROCONTROLLER WITH ARM7 CORE IMPLEMENTACJA ANALIZATORA WIDMA NA MIKROKONTROLERZE Z RDZENIEM ARM7

1 Płaska fala elektromagnetyczna

KURS SZEREGI. Lekcja 10 Szeregi Fouriera ZADANIE DOMOWE. Strona 1

Laboratorium Informatyki Optycznej ĆWICZENIE 2. Koherentne korelatory optyczne i hologram Fouriera

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I)

Funkcje analityczne. Wykład 3. Funkcje holomorficzne. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) z = x + iy A

1 + iϕ n. = cos ϕ + i sin ϕ. e n z n n n. c M n z n, c n z Mn.

1 Funkcje elementarne

Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału

Rozdział 2. Liczby zespolone

Fala jest zaburzeniem, rozchodzącym się w ośrodku, przy czym żadna część ośrodka nie wykonuje zbyt dużego ruchu

LABORATORIUM POMIARY W AKUSTYCE. ĆWICZENIE NR 4 Pomiar współczynników pochłaniania i odbicia dźwięku oraz impedancji akustycznej metodą fali stojącej

Informacja o przestrzeniach Hilberta

Przekształcenie Fouriera i splot

Dyskretne układy liniowe. Funkcja splotu. Równania różnicowe. Transform

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

ELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j),

Wyprowadzenie prawa Gaussa z prawa Coulomba

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie

Szybka transformacja Fouriera

przy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0

Andrzej Leśnicki Laboratorium CPS Ćwiczenie 6 1/8 ĆWICZENIE 6. Dyskretne przekształcenie Fouriera DFT

PODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.

Wykład 6: Reprezentacja informacji w układzie optycznym; układy liniowe w optyce; podstawy teorii dyfrakcji

Liczby zespolone i ich zastosowanie do wyprowadzania tożsamości trygonometrycznych.

8. Analiza widmowa metodą szybkiej transformaty Fouriera (FFT)

Przetwarzanie obrazów wykład 6. Adam Wojciechowski

Przekształcenia całkowe. Wykład 1

Transformaty. Kodowanie transformujace

Moment pędu fali elektromagnetycznej

Analiza obrazu. wykład 5. Marek Jan Kasprowicz Uniwersytet Rolniczy 2008

Podstawy Automatyki. wykład 1 ( ) mgr inż. Łukasz Dworzak. Politechnika Wrocławska. Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24)

Ćwiczenie nr 6 Charakterystyki częstotliwościowe

Mikroskop teoria Abbego

Andrzej Leśnicki Laboratorium CPS Ćwiczenie 7 1/7 ĆWICZENIE 7. Splot liniowy i kołowy sygnałów

CYFROWE PRZTWARZANIE SYGNAŁÓW (Zastosowanie transformacji Fouriera)

Analiza obrazów - sprawozdanie nr 2

Generowanie sygnałów na DSP

1 Macierze i wyznaczniki

Wykład VII Splot i bliskie pole

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.

Laboratorium Przetwarzania Sygnałów Biomedycznych

Transkrypt:

Transformacje Fouriera * podstawowe własności * podejście mało formalne

Funkcja w domenie czasowej Transformacja Fouriera - wstęp Ta sama funkcja w domenie częstości Transformacja Fouriera polega na rozkładzie sygnału na funkcje sin i cos czyli na wyznaczeniu wkładu danej składowej częstotliwościowej do sygnału W podobny sposób funkcje zdefiniowanie w domenie położenia możemy przedstawiać w domenie częstości przestrzennych (wektora falowego)

Obie domeny są równoważne, ale. Funkcja w domenie czasowej Ta sama funkcja w domenie częstości Dodajemy biały szum W tym przypadku domena częstotliwości jest dużo wygodniejsza

Przykłady bezpośredniej realizacji transformacji Fouriera Rozpraszanie Elementy optyczne k k 0 r(r) A(q) Obraz rozproszenie jest transformatą Fouriera obiektu Obraz w tylnej płaszczyźnie ogniskowej jest TF obrazu w przedniej płaszczyźnie ogniskowej

Iloczyn skalarny (rzut)

Pewne całki z funkcjami sinus i kosinus Transformacja Fouriera polega na rozkładzie sygnału na funkcje sin i cos czyli na wyznaczeniu wkładu danej składowej częstotliwościowej do sygnału Zatem, składowe fourierowskie są niezależne [funkcje sin/cos są ortogonalne] Te własności czynią transformacje Fouriera użytecznymi/możliwymi

Prosta zagadka 1 Całka z iloczynu dwóch funkcji która z poniższych całek jest większa? I 1 I 2

Prosta zagadka 1 Całka z iloczynu dwóch funkcji która z poniższych całek jest większa? I 1 I 2 I 1 <I 2 2009

Prosta zagadka 2 Całka z iloczynu dwóch funkcji f(x) - gauss I 1 g(x)=cos(x) I 2 g(x)=cos(5x) 2009

Prosta zagadka 2 Całka z iloczynu dwóch funkcji f(x) - gauss I 1 g(x)=cos(x) I 2 g(x)=cos(5x) I 1 >I 2

Prosta zagadka 3 Całka z iloczynu dwóch funkcji f(x) - gauss I g(x)=cos(5x) 1 I 2 g(x)=sin(5x)

Prosta zagadka 3 Całka z iloczynu dwóch funkcji f(x) - gauss I g(x)=cos(5x) 1 I 2 g(x)=sin(5x) I 1 >I 2 I 2 =0 2009

Definicja transformacji Fouriera Rozkład funkcji na funkcje harmoniczne: sinus i cosinus 2p/k x F(k) jest także funkcją [w przestrzeni odwrotnej] W ogólności jest funkcją zespoloną!

Terminologia Transformacja Fouriera operacja na funkcji Transformata Fouriera funkcja uzyskana po zastosowaniu transformacji

Konwencja Generalnie: Inne nasza Mathematica Wolfram MathWorld Uwaga 1: Mathematica umożliwia liczenie w dowlolnej konwencji http://mathworld.wolfram.com/fouriertransform.html Uwaga 2: Pewne transformaty i tożsamości zależą od konwencji. Tutaj warto użyć Wiki [generalnie zawsze z rozwagą!]: http://en.wikipedia.org/wiki/fourier_transform

Transformacja Fouriera: Odwrotna transformacja Fouriera Mając do dyspozycji F(k) dla wszystkich wartości k możemy odzyskać (czyli zrekonstruować )oryginalną funkcję f(x)! Odwrotna transformacja: Jest to jedna z najważniejszych cech transformacji Fouriera!!!!

Prezentacja Transformata Fouriera jest funkcją zespoloną! część rzeczywista część urojona amplituda faza

Symetria i rzeczywistość f(x) rzeczywiste to F(k)=F * (-k) f(x) urojone to F(k)=-F * (-k) f(x) rzeczywiste i f(x) = f(-x) to F(k) rzeczywiste i F(k)=F(-k) f(x) rzeczywiste i f(x) =- f(-x) to F(k) urojona i F(k)=-F(-k)

Delta Diraca Robocza definicja Własności Symboliczny wykres Wysokość jest miarą stałej mnożącej deltę.

Delta Diraca definicja przez granicę

Transformacje pewnych prostych funkcji Aby zilustrować pewne podstawowe własności transformaty Fouriera poznajmy najpierw transformaty podstawowych funkcji 1 k=0 k=k 0-1 k=0 1 k=0 0 Stała wartość (np. tło) występuje dla k=0 kolory -Re, Im

Transformacje pewnych prostych funkcji k=0 k=-k 0 k=k 0 k=0 k=-k 0 k=k 0 kolory -Re, Im

Transformacje pewnych prostych funkcji Gauss k=0 Dx Dk Transformata Fouriera gaussa jest gaussem. Mała lokalizacja w przestrzeni rzeczywistej oznacza dużą lokalizację w przestrzeni odwrotej. [por. Heisenberg] kolory -Re, Im

Transformacje pewnych prostych funkcji Funkcja prostokątna k=0 1 0 x=-1/2 x=1/2 Bardzo ważna funkcja. Granice w całce Fouriera są nieskończone. Funkcja prostokątna często służy do opisu sygnałów zlokalizowanych w przestrzeni lub w czasie [jako czynnik mnożący] kolory -Re, Im

Transformacje pewnych prostych funkcji kolory -Re, Im

Transformacje pewnych prostych funkcji 1/2 x=0 k=0 0-1/2 kolory -Re, Im

Grzebień Diraca

Funkcje periodyczne i szeregi Fouriera Funkcja periodyczna z okresem : Obliczmy jej transformatę: Zdefiniujmy: Otrzymujemy: Taką funkcję można zapisać jako szereg:

Licznenie np. Mathematica

Ogólne własności - liniowość k=0

Ogólne własności skalowanie

Ogólne własności - przesunięcie kolory Re, Im, x=x 0 x=x 0 Cała informacja o przesunięciu Optyka zawarta rentgenowska jest w -fazie. P. Korecki Nie - 2015 wpływa ono na amplitudę!

Ogólne własności twierdzenie o mocy Uwaga: spełnione nie dla wszystkich konwencji!

Splot Ważna operacja: sygnał + poszerzenie aparaturowe, rozmycie obrazów

Ważny splot

Twierdzenie o splocie Transformata Fouriera splotu funkcji jest proporcjonalna do iloczynu transformat Fouriera tych funkcji!!! Pozwala to na łatwe obliczanie splotu Analogicznie Transformata Fouriera iloczynu funkcji jest splotem transformacji Fouriera tych funkcji!!!

Przykład 1 1 0

Przykład 2 Typowy przykład: impuls o podstawowej częstość w (energii E) i skończonej długości Dt ma rozmycie energetyvze Dw DE 1/Dt

Twierdzenie o korelacji i autokorelacji (szczegółowa dyskusja póżniej) Definicja korelacji Twierdzenie Autokorelacja Łatwy sposób na liczenie

Dyskretna transformacja Fouriera dane eksperymentalne W eksperymencie dyskretnie próbkujemy ciągły sygnał: f(x) L x Całka Fouriera jest wtedy aproksymowana sumą

Próbkowanie

Próbkowanie

Próbkowanie

Próbkowanie

Próbkowanie

Próbkowanie

Twierdzenie Shannona o próbkowaniu Jeżeli próbkowana funkcja jest ograniczona pasmowo tzn. jej transformata Fouriera jest zero powyżej pewnej częstości k c to funkcje i jej transformatę można bezstratnie odzyskać stosując próbkowanie Nyquista D=p/k c -k c k c D=p/k c

Szybka transformacja Fouriera Dyskretna postać transformacji [uwaga inna konwencja!] 1D 2D N punktów N 2 operacji N 1 x N 2 punktów FFT (N całkowita liczba danych) Pozwala na niesamowite przyspieszenie obliczeń 1D N 2 Nlog 2 (N) 2D N 4 2 N 2 log 2 (N) Przykład N=1000 [macierz 1024x1024] N 1 2 x N 22 operacji W FFT macierz wyjściowa ma taki sam wymiar jak macierz wejściowa: konsekwencja twierdzenia Shannona N 4 =10 12 2 N 2 log 2 (N)=2x10 7

Transformacja Fouriera w n-wymiarach

Transformacja Fouriera w 2D

Prosty przykład w 2D y k y (-k 0,0) (k 0,0) (0,0) x k x (k 0, k 0 ) y k y (0,0) (-k 0, -k 0 ) x k x

Przykład filtracja przestrzenna

Wizualizacja zespolonych funkcji 2D Dowolna zespolona funkcja dwóch zmiennych rzeczywistych [np. zespolony obraz] Zwykle do wizualizacji używamy dwóch obrazów Sposób 1: Część rzeczywista i urojona Sposób 2: Moduł i faza

Sposób 1 Sposób 2 1 1 k y -1 k x 0 1 2p -1 0 Nie widać amplitudy Problemy ze skokami fazy : funkcja arctan lub arctan2 zwraca kąt [ p/2,p/2] lub [-p/p]

Model HSV RGB [red,blue,green] mieszanie kolorów podstawowych Alternatywny sposób opisu kolorów HSV (hue, saturation,value) barwa, nasycenie, jasność Odzwierciedla fizyczną percepcję kolorów Barwa Widmo światła widzialnego Nasycenie Kolor nasycony [czysty czerwony] wąskie widmo Długość fali [nm] Długość fali [nm] Kolor nienasycony [prawie biały] szerokie widmo

Prezentacja HS(V=1) Im f f f Re f f odpowiada saturacji [zero to biały] f odpowiada barwie 0 - rzeczywiste, dodatnie 180 - rzeczywiste, ujemne [dopełnienie RGB czerwonego] 90 - urojone, dodatnie 270 - urojone, ujemne

Przykłady rzeczywisty gauss rzeczywisty kosinus urojony sinus

W tym obszarze brak koloru białego Funkcja nie ma zer!

Trochę bardziej skomplikowana funkcja Superpozycja prostopadłych fal Re F Prążki: tylko odległość. F F Brak zer w tym kierunku! Czysto zespolone wartości! Mała symetria. Zera (biały): sinus lub cosinus. Symetria względem tej prostej! k y k x Im F f

Kevin Cowtan's Picture Book of Fourier Transforms http://www.ysbl.york.ac.uk/~cowtan/fourier/fourier.html