Spis treści. Metody nieparametryczne. Transformacja Fouriera

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Spis treści. Metody nieparametryczne. Transformacja Fouriera"

Transkrypt

1 Spis treści 1 Metody nieparametryczne 1.1 Transformacja Fouriera 1.2 Bliżej życia 1.3 Splot 2 Transformacja Z 3 Filtry 4 Metody parametryczne 5 Analiza danych wielokanałowych 5.1 Koherencje 5.2 Związki przyczynowe Metody nieparametryczne Transformacja Fouriera Analiza wzrokowa sygnałów, jakkolwiek wciąż stosowana, szczególnie w praktyce klinicznej, nie wykorzystuje współczesnych możliwości analizy danych. Ponieważ duża część danych biomedycznych jest dzisiaj zbierana w sposób cyfrowy, możemy takie dane analizować przy użyciu komputerów. Obszerny dział wiedzy zwany analizą sygnałów dostarcza metod matematycznych służących do precyzyjnej i zaawansowanej oceny informacji, jaka zawarta jest w badanych zapisach. Warto podkreślić, że jakkolwiek wiele metod matematycznych analizy sygnałów było opracowanych już dość dawno, dopiero rozpowszechnienie się komputerów w laboratoriach umożliwiło ich praktyczne zastosowanie. Analizując wzrokowo fragmenty zapisów EEG (i oczywiście także innego typu dane) możemy wyróżnić w nich struktury różnej postaci i kształtu. Szczególnie istotne są tzw. rytmy czyli składowe o postaci fal o pewnej określonej częstości. Ich kształty mogą być bardzo zróżnicowane w zależności od ilości takich składowych obserwowanych w sygnale, ich częstości i amplitud. Analiza wzrokowa wyróżnia w EEG kilka takich charakterystycznych rytmów; wiadomo też, że ich rola fizjologiczna jest inna. Dobrze więc byłoby móc umieć oddzielić poszczególne rytmy z sygnału i badać ich zachowanie dokładniej. Innymi słowy chcielibyśmy mieć funkcję zależną od częstości mówiącą o zawartości poszczególnych rytmów w sygnale. Funkcję taką nazywamy gęstością widmową mocy lub w skrócie widmem sygnału. Zagadnieniami wyznaczania takiej funkcji i opisem własności sygnału w zależności od częstości zajmuje się analiza widmowa. Sygnały, które zbieramy w eksperymencie i których zapisy analizujemy wzrokowo są to wartości badanej przez nas wielkości w kolejnych chwilach czasu. Mówimy, że są to wartości rejestrowane (lub funkcje operujące) w dziedzinie czasu. Do dalszych rozważań dobrze będzie zauważyć następujący fakt Wyobraźmy sobie, że mamy zmierzony nieskończony sygnał (czyli funkcję w dziedzinie czasu) X(t), t = 0,..., +. Jak sprawdzić czy nasz sygnał zawiera składową o częstości ω? Składowa taka ma postać funkcji sinusoidalnej, tak jak na przykład h(t) = sin(ωt).

2 Aby zbadać czy nasz sygnał zawiera poszukiwaną składową możemy policzyć iloczyn skalarny naszego sygnału z sygnałem sinusoidalnym. Iloczyn taki możemy uważać za ocenę korelacji tych dwóch sygnałów. Możemy z takich iloczynów utworzyć następujące relacje Relacje te nazywają się transformacjami sinus i kosinus Fouriera. Jak widać w rezultacie dostajemy dla naszego oryginalnego sygnału (funkcji X(t)) funkcje G(ω) lub F(ω) zwane transformatami sinus i cosinus Fouriera funkcji X(t). Transformaty są już funkcjami zależnymi od parametru ω czyli częstości. Mówimy, że są one wyrażone w dziedzinie częstości. Tak więc funkcji w dziedzinie czasu można przyporządkować jednoznacznie pewną inną funkcję operującą w dziedzinie częstości. Relacje te można również odwrócić i dla funkcji z dziedziny częstości uzyskać transformatę odwrotną produkującą funkcję w dziedzinie czasu (z dokładnością do pewnych współczynników po prawej stronie równań). Jak można zauważyć, transformaty sinusowa czy kosinusowa nie są jeszcze dla nas poszukiwaną odpowiedzią na pytanie o zawartość składowych o określonej częstości w danym sygnale. Jeśli poszukiwana składowa nie pokrywa się akurat ani z funkcją sinus ani cosinus, ale występuje w oryginalnym sygnale z inną fazą, możemy źle ocenić jej wkład. Dlatego też bardziej ogólnym podejściem będzie policzenie tzw. całki Fouriera dającą w wyniku transformatę Fouriera: Ponieważ e iωt = cos(ωt) i sin(ωt), wyrażenie powyższe zawiera splot z kombinacją funkcji sinus i kosinus. W tym przypadku transformata Fouriera C(ω) jest funkcją o wartościach zespolonych (gdyż funkcja podcałkowa zawiera człon zespolony e iωt ), posiadających pewien moduł i fazę. Jest ona naszą poszukiwaną funkcją gęstości widmowej mocy. Moduł wartości tej funkcji mówi o ilości poszczególnych częstości w widmie sygnału czyli mocy względnej danej składowej. Faza funkcji C mówi o fazie względnej danej składowej. Mamy też odwrotną transformatę Fouriera: Funkcja X i jej transformata opisują ten sam sygnał w różny sposób. Przykłady transformat Fouriera dla wybranych funkcji

3 X(t) C(f ) 1 δ(f ) δ(t) 1 e iat δ(f a/(2π)) Poszukiwane przez nas widmo sygnału, czyli zawartość w sygnale składowych o różnych częstościach najlepiej opisuje tzw. funkcja gęstości widmowej mocy określona poniższym wzorem: Bliżej życia Zauważmy, że całka Fouriera jest określona dla sygnałów nieskończonych: całkowanie przebiega w granicach od do +. Rejestrowane dane neurobiologiczne, które chcemy badać, są oczywiście skończone. Musimy więc rozszerzyć naszą teorię do badania sygnałów o skończonej długości. Pewną klasą sygnałów, które łatwo można w ten sposób analizować, są sygnały periodyczne. Ponieważ wartości takich sygnałów powtarzają się okresowo w czasie, zakładamy, że nasz sygnał poza czasem obserwacji możemy traktować jak nieskończony sygnał okresowy, przedłużając periodycznie posiadany sygnał poza okno obserwacji. Niestety, w przypadku danych neurobiologicznych dane praktycznie nigdy nie mają charakteru periodycznego, co więcej, są one przeważnie stochastyczne, czyli zawierają komponentę losową, sprawiającą, że ich wartości w czasie nie powtarzają się. Widmo takiego sygnału będzie więc zaburzone. Metoda transformacji Fouriera jest najczęściej wykorzystywaną metodą estymacji widma różnorodnych sygnałów. Jest tak być może dlatego, że istnieje FFT (Fast Fourier Transform, szybka transformata Fouriera) efektywny algorytm komputerowy obliczania wartości tej transformaty (dla dyskretnych danych i w szczególnych przypadkach, co jednak w wielu sytuacjach okazuje się być wystarczające). Splot dla dwóch funkcji f(x) i g(x) możemy wprowadzić operację splotu tych funkcji Podobną operację możemy wprowadzić nie tylko dla funkcji ciągłych, ale także dla ciągów liczb a n i b n Operacja splotu jest niezwykle ważna w dziedzinie analizy sygnałów, gdyż zachodzi następujące twierdzenie o transformacie splotu Oznacza to, że splot dwóch sygnałów w dziedzinie czasu transformuje się na iloczyn transformat tych sygnałów w dziedzinie częstości. Będziemy z tego faktu korzystać w dalszej części tego rozdziału.

4 Transformacja Z Transformację Z możemy traktować jako analog transformacji Fouriera dla funkcji dyskretnych (znanych tylko w określonych, równo oddalonych chwilach czasu). Przekształca ona sygnał wejściowy X = {..., x 1, x, x 1, x 2,...} na transformatę Z tego sygnału, operującą w tzw. dziedzinie Z, będącej dyskretnym analogiem dziedziny częstości. Wyróżniamy dwustronną transformację Z: oraz jednostronną transformację Z: Jeśli w tekście nie będziemy precyzować rodzaju stosowanej transformacji Z, będziemy mieć na myśli wersję jednostronną. W dodtaku, ponieważ operujemy ciągami współczynników o skończonej długości, górny zakres naszego sumowania będzie się kończył nie w nieskończoności, ale razem z ostatnim wyrazem ciągu. Podstawiając z = e iωδt możemy wyrazić nasze transformaty od częstości ω, tak jak rozumieliśmy ją w przypadku transformacji Fouriera. Filtry Filtry cyfrowe są to funkcje, które aplikujemy do sygnału aby zmienić jego widmo. W dziedzinie częstości działanie filtru możemy przedstawić następującym równaniem Działamy tutaj filtrem cyfrowym na sygnał X (tzw. wejście systemu), w wyniku tej operacji otrzymujemy (na tzw. wyjściu) przefiltrowany sygnał Y. Funkcję H nazywamy macierzą przejścia filtru. Jeśli za funkcję X(f ) wybierzemy funkcję stałą o wartości 1, otrzymamy na wyjściu sygnał, którego względne moce poszczególnych składowych w częstości będą dokładnie takie jak wartości macierzy przejścia. Stosując transformację odwrotną (Fouriera lub Z) do wyrażenia H(f ) X(f ) otrzymamy w wyniku splot transformat odwrotnych h(t) i x(t). Dla funkcji X(f ) stałej, jej transformata odwrotna x(t) to funkcja delta Diraca δ(t). Transformatę odwrotną h(t) macierzy przejścia filtru nazywamy funkcją odpowiedzi impulsowej tego filtru. Opisuje ona zachowanie się filtru w przypadku pojawienia się na wejściu pojedynczego impulsu (delty Diraca). Przekształcając równanie (Equation 12) możemy napisać

5 Czyli funkcja H będzie mieć w ogólności postać ilorazu pewnych funkcji. Spośród wielu możliwych filtrów interesować nas będą filtry liniowe działające na sygnały próbkowane w czasie, czyli na dyskretne ciągi wartości. W ogólnym przypadku macierz przejścia takiego filtru ma postać (w dziedzinie Z sygnały dyskretne): Licznik i mianownik wyrażenia na H(z) zawierają pewne wielomiany od zmiennej z 1. Często określamy filtr przez podanie współczynników tych wielomianów: b, b 1,... b N, a, a 1,..., a M. Funkcja odpowiedzi impulsowej h(t) takiego filtru ma postać ciągu liczb. Jeśli A(z) 1, to funkcja h(t) przedstawia skończony ciąg współczynników, a filtr taki nazywany filtrem o skończonej odpowiedzi impulsowej (ang. FIR, finite impulse response). W pozostałych przypadkach h(t) jest nieskończonym ciągiem, a filtr nazywamy filtrem o nieskończonej odpowiedzi impulsowej (ang. IIR, infinite impulse response). Często określa się tzw. rząd filtru. Jest to większa z liczb (M, N). Filtry stosujemy głównie w celu usunięcia z sygnału pewnych zakresów częstości. Filtry dolnoprzepustowe mają za zadanie usuwać z sygnału wszystkie częstości powyżej pewnej częstości granicznej. Filtry górnoprzepustowe mają usuwać wszystkie częstości mniejsze niż częstość graniczna. Filtry pasmowe pozostawiają w sygnale (lub usuwają z sygnału) tylko określony zakres częstości, od dolnej częstości granicznej do górnej. Istnieje bardzo rozbudowana teoria projektowania filtrów w zależności od konkretnych potrzeb. Efektywność tłumienia niepożądanych częstości, zachowanie się filtru w okolicy częstości granicznych i wpływ filtru na pozostawione w sygnale składowe są to parametry, które trzeba dobierać indywidualnie do rozwiązywanego problemu. Metody parametryczne Przedstawiona powyżej idea uzyskania widma sygnału metodą transformaty Fouriera nie jest jedyną możliwością w tym zakresie. W ogólności metody estymacji (oszacowania) widma danego sygnału możemy podzielić na dwie kategorie: nieparametryczne i parametryczne. Metody nieparametryczne bazują na wyznaczaniu widma bezpośrednio z wartości sygnału. Taką właśnie metodą jest transformacja Fouriera. Metody parametryczne polegają na założeniu pewnego modelu generacji posiadanych danych. Model powinien posiadać parametry, które dopasowujemy tak, aby badany sygnał jak najlepiej dawał się opisać wybranym modelem. Po dopasowaniu parametrów modelu dalsze wnioskowanie odbywa się już nie na badanym sygnale, ale na własnościach modelu. W przypadku analizy EEG szeroko stosowany jest model autoregresyjny (AR). Zakłada on, że wartość sygnału w dowolnej chwili czasu t można wyznaczyć z pewnej liczby poprzednich wartości oraz z pewnej składowej czysto losowej E:

6 Model taki w większości wypadków bardzo dobrze opisuje sygnały EEG. Wynika to z jego własności i własności samego sygnału EEG. Otóż teoretyczne widmo takiego modelu ma postać pewnej liczby składowych o określonym zakresie częstości na tle szumowym co dobrze odpowiada rytmom zawartym w prawdziwym sygnale. Procedura wyznaczania widma polega na dopasowaniu współczynników modelu A 1,... A p tak, aby wariancja składowej szumowej była najmniejsza. Do tego celu służą specjalnie opracowane algorytmy, które można znaleźć w literaturze (na przykład metoda Yule a-walkera). Gdy przyjrzymy się równaniu opisującemu model AR, po przekształceniu do poniższej postaci: zauważamy, że jest to tak naprawdę splot współczynników modelu i wartości sygnału. Stosując transformację Z obu stron równania (Equation 16) przechodzimy z równaniem do dziedziny Z: Dostrzegamy w tym równaniu działanie filtru o macierzy przejścia H = A 1 na sygnał szumowy E. Tak więc model AR możemy przedstawić jako filtr liniowy o macierzy przejścia Widmo mocy otrzymujemy więc zgodnie ze znaną już relacją (wzór Equation 6): Analiza danych wielokanałowych Mówiliśmy do tej pory o sygnałach w postaci pewnego zbioru wartości X(t). Jeśli dokonujemy pomiaru jednej wartości w poszczególnych chwilach czasu, nasze wartości X(t) są to po prostu liczby. Możemy jednak obserwować i rejestrować wartości jednocześnie z wielu źródeł sygnału. Dzieje się tak w przypadku zapisu EEG z wielu elektrod. W tej sytuacji wartości X(t) są (dla każdej chwili czasu t) wektorami o długości odpowiadającej liczbie obserwowanych źródeł, np. k: X(t) = (X 1 (t), X 2 (t),..., X k (t)), t = (t 1, t 2,..., t n ). Oczywiście możemy prowadzić analizę każdego z rejestrowanych sygnałów osobno. Musimy jednak zdawać sobie sprawę z faktu, że wielokanałowy zestaw danych zawiera jeszcze dodatkową informację o współzależności sygnałów między sobą. Analizując sygnały osobno, informację tę

7 całkowicie pomijamy. Aby ją wydobyć, musimy użyć specjalnych funkcji, zaprojektowanych do badania związków między sygnałami. Większość wzorów z poprzednich rozdziałów ny. analizy widmowej może być w łatwy sposób rozszerzona na przypadek danych wielokanałowych poprzez traktowanie wartości badanego sygnału X(t) jako wielkości wektorowej (wzory z rozdziału o analizie parametrycznej od razu są napisane przy tym założeniu). Widmo mocy wielokanałowego zestawu danych jest w takim wypadku macierzą o wymiarze k k. Na przekątnej tej macierzy znajdują się widma własne (autowidma) każdego z sygnałów osobno, a poza przekątną mamy widma wzajemne (krosswidma), mówiące o stopniu zależności sygnałów między sobą w dziedzinie częstości. Koherencje Widma wzajemne mówią nam o tym, na ile składowe o określonych częstościach przebiegają wspólnie dla dwóch sygnałów. Moduł widma wzajemnego mówi na o wspólnej amplitudzie danej składowej, a faza o ich spójnym wzajemnym przesunięciu w fazie w danej częstości. Wadą tej wielkości jest jej zależność od mocy całkowitej sygnału. Wprowadza się więc znormalizowaną miarę współzależności sygnałów w dziedzinie częstości nazywaną koherencją (zwyczajną): Miara ta zbudowana jest z odpowiednich elementów macierzy widmowej. Element macierzy K jest odpowiadającym mu elementem macierzy S podzielonym przez odpowiednie widma własne. W taki sposób moduł koherencji przyjmuje wartości z przedziału [0, 1]. Wartość 0 oznacza brak związku, a wartość 1 identyczność badanych sygnałów (dla danej częstości). Koherencja jest miarą szeroko stosowaną w analizie najróżnorodniejszych sygnałów. Jest łatwa w użyciu i daje natychmiast wgląd w sytuację: czy dane dwa sygnały mają ze sobą coś wspólnego? Warto zauważyć, że aby koherencja miała wysoką wartość nie wystarczy, aby dwa sygnały zawierały składową o takiej samej częstości. Składowe te w obu sygnałach muszą być ze sobą związane, na przykład posiadać niezmienne (słabo zmienne) przesunięcie fazowe. Dlatego też czasami mówi się, że koherencja opisuje liniowy związek faz sygnałów. Związki przyczynowe Istnienie związku między sygnałami może oznaczać, że jeden z nich jest źródłem informacji dla drugiego. Czy możemy określić kierunek wzajemnego wpływu sygnałów? Możemy na przykład zbadać fazę koherencji kierunek przesunięcia fazowego powinien wskazywać, który sygnał był wcześniejszy niż drugi. W praktyce jednak metoda taka działa tylko dla bardzo prostych sygnałów.

8 Dla danych biologicznych, o charakterze stochastycznym, jest ona praktycznie bezużyteczna. Z drugiej strony, zagadnienie to jest trudne, dlatego w literaturze istnieje wiele propozycji funkcji opisujących związki przyczynowe między sygnałami, działających lepiej lub gorzej w różnych sytuacjach. Jednym z możliwych podejść jest oparcie definicji funkcji opisującej związki przyczynowe o macierz przejścia modelu autoregresyjnego. Jeśli przyjrzymy się równaniu (Equation 17), zauważymy, że nasz sygnał X w dziedzinie częstości otrzymujemy z transformaty sygnału szumowego E (którego widmo nie zależy od częstości), na który działa macierz przejścia H. Tak więc całość zależności między sygnałami z całego zestawu, również te kierunkowe, zawarte są w tej macierzy. Na tej idei bazuje defincja skierowanej funkcji przejścia (ang. directed transfer function, DTF). Jej nienormalizowana wersja (NDTF) jest zdefiniowana na podstawie odpowiednich elenetów macierzy przejścia H; transmisja z kanału j do i opisana jest jako: Wartość 0 oznacza brak transmisji z kanału j do i w częstości f. Funkcja powyższa może przyjmować dowolnie wartości. Możemy wprowadzić normalizację tej wartości w taki sposób, że będziemy opisywać stosunek transmisji z kanału j do kanału i do sumy transmisji do kanału i ze wszystkich kanałów. Taka postać funkcji DTF była zaproponowana w pracy []: W tym przypadku wartość 0 funkcji oznacza brak transmisji. Maksymalną wartością jest zaś 1 oznaczające, że do kanału i informacja dopływa wyłącznie z kanału j.

Model autoregresyjny stochastycznego szeregu czasowego

Model autoregresyjny stochastycznego szeregu czasowego Pracownia EEG / Widmowa analiza parametryczna Spis treści 1 Model autoregresyjny stochastycznego szeregu czasowego 1.1 Wstęp 1.2 Parametryczna analiza widmowa 1.3 Wybór rzędu modelu 1.4 Sygnały wielokanałowe

Bardziej szczegółowo

Transformata Laplace a to przekształcenie całkowe funkcji f(t) opisane następującym wzorem:

Transformata Laplace a to przekształcenie całkowe funkcji f(t) opisane następującym wzorem: PPS 2 kartkówka 1 RÓWNANIE RÓŻNICOWE Jest to dyskretny odpowiednik równania różniczkowego. Równania różnicowe to pewne związki rekurencyjne określające w sposób niebezpośredni wartość danego wyrazu ciągu.

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie. Spis treści. Analiza_sygnałów_-_ćwiczenia/Filtry

Wprowadzenie. Spis treści. Analiza_sygnałów_-_ćwiczenia/Filtry Analiza_sygnałów_-_ćwiczenia/Filtry Spis treści 1 Wprowadzenie 2 Filtry cyfrowe: powtórka z wykładu 2.1 Działanie filtra w dziedzinie czasu 2.2 Nazewnictwo 2.3 Przejście do dziedziny częstości 2.3.1 Działanie

Bardziej szczegółowo

Przekształcenia widmowe Transformata Fouriera. Adam Wojciechowski

Przekształcenia widmowe Transformata Fouriera. Adam Wojciechowski Przekształcenia widmowe Transformata Fouriera Adam Wojciechowski Przekształcenia widmowe Odmiana przekształceń kontekstowych, w których kontekstem jest w zasadzie cały obraz. Za pomocą transformaty Fouriera

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 7/15 Rachunek różnicowy Dobrym narzędziem do obliczania skończonych sum jest rachunek różnicowy. W rachunku tym odpowiednikiem operatora

Bardziej szczegółowo

ANALIZA SYGNAŁÓ W JEDNÓWYMIARÓWYCH

ANALIZA SYGNAŁÓ W JEDNÓWYMIARÓWYCH ANALIZA SYGNAŁÓ W JEDNÓWYMIARÓWYCH Generowanie podstawowych przebiegów okresowych sawtooth() przebieg trójkątny (wierzhołki +/-1, okres 2 ) square() przebieg kwadratowy (okres 2 ) gauspuls()przebieg sinusoidalny

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 4. Filtry o skończonej odpowiedzi impulsowej (SOI)

Ćwiczenie 4. Filtry o skończonej odpowiedzi impulsowej (SOI) Politechnika Wrocławska Wydział Elektroniki Mikrosystemów i Fotoniki Przetwarzanie sygnałów laboratorium ETD5067L Ćwiczenie 4. Filtry o skończonej odpowiedzi impulsowej (SOI) 1. Filtracja cyfrowa podstawowe

Bardziej szczegółowo

FFT i dyskretny splot. Aplikacje w DSP

FFT i dyskretny splot. Aplikacje w DSP i dyskretny splot. Aplikacje w DSP Marcin Jenczmyk m.jenczmyk@knm.katowice.pl Wydział Matematyki, Fizyki i Chemii 10 maja 2014 M. Jenczmyk Sesja wiosenna KNM 2014 i dyskretny splot 1 / 17 Transformata

Bardziej szczegółowo

Analiza szeregów czasowych: 2. Splot. Widmo mocy.

Analiza szeregów czasowych: 2. Splot. Widmo mocy. Analiza szeregów czasowych: 2. Splot. Widmo mocy. P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2007/08 Splot Jedna z najważniejszych własności transformaty Fouriera jest to, że transformata

Bardziej szczegółowo

uzyskany w wyniku próbkowania okresowego przebiegu czasowego x(t) ze stałym czasem próbkowania t takim, że T = t N 1 t

uzyskany w wyniku próbkowania okresowego przebiegu czasowego x(t) ze stałym czasem próbkowania t takim, że T = t N 1 t 4. 1 3. " P r ze c ie k " w idm ow y 1 0 2 4.13. "PRZECIEK" WIDMOWY Rozważmy szereg czasowy {x r } dla r = 0, 1,..., N 1 uzyskany w wyniku próbkowania okresowego przebiegu czasowego x(t) ze stałym czasem

Bardziej szczegółowo

2. Próbkowanie Sygnały okresowe (16). Trygonometryczny szereg Fouriera (17). Częstotliwość Nyquista (20).

2. Próbkowanie Sygnały okresowe (16). Trygonometryczny szereg Fouriera (17). Częstotliwość Nyquista (20). SPIS TREŚCI ROZDZIAŁ I SYGNAŁY CYFROWE 9 1. Pojęcia wstępne Wiadomości, informacje, dane, sygnały (9). Sygnał jako nośnik informacji (11). Sygnał jako funkcja (12). Sygnał analogowy (13). Sygnał cyfrowy

Bardziej szczegółowo

Analiza szeregów czasowych: 2. Splot. Widmo mocy.

Analiza szeregów czasowych: 2. Splot. Widmo mocy. Analiza szeregów czasowych: 2. Splot. Widmo mocy. P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2006/07 Splot Jedna z najważniejszych własności transformaty Fouriera jest to, że transformata

Bardziej szczegółowo

Transformacje Fouriera * podstawowe własności

Transformacje Fouriera * podstawowe własności Transformacje Fouriera * podstawowe własności * podejście mało formalne Funkcja w domenie czasowej Transformacja Fouriera - wstęp Ta sama funkcja w domenie częstości Transformacja Fouriera polega na rozkładzie

Bardziej szczegółowo

TRANSFORMATA FOURIERA

TRANSFORMATA FOURIERA TRANSFORMATA FOURIERA. Wzór całkowy Fouriera Wzór ten wykorzystujemy do analizy funkcji nieokresowych; funkcje te mogą opisywać np.przebiegi eleektryczne. Najpierw sformułujmy tzw. warunki Dirichleta.

Bardziej szczegółowo

Podstawy Przetwarzania Sygnałów

Podstawy Przetwarzania Sygnałów Adam Szulc 188250 grupa: pon TN 17:05 Podstawy Przetwarzania Sygnałów Sprawozdanie 6: Filtracja sygnałów. Filtry FIT o skończonej odpowiedzi impulsowej. 1. Cel ćwiczenia. 1) Przeprowadzenie filtracji trzech

Bardziej szczegółowo

3. Macierze i Układy Równań Liniowych

3. Macierze i Układy Równań Liniowych 3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x

Bardziej szczegółowo

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I)

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów

Bardziej szczegółowo

Plan wykładu. Własności statyczne i dynamiczne elementów automatyki:

Plan wykładu. Własności statyczne i dynamiczne elementów automatyki: Plan wykładu Własności statyczne i dynamiczne elementów automatyki: - charakterystyka statyczna elementu automatyki, - sygnały standardowe w automatyce: skok jednostkowy, impuls Diraca, sygnał o przebiegu

Bardziej szczegółowo

Transformata Fouriera

Transformata Fouriera Transformata Fouriera Program wykładu 1. Wprowadzenie teoretyczne 2. Algorytm FFT 3. Zastosowanie analizy Fouriera 4. Przykłady programów Wprowadzenie teoretyczne Zespolona transformata Fouriera Jeżeli

Bardziej szczegółowo

Systemy. Krzysztof Patan

Systemy. Krzysztof Patan Systemy Krzysztof Patan Systemy z pamięcią System jest bez pamięci (statyczny), jeżeli dla dowolnej chwili t 0 wartość sygnału wyjściowego y(t 0 ) zależy wyłącznie od wartości sygnału wejściowego w tej

Bardziej szczegółowo

Dyskretne układy liniowe. Funkcja splotu. Równania różnicowe. Transform

Dyskretne układy liniowe. Funkcja splotu. Równania różnicowe. Transform Dyskretne układy liniowe. Funkcja splotu. Równania różnicowe. Transformata Z. March 20, 2013 Dyskretne układy liniowe. Funkcja splotu. Równania różnicowe. Transformata Z. Sygnał i system Sygnał jest opisem

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 3. Właściwości przekształcenia Fouriera

Ćwiczenie 3. Właściwości przekształcenia Fouriera Politechnika Wrocławska Wydział Elektroniki Mikrosystemów i Fotoniki Przetwarzanie sygnałów laboratorium ETD5067L Ćwiczenie 3. Właściwości przekształcenia Fouriera 1. Podstawowe właściwości przekształcenia

Bardziej szczegółowo

Filtrowanie a sploty. W powyższym przykładzie proszę zwrócić uwagę na efekty brzegowe. Wprowadzenie Projektowanie filtru Zadania

Filtrowanie a sploty. W powyższym przykładzie proszę zwrócić uwagę na efekty brzegowe. Wprowadzenie Projektowanie filtru Zadania Filtrowanie a sploty idea x=[2222222222] %sygnałstochastycznyodługości5próbek h=[1111]/4; %Filtruśredniającypo4sąsiednichelementach y=conv(h,x)%zaaplikowaniefiltruhdosygnałux W powyższym przykładzie proszę

Bardziej szczegółowo

Zakładamy, że są niezależnymi zmiennymi podlegającymi (dowolnemu) rozkładowi o skończonej wartości oczekiwanej i wariancji.

Zakładamy, że są niezależnymi zmiennymi podlegającymi (dowolnemu) rozkładowi o skończonej wartości oczekiwanej i wariancji. Wnioskowanie_Statystyczne_-_wykład Spis treści 1 Centralne Twierdzenie Graniczne 1.1 Twierdzenie Lindeberga Levy'ego 1.2 Dowód 1.2.1 funkcja tworząca sumy zmiennych niezależnych 1.2.2 pochodna funkcji

Bardziej szczegółowo

Kompresja Danych. Streszczenie Studia Dzienne Wykład 13, f(t) = c n e inω0t, T f(t)e inω 0t dt.

Kompresja Danych. Streszczenie Studia Dzienne Wykład 13, f(t) = c n e inω0t, T f(t)e inω 0t dt. 1 Kodowanie podpasmowe Kompresja Danych Streszczenie Studia Dzienne Wykład 13, 18.05.2006 1.1 Transformaty, próbkowanie i filtry Korzystamy z faktów: Każdą funkcję okresową można reprezentować w postaci

Bardziej szczegółowo

Metoda eliminacji Gaussa. Autorzy: Michał Góra

Metoda eliminacji Gaussa. Autorzy: Michał Góra Metoda eliminacji Gaussa Autorzy: Michał Góra 9 Metoda eliminacji Gaussa Autor: Michał Góra Przedstawiony poniżej sposób rozwiązywania układów równań liniowych jest pewnym uproszczeniem algorytmu zwanego

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 10/10 Podziały i liczby Stirlinga Liczba Stirlinga dla cykli (często nazywana liczbą Stirlinga pierwszego rodzaju) to liczba permutacji

Bardziej szczegółowo

Opis efektów kształcenia dla modułu zajęć

Opis efektów kształcenia dla modułu zajęć Nazwa modułu: Teoria i przetwarzanie sygnałów Rok akademicki: 2013/2014 Kod: EEL-1-524-s Punkty ECTS: 6 Wydział: Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Inżynierii Biomedycznej Kierunek: Elektrotechnika

Bardziej szczegółowo

Kartkówka 1 Opracowanie: Próbkowanie częstotliwość próbkowania nie mniejsza niż podwojona szerokość przed spróbkowaniem.

Kartkówka 1 Opracowanie: Próbkowanie częstotliwość próbkowania nie mniejsza niż podwojona szerokość przed spróbkowaniem. Znowu prosta zasada - zbierzmy wszystkie zagadnienia z tych 3ech kartkówek i opracujmy - może się akurat przyda na dopytkę i uda się zaliczyć labki :) (dodatkowo można opracowania z tych rzeczy z doc ów

Bardziej szczegółowo

Technika audio część 2

Technika audio część 2 Technika audio część 2 Wykład 12 Projektowanie cyfrowych układów elektronicznych Mgr inż. Łukasz Kirchner lukasz.kirchner@cs.put.poznan.pl http://www.cs.put.poznan.pl/lkirchner Wprowadzenie do filtracji

Bardziej szczegółowo

Szybka transformacja Fouriera (FFT Fast Fourier Transform)

Szybka transformacja Fouriera (FFT Fast Fourier Transform) Szybka transformacja Fouriera (FFT Fast Fourier Transform) Plan wykładu: 1. Transformacja Fouriera, iloczyn skalarny 2. DFT - dyskretna transformacja Fouriera 3. FFT szybka transformacja Fouriera a) algorytm

Bardziej szczegółowo

Analiza obrazów - sprawozdanie nr 2

Analiza obrazów - sprawozdanie nr 2 Analiza obrazów - sprawozdanie nr 2 Filtracja obrazów Filtracja obrazu polega na obliczeniu wartości każdego z punktów obrazu na podstawie punktów z jego otoczenia. Każdy sąsiedni piksel ma wagę, która

Bardziej szczegółowo

Transformata Fouriera i analiza spektralna

Transformata Fouriera i analiza spektralna Transformata Fouriera i analiza spektralna Z czego składają się sygnały? Sygnały jednowymiarowe, częstotliwość Liczby zespolone Transformata Fouriera Szybka Transformata Fouriera (FFT) FFT w 2D Przykłady

Bardziej szczegółowo

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania. Podstawy Automatyki

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania. Podstawy Automatyki Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podsta Automatyki Transmitancja operatorowa i widmowa systemu, znajdowanie odpowiedzi w dziedzinie s i w

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1 PODSTAWOWE POJĘCIA I DEFINICJE

Rozdział 1 PODSTAWOWE POJĘCIA I DEFINICJE 1. 1. W p r owadze n ie 1 Rozdział 1 PODSTAWOWE POJĘCIA I DEFINICJE 1.1. WPROWADZENIE SYGNAŁ nośnik informacji ANALIZA SYGNAŁU badanie, którego celem jest identyfikacja własności, cech, miar sygnału; odtwarzanie

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k. Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy

Bardziej szczegółowo

Andrzej Leśnicki Laboratorium CPS Ćwiczenie 7 1/7 ĆWICZENIE 7. Splot liniowy i kołowy sygnałów

Andrzej Leśnicki Laboratorium CPS Ćwiczenie 7 1/7 ĆWICZENIE 7. Splot liniowy i kołowy sygnałów Andrzej Leśnicki Laboratorium CPS Ćwiczenie 7 1/7 ĆWICZEIE 7 Splot liniowy i kołowy sygnałów 1. Cel ćwiczenia Operacja splotu jest jedną z najczęściej wykonywanych operacji na sygnale. Każde przejście

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE

Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE 1.2 Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 1.1 Wykorzystując

Bardziej szczegółowo

Matematyka 2. Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego

Matematyka 2. Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Matematyka 2 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Równania różniczkowe liniowe rzędu II Równanie różniczkowe w postaci y + a 1 (x)y + a 0 (x)y = f(x) gdzie a 0 (x), a 1 (x) i f(x) są funkcjami

Bardziej szczegółowo

CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE

CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE Do opisu członów i układów automatyki stosuje się, oprócz transmitancji operatorowej (), tzw. transmitancję widmową. Transmitancję widmową () wyznaczyć można na podstawie

Bardziej szczegółowo

Geometria analityczna

Geometria analityczna Geometria analityczna Paweł Mleczko Teoria Informacja (o prostej). postać ogólna prostej: Ax + By + C = 0, A + B 0, postać kanoniczna (kierunkowa) prostej: y = ax + b. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem

Bardziej szczegółowo

CZY ZALEŻNOŚCI W UKŁADZIE WIELOKANAŁOWYM MOŻNA BADAĆ PARAMI?

CZY ZALEŻNOŚCI W UKŁADZIE WIELOKANAŁOWYM MOŻNA BADAĆ PARAMI? CZY ZALEŻNOŚCI W UKŁADZIE WIELOKANAŁOWYM MOŻNA BADAĆ PARAMI? Maciej Kamiński Pracownia Fizyki Medycznej Instytut Fizyki Doświadczalnej Uniwersytet Warszawski Dane neurobiologiczne Analiza danych W zmierzonym

Bardziej szczegółowo

Układy stochastyczne

Układy stochastyczne Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego 21 stycznia 2009 Definicja Definicja Proces stochastyczny to funkcja losowa, czyli funkcja matematyczna, której wartości leżą w przestrzeni zdarzeń losowych.

Bardziej szczegółowo

Spacery losowe generowanie realizacji procesu losowego

Spacery losowe generowanie realizacji procesu losowego Spacery losowe generowanie realizacji procesu losowego Michał Krzemiński Streszczenie Omówimy metodę generowania trajektorii spacerów losowych (błądzenia losowego), tj. szczególnych procesów Markowa z

Bardziej szczegółowo

9. Dyskretna transformata Fouriera algorytm FFT

9. Dyskretna transformata Fouriera algorytm FFT Transformata Fouriera ma szerokie zastosowanie w analizie i syntezie układów i systemów elektronicznych, gdyż pozwala na połączenie dwóch sposobów przedstawiania sygnałów reprezentacji w dziedzinie czasu

Bardziej szczegółowo

Programowanie celowe #1

Programowanie celowe #1 Programowanie celowe #1 Problem programowania celowego (PC) jest przykładem problemu programowania matematycznego nieliniowego, który można skutecznie zlinearyzować, tzn. zapisać (i rozwiązać) jako problem

Bardziej szczegółowo

Przedmowa Wykaz oznaczeń Wykaz skrótów 1. Sygnały i ich parametry 1 1.1. Pojęcia podstawowe 1 1.2. Klasyfikacja sygnałów 2 1.3.

Przedmowa Wykaz oznaczeń Wykaz skrótów 1. Sygnały i ich parametry 1 1.1. Pojęcia podstawowe 1 1.2. Klasyfikacja sygnałów 2 1.3. Przedmowa Wykaz oznaczeń Wykaz skrótów 1. Sygnały i ich parametry 1 1.1. Pojęcia podstawowe 1 1.2. Klasyfikacja sygnałów 2 1.3. Sygnały deterministyczne 4 1.3.1. Parametry 4 1.3.2. Przykłady 7 1.3.3. Sygnały

Bardziej szczegółowo

4 Zasoby językowe Korpusy obcojęzyczne Korpusy języka polskiego Słowniki Sposoby gromadzenia danych...

4 Zasoby językowe Korpusy obcojęzyczne Korpusy języka polskiego Słowniki Sposoby gromadzenia danych... Spis treści 1 Wstęp 11 1.1 Do kogo adresowana jest ta książka... 12 1.2 Historia badań nad mową i językiem... 12 1.3 Obecne główne trendy badań... 16 1.4 Opis zawartości rozdziałów... 18 2 Wyzwania i możliwe

Bardziej szczegółowo

Aproksymacja funkcji a regresja symboliczna

Aproksymacja funkcji a regresja symboliczna Aproksymacja funkcji a regresja symboliczna Problem aproksymacji funkcji polega na tym, że funkcję F(x), znaną lub określoną tablicą wartości, należy zastąpić inną funkcją, f(x), zwaną funkcją aproksymującą

Bardziej szczegółowo

przy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0

przy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0 MODELE MATEMATYCZNE UKŁADÓW DYNAMICZNYCH Podstawową formą opisu procesów zachodzących w członach lub układach automatyki jest równanie ruchu - równanie dynamiki. Opisuje ono zależność wielkości fizycznych,

Bardziej szczegółowo

INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 7

INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 7 KATEDRA MECHANIKI STOSOWANEJ Wydział Mechaniczny POLITECHNIKA LUBELSKA INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 7 PRZEDMIOT TEMAT OPRACOWAŁ LABORATORIUM MODELOWANIA Przykładowe analizy danych: przebiegi czasowe, portrety

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe liniowe II rzędu

Równania różniczkowe liniowe II rzędu Równania różniczkowe liniowe II rzędu Definicja równania różniczkowego liniowego II rzędu Warunki początkowe dla równania różniczkowego II rzędu Równania różniczkowe liniowe II rzędu jednorodne (krótko

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie zależności rekurencyjnych metodą równania charakterystycznego

Rozwiązywanie zależności rekurencyjnych metodą równania charakterystycznego Rozwiązywanie zależności rekurencyjnych metodą równania charakterystycznego WMS, 2019 1 Wstęp Niniejszy dokument ma na celu prezentację w teorii i na przykładach rozwiązywania szczególnych typów równań

Bardziej szczegółowo

Definicje i przykłady

Definicje i przykłady Rozdział 1 Definicje i przykłady 1.1 Definicja równania różniczkowego 1.1 DEFINICJA. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (t, x, ẋ, ẍ,..., x (n) ) = 0. (1.1) W równaniu tym t jest

Bardziej szczegółowo

ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.

ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. LICZBA TEMAT GODZIN LEKCYJNYCH Potęgi, pierwiastki i logarytmy (8 h) Potęgi 3 Pierwiastki 3 Potęgi o wykładnikach

Bardziej szczegółowo

Teoria sterowania - studia niestacjonarne AiR 2 stopień

Teoria sterowania - studia niestacjonarne AiR 2 stopień Teoria sterowania - studia niestacjonarne AiR stopień Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. Inż. Katedra Inżynerii Systemów Sterowania Wykład 4-06/07 Transmitancja widmowa i charakterystyki częstotliwościowe

Bardziej szczegółowo

3a. Wstęp: Elementarne równania i nierówności

3a. Wstęp: Elementarne równania i nierówności 3a. Wstęp: Elementarne równania i nierówności Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3a. Wstęp: w Krakowie) Elementarne równania

Bardziej szczegółowo

VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.

VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w

Bardziej szczegółowo

Z52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe.

Z52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe. Z5: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania zagadnienie brzegowe Dyskretne operatory różniczkowania Numeryczne obliczanie pochodnych oraz rozwiązywanie

Bardziej szczegółowo

Wykład 2. Transformata Fouriera

Wykład 2. Transformata Fouriera Wykład 2. Transformata Fouriera Transformata Fouriera jest podstawowym narzędziem analizy harmonicznej i teorii analizy i przetwarzania sygnału. Z punktu widzenia teorii matematycznej transformata Fouriera

Bardziej szczegółowo

4.2 Analiza fourierowska(f1)

4.2 Analiza fourierowska(f1) Analiza fourierowska(f1) 179 4. Analiza fourierowska(f1) Celem doświadczenia jest wyznaczenie współczynników szeregu Fouriera dla sygnałów okresowych. Zagadnienia do przygotowania: szereg Fouriera; sygnał

Bardziej szczegółowo

b n y k n T s Filtr cyfrowy opisuje się również za pomocą splotu dyskretnego przedstawionego poniżej:

b n y k n T s Filtr cyfrowy opisuje się również za pomocą splotu dyskretnego przedstawionego poniżej: 1. FILTRY CYFROWE 1.1 DEFIICJA FILTRU W sytuacji, kiedy chcemy przekształcić dany sygnał, w inny sygnał niezawierający pewnych składowych np.: szumów mówi się wtedy o filtracji sygnału. Ogólnie Filtracją

Bardziej szczegółowo

2) R stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu.

2) R stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu. ZAKRES ROZSZERZONY 1. Liczby rzeczywiste. Uczeń: 1) przedstawia liczby rzeczywiste w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego, ułamka dziesiętnego okresowego, z użyciem symboli pierwiastków, potęg); 2)

Bardziej szczegółowo

Transformaty. Kodowanie transformujace

Transformaty. Kodowanie transformujace Transformaty. Kodowanie transformujace Kodowanie i kompresja informacji - Wykład 10 10 maja 2009 Szeregi Fouriera Każda funkcję okresowa f (t) o okresie T można zapisać jako f (t) = a 0 + a n cos nω 0

Bardziej szczegółowo

1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych

1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Definicja. Równaniem różniczkowym o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie postaci p(y) = q() (.) rozwiązanie równania sprowadza się do postaci

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak. Politechnika Wrocławska. Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24)

Podstawy Automatyki. wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak. Politechnika Wrocławska. Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24) Podstawy Automatyki wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak Politechnika Wrocławska Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24) Laboratorium Podstaw Automatyzacji (L6) 105/2 B1 Sprawy organizacyjne

Bardziej szczegółowo

KARTA MODUŁU KSZTAŁCENIA

KARTA MODUŁU KSZTAŁCENIA KARTA MODUŁU KSZTAŁCENIA I. Informacje ogólne I. 1 Nazwa modułu kształcenia Analiza i przetwarzanie sygnałów 2 Nazwa jednostki prowadzącej moduł (należy wskazać nazwę zgodnie ze Statutem PSW Instytut,

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16 Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego

Bardziej szczegółowo

8. Analiza widmowa metodą szybkiej transformaty Fouriera (FFT)

8. Analiza widmowa metodą szybkiej transformaty Fouriera (FFT) 8. Analiza widmowa metodą szybkiej transformaty Fouriera (FFT) Ćwiczenie polega na wykonaniu analizy widmowej zadanych sygnałów metodą FFT, a następnie określeniu amplitud i częstotliwości głównych składowych

Bardziej szczegółowo

W celu obliczenia charakterystyki częstotliwościowej zastosujemy wzór 1. charakterystyka amplitudowa 0,

W celu obliczenia charakterystyki częstotliwościowej zastosujemy wzór 1. charakterystyka amplitudowa 0, Bierne obwody RC. Filtr dolnoprzepustowy. Filtr dolnoprzepustowy jest układem przenoszącym sygnały o małej częstotliwości bez zmian, a powodującym tłumienie i opóźnienie fazy sygnałów o większych częstotliwościach.

Bardziej szczegółowo

Tematyka egzaminu z Podstaw sterowania

Tematyka egzaminu z Podstaw sterowania Tematyka egzaminu z Podstaw sterowania Rafał Trójniak 6 września 2009 Spis treści 1 Rozwiązane tematy 1 1.1 Napisać równanie różniczkowe dla zbiornika z odpływem grawitacyjnym...............................

Bardziej szczegółowo

A3 : Wzmacniacze operacyjne w układach liniowych

A3 : Wzmacniacze operacyjne w układach liniowych A3 : Wzmacniacze operacyjne w układach liniowych Jacek Grela, Radosław Strzałka 2 kwietnia 29 1 Wstęp 1.1 Wzory Poniżej zamieszczamy podstawowe wzory i definicje, których używaliśmy w obliczeniach: 1.

Bardziej szczegółowo

Przekształcanie równań stanu do postaci kanonicznej diagonalnej

Przekształcanie równań stanu do postaci kanonicznej diagonalnej Przekształcanie równań stanu do postaci kanonicznej diagonalnej Przygotowanie: Dariusz Pazderski Liniowe przekształcenie równania stanu Rozważmy liniowe równanie stanu i równanie wyjścia układu niesingularnego

Bardziej szczegółowo

Przeksztacenie Laplace a. Krzysztof Patan

Przeksztacenie Laplace a. Krzysztof Patan Przeksztacenie Laplace a Krzysztof Patan Wprowadzenie Transformata Fouriera popularna metoda opisu systemów w dziedzinie częstotliwości Transformata Fouriera umożliwia wykonanie wielu użytecznych czynności:

Bardziej szczegółowo

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Wyznacz transformaty Laplace a poniższych funkcji, korzystając z tabeli transformat: a) 8 3e 3t b) 4 sin 5t 2e 5t + 5 c) e5t e

Bardziej szczegółowo

Przetwarzanie sygnałów

Przetwarzanie sygnałów Spis treści Przetwarzanie sygnałów Ćwiczenie 3 Właściwości przekształcenia Fouriera 1 Podstawowe właściwości przekształcenia Fouriera 1 1.1 Kompresja i ekspansja sygnału................... 2 1.2 Właściwości

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych. KG (CC) Statystyka 26 V / 1

Weryfikacja hipotez statystycznych. KG (CC) Statystyka 26 V / 1 Weryfikacja hipotez statystycznych KG (CC) Statystyka 26 V 2009 1 / 1 Sformułowanie problemu Weryfikacja hipotez statystycznych jest drugą (po estymacji) metodą uogólniania wyników uzyskanych w próbie

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr. 3 notatki

Zajęcia nr. 3 notatki Zajęcia nr. 3 notatki 22 kwietnia 2005 1 Funkcje liczbowe wprowadzenie Istnieje nieskończenie wiele funkcji w matematyce. W dodaktu nie wszystkie są liczbowe. Rozpatruje się funkcje które pobierają argumenty

Bardziej szczegółowo

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4)

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4) Rozdział 1 Prosta i płaszczyzna 1.1 Przestrzeń afiniczna Przestrzeń afiniczna to matematyczny model przestrzeni jednorodnej, bez wyróżnionego punktu. Można w niej przesuwać punkty równolegle do zadanego

Bardziej szczegółowo

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d.

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Funkcja charakterystyczna rozkładu Wielowymiarowy rozkład normalny Elipsa kowariacji Sploty rozkładów Rozkłady jednostajne Sploty z rozkładem normalnym Pobieranie próby

Bardziej szczegółowo

DYSKRETNA TRANSFORMACJA FOURIERA

DYSKRETNA TRANSFORMACJA FOURIERA Laboratorium Teorii Sygnałów - DFT 1 DYSKRETNA TRANSFORMACJA FOURIERA Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest przeprowadzenie analizy widmowej sygnałów okresowych za pomocą szybkiego przekształcenie Fouriera

Bardziej szczegółowo

Przekształcenie Fouriera obrazów FFT

Przekształcenie Fouriera obrazów FFT Przekształcenie ouriera obrazów T 6 P. Strumiłło, M. Strzelecki Przekształcenie ouriera ourier wymyślił sposób rozkładu szerokiej klasy funkcji (sygnałów) okresowych na składowe harmoniczne; taką reprezentację

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27.1. Wiadomości wstępne Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy związek w którym występuje funkcja niewiadoma u dwóch lub większej liczby zmiennych niezależnych i

Bardziej szczegółowo

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE Standardy wymagań egzaminacyjnych Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY POZIOM ROZSZERZONY 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny

Bardziej szczegółowo

Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 5 Zadania funkcje cz.1

Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 5 Zadania funkcje cz.1 1 TEST WSTĘPNY 1. (1p) Funkcja f przyporządkowuje każdej liczbie naturalnej większej od 1 jej największy dzielnik będący liczbą pierwszą. Spośród liczb f(42), f(44), f(45), f(48) A. f(42) B. f(44) C. f(45)

Bardziej szczegółowo

Teoria sygnałów Signal Theory. Elektrotechnika I stopień (I stopień / II stopień) ogólnoakademicki (ogólno akademicki / praktyczny)

Teoria sygnałów Signal Theory. Elektrotechnika I stopień (I stopień / II stopień) ogólnoakademicki (ogólno akademicki / praktyczny) . KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2012/2013 Teoria sygnałów Signal Theory A. USYTUOWANIE MODUŁU W SYSTEMIE STUDIÓW

Bardziej szczegółowo

A-2. Filtry bierne. wersja

A-2. Filtry bierne. wersja wersja 04 2014 1. Zakres ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zrozumienie propagacji sygnałów zmiennych w czasie przez układy filtracji oparte na elementach rezystancyjno-pojemnościowych. Wyznaczenie doświadczalne

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki klasa II technikum

Wymagania edukacyjne z matematyki klasa II technikum Wymagania edukacyjne z matematyki klasa II technikum Poziom rozszerzony Obowiązują wymagania z zakresu podstawowego oraz dodatkowo: 1. JĘZYK MATEMATYKI I FUNKCJE LICZBOWE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą

Bardziej szczegółowo

Całka nieoznaczona, podstawowe wiadomości

Całka nieoznaczona, podstawowe wiadomości Całka nieoznaczona, podstawowe wiadomości Funkcją pierwotną funkcji w przedziale nazywamy funkcję taką, że dla każdego punktu z tego przedziału zachodzi Różnica dwóch funkcji pierwotnych w przedziale danej

Bardziej szczegółowo

Politechnika Wrocławska Wydział Elektroniki Mikrosystemów i Fotoniki Przetwarzanie sygnałów laboratorium ETD5067L

Politechnika Wrocławska Wydział Elektroniki Mikrosystemów i Fotoniki Przetwarzanie sygnałów laboratorium ETD5067L Politechnika Wrocławska Wydział Elektroniki Mikrosystemów i Fotoniki Przetwarzanie sygnałów laboratorium ETD5067L Ćwiczenie 4. Filtry o skończonej odpowiedzi impulsowej (SOI) 1. Filtracja cyfrowa podstawowe

Bardziej szczegółowo

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY Warszawa 2019 LICZBY RZECZYWISTE stosować prawidłowo pojęcie zbioru, podzbioru, zbioru pustego; zapisywać zbiory w różnej postaci

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2005/06 Wstęp

Bardziej szczegółowo

F t+ := s>t. F s = F t.

F t+ := s>t. F s = F t. M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną

Bardziej szczegółowo

Laboratorium Przetwarzania Sygnałów Biomedycznych

Laboratorium Przetwarzania Sygnałów Biomedycznych Laboratorium Przetwarzania Sygnałów Biomedycznych Ćwiczenie 3 Analiza sygnału o nieznanej strukturze Opracowali: - prof. nzw. dr hab. inż. Krzysztof Kałużyński - mgr inż. Tomasz Kubik Politechnika Warszawska,

Bardziej szczegółowo

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2011-2014 STANDARDY WYMAGAŃ BĘDĄCE PODSTAWĄ PRZEPROWADZANIA EGZAMINU MATURALNEGO Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY 1. wykorzystania

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA POZNAŃSKA

POLITECHNIKA POZNAŃSKA POLITECHNIKA POZNAŃSKA INSTYTUT ELEKTROTECHNIKI I ELEKTRONIKI PRZEMYSŁOWEJ Zakład Elektrotechniki Teoretycznej i Stosowanej Laboratorium Podstaw Telekomunikacji Ćwiczenie nr 1 Temat: Pomiar widma częstotliwościowego

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.

PODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach. WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI Katedra Inżynierii Systemów Sterowania PODSTAWY AUTOMATYKI MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.

Bardziej szczegółowo

Promieniowanie dipolowe

Promieniowanie dipolowe Promieniowanie dipolowe Potencjały opóźnione φ i A dla promieniowanie punktowego dipola elektrycznego wygodnie jest wyrażać przez wektor Hertza Z φ = ϵ 0 Z, spełniający niejednorodne równanie falowe A

Bardziej szczegółowo