dr inż. Artur Zieliński Katedra Elektrochemii, Korozji i Inżynierii Materiałowej Wydział Chemiczny PG pokój 311

Transkrypt

1 dr inż. Artur Zieliński Katedra Elektrochemii, Korozji i Inżynierii Materiałowej Wydział Chemiczny PG pokój 311 Politechnika Gdaoska, 2011 r. Publikacja współfinansowana ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

2 Cegły i pustaki Przedstawiony algorytm dyskretnego przekształcenia Fouriera umożliwia wydzielanie składowych częstotliwościowych, czyli materiału budulcowego przebiegów. Jednak przebiegi dyskretne zawierają puste przestrzenie między kolejnymi próbkami. Prześledzimy, w jaki sposób wykonywana jest analiza takich sygnałów.

3 Poprawny sygnał Na początku próbkowaniu poddamy sygnał zawierający dwie składowe f 1 =0,01 Hz i f 2 =0,02 Hz. Postać widma amplitudowego takiego sygnału nie jest niczym nowym: f 1 =0,01 f 2 =0,01 częstotliwość Sygnał spróbkowany i jego widmo również nie jest podejrzany: Widmo jest automatycznie ograniczane do zakresu 0 f p /2 3

4 Sabotaż Sygnał analogowy jest sygnałem okresowym. Częstotliwość podstawowa wynosi w tym przypadku 0,01 Hz, a częstotliwość drugiej składowej to jej pierwsza wielokrotność lub jak się czasem mawia pierwsza harmoniczna. Dokonamy sabotażu, wprowadzając do sygnału składową o częstotliwości 0,6 Hz, czyli powyżej połowy częstotliwości próbkowania. Jest to 60 wielokrotność. Skoro występują wymierne wielokrotności częstotliwości podstawowej, to sygnał nadal jest okresowy. Prążek 0,4 Hz to znany nam już alias będący efektem powielenia widma. 4

5 Jeszcze większy sabotaż Teraz w miejsce składowej 0,6 Hz wprowadzamy składową o częstotliwości 0,6 2 Hz. Zgodnie z założeniem podanym przy okazji omawiania budowy szeregów trygonometrycznych, taki sygnał nie jest już okresowy. Po procesie próbkowania sygnał i jego widmo wyglądają tak: Niekiedy twierdzenie o próbkowaniu formułowane jest w sposób przynajmniej dwie próbki na okres sygnału. Nie zawsze jednak można określić, jaki jest okres. Z tego względu lepiej jest mówić, że częstotliwość próbkowania powinna być dwa razy większa, niż najwyższa częstotliwość składowej w widmie sygnału. 5

6 Dlaczego większa? Dlaczego większa, a nie większa bądź równa? Jeśli próbkujemy sygnał okresowy z szybkością równą dwukrotności jego częstotliwości, wszystko powinno być w porządku: Próbki zachowują strukturę częstotliwościową sygnału. Jeśli jednak pechowo trafimy tak: Otrzymamy same zera. 6

7 Różne widma Procedura z LabVIEW znowu chroni nas przed tym, ukrywając informację o składowej widma przy połowie częstotliwości próbkowania: Aby zobaczyć tę składową i obszary ukrywane przez procedurę, należy posłużyć się innym narzędziem, również dostępnym w LabVIEW, ale trudniejszym w obsłudze. Na palecie Signal Processing/Transforms znajduje się ikona oznaczona FFT : 7

8 DFT i sinusoida Zastosujmy DFT do analizy sygnału o poznanej strukturze widmowej, aby zobaczyć, co właściwie robi nowo wprowadzona procedura. Otrzymujemy widmo zawierające prążki, ale są one bardzo małe. Dodatkowo skala widma jest zupełnie nieprzystająca do założeń. Struktura połączeń na schemacie pokazuje, że DFT nie produkuje skali częstotliwościowej automatycznie. sygnał wejściowy (x) shift? FFT size FFT(x) error 8

9 DFT to ona Zastosowanie próbnika na przewodzie, którym przesyłana jest DFT, pozwala zobaczyć, że składa się ona z wartości zespolonych. Mówimy ta DFT, ponieważ jak się wkrótce przekonamy jest to wynik działania poznanego przez nas ostatnio dyskretnego przekształcenia Fouriera. Operacja matematyczna nazywa się przekształceniem lub transformacją, natomiast jej wynik to transformata. Widoczne jest, że transformata jest zespolona, natomiast LabVIEW ma tę brzydką cechę, że gdy próbuje się narysować wartości zespolone na wykresie uwzględniana jest jedynie ich część rzeczywista. Rysunek z poprzedniego slajdu jest zatem nieprawidłowy. Na slajdach używane jest określenie DFT, podczas gdy w LabVIEW nazwa FFT. FFT to rozwinięcie od Fast Fourier Transformation, która stosuje bardziej wydajne algorytmy. 9

10 Poprawny wykres DFT Na wykresach przedstawiona została część rzeczywista i urojona analizowanego sygnału. Część rzeczywista tej transformaty jest pomijalnie mała. Zasadnicza informacja zawarta jest w części urojonej. 10

11 Odwracalność Operacja DFT jest odwracalna. Z zespolonych prążków można otrzymać sygnał czasowy. Wykorzystamy to, aby sprawdzić, czy istotnie część rzeczywista ma w omawianym przypadku znikome znaczenie. Sygnał wejściowy Na przedstawionym schemacie dokonujemy całkowitego wyzerowania części rzeczywistej, a następnie dokonujemy rekonstrukcji sygnału za pomocą przekształcenia odwrotnego. Oto rezultat: Sygnał wejściowy Sygnał odtworzony 11

12 Prążki DFT i krążenia Porównajmy postać wykresu prążkowego z wynikami graficznego wyznaczania DFT z poprzedniego wykładu: sygnał to sinus 2Ai 0 f p /4 3/4f p f p -2Ai Widmo to dwa prążki: jeden ma ujemną wartość urojoną, drugi dodatnią, ale również urojoną. Poprzednio dla sinusa również wyszedł taki obraz. Ustaliliśmy, że do analizy 4 punktów sygnału potrzebne były 4 wektory analizujące. 12

13 Rozdzielczość częstotliwościowa Sprawdzenie za pomocą próbnika pozwala przekonać się, że procedura DFT wytwarza taką samą ilość próbek, jaką miał analizowany sygnał. Przekonaliśmy się również, że widmo sygnału cyfrowego ma okres równy f p, zatem jeżeli transformata opisuje widmo sygnału przy użyciu N próbek, rozdzielczość częstotliwościowa (odstęp między prążkami) wynosi: f f p N 13

14 Oś częstotliwości Przedstawiony wzór został wzięty w ramkę, ponieważ jego znaczenie jest ważne dla poprawnego wyskalowania osi odciętych uzyskanej transformaty DFT. Teraz można z czystym sumieniem podpisać oś odciętych, ponieważ pozwala ona odczytać prawdziwą częstotliwość sygnału. Tak naprawdę na osi tej przedstawione są częstotliwości wektorów analizujących. 14

15 Wektory analizujące W przykładzie graficznym wykorzystaliśmy zbiór wektorów analizujących w postaci zespolonej rozmieszczonych równomiernie w zakresie od zera do częstotliwości próbkowania. Używaliśmy 4 wektorów, a odległość między wektorami wynosiła fp/4. Była to czteropunktowa dyskretna transformacja Fouriera. W ogólnym przypadku używanych jest N wektorów. częstotliwości wektorów określone są zależnością: f n n fs N transformacja 4 punktowa transformacja 8 punktowa 15

16 i wzór na DFT W rozważaniach rysunkowych kolejne prążki widma uzyskiwane były przez sumowania iloczynów próbek sygnału z kolejnymi położeniami sprzężonych wektorów analizujących. 2t exp j2f n2t N ( t)exp j2f nt s s / s s / s( 0)exp j2f s n0/ N N biorąc pod uwagę, że: t 1 f s transformata stanowi n próbek w dziedzinie częstotliwości o wartościach: pojedynczy wektor analizujący S n sk N k0 exp 2kn N 16

17 Przekształcenie odwrotne Skoro każdy prążek częstotliwościowy reprezentuje jedno krążenie w przestrzeni zespolonej możliwe jest poustawianie odpowiednich wartości prążków tak, aby po transformacji odwrotnej otrzymać żądany sygnał. Ustawiamy jednostkową wartość prążka składowej rzeczywistej transformaty: Otrzymujemy przebieg czasowy o charakterze zespolonym. Zgadza się to z zależnością Eulera. exp ix isinx cosx 17

18 Synteza sygnału rzeczywistego Aby stworzyć sygnał rzeczywisty, należy dodatkowo ustawić symetrycznie prążek o częstotliwości ujemnej. W wyniku tej operacji otrzymujemy sygnał rzeczywisty będący funkcją kosinus. W 100 punktowej transformacie ustawiony został prążek numer 3 odpowiadający częstotliwości 0,02 Hz, ponieważ pierwszy prążek to częstotliwość zero. Drugi odpowiada częstotliwości 0,98 Hz. Jako że obowiązuje schemat powieleń widma, odpowiada to 0,02 Hz po ujemnej stronie częstotliwości. 18

19 Od DFT do widma Transformata ma postać zespoloną. Często wygodnie posługiwać się wartością jej modułu i fazy, zamiast części rzeczywistej i urojonej. 200 punktowa DFT Otrzymany wynik jest zależny od liczby próbek N. Z tego względu stosuje się skalowanie przez 2/N, aby z widma odczytywać od razu amplitudy składowych sinusoidalnych. 100 punktowa DFT 19

20 Podsumowanie Przedstawione zostało powiązanie między rozważaniami teoretycznymi, dotyczącymi struktury widma, a rezultatami otrzymywanymi za pomocą oprogramowania do analizy cyfrowej. Algorytm DFT może być z powodzeniem użyty do dekompozycji częstotliwościowej sygnałów dyskretnych. Istnieje procedura odwrotna umożliwiająca syntezę sygnału w oparciu o jego transformatę. 20

21 Kolejne zagadnienie Warsztatem pracy, w którym wykonywane były wszystkie dotychczasowe operacje związane z przetwarzaniem sygnałów, było LabVIEW. Pomimo niewątpliwych zalet, takich jak relatywnie duża intuicyjność czy łatwość tworzenia interfejsu użytkownika, pakiet ten ma niewątpliwą wadę. Jest drogi. Z tego powodu następny wykład przybliży możliwości wykorzystania oprogramowania dostępnego legalnie i za darmo w sieci. 21