O pewnym algorymie rozwiązującym problem opymalnej alokacji zasobów Cezary S. Zaremba*, Leszek S. Zaremba ** WPROWADZENIE W kierowaniu firmą Zarząd częso saje wobec problemu rozdysponowania (alokacji) zasobami firmy kórą kieruje (pieniędzmi, czasem, powierzchnią magazynową, ładownością samochodów ransporowych, ip.), kóre z naury rzeczy wysępują w firmach w ograniczonych ilościach. Jak zobaczymy poniżej, z zagadnieniami ego ypu spoykają się eż indywidualni decydenci, na przykład sudenci planujący przygoowanie się do sesji egzaminacyjnej kiedy o podsawowym zasobem jakim dysponują obok swych zdolności jes czas. Będziemy prezenować różnorakie przykłady zasosowań badań operacyjnych w podejmowaniu decyzji w przedsiębiorswie, począwszy od najławiejszych zagadnień do najrudniejszych. Rozpoczniemy od zdefiniowania klasycznego problemu opymalnej alokacji zasobów (przykład ), kórego sformułowanie można znaleźć między innymi w [, rozdział 4.4] i [,sr. Rozdział 0.4]. Nasępnie sformułujemy zagadnienie nieco rudniejsze (przykład ), po czym przedsawimy program obliczeniowy w języku Java pod nazwą Problem kóry rozwiąże przykład i będzie w sanie rozwiązać wiele innych na ym samym poziomie ogólności. W przykładzie pokażemy jak zwiększyć sosowalność Problemu na inne podobne zagadnienia. W rozdziale sformułujemy ak zwane uogólnione zagadnienie opymalnej alokacji zasobów opisane przez (5)-(6), po czym zilusrujemy je 6-ma różnorakimi zadaniami decyzyjnymi (przykłady 4-9), będącymi szczególnym przypadkiem ego uogólnionego zagadnienia. Jego rozwiązanie pozosawimy jako problem owary do rozwiazania w nasępnym arykule. Z uogólnionymi zagadnieniami opymalnej aloka- * Cezary S. Zaremba ukończył sudia licencjackie w WSZ-POU oraz magiserskie w Universiy College London ** Leszek S. Zaremba jes profesorem w WSZ-POU
cji zasobów czyenik może spokać się na przykład w [, rozdziały 0.5 i.] oraz [, rozdz. 0.4]. ROZDZIAŁ. OPTYMALNA ALOKACJA KAPITAŁU FINANSOWEGO Rozpocznijmy od zdefinowania klasycznego (sandardowego) zagadnienia opymalnej alokacji zasobów, ak jak zrobiono o w przykładzie 5 z [, sr. 960]. Przykład [por.,sr.960] Pan Finco ma $6000 do zainwesowania w projeky, przy czym usalił że kwoy d, d, d, jakie będzie inwesował w e projeky będą wielo- kronościami $000. Wszyskie e projeky przynosić będą zyski (lub sray) przez ą samą ilość la. Tabela podaje warości NPV (zwane w dalszej części przychodami) dla każdego z ych projeków zgodnie ze wzorami () r d ) = 7d, r d ) = d 7, r d ) = 4d 5, co ilusruje poniższa projek # ( + ( + Tabela ( + kosz (w ys. dolarów) 4 5 6 przychód = NPV(w ys. dolarów ) 9 6 0 7 44 0 6 9 5 9 7 5 9 przy czym funkcja r ( ) określa przychody z projeku, r ( ) z projeku, zaś r ( ) d z projeku. Zgodnie z reścią zadania musi być jeszcze spełniona równość () d + d + d 6. = Zagadnienie kóre pragnie rozwiązać pan Finco polega więc na maksymalizacji sumy przychodów, co zapisujemy w posaci () max{ r d ) + r ( d ) + r ( ) } ( d przy zachowaniu warunku (). Przejdźmy eraz do nieco rudniejszego zagadnienia opisanego w przykładzie, kóry podobnie jak przykład, rozwiążemy w ym rozdziale za pomocą programu d d
obliczeniowego pod nazwą Problem, kóry zosał specjalnie napisany na porzeby niniejszego arykułu. Przykład Pan Finco ma $7000 do zainwesowania. Posanowił skoncenrować się na maksimum 4 projekach spośród 5 dosępnych do realizacji, przy czym usalił że kwoa jaką będzie inwesował w kórykolwiek z 5 projeków będzie wielokronością $000. Wszyskie e projeky przynosić będą zyski (sray) przez ą samą ilość la. Tabela podaje warości NPV (zwane w dalszej części przychodami) dla każdego z ych 5 projeków w zależności od zainwesowanej w nie dziś kwoy kapiału. Zagadnienie kóre pragnie rozwiązać pan Finco polega na maksymalizacji sumy przychodów wynikłych ze zrealizowanych projeków (minimum projek, maksimum 4 projeky), na kóre łącznie nie może wydać więcej niż $7000. Wielkości kóre wysępują w ej abeli zosały wybrane przypadkowo, zaś meoda rozwiązania zaprezenowana w ym arykule pracuje równie dobrze na ych danych, jak i na każdych innych. Tabela : Koszy oraz przychody z 5 projeków kosz (w ys. dolarów) 4 5 6 7 projek # przychód = NPV (w ys. dolarów) 5 0 4 4 7 8 9 0 4 5 6 7 8 4 6 7 8 9 0 0 5 4 5 6 7 Jak widać z abeli, jeżeli pan F. zainwesuje $4000 w projek o warość dodana z ego projeku (reprezenowana przez NPV) i zwana przez nas również przychodem wyniesie $5000, pozosawiając $000 do rozlokowania w pozosałe projeky. Gdyby e $4000 pan F. zainwesował w projek, o jego przychód wyniósłby $6000, pozosawiając również $000 do alokacji w inne projeky, np. $000 w projek 4 oraz $000 w projek, co łącznie dałoby mu $0000. Z kolei
4 przeznaczając cały budże ylko w jeden projek, pan F. usyskać może maksymalnie $4000. Rozumując w en prosy sposób jes szansza że nie pomylimy się i znajdziemy rozwiązanie opymalne w/w problemu decyzyjnego. Gdy jednak ilość wierszy (projeków) rośnie, podobnie jak ilość kolumn, meoda a saje się coraz bardziej zawodna i musi być zasąpiona przez niezawodną meodę obliczeniową. W ym celu zaproponujemy program obliczeniowy Problem napisany w języku Java, kóry wyświelać będzie abelę danych wyjściowych, najlepsze rozwiązanie, drugie najlepsze rozwiązanie oraz kilka dodakowych informacji. Poszukiwania opymalnej alokacji kapiału podzielimy na 4 fazy. W -ej fazie obliczeń ograniczamy się do zainwesowania w jeden projek całej kwoy $7000 gdyż może się zdarzyć że aki właśnie sposób inwesowania przyniesie najlepszy rezula; proponujemy aby czyelnik zasanowił się eraz kórą liczbę z abeli należy zmienić (można o zrobić na kilka sposobów) aby zainwesowanie całej kwoy $7000 w jeden projek rzeczywiście przyniosło największy przychód ze wszyskich możliwych sposobów alokacji $7000 w,, lub 4 projeky. Zaem, w -ej fazie program nasz wybierze maksymalną liczbę z osaniej kolumny. W rozparywanym przykładzie będzie o liczba 4 odpowiadająca projekowi #, co oznacza że uzyskany przychód z projeku # wyniesie $4000. Oznaczymy ą liczbę przez Max, zaś -ą największą przez Max. Przypomnijmy eraz wzór z kombinaoryki i rachunku prawdopodobieńswa, kóry mówi iż wszyskich podzbiorów k-elemenowych w zbiorze n-elemenowym jes n n! (4) =, k k!( n k)! gdzie n!(czyaj: n silnia) oznacza iloczyn kolejnych liczb nauralnych od do n. W -ej fazie obliczeń rozważamy inwesowanie w dowolne projeky spośród wszyskich (5 w ym przypadku), alokując najpierw kwoę $000 w jeden z ych projeków oraz $6000 w drugi projek, dzięki czemu łączna suma nakładów inwesycyjnych wyniosie $7000. Powyższy wybór dwóch kolumn oznaczymy króko przez -
5 6. Kolejnym wyborem będzie w ej fazie -5, nasępnie -4, co jak zobaczymy póź- niej wyczerpie wszyskie możliwości. Program nasz wybiera więc po jednej liczbie z kolumny -ej i 6-ej, kóre nie znajdują się w ym samym wierszu, czyli reprezenują różne projeky. Wszyskich sposobów wybrania ych liczb, czyli projeków spośród 5 będzie jak wiemy ze wzoru (4) 5 5! 4 5 = = =!(5 )! ( ) ( ) 0 = 0. Na przykład, jeśli wybierzemy przychód z kolumny oraz przychód 4 z kolumny 6, i dodamy je do siebie, o orzymując łącznie $7000 akualizujemy warość Max, oraz Max. Posępujemy ak przy każdej nowej uzyskanej sumie, a więc 0 razy w ym eapie. Nasępnie program przechodzi do kolejnego eapu, w kórym dokonuje wyboru -5, czyli wybiera kolumnę i kolumnę 5. I ym razem program wybierze 0 różnych par liczb z ych dwóch kolumn, zsumuje e pary i za każdym razem uaku- alni warości liczb Max i Max. W kolejnym eapie ej samej fazy program obliczeniowy wybiera kolumnę i 4, posępując ak samo jak poprzednio. Na ym kończy się faza -a ponieważ wybór 4-, podobnie jak wybór 5- nie może już wnieść nic nowego. Wynika o sąd, że wybieranie 0 par liczb z kolumn i 4 i sumowanie ich jes ym samym co wybieranie 0 liczb z kolumn 4 i i sumowanie ich. W -ej fazie obliczeń program koncenruje się na wyborze kolumn (nakła- dów inwesycyjnych) kóre łącznie pochłoną $7000. Rozpoczyna od alokacji 5--, czyli wybiera liczby po jednej z kolumn 5-ej, -ej i -ej, ak aby e liczby odpowia- dały różnym projekom ( wierszom). Można o zrobić na 5 5! 4 5 = = =!(5 )! ( ) ( ) 0 = 0 sposobów, za każdym razem sumując e liczby i akualniając warość liczb Max i Max. W kolejnym kroku program przechodzi do kolumn 4--, wybierając na 0 sposobów liczby, sumuje je i uakualnia Max i Max. Jedną z ych sum będzie 0
6 jako suma liczb 6(z 4-ej kolumny), 8(z -ej kolumny) oraz 6(z -ej kolumny), z czego wynika iż Max 0. W kolejnym kroku -ej fazy program przechodzi do kolumn -- (wybór kolumn 4-- nie miałby sensu ponieważ były już rozparywane kolumny 4--). Program ponownie wybiera na 0 sposobów liczby z kolumny -ej, -ej oraz -ej ak aby liczby e były z różnych wierszy, sumuje je i uakualnia dwie największe sumy. Pozosaje jeszcze rozparzyć w en sam sposób kolumny -- gdyż wszykie inne układy kolumn zosały już rozparzone, np. układ --, układ --, id. W 4-ej fazie obliczeń program koncenruje się na wyborze 4-ech kolumn (nakładów inwesycyjnych) kóre łącznie pochłoną $7000. Rozpoczyna od alokacji 4- --, poem zajmuje się alokacją ---, nasępnie ---, co wyczerpuje wszyskie możliwości. Rozpoczynając od alokacji $4000, $000, $000 i $000 w 4 różne projeky spśród 5, wybieramy 4 liczby po jednej z kolumn 4-ej, -ej, -ej i -ej ak aby e liczby odpowiadały 4 różnym projekom (4 różnym wierszom). Można o zrobić na 5 5! 4 5 5 = = = = 5 4 4!(5 4)! ( 4) sposobów, za każdym razem sumując e 4 liczby i uakualniając Max oraz Max. W kolejnym dwóch krokach odpowiadających alokacjom --- oraz --- nasz program posępuje analogicznie, kończąc obliczenia. Wyniki końcowe, jak i cząskowe przeprowadzonych obliczeń uzyskane w Prob- lemie są do obejrzenia w dwóch poniższych inerfejsach.
7 Waro podkreślić, że chociaż Problem zosał napisany przy założeniu iż kwoy pieniężne do zainwesowania w rozparywane projeky wzrasają o 000 zł (od ys. zł do 7 ys. zł w omówionym wyżej przypadku), o prosy zabieg dopisania brakujących kolumn pozwala sprowadzić każdy inny przykład do akiego sformułowania kóre rozwiązuje Problem. Zilusrujmy o poniżej.
8 Przykład Treśc zagadnienia jes a sama co w przykładzie, lecz są inne przychody z 5 projeków. Dane są one w poniższej abeli. projek # 4 5 Tabela kosz (w ys. dolarów) 5 7 9 przychód = NPV (w ys. dolarów) 5 0 4 7 8 9 0 4 5 8 7 8 6 7 8 9 0 4 5 6 By zasosować program obliczeniowy Problem, zasąpmy abelę poniższą abelą. Tabela 4 kosz (w ys. dolarów) 4 5 6 7 8 9 0 projek # przychód = NPV (w ys. dolarów) 5 5 0 0 4 7 7 8 8 9 9 0 0 4 4 5 5 8 8 7 7 8 4 6 6 7 7 8 8 9 9 0 0 5 4 4 5 5 6 W -ej fazie obliczeń ograniczamy się do inwesowania całej kwoy $000 w jeden projek. Z obliczeń wynika że najlepiej zainwesować 000$ w projek # (przychód $8000) i o jes akualna warość liczby Max. W -ej fazie obliczeń rozważamy inwesowanie w dowolne projeky spośród wszyskich. Po przeprowadzeniu obliczeń dowiadujemy się że najlepiej zainwesować $0000 w projek #
9 (przychód $000) oraz $000 w projek # (przychód $000) co daje łącznie $4000. W akim razie akualną warością Max będzie $4000. W -ej fazie obliczeń program koncenruje się na wyborze kolumn. Z obliczeń wynika że najlepiej zainwesować $9000 w projek # (przychód $0000), $000 w projek # (przychód $7000) oraz $000 w projek # (przychód $000). Uakualniona warość Max wynosi więc $0000. Jes o jednocześnie jak się wkróce okaże drugi najlepszy wynik. W 4-ej osaniej fazie obliczeń program koncenruje się na wyborze 4 kolumn. Po przeprowadzeniu obliczeń dowiadujemy się że najlepiej zainwesować $8000 w projek # (przychód $5000), $000 w projek # (przychód $7000), $000 w projek # (przychód $000) oraz $000 w projek #4 (przychód $6000), co daje końcową warość Max = $000. Jes o zarazem najlepszy wynik (najwyższy przychód) z alokacji posiadanego kapiału $000 uzyskany poprzez program obliczeniowy Problem. ROZDZIAŁ : UOGÓLNIONE ZAGADNIENIE ALOKACJI ZASOBÓW Zdefiniujemy eraz (por. [, sr.964]) na czym polega uogólnione zagadnienie alokacji zasobów. Maemaycznie ujmując, chodzi o (5) max r ( d ) gdy T =
0 T (6) = = g ( d ) w, kóre redukuje się do sandardowego zagadnienia alokacji jeśli wszyskie funkcje g (d), T, są dane wzorami (d) = d. Gdy ponado T =, r (d) dane są wzora- g mi (), zaś w = 6, orzymujemy przykład 5 z [, sr. 960]. Zagadnienie (5)-(6) jes na yle ogólne iż prezenuje za jednym razem wiele wydawałoby się różnych zagadnień decyzyjnych. Opiszemy eraz 6 z nich (przykłady 5-0), z kórych 4 pochodzą z [, sr. 964]. Przykład 4 (znany jako plecakowy problem - knapsack problem) Turysa wybiera się w góry na wycieczkę z plecakiem. Rozważa co włożyć do plecaka, biorąc pod uwagę piżamy, ręczniki, szczokę do zębów, kanapki z wędliną, kanapki z serem, koszule, ip.) Wszyskich różnych rodzajów przedmioów jes T. Każdy ręcznik, ręczniki, kanapka z serem, kanapki z serem, ip. generuje pewną użyeczność (benifi) dla urysy, jednocześnie, waży pewną ilość kg. Turysa uznał żę maksymalna waga plecaka wynosić może w = 40 kg. Widać że jes o szczególny przypadek uogólnionego problemu opymalnej alokacji zasobów (zasobem jes u powierzchnia w plecaku przeliczana na kg), jeśli g (d) oznaczać będzie wagę przed- miou wzięego do plecaka w ilości d szuk, zaś r (d) określa benifi z yułu wzięcia do plecaka d szuk przedmiou rodzaju. Przykład 5 (przeprowadzka z Białegosoku do Warszawy) Kowalscy przeprowadzają się z Białegosoku do Warszawy. Ponieważ z jednej srony wynajęcie dużego środka ransporu kóry by przewiózł ich wszyskie meble za jednym razem jes koszowne, a z drugiej srony ich kuzyn kóry dysponuje niedużym samochodem ransporowym zaoferował przewiezienie ich mebli w -óch urach(dziś i za ygodnie) za opłaą kóra pokrywa jedynie koszy paliwa, Kowalscy zdecydowali się na jego oferę. Doradź im w jaki sposób mają zabrać w pierszej urze jak najbardziej porzebne meble i urządzenia kuchenne kóre im wysarczą przez ygodnie, a z drugiej srony zmieszczą się na kuzyna ciężarówce, co oznacza że suma objęości przedmioów kóre wezmą z sobą w -ej urze nie przekroczy pojemności jego ciężarówki, czyli 0
merów sześciennych. Każdemu meblowi i urządzeniu (zosały one ponumerowane od do n), jak również grupie mebli i urzadzeń ego samego rodzaju kóre mają prze- wieść do Warszawy przyporządkowali określoną użyeczność, kórą oznaczymy przez r i ( d i ), gdzie d i oznacza ilość mebli czy urządzeń ypu i, i n. W sumie będzie o zagadnienie (5)-(6), gdzie g i ( d i ) oznaczają objęość d i urządzeń ypu i. Przykład 6 (opymalne zaplanowanie przygoowywania się sudena do sesji egzami- nacyjnej) Suden ma do zdania egzaminy z T przedmioów. Ze swego doychczasowego doświadczenia wie jak wyniki egzaminów kóre ma zdawać z każdego z ych przed- mioów zależeć bedą od ilości godzin kóre przeznaczy na przygoowanie się do nich. Niesey, ilość czasu kóra mu pozosała nie wysarcza aby uzyskać maksymalnie wysokie oceny ze wszyskich ych przedmioów. Aby sprowadzić o zagadnienie decyzyjne do problemu (5)-(6), niech r (d) oznacza sopień (liczony w punkach od 0 do 00) kóry uzyska suden gdy przeznaczy d godzin na przygoowywanie się do egzaminu z ego przedmiou. Ponado, jeśli g (d) = d, zaś w jes ilością godzin jaką dysponuje (jes o jego zasób), o nierówność (6), czyli w ym przypadku nierówność (7) = = T d w, oznaczać będzie że łącznie na przygoowywanie się do wszyskich egzaminów su- den ma co najwyżej w godzin. Warunek (5) oznacza naomias że chodzi u o maksymalizację sumy ocen ze wszyskich egzaminów, czyli mówiąc równowżnie, chodzi o maksymalizację liczby (8) r ( d ) / T T = reprezenującą średnią ocenę ze wszyskich egzaminów. Przykład 7 Zagadnienie polega na przydzieleniu (alokacji) sprzedawców produku D (kórzy są zasobem firmy ABC) do T regionów znając zarówno koszy g ( x ) wysłania x sprze-
dawców do regionu, jak i wielkość sprzedaży r ) jaką oni am uzyskają. Chodzi więc o maksymalizację przychodów ze sprzedaży r ( x ), przy zachowaniu ograni- T czenia = = ( x g ( x ) w, gdzie w jes budżeem firmy ABC na dany rok. T = Przykład 8 Zagadnienie o mają rozwiązać władze powiau kórym podlega T placówek sraży pożarnej działających w regionach, T. Chodzi o usalenie jaką ilość wozów srażackich (oznaczmy ę ilość przez x ) powinna posiadać placówka w regionie aby w całym powiecie maksymalizować ilość przypadków pożarów w ciągu ygodnia do kórych samochód srażacki wyrusza w czasie krószym niż minua od orzymania informacji o pożarze, wiedząc że ilośc a w rejonie wynosi r ). Przy podjęciu decyzji władze powiau muszą wziąść pod uwagę że ygodniowy kosz urzymania x samochodów srażackich w rejonie wynosi g ). Chodzi więc o maksymalizację T = r ( x ), przy zachowaniu ograniczenia = = T ( x ponownie mamy do czynienia z zagadnieniem ypu (5)-(6). ( x g ( x ) w, gdzie w jes budżeem, czyli Przykład 9 Pan Michał posiada środki w wysokości $0000 do zainwesowania, mając do dyspozycji nasępujące możliwości inwesycyjne. Doradź mu jakie ilości pakieów akcji poszczególnych spółek giełdowych powinien kupić (pakie = 00 akcji) aby w opymalny sposób dokonać alokacji swego kapiału. Tabela 5: Możliwości inwesycyjne oraz oczekiwany zysk Kosz nabycia 00 akcji Oczekiwany zysk Spółka A $,000 $500 Spółka B $4,000 $700 Spółka C $5,000 $800
W ym przykładzie chodzi o aki wybór ilości pakieów ( d pakieów akcji spółki A, d pakieów akcji spółki B oraz d pakieów akcji spółki C) aby maksymalizować oczekiwane zyski wynikające z kupna akcji spółek A, B, C. Tabela 5 podaje zyski z zakupu jednego pakieu akcji. Widzimy że dla spółki A oczekiwany zysk z zakupu jednego pakieu akcji wynosi r () 500, dla spółki B równy jes r () 700, zaś w = = przypadku spółki C oczekiwany zysk wynosi r () 800. Ponieważ zyski są propor- = cjonalne do ilości zakupionych pakieów akcji, zachodzą równości: (9) r d) = d * (), r d) = d * (), r d) = d * (), ( r ( r ( r gdzie d oznacza ilość pakieów akcji. Maemaycznie ujmując, pojawia się zaem nas- ępujący problem opymalizacyjny: (0) max{ r d ) + r ( d ) + r ( ) } gdy spełnione są ograniczenia budżeowe ( d () g d ) + g ( d ) + g ( d ) 0000, ( o znaczy, koszy nabycia d pakieów akcji spółki A, d pakieów akcji spółki B oraz d pakieów akcji spółki C nie mogą przewyższać kwoy $0000. W ym przyk- ładzie koszy g ( ), g ( ), g ( ) spełniają warunek (9), o znaczy są proporcjonal- d d d ne do ilości zakupionych pakieów akcji, dzięki czemu możemy (0)-() zapisać w posaci () max{ 500d + 700d + 800d } gdy () 000d + 4000d + 5000d 0000. Rozwiązanie W ym prosym przykładzie odpowiedź można zgadnąć. Widać że zmaksymalizu- jemy oczekiwany zysk gdy d =, d =, zaś d = 0, uzyskując $7000 = *500 + *700 + 0*800. Zachęcamy czyelnika aby sam wymyślił kilka podobnych przykładów. Lieraura. B. Guzik, Ekonomeria i Badania Operacyjne, Wydawnicwo Akademii Ekonomicznej w Poznaniu, Poznań, 999.
4. E. Ignasiak, Badania Operacyjne, PWE, Warszawa, 997.. W. Winson, Operaions Research: Applicaions and Algorihms, PWS-Ken Publi- shing Company, 99.