4. Grup, pierścienie i ciała. Definicja : Zbiór A nazwam grupą jeśli jest wposaŝon w działanie wewnętrzne łączne, jeśli to działanie posiada element neutraln i kaŝd element zbioru A posiada element odwrotn. Czli : (A,o ) jest grupą, jeśli :. o :A A A (działanie wewnętrzne). dla dowolnch a, b, c A (ao o c = ao (bo c) (łączność działania) 3. istnieje taki element e A, Ŝe dla kaŝdego a A zachodzi równość ao e = eo a = a (e nazwam elementem neutralnm) 4. dla kaŝdego a A, istnieje element b A, taki Ŝe ao b = bo a = e (b nazwam elementem odwrotnm do a) Jeśli ponadto spełnion jest warunek : 5. dla dowolnch a, b A zachodzi ao b = bo a (działanie przemienne) to (A,o ) nazwam grupą abelową. Przkład : Zbiór R \ {0} wraz z mnoŝeniem jest grupą abelową. Zbiór Z (zbiór liczb całkowitch) wraz z dodawaniem jest grupą abelową. Definicja : Trójkę (A, o, ) nazwam ciałem, jeśli (A, o ) jest grupą abelową, jeśli (A \ {0}, ) jest grupą (smbolem 0 oznaczliśm element neutraln działania o ), oraz jeśli działanie jest rozdzielne względem działania o, to znacz : jeśli dla dowolnch a, b, c A a (bo c) = a bo a c jeśli ponadto działanie * jest przemienne, to ciało (A, o, ) nazwam ciałem przemiennm. Przkład : Zbiór R wraz z dodawaniem i mnoŝeniem stanowi ciało. Zbiór Q (zbiór liczb wmiernch) wraz z dodawaniem i mnoŝeniem stanowi ciało. Definicja : Pierścieniem nazwam strukturę algebraiczną (D, *, o ) o następującch własnościach:. (D, *) jest grupą abelową,. działanie o jest łączne, czli dla dowolnch a, b, c D a o (b o c) = (a o o c 3. działanie o jest rozdzielne względem działania *, czli dla dowolnch a, b, c D a o (b * c) = a o b * a o c (a * o c = a o c * b o c Jeśli ponadto: 4. działanie o jest przemienne to pierścień (D, *, o ) nazwam pierścieniem przemiennm, 5. w zbiorze D istnieje element neutraln działania o to pierścień (D, *, o ) nazwam pierścieniem z jednością. Przkład : Zbiór Z (zbiór liczb całkowitch) wraz z dodawaniem i mnoŝeniem stanowi pierścień. 5. Homomorfizm i izomorfizm struktur algebraicznch.
Homomorfizmem ze struktur A w strukturę B (tego samego tpu) jest kaŝde przekształcenie h : A B, które zachowuje funkcje i relacje struktur A, tzn. spełnia odpowiednie warunki: struktura Grup ( G, o ) (, ) odwzoro wanie G h : G G h( ao = h( a) h( ) a, b G b h()= Warunki Pierścienie i ciała ( P,+,o),( S,, ) Przestrzenie liniowe ( V, K, +, o), ( W, K, +, o) h : P S ϕ :V W h a, b P ( a+ = h( a) h( h( ao = h( a) h( h()=, h(0)=0 v, v V, a a K ϕ a v + a v ) = aϕ( v ) + a ϕ( ), ( v Homomorfizm f : A B nazwam izomorfizmem wted i tlko wted, gd jest przekształceniem wzajemnie jednoznacznm(róŝnowartościowe i na ) zbioru A na zbiór B. Odwzorowanie odwrotne h jest równieŝ izomorfizmem. Przkład Dana jest funkcja h : Z Z, określona wzorem h ( a) = na, gdzie n N. Dla dowolnego a Z mam na Z.Ponadto h ( 0) = 0 oraz dla kaŝdch a, b Z jest h ( a+ = n( a+ = na+ nb= h( a) + h(. Przkład Dane są pierścienie( R,+, ),( R,, ). W zbiorze R określone są działania i : h ( a = a+ b+, a, b R h ( a = a+ b+ ab h(x)=x+, x ( R,, ) h ( a = a+ b+ + = a+ b+ =a++b+=h(a)+h( 6. Rachunek zdań. Tautologie. Zdanie w sensie logicznm jest stwierdzeniem, o którm moŝna powiedzieć, Ŝe jest prawdziwe lub fałszwe, tzn. moŝem mu przpisać wartość logiczną ( - prawda, 0 fałsz). WróŜniam następujące spójniki (funktor zdaniotwórcze): negacja (inaczej zaprzeczenie) to zdanie mające postać nieprawda, Ŝe p, gdzie p jest zdaniem. W rachunku zdań negacja zapiswana jest jako: ~ p. Negację moŝna zdefiniować jako jednoargumentowe działanie określone w zbiorze zdań, które kaŝdemu zdaniu p przporządkowuje zdanie nieprawda, Ŝe p. Negację zdania p uwaŝa się za prawdziwą, gd zdanie p jest fałszwe, zaś za fałszwą, gd zdanie p jest prawdziwe
koniunkcja to zdanie złoŝone mające postać p q (p i, gdzie p, q są zdaniami. Koniunkcję moŝna zdefiniować jako dwuargumentowe działanie określone w zbiorze zdań, które zdaniom p, q przporządkowuje zdanie p q. Zdanie utworzone z innch zdań za pomocą koniunkcji jest teŝ nazwane ilocznem logicznm. Koniunkcję zdań uznaje się za prawdziwą wted i tlko wted, gd oba zdania p, q są prawdziwe. alternatwa to zdanie złoŝone mające postać p q (p lub, gdzie p, q są zdaniami. Alternatwę moŝna zdefiniować jako dwuargumentowe działanie określone w zbiorze zdań, które zdaniom p, q przporządkowuje zdanie p q. Zdanie utworzone z innch zdań prz uŝciu alternatw jest teŝ nazwane sumą logiczną. Alternatwa jest prawdziwa, jeŝeli którekolwiek z jej zdań składowch jest prawdziwe. W przeciwnm razie alternatwa zdań jest fałszwa. implikacja (inaczej wnikanie) to zdanie złoŝone mające postać p q (jeśli p, to, gdzie p, q są zdaniami. Zdanie p nazwam poprzednikiem implikacji, a q - jej następnikiem. Implikację zdań uznaje się za fałszwą w przpadku, kied zdanie p jest prawdziwe, a zdanie q - fałszwe. W pozostałch przpadkach implikację uznaje się za prawdziwą. równowaŝność to zdanie mające postać p q (p wted i tlko wted, gd, gdzie p, q są zdaniami. RównowaŜność zdań uznaje się za prawdziwą wted i tlko wted, gd wartości logiczne zdań p, q są takie same. p q ~ p ~ q p q p q p q p q 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Tautologia zdanie złoŝone, które jest zawsze prawdziwe, niezaleŝnie od wartości logicznch zdań prostch. Podstawowe prawa rachunku zdań (waŝniejsze tautologie): prawo de Morgana (prawo zaprzeczenia alternatw) ~ ( p ~ p ~ q Dowód: p q p q ~ ( p ~ p ~ q ~ p ~ q 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 prawo de Morgana (prawo zaprzeczenia koniunkcji) ~ ( p ~ p ~ q prawo rozdzielności koniunkcji względem alternatw [ p ( q r) [( p ( p prawo rozdzielności alternatw względem koniunkcji
[ p ( q r) [( p ( p prawo zaprzeczenia implikacji [~ ( p ] [ p ~ q] /*******************DODATKOWE**************************** prawo kontrapozcji (transpozcji) ( p (~ q ~ p) prawo przemienności koniunkcji p q q p prawo przemienności alternatw p q q p prawo włączonego środka (z dwóch zdań: p lub ~ p jedno zawsze jest prawdziwe) p ~ p prawo sprzeczności (nie moŝe bć jednocześnie prawdziwe zdanie i jego zaprzeczenie) ~ ( p ~ p) prawo łączności koniunkcji [( p r] [ p ( q prawo łączności alternatw [( p r] [ p ( q prawo toŝsamości p p prawo idempotentności koniunkcji p ( p p) prawo idempotentności alternatw p ( p p) prawo rozdzielności koniunkcji względem alternatw [ p ( q r) [( p ( p prawo rozdzielności alternatw względem koniunkcji [ p ( q r) [( p ( p prawa pochłaniania [ p ( p ] p [ p ( p ] p *******************KONIEC DODATKOWEGO*******************/ Kwantfikator: kwantfikator ogóln ( dla kaŝdego x ) p(x) - zdanie to jest prawdziwe, gd zdanie złoŝone p (x) jest prawdziwe dla x U kaŝdego x U kwantfikator szczegółow ( istnieje takie x... ) p(x) - zdanie to jest prawdziwe, gd dla co najmniej jednego x U zdanie p (x) x U jest prawdziwe
7. Rachunek predkatów. Zmienne wolne i związane. Jest to sstem logiczn, w którm kwantfikator mogą mówić tlko o obiektach, nie zaś o ich zbiorach. Inaczej mówiąc jest to logiczna reprezentacja stwierdzeń o obiektach. Tak więc nie mogą wstępować kwantfikator tpu "dla kaŝdej funkcji X na Y...", "istnieje własność p, taka Ŝe..." cz "dla kaŝdego podzbioru X zbioru Z...". Predkat mają argument (obiekt np. człowiek, kartka) i wartość logiczną. Rachunek ten nazwa się teŝ krótko rachunkiem kwantfikatorów. ZaleŜnie od liczb predkatów rozróŝniam predkat -noargumentowe, -arg., wieloargumentowe. Krótko mówiąc: predkat to funkcja której wartością jest prawda lub fałsz. Sstem rachunku predkatów pierwszego rzędu składa się z: - stałch, - zmiennch, - funkcji n-argumentowch dla pewnego n naturalnego, - relacji n-argumentowch dla pewnego n naturalnego, - relacji logicznch (takich jak alternatwa, koniunkcja i negacja), - kwantfikatora ogólnego ( lub ) zwanego teŝ uniwersalnm i egzstencjalnego ( lub ) zwanego równieŝ szczegółowm. JeŜeli dana zmienna wstępuje pod kwantfikatorem mówi się o niej, Ŝe jest to zmienna związana. W przeciwnm wpadku jest zmienną wolną. RozwaŜm trz następujące form zdaniowe: R( ), R( ), R( ) x x W pierwszej z nich związane są obie zmienne, w drugim tlko pierwsza zmienna, w trzecim tlko druga. Pierwsze jest zdaniem, drugie i trzecie to funkcje zdaniowe odpowiednio zmiennch, x. Funkcja zdaniowa to wraŝenie zawierające zmienne wolne, które w wniku związania tch zmiennch kwantfikatorami lub podstawienia za nie odpowiednich nazw staje się zdaniem. Przkład: - Dla kaŝdego x istnieje taki, Ŝe x>
x> - Jeśli samochód naleŝ do Karola to jest on zielon. posiada(karol, auto) kolor(auto, zielon) auto - Niektórz ludzie lubią lod. x x ( x) posiada( Karol, X) kolor( zielon) 8. Indukcja matematczna Jeśli T(n) oznacza pewne twierdzenie mówiące o liczbach naturalnch n, to ab udowodnić, Ŝe twierdzenie to jest prawdziwe dla kaŝdej liczb naturalnej n nie mniejszej od n 0 (samo n 0 moŝe bć równe albo bć inną ustaloną liczbą naturalną), wstarcz: * dowieść, Ŝe jest ono prawdziwe dla liczb n 0, to znacz sprawdzić, Ŝe zachodzi T(n 0 ). * dla kaŝdej liczb naturalnej n nie mniejszej od n 0, wchodząc z załoŝenia, Ŝe twierdzenie to jest prawdziwe dla liczb n, wprowadzić, Ŝe jest ono prawdziwe dla n +, chodzi bowiem o to, ab wkazać, Ŝe dla kaŝdej liczb naturalnej n nie mniejszej od n 0 prawdziwa jest implikacja: T(n) => T(n+) Przkład: n(+ n) Dowód + +... + n= Teza: Dla kaŝdego n N n(+ n) (*) + +... + n= (+ ) T() =, P =, L = P ZałoŜenie ind. n(+ n) T(n): + +... + n= Teza ind. ( n+ )( n+ ) T(n+): + +... + n + ( n+ ) = Dowód: n ( + n) ++ +n+(n+)=(++ +n)+(n+)= +(n+)= n ( n+ )( n+ ) =(n+)( +)= Na moc indukcji wzór (*) jest prawdziw dla kaŝdej liczb naturalnej. 9. Relacje i funkcje. Relacje porządku. Relacje równowaŝności i ich własności. Relacje Dane są zbior Def. Relacja S, T. RozwaŜm zbiór S T (iloczn kartezjański)
Dowoln podzbiór R zbioru S T ( R S T) S T. W przpadku, gd RóŜne sposob zapisu relacji: ) XxX ) ( ) R 3) xr S = przkład R= nazwam relacja dwuargumentowa na S = T mówim o relacji w zbiorze S. { 0,,,3}, R= {( ) : x= 3 } {( 0,3 )(,,)(,, )(, 3,0) } Zawsze istnieje relacja odwrotna f = {( x) : = f( x) } funkcja f jest odwracalna. I oczwiście wówczas f = f. Relacja równości (w zbiorze S ): E = {( ) : x S} S S Inaczej def ( ) E x= Relacja nierówności(słaba) w zbiorze liczb rzeczwistch R = {( ) : x } R R R = { xr : x } R R Relacja nierówności(słaba) < w zbiorze liczb rzeczwistch R = : x< R {( ) } R, relacja ta jest funkcja, gd dana Relacje równowaŝności Relacje R w zbiorze S, która jest zwrotna, smetrczna i przechodnia nazwam relacja równowaŝności Rs Zwczajowo dla takiej relacji uŝwam smbolu ~. O elementach miedz, którmi da się napisać s ~ t mówim, ze są równowaŝne (podobne, przstające, izomorficzne). Własności relacji Mówim, ze relacja R w zbiorze S jest: Z x R ( ) x S( ) ( PZ) x S( x) R ( S) S( ) R (, x R) ( AS) S( ( ) R (, x) R) x= ( P), z S( ( ) R (, z) R) ( z) R ( Z) x S xrx ( S) S xr Rx ( AS) S( xr Rx) x= ( P) ( xr Rz) xrz, z S
Z-zwrotna, PZ-przeciwzwrotna, S-smetrczna, AS-antsmetrczna, P-przechodnia. Przkład X-zbior prostch równoległch kaŝde dwie są równolegle R XxX Relacja l l określona w zbiorze prostch na płaszczźnie oznaczająca, Ŝe proste l i l Pokrwają się lub są równoległe: Z l l ( ) ( S) l l l l ( P)( l l ) ( l l ) ( l l ) 3 relacja ta jest relacja równowaŝności f R R jeŝeli x f i x f x = x (lub za f podstawiam G) 3 0. Zliczanie. Zasada szufladkowa. Zasada szufladkowa Dirichleta twierdzenie mówiące, Ŝe jeŝeli m przedmiotów włoŝm do n róŝnch szufladek, prz czm m > n, to co najmniej w jednej szufladce znajdą się co najmniej dwa przedmiot. Sformułowanie twierdzenia przpisuje się Dirichletowi, a w bardziej formalnm jęzku moŝna wsłowić je na przkład tak: JeŜeli zbiór X licz n elementów i i n > k, to którś ze zbiorów X i musi liczć prznajmniej dwa element. Inna wersja formalna brzmi następująco: JeŜeli zbiór X licz n elementów, zbiór Y m elementów i n > m, to nie istnieje funkcja róŝnowartościowa ze zbioru X do zbioru. Przkład: Dsponujem 5 szufladkami, oraz n kulkami, n>5. Na podstawie powŝszej zasad łatwo wkazać, Ŝe w co najmniej jednej szufladce znajdą się więcej niŝ dwie kulki.