Rachunek zdań. Zdanie w sensie logicznym jest to wyraŝenie jednoznacznie stwierdzające, na gruncie reguł danego języka, iŝ tak a

HTML
DOWNLOAD

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Rachunek zdań. Zdanie w sensie logicznym jest to wyraŝenie jednoznacznie stwierdzające, na gruncie reguł danego języka, iŝ tak a"

Arkadiusz Seweryn Murawski
8 lat temu
Przeglądów:

1 Zdanie w sensie logicznym jest to wyraŝenie jednoznacznie stwierdzające, na gruncie reguł danego języka, iŝ tak a tak jest alboŝe tak a tak nie jest. Wartość logiczna zdania jest czymś obiektywnym, to znaczy nie zaleŝy od poglądów tej czy innej osoby.

2 Nikt nie moŝe zmienić wedle swojego widzimisię wartości logicznej jakiegokolwiek zdania, bo wartość logiczna zaleŝy tylko od tego, czy dane zdanie opisuje świat zgodnie z rzeczywistym stanem, czy teŝ z tym stanem niezgodny.

3 Weźmy pod uwagę zdanie: Deszcz jest poŝyteczny. Czy jest to zdanie prawdziwe, czy teŝ fałszywe?

4 Wypowiedź ta nie jest zdaniem w sensie logicznym, lecz wypowiedzią niezupełną. Wypowiedzią zdaniową niezupełną Wypowiedzi zdaniow niezupełn nazywamy takie wyraŝenie, które wprawdzie nie jest zdaniem w sensie logicznym, lecz o tyle spełnia rolę zdania w sensie logicznym, o ile słuchacz zdaje sobie sprawę z pewnych domyślnych uzupełnień wypowiedzi, pominiętych przez mówiącego.

5 Funkcja zdaniowa KaŜda wypowiedź językowa będąca zdaniem moŝe być sprowadzona do schematu będącego jej reprezentacją. Dla przykładu zdanie kaŝdy student jest piłkarzem da się przedstawić jako KaŜde S jest P. Ten schemat moŝe reprezentować wiele innych zdań takich jak KaŜdy policjant jest funkcjonariuszem publicznym, KaŜdy ekonomista jest człowiekiem wykształconym.

6 W schemacie tym wyraŝenia S i P są zmiennymi nazwowymi, a sam schemat KaŜde S jest P staje się zdaniem prawdziwym lub fałszywym w zaleŝności od tego, co podstawimy w miejsce zmiennych. Podobnie jest z wypowiedzią tego typu: JeŜeli Robert ukończył studia ekonomiczne, to dziekanat wydał mu dyplom. Strukturę tej wypowiedzi moŝna opisać schematem JeŜeli p, to q i moŝe on słuŝyć do opisu wielu zdań.

7 W schemacie tym zmienne p i q są zdaniami, a sam schemat staje się zadaniem prawdziwym lub fałszywym w zaleŝności od wartości logicznych zdań p i q. Cechą wyraŝeń typu KaŜde S jest P i JeŜeli p, to q jest to, Ŝe będąc wyraŝeniami opisowymi reprezentującymi strukturę wypowiedzi same przez się nie mają wartości logicznej. Tego typu wyraŝenia nazywamy funkcjami zdaniowymi.

8 Operację podstawienia w miejsce zmiennych konkretnych nazw lub zdań nazywamy konkretyzacją funkcji zdaniowej. Natomiast operację objęcia kwantyfikatorem kaŝdej ze zmiennych występujących w schemacie nazywamy skwantyfikowaniem tej funkcji.

9 RozróŜniamy dwa rodzaje kwantyfikatorów: kwantyfikator ogólny oznaczany symbolem lub. Oznacza wyraŝenie x x dla kaŝdego lub dla wszystkich. Przykład: x Jeśli x jest Ŝółte, to jest kolorowe. x Jeśli x jest kolorowe, to x jestŝółte.

10 Kwantyfikator szczegółowy zapisuje się symbolem lub. Oznacza wyraŝenie x x istnieje. Przykład: x x jest kolorowe i x jestŝółte. x x jest synem bezdzietnej matki.

11 Funktory nieprawdziwościowe prawdziwościowe Przedmiotem analizy w ramach dzisiejszego wykładu będą jedynie zdania złoŝone. Tworzy się je przez uŝycie określonych wyraŝeń, które nazywamy w logice funktorami. Dzielą się one na i

12 1. Funktory nieprawdziwościowe, do których naleŝą zwroty jak konieczne jest,ŝe, z tego,ŝe naleŝy sądzić, Ŝe, moŝliwe jest, Ŝe, charakteryzują się tym, Ŝe łącząc ze sobą zdania o określonej wartości logicznej nie wyznaczają w sposób jednoznaczny wartości logicznej zdania złoŝonego.

13 Przykłady: Z tego, Ŝe w zeszłym roku obrodziły jabłka wynika, Ŝe grudzień w zeszłym roku był mroźny. MoŜliwe, Ŝe jutro pojadę do Poznania. Konieczne jest, Ŝe mamy dzisiaj złą pogodę.

14 2. Funktory prawdziwościowe, które reprezentowane są przez m. in. takie zwroty jak i, lub, albo albo, bądź bądź, jeŝeli, to charakteryzują się tym, Ŝe wartość logiczna zdania złoŝonego stworzonego za ich pomocą, jest w sposób jednoznaczny wyznaczona przez wartość logiczną zdań będących ich argumentami. Z punku widzenia logiki interesujące są właśnie te spójniki.

15 Funktory prawdziwościowe ze względu na liczbę argumentów łączących przez te funktory dzielimy na jednoargumentowe, dwuargumentowe lub trój-, czwór- i więcej argumentowe. Funktory prawdziwościowe jednoargumentowe to: - funktor asercji, inaczej afirmacji, jest funktorem potwierdzającym prawdziwość. WyraŜa się słowami prawdą jest, Ŝe, zaiste albo naprawdę i oznacza symbolem

16 - funktor negacji wyraŝa się słowami: nieprawda,ŝe, nie jest tak,ŝe lub krótko nie. Oznaczamy ją symbolem ~. Przykłady: Nieprawdą jest, Ŝe Sławek jest studentem. Sławek nie jest studentem.

17 Matryca funktorów prawdziwościowych jednoargumentowych: p p ~p

18 Funktory prawdziwościowe dwuargumentowe: - funktor koniunkcji wyraŝamy jako i, oraz, a chociaŝ, lecz, pomimo, Ŝe, a takŝe, jak równieŝ i oznaczamy. Zdanie złoŝone zbudowane za pomocą tego funktora nazywamy koniunkcją. Warunkiem koniecznym i wystarczającym prawdziwości koniunkcji jest prawdziwość obu zdań składowych. Natomiast fałszywość choćby jednego zdania składowego jest warunkiem wystarczającym fałszywości koniunkcji.

19 - funktor alternatywy wyraŝamy jako lub, bądź, albo i oznaczamy symbolem. Zdanie złoŝone zbudowane za pomocą tego funktora nazywamy alternatywą. Warunkiem wystarczającym prawdziwości alternatywy jest prawdziwość choćby jednego argumentu zdaniowego. Warunkiem koniecznym i wystarczającym fałszywości alternatywy jest fałszywość oby zdań.

20 - funktor alternatywy rozłącznej wyraŝana jest poprzez zwrot albo albo, a przyjętym dla niej symbolem jest. Zbudowane za pomocą tego funktora zdanie złoŝone jest prawdziwe, gdy jeden i tylko jeden z argumentów zdaniowych jest prawdziwy i jeden i tylko jeden fałszywy.

21 - funktor dysjunkcji oznaczany jest symbolem / i czyta się go jako bądź, bądź. Zbudowane za pomocą tego funktora zdanie złoŝone, zwane dysjunkcją, jest prawdziwe, jeśli przynajmniej jedno ze zdań składowych jest fałszywe.

22 - funktor binegacji oznaczany jest i czytany jako ani, ani. Binegacja jest prawdziwa, jeŝeli oba zdania składowe są fałszywe. - funktor implikacji oznaczamy znakiem i wyraŝamy za pomocą słów jeŝeli, to. Implikacja jest fałszywa, jeŝeli jej pierwsze zdanie składowe (poprzednik) jest prawdziwe, a drugie zdanie składowe (następnik) jest fałszywe.

23 - funktor równowaŝności oznaczamy znakiem i czytamy jako wtedy i tylko wtedy, gdy. Zdanie zbudowane za pomocą tego spójnika, zwane równowaŝnością, jest prawdziwe wtedy, gdy oba zdania składowe mają taką samą wartość logiczną.

24 Matryce logiczne funktorów dwuargumentowych: p q p q p q p q p/q p q p q p q

25 Funkcja Rachunek zdań logiczna w rachunku zdań to taka funkcja zdaniowa, która zbudowana jest jedynie ze stałych logicznych i zmiennych (zdaniowych lub nazwowych). Za stałe logiczne uznawać będziemy omówione funktory prawdziwościowe, kwantyfikatory, funktor przynaleŝności do zbioru oraz inne wyraŝenia zdefiniowane poprzez odwołanie się do juŝ wymienionych stałych.

26 Zmienne zdaniowe oznaczane symbolami p, q, r, s, reprezentują dowolne zdania w sensie logicznym. Przykłady: 1. (p q) [(p q) (q p)], 2. [(r p) (r q) (~p ~q)] ~r

27 Sformułowane w języku naturalnym wypowiedzi będące zdaniami złoŝonymi mogą być przy uŝyciu wyŝej wymienionych stałych logicznych, a takŝe zmiennych, przekształcone do postaci funkcji logicznych. Np. zdanie JeŜeli niezdolność opiekuna do sprawowania opieki jest warunkiem wystarczającym do tego, by władza opiekuńcza zwolniła opiekuna i jeŝeli dopuszczenie się przez niego

28 czynów naruszających dobro pozostającego pod opieką jest warunkiem wystarczającym do tego, by władza opiekuńcza zwolniła opiekuna, a opiekun jest niezdolny do sprawowania opieki lub dopuszcza się czynów naruszających dobro pozostającego pod opieką, to władza opiekuńcza zwalnia opiekuna moŝna przekształcić do postaci: [(p r) (q r) (p q)] r.

29 W dalszym etapie takiej analizy zdania, będziemy badać, jakie wartości logiczne przyjmuje ta funkcja przy załoŝeniu, Ŝe składające się na nią zmienne mają taką, a nie inną wartość. W przekształcaniu wyraŝenia języka naturalnego na funkcję logiczną będziemy wykorzystywać nawiasy.

30 W takiej notacji jedynie symbole jednoargumentowe asercji i negacji poprzedza symbol argumentu, natomiast symbole pozostałych funktorów umieszcza się pomiędzy symbolami ich argumentów. Nawiasy jakimi posługujemy się do grupowania wyrazów w formule, będą róŝnić się od siebie kształtem. Obowiązująca będzie formuła: { [ ( ) ] }.

31 Stosowanie nawiasów nie zawsze jest konieczne. Istnieje bowiem konwencja, Ŝe znaki ~,,, /,, wiąŝą kolejno coraz słabiej, z tym, Ŝe znaki, / wiąŝą równie silnie. Stąd zamiast (p q) r wolno pisać p q r. Zamiast (p q) r wolno pisać p q r. Idąc dalej zamiast [p (q s)] [(~p) (q s)] moŝna zapisać: p q s (~p q s).

32 Oryginalnym beznawiasowym systemem notacyjnym jest system stworzony przez J. Łukasiewicza, zwanym inaczej polska notacją beznawiasową. Niech K oznacza koniunkcję, A alternatywę, D dysjunkcję, C implikację oraz E równowaŝność. Wówczas funkcja [(p q) (r s) ( p q)] (q s) w notacji Łukasiewicza ma postać CKKCpqCrsAprAqs.

33 Funkcje logiczne ze względu na wartości, jakie mogą przyjmować dzielimy na: funkcje tautologiczne, czyli takie, które dla kaŝdego podstawienia wartości zmiennych zawsze dają zdanie prawdziwe, funkcje kontrtautologiczne, zwane inaczej fałszami logicznymi, które charakteryzują się tym, Ŝe dla kaŝdego podstawienia wartości zmiennych dają zdanie fałszywe,

34 funkcje spełnialne, to są takie, które przy niektórych wartościach logicznych ich argumentów stają się zdaniami prawdziwymi, przy innych zaś zdaniami fałszywymi. Przedmiotem naszego szczególnego zainteresowania będą funkcje tautologiczne, jako schematy rozumowań o niezawodnym charakterze.

Podobne dokumenty

MATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI

MATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI Program wykładów: dr inż. Barbara GŁUT Wstęp do logiki klasycznej: rachunek zdań, rachunek predykatów. Elementy semantyki. Podstawy teorii mnogości