Wykład 4 Soczewki. Przyrządy optycze Soczewka cieka - rówaie zlifierzy oczewek Rozważyy teraz dwie powierzchi ferycze oddzielające ośrodki o wpółczyikach załaaia kolejo i odległych od iebie o d. Niech proień krzywizy pierwzej powierzchi wyoi R, a drugiej - R. Przyjujey oczywiście, że obraz wytworzoy przez pierwzą powierzchię taowić będzie przediot dla powierzchi drugiej, a zate d. (4.) Tu pierwzy doly wkaźik, tak jak poprzedio, jet rówy zero dla przediotu, jede - dla obrazu, a drugi wkaźik ueruje powierzchie załaujące. Wzytkie odległości:,,,, ą liczoe względe, odpowiedio, puktu V lub V, tak jak dla pojedyczej powierzchi. Stoując dwukrotie rówaie pojedyczej powierzchi załaującej otrzyujey: + i R +. (4.) R Suując troai te dwa rówaia, uwzględiając związek d i grupując odpowiedie wyrazy zajdujey ( + ) ( ) ( ) + R R. (4.3) d Dla ciekiej oczewki d, a zate drugi wyraz po prawej troie rówaia (XXV.3) ożey zaiedbać i wtedy ozaczając i otrzyujey tzw rówaie zlifierzy oczewek : + R R. (4.4) 33
Z rówaia zlifierzy oczewek wyika, że obie ogikowe, przediotowa i obrazowa, będą obie rówe: f R R P f O f. (4.5) R R Dla oczewek zbierających f jet dodatie, (p dla oczewki dwuwypukłej, poieważ R jet ujee, zate i liczik i iaowik ą ujee i wzytko ię zgadza), dla rozprazających (p dwuwklęłych) ogikowa f będzie ujea. Rówaie oczewkowe Gaua i Newtoa Podtawiając wyrażeie (4.5) do rówaia zlifierzy oczewek (4.4) dotajey rówaie, które azywa ię rówaie oczewkowy Gaua: +. (4.6) f Z rówaia Gaua atychiat wyika, że dla oczewek rozprazających ( f < ), dla dowolego dodatiego (czyli dla dowolego przediotu rzeczywitego) ui być ujee (czyli obraz będzie zawze pozory i proty) itd. itp. Rówaie oczewkowe w iej potaci, tzw. rówaie oczewkowe Newtoa, wiąże ze obą ie wielkości; zaiat odległości przediotowej i obrazowej i wytępują w i odległości od odpowiedich puktów ogikowych, ozaczoe x i x. Potać taka jet czae wygodiejza, p dla grubych oczewek, kiedy łatwiej jet zierzyć bezpośredio odległości ogik, a pote przediotu i obrazu, od ajbliżzych powierzchi zewętrzych oczewki. Żeby otrzyać rówaie oczewkowe w potaci ewtoowkiej, podtawy do rówaia w potaci gauowkiej związki poiędzy odległościai gauowkii i ewtoowkii: x + f oraz x + f. Otrzyujey wtedy: x + + f x. (4.7) + f f Skąd przez prote przekztałceia zajdujey rówaie oczewkowe Newtoa: x. (4.8) x f Z rówaia (4.8) wyika bezpośredio, że zaki odległości ewtoowkich x i x uzą być jedakowe (obie dodatie, albo obie ujee, jedocześie), a zate przediot i jego 34
obraz uzą zajdować ię po przeciwych troach odpowiedich puktów ogikowych). Wyzaczaie biegu proiei dla oczewki ciekiej Do zalezieia obrazu przediotu oża toować etodę, podobą jak dla zwierciadła. Dla utaleia położeia obrazu wytarczy oczywiście wyzaczeie biegu dwóch dowolie wybraych proiei z wiązki padającej a układ. Najłatwiej jet wykorzytaie trzech proiei, których bieg w układzie optyczy oża łatwo zaleźć. Są to atępujące trzy proiei: ) proień główy ieodchyloy proień przechodzący przez środek krzywizy (dla pojedyczej powierzchi) lub środek oczewki (proień S O ); ) proień rówoległy - proień rówoległy do oi optyczej, po załaaiu przechodzi o przez ogiko obrazowe (proień S A); 3) proień ogikowy - proień przechodzący przez ogiko przediotowe, po załaaiu proień te poruza ię po torze rówoległy do oi optyczej (proień S F P ). Bieg dwóch pośród trzech wyliczoych wyżej proiei do puktu ich przecięcia (w przypadku obrazu pozorego ależy przedłużyć proieie wtecz ), wytarcza do zalezieia obrazu dowolego puktu. Powiękzeie poprzecze i podłuże obrazu utworzoego przez oczewkę cieką. Powiękzeie poprzecze T obrazu defiiujey w poób atępujący: T y y. (4.9) Przypoiy, że odległości powyżej oi optyczej liczyy jako dodatie, a poiżej jako ujee. Tak więc dla obrazu rzeczywitego T będzie zawze ujee ( i dodatie), a wartość bezwzględa oże być zarówo więkza jak iejza od. Porówując trójkąty S S F P i P OBF a także P P FO i O AOF zajdujey: T y y. (4.) x f f x 35
gdzie x P FO i x SFP ą odległościai przediotu i obrazu od odpowiedich ogik (ą to odległości ewtoowkie, które wprowadziliśy poprzedio). Powiękzeie podłuże obrazu L defiiujey jako: L d. (4.) d dx dx Korzytając z rówaia Newtoa ( x x ) otrzyujey f dx / x, a zate dx f / dx f. (4.) L T dx x Z rówaia (4.) wyika, że po pierwze, ubytko x towarzyzą przyroty x (trzałka kierowaa do oczewki zotaie odwzorowaa w trzałkę kierowaą od oczewki), a po drugie, że oba powiękzeia ą róże; oża więc oczekiwać dytorji obrazu, zczególie wtedy, gdy oczekujey dużych powiękzeń lub poiejzeń. Soczewki grube i układy złożoe Rozpatrując oczewki grube i złożoe układy optycze (kładające ię z kilku oczewek, ciekich lub grubych) przyjiey za Möbiue i Gaue (bez dowodu), że dowoly układ optyczy oża opiać przy poocy protego odelu, w który zakłada ię, że załaaie proiei wiązki światła w układzie zachodzi tylko i wyłączie w dwóch tzw. płazczyzach główych protopadłych do oi optyczej i zlokalizowaych a ogół wewątrz układu. Właości płazczyz główych ą atępujące:. Rówoległa do oi optyczej wiązka światła padająca a układ z jedej troy wychodzi z układu z drugiej troy kupiając ię w ogiku odległy o ogikową f od drugiej płazczyzy główej i, aalogiczie, rówoległa wiązka światła padająca a układ z drugiej troy, wychodzi z układu po przeciwej troie kupiając ię w ogiku odległy o tę aą odległość ogikową f od pierwzej płazczyzy główej.. Rozbieża wiązka proiei wychodząca z jedego z ogik układu opuści układ po przeciwej troie jako wiązka rówoległa. 36
3. Jeżeli odległości przediotową i obrazową będziey ierzyć od, odpowiedio, pierwzej i drugiej płazczyzy główej, to rówaie opiujące relację poiędzy tyi wielkościai i ogikową f będzie iało potać: +. f Dla oczewki ciekiej obie płazczyzy główe pokrywają ię, dla oczewek grubych płazczyzy te ą zlokalizowae w pobliżu zewętrzych powierzchi oczewki, a dla układu optyczego kładającego ię z kilku oczewek zajdują ię, odpowiedio, w pobliżu pierwzej powierzchi pierwzej oczewki i drugiej powierzchi otatiej oczewki w układzie. Dla oczewki grubej pukty przecięcia płazczyz główych z oią optyczą, tzw pukty główe, powiy zate być zlokalizowae iezbyt daleko od puktów wierzchołkowych. Właości ogikujące (obrazujące) układu optyczego ą całkowicie wyzaczoe przez położeia płazczyz główych i ogik tego układu. Zajoość położeń płazczyz główych i ogik przediotowego i obrazowego, pozwala zaleźć bieg proiei rówoległego i ogikowego, a zate pozwala a zalezieie położeia obrazu. Warto jezcze raz podkreślić, że chociaż rzeczywity przebieg proiei w układzie kładający ię z wielu oczewek oże być zaczie bardziej koplikoway, to jedak położeie obrazu zalezioe czy to etodą wytyczaia biegu proiei, czy dzięki zatoowaiu rówaia Gaua w oparciu o zajoość położeń płazczyz główych i ogik, będzie odpowiadało rzeczywitości. Lupa (zkło powiękzające) Najprotzy układe optyczy jet pojedycza oczewka kupiająca, która oże łużyć jako zkło powiękzające czyli tzw. lupa. Poieważ lupa łuży jako przyrząd optyczy wpoagający oko ludzkie zacziey od rozważań ad powiękzeie przediotów oglądaych przez ieuzbrojoe oko. Jak pokazao a ryuku otre widzeie przediotów zajdujących ię w różej odległości od oka wyaga dopaowaia ogikowej tak, by obraz wypadał zawze a iatkówce (akoodacja oka). Poieważ wielkość obrazu a iatkówce oka rośie z alejącą odległością przediotu od oka wprot proporcjoalie do kąta widzeia przediotu, korzytie jet oglądać przedioty z blika. Powiękzeie dla trzech przypadków pokazaych a ryuku oiąga ajwiękzą wartość dla przypadku c), gdy przediot zajduje ię ajbliżej oka. Nietety dla tego 37
przypadku (odległość przediotu od oka iejza iż pewa iiala odległość a którą pozwala zdolość akoodacji oka, tzw. odległość dobrego widzeia) obraz jet duży ale ieotry. Przyjuje ię, że odległość dobrego widzeia (róża dla różych ludzi) wyoi średio około 5 c. Na ryuku iżej przedtawioo zaadę działaia lupy. Przediot, który z odległości dobrego widzeia ( L ) jet widziay pod kąte, oże być, dzięki lupie, widziay pod zaczie więkzy kąte. Chociaż przediot zajduje ię teraz bliżej oka (w odległości + l ), ie a probleu z akoodacją, gdyż jego pozory obraz, wytworzoy przez lupę i widziay przez oko, zajduje ię w odległości L, która powia być ie iejza iż odległość dobrego widzeia L. Ozaczy odległość przediotu od lupy przez, odległość obrazu pozorego od lupy przez, odległość lupy od oka przez l, a ogikową lupy przez f. Powiękzeie kątowe obrazu oglądaego przez lupę określay jako:. (4.3) Wprowadzając ozaczeia h i H a wyokość przediotu i jego obrazu pozorego ay dalej (w przybliżeiu ałych kątów: tg H / L i tg h / L ): H L L H L, (4.4) L h L h L gdzie zak iu zabezpiecza dodatią wartość powiękzeia kątowego dla obrazu pozorego i protego ( ujee). Korzytając z rówaia Gaua (4.6) otrzyujey: 38
Wielkość L L L ( ) L L f L f. (4.5) D / f azywa ię ocą optyczą oczewki. Poieważ L + l ze wzoru (4.5) zajdujey: ( ujee) L L L l l + L + D. (4.6) L f L f L L Ze wzoru (4.6) wyika, że akyale powiękzeie kątowe wytępuje przy iialej odległości lupy od oka. A zate kładziey w (4.6) l i otrzyujey: Z wyrażeia (4.7) wiokujey, że powiękzeie kątowe L L + D L D + L. (4.7) L jet zawarte poiędzy (dla iekończoej odległości obrazu od lupy, przediot w ogiku, wobode oko) i ( L D + ) (dla obrazu zajdującego ię w odległości dobrego widzeia L od oka). Dla typowej lupy o ocy optyczej rzędu +D (ogikowa c) powiękzeie kątowe będzie w taki razie zawarte poiędzy.5 i 3.5 co odpowiada oberwacji bezpośrediej przediotu (przez oobę bez wad wzroku) z odległości 7 do c. Pryzaty i dyperja światła D L Zjawiko dyperji światła jet związae z zależością prędkości światła, a zate i wpółczyika załaaia c / υ, od długości fali świetlej. Zjawiko to taowi podtawę działaia przyrządów pektralych wykorzytujących pryzaty. Zaada działaia pryzatu jet przedtawioa a ryuku. Poieważ kat odchyleia ε proieia wychodzącego z pryzatu po dwukroty załaaiu a powierzchiach pryzatu zależy od kata łaiącego pryzatu δ i od wpółczyika załaaia światła ateriału, z którego wykoao pryzat, a z kolei wpółczyik załaaia światła zależy od długości fali świetlej, pryzat twarza ożliwość przetrzeego rozdzieleia światła o różych barwach. Ozacza to, ze za poocą pryzatu ożey wyzaczyć ilościowo zawartość w widie badaej wiązki światła różych jego kładowych pektralych. Stad takie przyrządy ozą azwę przyrządów pektralych (pektru ozacza wido). Newto był pierwzy, który wykorzytał w te poób pryzat i zadeotrował, ze światło białe kłada ię ze światła o wzytkich barwach, od fioletowej, 39
iebiekiej poprzez zieloą, żółtą, do czerwoej. Udowodiy, ze kąt odchyleie proieia przechodzącego przez pryzat ε jet iialy gdy proień świetly przechodzi przez pryzat yetryczie, tz. gdy kat jet rówy katowi β. Kat odchyleia proieia ε jet kate zewętrzy w odpowiedi trójkącie, a zate ε β ) + ( β ). Poieważ ( Ze wzoru (4.8) wyika, że δ + (kąt δ jet kate zewętrzy β w iy trójkącie) ay otateczie: dβ ε + β δ. (4.8) d ε d +, (4.9) czyli ziaa kąta ε jet rówa uie zia katów i β (kąt δ jet tały). Kąt ε będzie iialy, jeżeli d ε d + dβ. (4.) Zajdziey ziay kątowe d i d β, korzytając z prawa załaaia Sella i i β i i β i. (4.) Różiczkując wzory (4.) otrzyujey co co d β dβ i co β dβ co d Eliiując z rówań (4.) wpółczyik załaaia otrzyujey:. (4.) dβ co co co d d. (4.3) co β co β co β dβ d Poieważ δ + β, a zate d dβ Po uwzględieiu (4.4), wzór (4.3) ożey zapiać w potaci:. (4.4) co co d β d. (4.5) co β co β Po podtawieiu (4.5) do wzoru (4.) otrzyujey: 4
Rówaie (4.6) będzie pełioe, jeżeli co co d ε d + dβ d ( ). (4.6) co β co β β oraz β, (4.7) czyli dla yetryczego przechodzeia proieia przez pryzat. Ozacza to, ze kat odchyleia przyjuje w takich warukach wartość iialą. Wykorzytując wzór (4.8), ε + β δ, dla yetryczego przechodzeia proieia przez pryzat ay ε + δ + β β. Dalej ze wzoru δ + β zajdujey δ + β. A zate i β i ε + δ i δ i. (4.8) Skąd po otateczie otrzyujey rówaie pryzatu: ε + δ i δ i. (4.9) Przypoiy, że w rówaiu ty jet wpółczyikie załaaia ateriału pryzatu, a ε i δ ą odpowiedio, kate ajiejzego odchyleia i kate łaiący pryzatu. Dla ciekiego pryzatu kąty ε i δ ą ieduże i rówaie (4.9) przyjuje, w przybliżeiu, protzą potać: ε + δ δ, kąd ε δ ( ). (4.3) Z rówań (4.9) i (4.3) wyika, ze wielkość rozzczepieia proiei odpowiadających światłu o różych barwach będzie zależą od różicy wartości wpółczyika załaaia dla odpowiedich długości fali. Dyperją średią azywa ię różice wpółczyików załaaia dla światła iebiekiego F ( λ 485 ) i czerwoego C ( λ 656 ). Z kolei refrakcją dla daego ateriału azywa ię wielkość ( D ), gdzie D jet wpółczyikie załaaia dla długości fali odpowiadającej żółtej liii odu (589 ). Wielkość: F D C (4.3) 4
azywa ię dyperją względą albo zdolością rozzczepiającą. Dyperja orala i aoala Częto azywa ię dyperją zależość wpółczyika załaaia od długości fali światła, chociaż bardziej poprawie dyperją azywa ię pochoda wpółczyika załaaia względe długości fali d / dλ. Pierwza próba aalityczego opiu zależości wpółczyika załaaia od długości fali światła zapropoował Cauchy (836 r): B C ( λ ) A + + + 4, (4.3) λ λ gdzie A, B, C ą tałe, charakteryzujące day ateriał. Wzór Cauchy ego (4.3) opiuje tzw. dyperję oralą (wpółczyik załaaia aleje ze wzrote długości fali λ ). Okazuje ię, że dla każdego ateriału itieje jedak pewie zakre długości fali, w który wpółczyik załaaia rośie ze wzrote długości fali. W zakreie ty, zway obzare dyperji aoalej, wzór Cauchy ego ie jet łuzy. Wytłuaczeie wytępowaia obu rodzajów dyperji wyaga wiedzy z fizyki atoowej, a zate ikrokopowe rozważaie zjawik dyperji odłożyy do dalzych wykładów. Korzytając ze wzoru (4.3) ( ε δ ( ) ) oraz wzoru (4.3), łatwo ożey wyliczyć wielkość ziay kata odchyleia proieia z długością fali światła (a jedotkę długości fali): dε dλ d B 4C δ B δ δ + + 3 5 3. (4.33) dλ λ λ λ Rówaie (4.33) pokazuje, że wzrote długości fali kat odchyleia aleje, jedak aleje ty woliej i więkza jet wartość długości fali światła. Stouek wartości dyperji, a przykład, dla światła o długości fali 4 i 8 (odpowiadających z grubza zakreowi światła widzialego), wyoi około 8, co ozacza, ze w obzarze światła iebiekiego rozzczepieie światła przechodzącego przez pryzat i ierzoe wielkością d ε / dλ, jet 8 razy więkze iż w obzarze światła czerwoego. Warto zwrócić uwagę, ze wielkość wpółczyika załaaia zależy od wartości tałych A i B, atoiat dyperja d / dλ ie zależy od tałej A. Zate duża wartość wpółczyika załaaia (duża wartość A) ie jet warukie koieczy dla uzykaia dużej wartości dyperji. 4