SZEREG TRYGONOMETRYCZNY FOURIERA Rozważmy ciag funkcji: 1, cos πx πx 2πx, sin, cos, sin 2πx,..., cos nπx, sin nπx,...}, gdzie jest pewną iczbą dodatnią. Zauważmy, że na przedziae <, >, da dowonych dwóch różnych wyrazów tego ciagu k m oraz k, m 1, 2,...} zachodzi: cos kπx sin mπx dx =, cos kπx cos mπx dx =, ponadto sin kπx sin mπx dx =, cos 2 kπx dx =, sin 2 kπx dx =. Ciąg funkcji spełniający powyższe warunki nazywamy ciagiem ortogonanym. Definicja Niech f(x) będzie funkcją całkowaną na przedziae<, >. Szeregiem trygonometrycznym Fouriera funkcji f(x) nazywamy szereg postaci gdzie a 2 + n=1 ( a n cos nπx a = 1 + b n sin nπx ), f(x)dx, a n = 1 f(x) cos nπx dx, b n = 1 f(x) sin nπx dx, n = 1, 2,... 1
2 Jeśi f(x) jest funkcją parzystą to b n = oraz a n = 2 nπx f(x) cos dx. Jeśi f(x) jest funkcją nieparzystą to a n = oraz b n = 2 nπx f(x) sin dx. Naturanym wydaje się pytanie: da których funkcji szereg trygonometryczny Fouriera jest zbieżny do funkcji? Warunki wystarczające podane są w twierdzeniu Diricheta. Twierdzenie Diricheta Jeśi funkcja f(x) ograniczona na przedziae <, > jest: 1. przedziałami monotoniczna na (, ) 2. jest ciągła na (, ), z wyjątkiem co najwyżej skończonej iczby punktów nieciągłości pierwszego rodzaju; przy czym w każdym punkcie nieciągłości x spełniony jest warunek f(x ) = 1 ( f(x 2 ) + f(x + ) ), 3. to f( ) = f() = 1 2 f(x) = a 2 + n=1 ( f( + ) + f( ) ) ( a n cos nπx + b n sin nπx ), da każdego x <, >. Jeśi ponadto funkcja f(x) jest okresowa i jej okres wynosi 2 to ostatnia równość zachodzi da wszystkich x z dziedziny f(x). Przykład Wyznaczyć szereg trygonometryczny Fouriera funkcji a) f(x) = a, gdy x (, ] c gdy x / [, )., b) f(x) = x 2, x [, ], c) f(x) = sin 4 x, x [ π, π]. Przykład Wyznaczyć szereg trygonometryczny Fouriera funkcji a następnie obiczyć f(x) = x, n=1 x [ π, π], 1 (2n 1) 2.
3 Tabea współczynników Fouriera niektórych funkcji f(x) przedział a a n b n a, gdy < x c, gdy x < <, > a + c (a c)(1 ( 1) n ) nπ x <, > ( 1) n+1 2 nπ x <, 2 > 2 2 nπ x 2 <, > 2 2 3 ( 1) n ( 2 nπ) 2 x 2 <, 2 > 8 2 3 ( 2 ) 2 4 2 + 22 nπ nπ n 3 π 3 x 3 <, > ( 1) n (12 2n 2 π 2 ) n 3 ( ) 3 π sin x <, π > 4 π 4 π(4n 2 1) cos x <, π > 4 π 4( 1) n+1 π(4n 2 1) sin cx, c / C <, >, c π ( 1) n+1 2nπ sin c n 2 π 2 c 2 2 cos cx, c / C <, >, c π 2 sin c c ( 1) n+1 2c sin c n 2 π 2 c 2 2 e cx <, > 2 sinh c c ( 1) n 2c sinh c n 2 π 2 +c 2 2 ( 1) n+1 2nπ sinh c n 2 π 2 +c 2 2
1. TRANSFORMATA FOURIERA 4 1.1 Wzór całkowy Fouriera Wzór ten wykorzystujemy do anaizy funkcji nieokresowych; funkcje te mogą opisywać np.przebiegi eeektryczne. Najpierw sformułujmy tzw. warunki Diricheta. Funkcja f(x) spełnia warunki Diricheta gdy: 1. dziedzinę f(x) można rozłożyć na skończoną sumę przedziałów, w których f(x) jest monotoniczna i ciągła 2. w każdym punkcie nieciągłości x, granice jednostronne im x x f(x) i im x x + f(x) są skończone. Twierdzenie 1 (wzór całkowy Fouriera) Jeśi f(x) spełnia na każdym przedziae skończonym (a, b) warunki Diricheta i f(x) < to wzór gdzie f(x) = (a(ω) cos(ωx) + b(ω) sin ωx) dω (1) a(ω) = 1 f(t) cos ωtdt, b(ω) = 1 f(t) sin ωtdt, (2) π π zachodzi we wszystkich punktach, w których f(x) jest ciągła. W każdym punktcie nieciągłości x funkcji f(x) całka po prawej stronie wzoru jest równa 1 2 (f(x+ ) + f(x )). Jeśi f(x) jest funkcją parzystą to b(ω) = oraz a(ω) = 2 f(t) cos ωtdt, π Jeśi f(x) jest funkcją nieparzystą to a(ω) = oraz b(ω) = 2 f(t) sin ωtdt. π Wykorzystując wzory Euera, tożsamości trygonometryczne oraz to, że da funkcji h(x) = r(x) + ip(x) zmiennej rzeczywistej x mamy d h(x)dx = d r(x) + i d p(x), możemy równanie ( 1) zapisać w c c c wygodnej postaci tzw. zespoonego wzoru całkowego Fouriera f(x) = 1 ( ) e iωx f(t)e iωt dt dω (3) 2π W ostatnim wzorze,który przedstawia funkcję f(x) za pomocą iterowanej całki niewłaściwej, całka niewłaściwa zewnętrzna po zmiennej ω jest częścią głowną całki. Część głowna g(ω)dω to im T T g(ω)dω. T
5 Przykład 1 Napisać wzór całkowy Fouriera da funkcji f(x) = cos x, gdy x π 2 gdy x > π 2. Przykład 2 Przedstawić funkcję f(x) = e x, gdy x > za pomocą sinusowego wzoru całkowego Fouriera. Przykład 3 Napisać zespoony wzór całkowy Fouriera da funkcji c, gdy x < a c f(x) =, gdy x = a 2 gdy x > a. Wykorzystując ten wzór uzasadnić, że 1.2 Transformata Fouriera sin x x dx = π 2. Definicja 1.2 Niech funkcja f(x) spełnia założenia twierdzenia 1. Funkcję ˆf(ω) = f(t)e iωt dt, ω (, ) nazywamy transformatą Fouriera funkcji f(x). Przykład 4 Wyznaczyć transformatę Fouriera funkcji a) f(x) = 1, gdy x [, 1] gdy x / [, 1]. b) f(x) = e x, gdy x > gdy x <. c) f(x) = e c x, x R, c >. d) f(x) = e x2, x R
6 Zauważmy, że na podstawie wzoru (3) mamy parę przekształceń ˆf(ω) = e iωt f(t)dt, f(x) = 1 e iωx ˆf(ω)dω (4) 2π Te przekształcenia całkowe ustanawiają wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość między funkcjami f(x) i ˆf(ω). Datego też przyjmijmy oznaczenia ˆf(ω) = F[f(x)], f(x) = F 1 [ ˆf(ω)]. Funkcję f(x) nazywamy też transformatą odwrotną Fouriera funkcji ˆf(ω). Funkcję ˆf(ω) nazywamy widmem (charakterystyką widmową) funkcji f(x). Ponadto jeśi ˆf(ω) zapiszemy w postaci ˆf(ω) = ˆf(ω) e iθ(ω), θ(ω) [ π, π] to ˆf(ω) nazywamy widmem ampitudowym funkcji f(x), a θ(ω) nazywamy widmem fazowym funkcji f(x). Widmo ampitudowe jest funkcją parzystą zmiennej ω, Ponadto gdy mamy ˆf(ω) = π(a(ω) ib(ω)) to ˆf(ω) = π a 2 (ω) + b 2 ω). Widmo fazowe jest okresowe i gdy ˆf(ω) > to ω R.. cos(θ(ω)) = πa(ω) ˆf(ω) oraz sin(θ(ω)) = πb(ω) ˆf(ω). Widmo fazowe jest nieparzystą funkcją zmiennej ω. Da cos(θ(ω)) = 1 oraz sin(θ(ω)) = przyjmujemy θ(ω) = π sgn(ω). Przykład 5 Znaeźć i narysować widmo ampitudowe oraz widmo fazowe da funkcji opisanej w przykładzie 4b). 1.3. Własności transformaty Fouriera Twierdzenie 2 Jeśi funkcje f 1 (x) oraz f 2 (x) spełniają założenia twierdzenia 1, c 1, c 2 są dowonymi iczbami to F[c 1 f 1 (x) + c 2 f 2 (x)] = c 1 F[f 1 (x)] + c 2 F[f 2 (x)].
7 Twierdzenie 3 Jeśi funkcja f(x), spełnia założenia twierdzenia 1 oraz x R to F[f(x x )] = e iωx F[f(x)], F[f(ax)] = 1 a ˆf( ω ), a >. a Przykład 6 Wyznaczyć transformaty Fouriera podanych funkcji, wykorzystując twierdzenia o własnosciach transformat: 2 + 3 cos x, gdy x π a) f(x) = 2 gdy x > π. 2 b) f(x) = e 2 x+4, x R. Twierdzenie 4 Jeśi funkcja x n f(x), n N spełnia założenia twierdzenia 1 oraz F[f(x)] = ˆf(ω) to d k dω k ˆf(ω) = ( i) k F[x k f(x)], k = 1, 2,..., n Twierdzenie 5 Jeśi funkcja f(x) i jej pochodne f (n) (x) k = 1, 2,..., n spełniają założenia twierdzenia 1, są funkcjami ciągłymi oraz im x f (k) (x) = im x f (k) (x) = da k = 1, 2,..., n 1 to F[f (n) (x)] = (iω) n F[f(x)]. Przykład 7 Wyznaczyć transformaty Fouriera podanych funkcji, wykorzystując twierdzenia o własnosciach transformat oraz tabeę transformat: x, gdy x < 2 a) f(x) = 1, gdy x = 2, gdy x > 2. b) f(x) = xe x, gdy x > gdy x <. c) f(x) = x n e x, gdy x >, gdy x <. d) f(x) = 2xe x2, x R
8 e) f(x) = 1 x 2, gdy x 2 < 1, gdy x 2 > 1. f) f (5) (x), gdy f(x) = xe x, x > g) f (3) (x), gdy f(x) = e 4x2 Tabea transformat Fouriera niektórych funkcji f(x) 1, gdy x < a gdy x > a. ˆ f(ω) 2 sin aω ω 1, gdy < x < 1, poza sinω + i (cos ω 1) ω ω 1 x, gdy x < 1, gdy x > 1 2 (1 cos ω) ω 2 e cx, x >, c > 1 iω+c e c x 2c ω 2 +c 2 e x2 ω πe 2 4 cos x, x < π 2 2 cos π 2 ω 1 ω 2 ) 1 1+x 2 πe ω δ(x) 1
Przykład 8 Wyznaczyć funkcję f(x), jeśi jej transformata Fouriera f(ω) ˆ ma postać a) ˆ f(ω) = 3 25 + ω 2 9 b) ˆ f(ω) = 4 1 + 2iω c) ˆ f(ω) = 4 sin 3ω, ω ω d) f(ω) ˆ = iωe ω2 16 1.4 Spot funkcji. Własności spotu. Definicja 1.4 Spotem funkcji f(x) oraz g(x) całkowanych bezwzgędnie na R, w przedziae (, ) nazywamy funkcję oznaczaną f g(x), okreśoną następująco f g(x) = f(t)g(x t)dt Przykład 9 Wyznaczyć, z definicji, spot funkcji f g(x): a)f(x) = sin x, gdy x >, gdy x <., g(x) = 1, gdy < x < π, da pozostałych. b)f(x) = 1, gdy < x < 1, gdy x <, x > 1., g(x) = 1, gdy 1 < x <, x < 1, x >. c)f(x) = e x, gdy x >, gdy x <., g(x) = e 2x, gdy x >, x <.
Da funkcji ciągłych f(x), g(x) spot f g(x) ma własności: a) f g(x) = g f(x), (przemienność), b) (f g) h(x) = f (g h)(x), (łączność) c) f (g 1 + g 2 )(x) = f g 1 (x) + f g 2 (x),(rozdzieność spotu wzgędem dodawania). O ważnych własnościach spotu, wykorzystywanych np. w wyznaczaniu transformaty Fouriera, mówi następujące twierdzenie. Twierdzenie 6 Jeśi funkcje f(x), g(x) spełniają założenia tw.fouriera to 1 F[f(x) g(x)] = F[f(x)] F[g(x)]. oraz F[f(x) g(x)] = F[f(x)] F[g(x)]. Czyi transformata Fouriera spotu funkcji jest ioczynem transformat oraz transformata Fouriera ioczynu funkcji jest spotem ich transformat. Przykład 1 Wykorzystując ostatnie twierdzenie wyznaczyć transformatę Fouriera f g(x), a następnie f g(x): a)f(x) = g(x) = e x2 b)f(x) = g(x) = 1 1 + 9x 2 W opisach niektórych modei fizycznych używa się pseudofunkcji zwanej detą Diraca δ(x) i okreśonej następująco: δ(x) =, gdy x gdy x =. oraz δ(x) = 1 Nie jest to funkcja. Warunki (niepoprawne), które okreśają detę Diraca wyrażają następujacą intuicję fizyczną: δ(x) reprezentuje nieskończenie wieki impus pojawiający się w chwii x = i trwający nieskończenie krótko, przy czym efekt działania impusu, mierzony całką,jest równy jeden. Teoria matematyczna, na gruncie której można wprowadzić detę Diraca nazywa się teorią dystrybucji. Traktuje δ(x) jako granicę pewnych ciągów funkcji (f n (x)).jednym takich z ciągów jest np. (f n (x)); gdzie
, gdy x > 1 n f n (x) = n n 2 x, gdy < x 1 n n + n 2 x gdy 1 x <. n Da dowonej funkcji f(x) zachodzi f(x)δ(x x )dx = f(x ). Mamy zatem,że transformata Fouriera dety Diraca wynosi zatem 1, bo ˆδ(ω) = e iωt δ(t)dt = 1 2. TRANSFORMATA LAPLACE A Transformata Lapace a jest koejnym przekształceniem całkowym wykorzystywanym w teorii obwodów eektrycznych. Definicja 2.1 Niech f(x) będzie okreśona da x. Transformatą Lapace a funkcji f(x) nazywamy funkcję f(s), s R okreśoną następującą f(s) = e st f(t)dt Stosuje się także zapis L[f(x)] = f(s). Zdefiniowane pojęcie można rozszerzyć da s C. 11 Przykład 11 Wyznaczyć, z definicji, transformaty Lapace a funkcji: 1, gdy x > a) funkcji Heaviside 1 a : f(x) =, gdy x = 2, gdy x <., b)f(x) = cos ax, gdy x >, x <. c)f(x) = e ax, gdy x >, x <. Zauważmy, że funkcje opisane w punkcie a), b) nie miały transformat Fouriera. Naturanym jest pytanie, da któtych funkcji istnieje transformata Lapace a. A oto warunki wystarczające. Da funkcji f(x) spełniającej podane warunki: 1 o. f(x) = da x <, 2 o. f(x) spełnia warunki Diricheta na każdym przedziae (a, b),a, b R, 3 o. M> d> x f(x) < Me dx, istnieje f(s), da każdego s > d.
12 Funkcję spełniająca warunki 1 o 3 o nazywa się oryginałem. Fakt Jeśi funkcje,będące oryginałami, mają takie same transformaty Lapace a to są równe. Transformata Lapace a oryginału wyznacza oryginał w punktach ciągłości jednoznacznie. Przyporządkowanie f(s) funkcji f(x) nazywa się transformatą odwrotną Lapace a. Twierdzenie 7 Jeśi funkcje f(x), g(x) mają transformaty Lapace a to: 1. L[af(x) + bg(x)] = al[f(x)] + bl[g(x)]. 2. L[f(x x )] = e sx f(s). 3. L[e ax f(x)] = f(s + a). Twierdzenie 8 Jeśi f(x) jest oryginałem to L(x n f(x)) = ( 1) n dn ds n f(s). Przykład 12 Wyznaczyć transformaty Lapace a podanych funkcji: a)f(x) = x 2, gdy x >, gdy x <., b)f(x) = x n, gdy x >, x <. sin(2x + π), gdy x > c)f(x) = 3, x <., d)f(x) = cos 2 x, x >, e)f(x) = sin x cos x, x >
Tabea transformat Lapace a niektórych funkcji,f(x) = da x < 13 f(x) f(s) 1 1 s x n n! s n+1 e ax 1 s a x n ax n! e (s a) n+1 sin ax cos ax a s 2 +a 2 s s 2 +a 2 e ax sin bx b (s a) 2 +b 2 e ax cos bx s a (s a) 2 +b 2 Przykład 13 Wyznaczyć funkcję ciągłą, której transformata Lapace a podana jest wzorem: a) f(s) 1 = s 2 + 25, b) f(s) = s s 2 + 4, c) f(s) 1 = s 2 s 2, d) f(s) = e 4s 1 s 4 Twierdzenie 9 Jeśi f(x) oraz jej pochodne do rzędu (n 1) włącznie są oryginałami oraz istnieje f (n) (x) i jest ciągła na (, ) to n L[f (n) (x)] = s n f(s) s n k f (k 1) ( + ). k=1
14 W szczegóności da n=1 mamy L[f (x)] = s f(s) f( + ), zaś da n=2 mamy L[f (x)] = s 2 f(s) sf( + ) f ( + ). Transformatę Lapace a i jej własności wykorzystujemy w rozwiązywaniu równań różniczkowych. Mówimy wtedy o metodzie operatorowej rozwiazywania równań. Przykład 14 Wykorzystując transformatę Lapace a wyznaczyć funkcję y(x) spełniającą podane równania różniczkowe i warunki początkowe: a) y + y = e x, y() = 1 2 b) y + 6y = cos 3x, y() = 1, y () = c) y 3y + 2y = e 3x, y() = 1, y () =