Własności kombinatoryczne i dynamiczne wybranych przestrzeni przesunięć

Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie Rozprawa doktorska Własności kombinatoryczne i dynamiczne wybranych przestrzeni przesunięć mgr Magdalena Foryś Promotor: dr hab. Piotr Oprocha, prof. AGH Wydział Matematyki Stosowanej Kraków 2015

Składam serdeczne podziękowania mojemu promotorowi, dr. hab. Piotrowi Oprosze, za wsparcie merytoryczne, nieustanną motywację do pracy naukowej, czas poświęcony na liczne dyskusje związane z tematyką pracy oraz okazaną mi życzliwość i cierpliwość w trakcie pisania rozprawy doktorskiej.

Spis treści Wstęp....................................... 3 1 Układy dynamiczne i ich własności................... 8 2 Podstawowe pojęcia dynamiki symbolicznej.............. 18 3 Uogólniony ciąg Thuego-Morse a i złożoność generowanej przez niego przestrzeni z przesunięciem.................... 27 4 Przestrzenie z przesunięciem posiadające własność specyfikacji i ich dynamika................................. 40 5 Konstrukcja Katznelsona-Weissa i jej modyfikacje.......... 49 5.1 Konstrukcja jednostajnie sztywnej i słabo mieszającej przestrzeni z przesunięciem nad alfabetem [0, 1].................... 54 5.2 Konstrukcja jednostajnie sztywnej przestrzeni z przesunięciem z parą DC2 nad alfabetem [0, 1]......................... 61 Bibliografia.................................... 67 2

Wstęp Niniejsza rozprawa doktorska dotyczy problematyki z pogranicza teorii układów dynamicznych oraz kombinatoryki. Prezentuje wyniki badań nad szczególną klasą układów dynamicznych, jakimi są przestrzenie z przesunięciem. Teoria układów dynamicznych powstała jako nauka opisująca zmiany zachowań obiektów w czasie i przestrzeni, wywodząca się z prób modelowania matematycznego zjawisk fizycznych - takich, jak na przykład ruch cząsteczek gazu w przestrzeni, lub ruch obiektów w kosmosie. W zależności od dokładności obserwacji, dany układ może być obserwowany w sposób ciągły, bez przerw (czyli w dowolnym momencie jesteśmy w stanie określić jak zmienia się położenie obiektów w układzie) lub tylko w określonych z góry odstępach czasu (na przykład co minutę, lub co sekundę). Pierwsze podejście było motywacją do powstania teorii ciągłych ukladów dynamicznych. Drugie zaś to pewnego rodzaju uproszczenie poprzedniego przypadku, oparte na dyskretyzacji czasu. Interesuje nas wtedy położenie obiektu tylko w regularnych odstępach czasu, a to, co dzieje się pomiędzy obserwacjami nie jest brane pod uwagę. Tego typu modele są tworzone i badane przy pomocy teorii dyskretnych układów dynamicznych. Dynamika symboliczna idzie o krok dalej, dyskretyzując także rozważaną przestrzeń. Oznacza to, że przestrzeń jest podzielona na pewną, skończoną bądź nieskończoną, liczbę obszarów, do których przypisane są opisujące je etykiety. Nieskończoną trajektorię, jaką porusza się dany obiekt w takiej przestrzeni, obserwowaną przy dyskretyzacji czasu, można zatem zapisać jako nieskończony ciąg etykiet, w którym kolejność symboli jest zgodna z kolejnością odwiedzania przez obiekt poszczególnych obszarów. Badania, których wyniki prezentowane są w niniejszej rozprawie, obejmują zbiory takich trajektorii wyposażone w odpowiednie własności. Przestrzenie z przesunięciem (ang. shift space) rozważane w niniejszej pracy to w dużej mierze przestrzenie podzielone w myśl powyższej interpretacji na dwa obszary, etykietowane przez 0 oraz 1. Co za tym idzie, elementami takiej przestrzeni są nieskończone ciągi binarne. Niestety opis przy skończonej liczbie etykiet nie jest uniwersalny dla dowolnego typu rozważanej dynamiki - w niektórych przypadkach konieczne będzie zastosowanie nieskończonego alfabetu etykietującego. W rozdziale 5 przedstawiamy przypadek, gdy przestrzeń jest podzielona na nieskończoną liczbę obszarów etykietowanych liczbami z przedziału [0, 1]. Elementami takiej przestrzeni są zatem nieskończone ciągi o wyrazach z przedziału [0, 1]. Istotne miejsce w rozprawie zajmują badania nad dynamiką przestrzeni z przesunięciem. Oczywistym jest jednak, że własności dynamiczne przestrzeni definiowanych w przedstawiony powyżej sposób pozostają w ścisłym związku z własnościami kombinatorycznymi nieskończonych ciągów będących ich elementami. Skupimy się na określeniu wartości entropii topologicznej, entropii ciągowej oraz spróbujemy określić istnienie par dystrybucyjnie chaotycznych na przykładach różnych typów przestrzeni z przesunięciem. Przedstawimy poniżej ogólny zarys problematyki niniejszej rozprawy. Pojęcie entropii topologicznej zostało wprowadzone w [1] przez R. Adlera, A. Konheima oraz M. McAndrewa w 1965 roku. Wywodzi się ono od związanej z teorią informacji entropii Shannona, która oznacza średnią ilość informacji przypadającą 3

na określoną wiadomość zgodnie z rozkładem prawdopodobieństwa na danym skończonym zbiorze wiadomości. Minimalna wartość entropii Shannona uzyskiwana jest dla takiego zbioru wiadomości, który nie niesie ze sobą żadnych nowych dla odbiorcy informacji - to przypadek, gdy w skończonym zbiorze wiadomości wiemy, że z prawdopodobieństwem równym 1 dokładnie jedna ustalona wiadomość jest prawdziwa, a pozostałe fałszywe. Maksymalną wartość uzyskamy natomiast wtedy, gdy w skończonym zbiorze wiadomości prawdopodobieństwo zdarzenia, że dana wiadomość jest prawdziwa jest takie samo dla wszystkich wiadomości. Entropię topologiczną można traktować jako współczynnik odpowiedzialny za szybkość wzrostu liczby orbit możliwych do zaobserwowania w danym układzie dynamicznym przy ustalonej precyzji obserwacji. Wartość entropii topologicznej należy do przedziału [0, + ) lub jest równa + (np. dla odwzorowań odcinka). Dla symbolicznych układów dynamicznych nad alfabetem mocy n wartość entropii topologicznej jest ograniczona od góry przez log n. Układy o zerowej entropii topologicznej nazywane są układami deterministycznymi. W praktyce oznacza to, że jesteśmy w stanie w dużym stopniu przewidzieć zachowanie takiego układu obserwując go w dowolnym momencie. Natomiast w układach o dodatniej entropii topologicznej możemy się spodziewać zachowań chaotycznych - tym bardziej skomplikowanych im wyższa jest jej wartość. Nie oznacza to jednak, że entropia topologiczna może być traktowana jako miara ilości chaosu w danym układzie, lecz raczej jako pewien wyznacznik jakości i stopnia skomplikowania chaotycznych zachowań. W związku z tym w książce [15] autorzy zaproponowali, by zdefiniować chaos jako dodatnią entropię topologiczną układu. Intuicja ta może być jednak zwodnicza - w pracy [24] G. Harańczyk i D. Kwietniak pokazali, że istnieją układy chaotyczne (w szczególności niektóre odwzorowania odcinka lub okręgu) o relatywnie niskiej wartości entropii topologicznej. Uogólnieniem pojęcia entropii topologicznej jest entropia ciągowa, wprowadzona w [35] przez A. G. Kushnirenkę. Badania nad entropią ciągową były kontynuowane w [23] przez T. N. T. Goodmana, który prezentuje podstawowe własności tej wielkości oraz bada zachowanie układów o zerowej entropii ciągowej. Dowodzi także, że dla nietrywialnych układów słabo mieszających nie istnieje ograniczenie od góry na wartość entropii topologicznej. Z kolei w pracy [39] A. Maass i S. Shao zajmują się istnieniem maksymalnych faktorów równociągłych dla minimalnych układów dynamicznych o ograniczonej entropii ciągowej. W pracach [29] i [30] autorzy rozważają entropię ciągową dla shiftów generowanych przez nieskończony ciąg nad pewnym skończonym alfabetem w kontekście maksymalnej złożoności n-wzorca ciągu generującego. Wiadomo, że własność słabego mieszania układu dynamicznego implikuje dodatnią entropię ciągową, może się jednak zdarzyć, że entropia topologiczna takiego układu będzie zerowa. Przykład takiego układu został podany w [9]. Z punktu widzenia niniejszej rozprawy najbardziej interesować nas będą minimalne przestrzenie z przesunięciem o zerowej entropii topologicznej i dodatniej entropii ciągowej. Przedstawiona w rozdziale 2 konstrukcja pozwala otrzymać nieprzeliczalną rodzinę przestrzeni spełniających te warunki. Kolejnym zagadnieniem, do którego odwołujemy się w niniejszej pracy jest dynamika par i powiązane z nią pojęcie chaosu dystrybucyjnego. Badania nad tą tematyką mają swój początek w opublikowanej w 1975 roku pracy [37] autorstwa T. Y. Li oraz J. A. Yorke a. Pojawiło się w niej pojęcie par Li-Yorke a jako określenie par prok- 4

symalnych, ale nie asymptotycznych. Układ (X, f) nazwano układem chaotycznym w sensie Li-Yorke a, jeśli zawierał pary Li-Yorke a. Naturalne pytanie, które pojawiło się wraz z wprowadzeniem tej teorii, to kwestia warunków jakie muszą zachodzić, by dany układ zawierał choć jedną taką parę, skończony zbiór par, czy nieprzeliczalny zbiór par Li-Yorke a. W pracy [26] W. Huang i X. Ye skonstruowali układ dynamiczny, w którym wszystkie pary różnych elementów były parami Li-Yorke a (tzw. układ totalnie splątany) i zadali pytanie o wartość entropii topologicznej takiego układu - w szczególności czy wartość ta może być dodatnia. Negatywną odpowiedź na to pytanie podał B. Weiss w [60]. Rozwinięciem tej teorii, łączącym pojęcie chaosu i entropii topologicznej oraz jednym z ciekawszych podejść do tego tematu jest definicja chaosu dystrybucyjnego. Pojęcie to zostało wprowadzone w 1994 roku przez B. Schweizera i J. Smítala w [48] jako warunek równoważny dodatniej entropii topologicznej układu dynamicznego zdefiniowanego na odcinku. Podejście autorów polega na obserwacji statystycznych własności trajektorii pary punktów w długim okresie czasu. Obecnie wiadomo jednak, że w ogólnym przypadku istnieją dystrybucyjnie chaotyczne układy dynamiczne o zerowej entropii. W 2005 roku w pracy [8] wprowadzono definicje trzech typów par dystrybucyjnie chaotycznych: DC1, DC2, DC3, z czego najsilniejszą wersją pary dystrybucyjnie chaotycznej jest para DC1. W literaturze znajdziemy wiele wyników dotyczących chaosu dystrybucyjnego. W [51] A. Sklar i J. Smítal udowodnili między innymi, że nietrywialny układ mający własność specyfikacji jest dystrybucyjnie chaotyczny. Problematyka ta została rozwinięta w pracy [46] P. Oprochy i M. Štefánkovej. R. Pikuła w [12] prezentuje natomiast przykład układu o dodatniej entropii topologicznej, który nie posiada par DC1. W 2006 roku w [54] J. Smítal postawił hipotezę, że dodatnia entropia topologiczna układu dynamicznego nie implikuje istnienia w nim nieprzeliczalnego zbioru par DC2. Potwierdzenie tej hipotezy przedstawił T. Downarowicz w [47] w roku 2014. W międzyczasie publikowano częściowe wyniki, potwierdzające tę hipotezę w pewnych szczególnych przypadkach (np. [45] dla układów o jednostajnie dodatniej entropii). Ciekawym wątkiem w tej problematyce wydają się być badania nad chaosem dystrybucyjnym w układach minimalnych. Pierwszy przykład układu minimalnego zawierającego pary DC1 został przedstawiony w pracy [38] przez G. Liao oraz L. Wanga w 2002 roku. Konstrukcja ta opierała się o odpowiednio dobrane rodziny słów o wykładniczo rosnącej długości i była na wiele sposobów modyfikowana i rozszerzana w ostatnich latach - między innymi w [44], [56]. Entropia topologiczna układów skonstruowanych w wymienionych pracach wynosiła zero. W dowolnym układzie dynamicznym nie ma bezpośredniego związku pomiędzy istnieniem par DC1, a dodatnią entropią topologiczną. W [28] zostało pokazane, że dodatnia entropia układów dynamicznych na odcinku implikuje istnienie splątanego zbioru Cantora. W [11] wykazano, że taka sama własność charakteryzuje dowolne układy dynamiczne na zwartych przestrzeniach metrycznych. Natomiast konstrukcje układów dynamicznych na odcinku chaotycznych w sensie Li-Yorke a, ale o zerowej entropii topologicznej, pokazano na przykład w [53], [62], [42]. Uzasadniono tym samym, że fakt posiadania dodatniej wartości entropii topologicznej jest własnością silniejszą niż chaos Li-Yorke a. W 2002 roku F. Blanchard, B. Host, S. Ruette w pracy [13] wykorzystując teorię ergodyczną pokazali, że układ dynamiczny o dodatniej entropii zawsze zawiera pary asymptotyczne, a co więcej - 5

zbiór par asymptotycznych jest gęsty. W 2009 roku F. Balibrea i J. Smítal w pracy [24] zaprezentowali konstrukcję układu minimalnego o dodatniej entropii, który zawiera pary DC2, ale nie zawiera par DC1. W niniejszej pracy doktorskiej zaprezentowane są wyniki opublikowane w [19], [20], [21]. Praca [19] jest pracą samodzielną, w której autorka definiuje klasę uogólnionych ciągów Thuego-Morse a i bada wartości entropii topologicznej oraz entropii ciągowej przestrzeni generowanych przez te ciągi. Prace [20] oraz [21] są współautorskie i powstały jako efekt wielu dyskusji prowadzonych osobiście oraz drogą elektroniczną. Z tego powodu w rozprawie uwzględniono tylko te ich wyniki, w które autorka włożyła najwięcej pracy własnej. W szczególności jest to przeniesienie wyników dotyczących przestrzeni ze specyfikacją na przestrzenie z przesunięciem posiadające własność specyfikacji oraz dwie modyfikacje konstrukcji Katznelsona- Weissa prowadzące do uzyskania słabo mieszającej przestrzeni z przesunięciem oraz przestrzeni z przesunięciem zawierającej parę DC2. Struktura niniejszej rozprawy przedstawia się następująco. W rozdziale 1 prezentujemy podstawowe pojęcia związane z ogólną teorią układów dynamicznych. Wprowadzamy definicje oraz warunki równoważne własnościom dynamicznym takim jak tranzytywność, słabe mieszanie, minimalność, równociągłość, wrażliwość na warunki początkowe. Podajemy także definicję entropii topologicznej oraz pojęć związanych ze wspomnianym powyżej chaosem dystrybucyjnym, w tym definicje par DC1, DC2 oraz zbioru splątanego. W rozdziale 2 zajmujemy się podstawami teorii symbolicznych układów dynamicznych. Wprowadzamy kluczowe w niniejszej pracy pojęcie przesunięcia oraz przestrzeni z przesunięciem omawiając je w kontekście jej topologii oraz własności dynamicznych. Przedstawiamy kilka różnych typów tych przestrzeni - skończonego typu, typu sofic, podstawieniowe. Rozważamy także niektóre z wprowadzonych w rozdziale 1 własności dynamicznych i podajemy warunki im równoważne w przypadku przestrzeni z przesunięciem. Większość z tych warunków opiera się o pewne własności kombinatoryczne przestrzeni i jej elementów. Rozważania z rozdziału 3 mają swoją motywację w pracach [57], [41], w których przedstawione są wyniki dotyczące pewnych uogólnień ogólnie znanego ciągu Thuego-Morse a, oznaczanego w pracy przez t M, oraz generowanej przez niego przestrzeni, a także w pracach [39] [23] [30], [29] dotyczących entropii ciągowej. Problem, którego dotyczy ta część pracy, to próba konstrukcji przestrzeni z przesunięciem generowanej przez nieskończony ciąg, która będzie miała zerową entropię topologiczną oraz dodatnią entropię ciągową. Żeby uzyskać pożądane własności musimy odpowiednio zdefiniować ciąg generujący przestrzeń. Wprowadzamy zatem pewne uogólnienie ciągu Thuego-Morse a, odwołując się do blokowej budowy oraz rekurencyjnej definicji ciągu t M, otrzymując całą klasę uogólnionych ciągów Thuego-Morse a. Własności przestrzeni zależą od struktury ciągu, który wybierzemy z otrzymanej klasy jako element generujący. Przypadkiem dokładniej omówionym w tej pracy jest uogólniony ciąg Thuego-Morse a definiowany poprzez ciąg stały. Przestrzenie generowane przez te ciągi tworzą nieprzeliczalną klasę przestrzeni minimalnych o zerowej entropii topologicznej i dodatniej entropii ciągowej. Dodatkowo pokazujemy, że skonstruowana przestrzeń jest co najwyżej 4-do-1 faktorem pewnego odpowiednio zdefiniowanego odometru. Własność ta jest istotna w dowodzie głównego twierdzenia w tym rozdzia- 6

le (twierdzenie 3.23) uzasadniającego, że wartość entropii ciągowej dla przestrzeni z przesunięciem generowanych przez wprowadzone uogólnione ciągi Thuego-Morse a jest zawsze ograniczona od góry. Warte rozważenia w przyszłości wydają się być przypadki innego wyboru uogólnionych ciągów Thuego-Morse a, na przykład gdy ciągi wykorzystywane w ich definicji są od pewnego miejsca stałe lub okresowe. W rozdziale 4 zajmujemy się przestrzeniami z przesunięciem posiadającymi własność specyfikacji. Własność ta jest szczególnie istotna w rozważaniach związanych z chaosem dystrybucyjnym. W pracy [51] A. Sklar i J.Smítal zaprezentowali twierdzenie które mówi, że własność specyfikacji implikuje chaos dystrybucyjny. Badamy chaotyczne zachowanie takich przestrzeni, a w szczególności zajmujemy się problemem istnienia zbioru dystrybucyjnie ε-splątanego w przestrzeniach typu sofic. Głównym celem jest takie wykorzystanie dodatkowych informacji uzyskanych dzięki znajomości kombinatorycznej struktury przestrzeni typu sofic, by móc więcej powiedzieć o własnościach zbioru chaotycznego generowanego w tej sytuacji. Wyniki tych badań podsumowuje twierdzenie 4.13, podające warunki konieczne dla istnienia ε-splątanego zbioru Cantora i ε-splątanego zbioru Mycielskiego w danej przestrzeni z przesunięciem. Szczególnie ważną własnością kombinatoryczną, na której niejednokrotnie opierają się nasze rozumowania, jest własność synchronizacji języka danej przestrzeni, która zachodzi dla każdej przestrzeni z przesunięciem z własnością specyfikacji. Wyniki przedstawione w rozdziale 5 dotyczą problemu związanego z zaprezentowaną w [31] oraz [2] konstrukcją jednostajnie sztywnej i proksymalnej przestrzeni z przesunięciem nad alfabetem [0, 1]. Tego typu konstrukcja nie jest możliwa nad skończonym alfabetem. Rozważamy zatem uogólnienie przestrzeni z przesunięciem, wykorzystując zamiast skończonego alfabetu cały przedział [0, 1]. Głównym celem było zmodyfikowanie oryginalnej konstrukcji w taki sposób, by otrzymana przestrzeń posiadała pewne dodatkowe własności dynamiczne przy zachowaniu jednostajnej sztywności. Prezentujemy dwie takie modyfikacje: pierwsza z nich pozwala nam otrzymać przestrzeń słabo mieszającą, druga - przestrzeń z parą DC2. Ciekawe wydają się być dalsze pespektywy badań nad drugą z konstrukcji, w szczególności próba określenia czy jesteśmy w stanie wprowadzić do niej kolejne zmiany tak, by otrzymać kolejną parę DC2 lub przeliczalny bądź nieprzeliczalny zbiór par DC2. Motywacją do pracy nad tymi zagadnieniami było pytanie, czy konstrukcję Weissa- Katznelsona da się zmodyfikować tak, by wszystkie pary Li-Yorke a zastąpić parami DC2. Odpowiedź negatywną dajemy w twierdzeniu 5.18. 7

1 Układy dynamiczne i ich własności Na początku zaznaczmy, że przez N rozumiemy zbiór {1, 2, 3,... }, a przez N 0 zbiór liczb naturalnych wraz z zerem. Podstawowe dla niniejszej pracy jest pojęcie układu dynamicznego, którego definicję wprowadzamy poniżej: Definicja 1.1. Układem dynamicznym nazywamy parę (X, f), gdzie X jest zwartą przestrzenią metryczną, natomiast f : X X jest odwzorowaniem ciągłym. Przez d będziemy oznaczać metrykę w X, natomiast dla podzbiorów A, B X przez dist(a, B) oznaczamy odległość zbiorów A i B, czyli: dist(a, B) = inf{d(x, y) : x A, y B}. W przypadku gdy A = {x} jest zbiorem jednoelementowym, zamiast dist({x}, B) stosujemy zapis dist(x, B). W tym rozdziale przedstawimy definicje i pojęcia dotyczące ogólnej teorii układów dynamicznych i zaprezentujemy niektóre ich własności dynamiczne. Będzie to podstawą do dalszych rozważań, w szczególności do badań własności klasy symbolicznych układów dynamicznych, którym poświęcimy najwięcej uwagi w dalszej części rozprawy. Definicja 1.2. Niech (X, f) będzie układem dynamicznym. 1. Punkt x X nazywamy punktem stałym, jeśli f(x) = x. 2. Punkt x X nazywamy punktem okresowym, jeśli istnieje k N takie, że f k (x) = x. Najmniejsze takie k nazywamy okresem podstawowym punktu x. Zbiór wszystkich punktów okresowych układu (X, f) oznaczamy przez: P er(x, f) = {x X : k N f k (x) = x}. 3. Orbitą punktu x X nazywamy zbiór: O(x) = {f n (x) : n N 0 }, przy czym przyjmujemy, że f 0 (x) = x dla każdego x X. 4. Punkt x X nazywamy punktem tranzytywnym, jeśli jego orbita jest gęsta w X, czyli O(x) = X. Zbiór wszystkich punktów tranzytywnych w X oznaczamy przez T rans(x, f). Zauważmy, że w myśl definicji 1.2 każdy punkt stały jest jednocześnie punktem okresowym o okresie podstawowym równym 1. Definicja 1.3. Punkt y X nazywamy punktem ω-granicznym punktu x X, jeśli y jest punktem skupienia ciągu {f n (x)} n N0. Zbiorem ω-granicznym punktu x, oznaczanym przez ω(x, f), nazywamy zbiór wszystkich punktów ω-granicznych punktu x. 8

Oczywiście możliwa jest sytuacja, kiedy punkt x należy do swojego zbioru ω - granicznego. W takim przypadku x nazywamy punktem rekurencyjnym. Formalną definicję punktu rekurencyjnego wprowadzamy poniżej: Definicja 1.4. Niech (X, f) będzie układem dynamicznym. Punkt x X nazywamy punktem rekurencyjnym, jeśli dla każdego ε > 0 istnieje p > 0 takie, że dla dowolnego n N 0 znajdziemy k < p spełniające warunek: d(f n+k (x), x) < ε. Zbiór wszystkich punktów rekurencyjnych w X oznaczamy przez Rec(X, f). Zauważmy, że dowolny punkt okresowy spełnia definicję 1.4, a co za tym idzie okresowość punktu implikuje jego rekurencyjność. Szczególnym rodzajem układów dynamicznym są minimalne układy dynamiczne. Definicja 1.5. Układ dynamiczny (X, f) jest minimalny, jeśli dla każdego x X orbita O(x) jest gęsta w X. Nieformalnie mówiąc, (X, f) jest układem minimalnym, jeśli nie jesteśmy w stanie wyodrębnić w nim niepustego, właściwego podzbioru, który spełnia definicję 1.1. Definicja 1.5 oznacza w szczególności, że każdy punkt x należący do układu minimalnego X jest punktem tranzytywnym. Poniższy fakt podaje warunki równoważne na minimalność układu dynamicznego: Fakt 1.6. Niech (X, f) będzie układem dynamicznym. Następujące warunki są równoważne: 1. X jest minimalny. 2. Dowolny punkt x X jest punktem tranzytywnym. 3. Dla dowolnego podzbioru Y X takiego, że para (Y, f Y ) jest układem dynamicznym zachodzi: Y = X lub Y =. Warunek (3) z faktu 1.6 oznacza, że układ minimalny nie zawiera żadnego nietrywialnego podukładu dynamicznego. Definicja 1.7. Niech (X, f) będzie układem dynamicznym. Punkt x X nazywamy punktem minimalnym, jeśli układ (O(x), f O(x) ) jest minimalny. Łatwo zauważyć, że jeśli układ (X, f) z powyższej definicji jest minimalny, to każdy punkt x X jest punktem minimalnym. Definicja 1.8. Niech (X, f), (Y, g) będą układami dynamicznymi. 1. Jeśli istnieje ciągła surjekcja π : X Y taka, że f π = π g, to (Y, g) nazywamy faktorem układu (X, f), natomiast układ (X, f) nazywamy rozszerzeniem układu (Y, g), 2. Jeśli odwzorowanie π jest homeomorfizmem, to mówimy, że układy (X, f) oraz (Y, g) są topologicznie sprzężone. 9

Będziemy używać nazwy odwzorowanie faktoryzujące na odpowiednie odwzorowanie π spełniające warunki definicji 1.8. Jeśli postać odwzorowań f oraz g będzie jasno wynikała z kontekstu będziemy je pomijać, używając określeń: Y jest faktorem X lub odpowiedno: X jest rozszerzeniem Y. Definicja 1.9. Układ (X, f) jest tranzytywny, jeśli dla dowolnych niepustych i otwartych podzbiorów U, V X istnieje n N takie, że f n (U) V. W szczególnym przypadku, gdy zbiór X nie zawiera punktów izolowanych zachodzi następujący fakt, który przytaczamy za [33]: Fakt 1.10. Niech (X, f) będzie układem dynamicznym. Jeśli X nie zawiera punktów izolowanych oraz zbiór punktów tranzytywnych T rans(x, f) jest niepusty, to układ (X, f) jest tranzytywny. Oznacza to w szczególności, że dla układów tranzytywnych zbiór punktów tranzytywnych jest niepusty. Istnienie punktu o gęstej orbicie nie jest jednak równoważne tranzytywności układu, czego przykład można znaleźć w [33]. W tej samej pracy autorzy przedstawiają warunki równoważne tranzytywności. Kilka z nich przytaczamy poniżej, wprowadzając uprzednio następującą notację dla x X oraz niepustych, otwartych zbiorów U, V X: N(x, U) = {n N : f n (x) U}, N(U, V ) = {n N : U f n (V ) }. Fakt 1.11. Niech (X, f) będzie układem dynamicznym. Następujące warunki są równoważne: 1. Układ dynamiczny (X, f) jest tranzytywny. 2. Dla dowolnych niepustych i otwartych podzbiorów U, V X istnieje n N takie, że f n (U) V. 3. Odwzorowanie f jest surjekcją i zbiór T rans(x, f) jest niepusty. 4. Zbiory N(U, U) dla dowolnego niepustego, otwartego U X oraz zbiór punktów tranzytywnych T rans(x, f) są niepuste. Warto zaznaczyć, że każdy układ minimalny jest układem tranzytywnym. Własność tranzytywności w danym układzie oznacza, że dla dowolnie ustalonych dwóch zbiorów otwartych pewna iteracja punktu z pierwszego zbioru trafi do zbioru drugiego. Definicja 1.12. Układ dynamiczny (X, f) nazywamy mieszającym, jeśli dla dowolnych niepustych i otwartych zbiorów U, V X istnieje m N takie, że dla dowolnego n m zachodzi: f n (U) V. Definicja 1.13. Układ (X, f) nazywamy słabo mieszającym, jeśli układ dynamiczny (X X, f f) jest tranzytywny. 10

W pracy [22] podany jest następujący warunek równoważny słabemu mieszaniu: Lemat 1.14. Układ dynamiczny (X, f) jest słabo mieszający wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego m N oraz dowolnych niepustych, otwartych zbiorów U i, V i X gdzie i = 1,..., m istnieje k N takie, że: f k (U i ) V i dla i m. Najczęściej będziemy dowodzić własności słabego mieszania korzystając z powyższego lematu 1.14 dla m = 2. Wprost z powyższych własności i definicji wynika, że zarówno układ mieszający, jak i słabo mieszający są także tranzytywne. Definicja 1.15. Mówimy, że zbiór B N 0 jest gruby, jeśli dla dowolnego n N istnieje i N 0 takie, że: {i, i + 1,..., i + n} B. Z lematu 1.14 wynika, że jeśli układ (X, f) jest słabo mieszający, to dla dowolnego n N układ (X X, f f) jest tranzytywny. To pozwala nam }{{}}{{} n n wykazać następujące kryterium słabego mieszania: Lemat 1.16. Układ (X, f) jest słabo mieszający wtedy i tylko wtedy, gdy (X, f) jest tranzytywny oraz zbiór N(U, V ) jest gruby dla dowolnych niepustych i otwartych zbiorów U, V X. Dowód. Załóżmy, że (X, f) jest słabo mieszający. Wtedy dla dowolnego m 2 układ: (X m, f m ) = (X X, f f) }{{}}{{} m m jest tranzytywny. Ustalmy dowolny niepusty podzbiór otwarty U X i zdefiniujmy: U = U n+1 oraz V = U f 1 (U) f n (U). Ponieważ (X n+1, f n+1 ) jest tranzytywny, to N(U, V ) jest niepusty. Istnieje więc pewne k N takie, że k, k + 1,..., k + n N(U, V ), czyli zbiór N(U, V ) jest gruby. Dla dowodu w drugą stronę ustalmy dowolne zbiory U 1, U 2, V 1, V 2 X niepuste i otwarte. Układ (X, f) jest tranzytywny z założenia, więc istnieją takie n, m N, że: U = U 1 f n (U 2 ) oraz V = V 1 f m (V 2 ). Zbiór N(U, V ) jest gruby, więc dla n + m istnieje k N takie, że: {k, k + 1,..., k + n + m} N(U, V ). To oznacza, że dla i = 0, 1,..., n + m zachodzi: U f (k+i) (V ) = U 1 f n (U 2 ) f (k+i) (V 1 ) f (k+i+m) (V 2 ). Dla i = m istnieje więc x U f (k+n+m) (V ). W szczególności x U 1 f (k+m) (V 1 ). Z kolei dla i = n istnieje y U f k (V ). W szczególności y f n (U 2 ) f (k+n+m) (V 2 ). 11

Oznaczmy y = f n (y) i zauważmy, że y U 2 f (k+m) (V 2 ). Z powyższego rozumowania wynika zatem, że: f k+m (x) f k+m (U 1 ) V 1, f k+m (y ) f k+m (U 2 ) V 2, co oznacza, że układ (X, f) jest słabo mieszający. Za pracą [50] przytaczamy następujący fakt: Fakt 1.17. Niech (X, f) będzie układem dynamicznym i niech x X będzie punktem tranzytywnym. Jeśli dla dowolnego otoczenia U punktu x zbiór N(U, U) zawiera ciąg kolejnych liczb naturalnych długości k, to N(U, U) zawiera także ciąg kolejnych liczb naturalnych długości k + 1. Za pracą [48] następujący warunek równoważny słabemu mieszaniu dla układów tranzytywnych: Lemat 1.18. Niech (X, f) będzie układem tranzytywnym i niech x X będzie punktem tranzytywnym w X. Układ (X, f) jest słabo mieszający wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego otoczenia U punktu x istnieje n > 0 takie, że n, n + 1 N(U, U). Dowód. Załóżmy, że X jest słabo mieszający. Ustalmy pewne otoczenie U punktu tranzytywnego x. Dla lematu 1.14 przyjmijmy U 1 = U 2 = V 1 = U oraz f 1 (U) = V 2. Wtedy istnieje n > 0 takie, że: f n (U) U i f n+1 (U) U, co oznacza, że n, n + 1 N(U, U) Dla dowodu w drugą stronę skorzystamy z lematu 1.16. Wystarczy wykazać, że zbiór N(U, U) jest gruby dla dowolnego niepustego, otwartego zbioru U X. Wynika to bezpośrednio z faktu 1.17. Wielkością, która szczególnie będzie nas interesować w dalszych rozważaniach jest entropia topologiczna, której definicję wprowadzamy poniżej za [40]. Uwaga: Przyjmujemy, że w dalszym ciągu niniejszej rozprawy pisząc log mamy na myśli logarytm o podstawie 2. Definicja 1.19. Niech (X, f) będzie układem dynamicznym i niech ε > 0. Zbiór W X nazywamy zbiorem (n, ε, f)-rozpinającym, jeśli dla dowolnego x X istnieje y W takie, że: d(f i (x), f i (y)) ε dla 0 i < n. Z ciągłości odwzorowania f oraz zwartości X wynika, że dla dowolnego n N oraz ε > 0 możemy znaleźć zbiór (n, ε, f)-rozpinający. Przez Span(n, ε, f) oznaczmy moc najmniejszego zbioru (n, ε, f)-rozpinającego. 12

Definicja 1.20. Entropię topologiczną h(x) układu dynamicznego (X, f) definiujemy jako: 1 h(x) = lim lim sup log Span(n, ε, f). ε 0 n n Entropia topologiczna h(x) może być nieujemną liczbą rzeczywistą, lub przyjmować wartość +. Zauważmy, że jeśli ε 1 < ε 2, to Span(n, ε 1, f) Span(n, ε 2, f). 1 Zatem ciąg lim sup n log Span(n, ε, f) jest niemalejący przy ε zmierzającym do n zera i stąd wynika, że h(x) jest dobrze określone. Więcej informacji na temat entropii topologicznej można znaleźć w [58]. W definicji 1.8 wprowadziliśmy pojęcie faktora. Mając dane dwa układy (X, f) oraz (Y, g) oraz odwzorowanie faktoryzujące π : X Y pojawia się naturalne pytanie o istnienie związków pomiędzy wartościami entropii topologicznej tych układów. Podsumowuje je następujący lemat, zacytowany za [6]: Lemat 1.21. Niech (X, f), (Y, g) będą układami dynamicznymi i niech π : X Y będzie odwzorowaniem ciągłym, spełniającym warunek f π = π g. Wtedy: 1. Jeśli π jest iniekcją, to h(x) h(y ). 2. Jeśli π jest surjekcją, to h(x) h(y ). 3. Jeśli π jest bijekcją (czyli układy są topologiczne sprzężone), to h(x) = h(y ). Definicja 1.22. Układ (X, f) nazywamy jednostajnie sztywnym, jeśli dla dowolnego ε > 0 istnieje n N takie, że: d(x, f n (x)) < ε dla każdego x X. Definicja 1.22 oznacza więc, że iteracje dowolnego punktu powracają po pewnym czasie w dowolnie małe otoczenie tego punktu. Definicja 1.23. Niech (X, f) będzie układem dynamicznym. Mówimy, że f ma własność specyfikacji jeśli f jest surjekcją oraz dla każdego ε > 0 istnieje N > 0 takie, że dla s 2, dowolnego podzbioru {y 1,..., y s } X oraz dowolnego ciągu liczb naturalnych: 0 = j 1 k 1 < j 2 k 2 < < j s k s spełniającego warunek j l+1 k l N dla l = 1,..., s 1 istnieje punkt x X taki, że dla dowolnego 1 m s oraz j m i k m zachodzi: d(f i (x), f i (y m )) < ε (1) Jeśli zachodzi warunek (1), to mówimy, że punkt x ε-śledzi punkty {y 1,..., y s } dla i = j m,..., k m, 1 m s lub, krócej, x śledzi y i dla i = j m,..., k m. Fakt 1.24. Załóżmy, że f ma własność specyfikacji. W definicji 1.23 możemy przyjąć s =, co oznacza, że orbita punktu x z powyższej definicji śledzi nieskończony ciąg punktów {y i } i N X w myśl warunku 1, przyjmując, że j m+1 k m N dla m N. 13

Następujące własności układów z własnością specyfikacji cytujemy za [50]: Fakt 1.25. Niech (X, f) będzie układem dynamicznym z własnością specyfikacji. Wtedy: 1. Dowolny faktor X ma własność specyfikacji. 2. Zbiór punktów okresowych P er(x, f) jest gęsty w X. 3. Układ (X, f) jest słabo mieszający. 4. Układ (X, f) jest układem o dodatniej entropii topologicznej. Parę (x, y) X X nazywamy proksymalną, jeśli: lim inf n d(f n (x), f n (y)) = 0. Jeśli dla dowolnych x, y X para (x, y) jest proksymalna, to układ (X, f) nazywamy układem proksymalnym. Za pracami [4] oraz [26] przytaczamy następującą charakteryzację układów proksymalnych: Twierdzenie 1.26. Niech (X, f) będzie układem dynamicznym. Wtedy następujące warunki są równoważne: 1. Układ (X, f) jest proksymalny. 2. Dla dowolnego x X para (x, f(x)) jest parą proksymalną oraz X zawiera dokładnie jeden punkt stały. 3. X zawiera punkt stały, który jest jedynym punktem minimalnym w X. Jeśli dla x, y X zachodzi warunek: lim d(f n (x), f n (y)) = 0, n to parę (x, y) nazywamy asymptotyczną, natomiast jeśli para (x, y) jest proksymalna, ale nie jest asymptotyczna, nazywamy ją parą Li-Yorke a. Jeśli każda para różnych punktów x, y X, x y jest parą Li-Yorke a, to układ (X, f) nazywamy totalnie splątanym. Wprowadzone poniżej pojęcia par DC1 i DC2 są pewnym wzmocnieniem omówionych powyżej typów par chaotycznych. Dla układu dynamicznego (X, f), dowolnego n N, dowolnych punktów x, y X oraz t > 0 definiujemy: Φ (n) xy (t) = 1 n #{i : d(f i (x), f i (y)) < t, 0 i < n}, Φ xy (t) = lim inf n Φ xy(t) = lim sup n Φ(n) xy (t), Φ (n) xy (t). Wielkości Φ xy, Φ xy nazywamy odpowiednio dolną i górną gęstością pary (x, y). 14

Definicja 1.27. Niech (X, f) będzie układem dynamicznym i niech x, y X. (DC1) Parę (x, y) nazywamy parą DC1, jeśli: Φ xy(t) = 1 dla wszystkich t > 0 oraz Φ xy (s) = 0 dla pewnego s > 0. (DC2) Parę (x, y) nazywamy parą DC2, jeśli: Φ xy(t) = 1 dla wszystkich t > 0 oraz Φ xy (s) < 1 dla pewnego s > 0. Mówiąc ogólnie definicja 1.27 oznacza, że orbity punktów tworzących parę DC1 są stosunkowo blisko siebie przez długie okresy czasu, ale znajdziemy też takie momenty, kiedy orbity są od siebie znacząco oddalone i ta sytuacja również utrzymuje się przez relatywnie długie odcinki czasu. Natomiast orbity punktów tworzących parę DC2 są położone stosunkowe blisko siebie, ale istnieją takie momenty, dla których górna gęstość jest mniejsza niż 1. Każda para punktów spełniających warunek (DC1) spełnia także warunek (DC2). Niepusty, zwarty podzbiór M X nazywamy zbiorem doskonałym, jeśli nie zawiera on punktów izolowanych. Zbiorem Cantora nazywamy dowolny zbiór doskonały i całkowicie niespójny (czyli taki, w którym każda składowa spójna zawiera co najwyżej jeden punkt). Jeśli zbiór M X może być przedstawiony jako co najwyżej przeliczalna suma zbiorów Cantora, to M nazywamy zbiorem Mycielskiego. Zbiór M zawierający przeliczalne przecięcie otwartych i gęstych podzbiorów X nazywamy zbiorem rezydualnym w X. Definicja 1.28. Niech (X, f) będzie układem dynamicznym i niech S X. 1. Zbiór S nazywamy dystrybucyjnie splątanym (krócej: splątanym), jeśli każda para (x, y) S S \ jest parą DC1. 2. Zbiór S nazywamy dystrybucyjnie ε-splątanym (krócej: ε-splątanym) dla pewnego ε > 0, jeśli S jest splątany i Φ xy (ε) = 0 dla dowolnych x, y S, x y. 3. Jeśli w układzie dynamicznym (X, f) istnieje nieprzeliczalny zbiór splątany S, to układ ten nazywamy dystrybucyjnie chaotycznym. Jeśli dodatkowo zbiór S jest ε-splątany, to mówimy, że układ (X, f) jest jednostajnie dystrybucyjnie chaotyczny. Poniższy fakt przytaczamy za [14]: Fakt 1.29. Dla dowolnego ε > 0 zbiór ε-splątany może być albo domknięty albo niezmienniczy, ale nie może posiadać obu tych własności jednocześnie. Warunkiem przeciwstawnym do chaotyczności układu jest równociągłość. Definicja 1.30. Układ dynamiczny (X, f) nazywamy równociągłym, jeśli dla dowolnego ε > 0 istnieje δ > 0 takie, że dla dowolnych x, y X spełniających warunek d(x, y) < δ zachodzi d(f n (x), f n (y)) < ε dla n N 0. 15

Definicja 1.31. Punkt x X nazywamy punktem równociągłości układu dynamicznego (X, f), jeśli dla dowolnego ε > 0 istnieje δ > 0 takie, że jeśli y X spełnia warunek d(x, y) < δ, to d(f n (x), f n (y)) < ε dla n N 0. Ze zwartości X wynika, że jeśli każdy element x X jest punktem równociągłości, to układ (X, f) jest równociągły. Definicja 1.32. Układ (X, f) nazywamy prawie równociągłym, jeśli X zawiera co najmniej jeden punkt równociągłości. Definicja 1.33. Układ (X, f) nazywamy wrażliwym na warunki początkowe, jeśli istnieje ε > 0 takie, że dla dowolnego niepustego zbioru otwartego U X istnieją x, y U takie, że d(f n (x), f n (y)) > ε dla pewnego n N. Wrażliwość na warunki początkowe oznacza, że w otoczeniu dowolnego punktu znajdują się orbity punktów zachowujących się w sposób istotnie różny od danego. W związku z tym dowolnie małe zaburzenie wprowadzone w działanie układu przy wyznaczaniu punktu początkowego może skutkować znaczącymi zmianami zachowania układu. Za pracą [2] przytaczamy twierdzenie charakteryzujące tranzytywne układy równociągłe: Twierdzenie 1.34. Niech (X, f) będzie tranzytywnym układem dynamicznym. Wtedy: 1. Jeśli (X, f) jest prawie równociągły, to zbiór jego punktów równociągłości jest równy zbiorowi T rans(x, f). W szczególności każdy minimalny układ prawie równociągły jest równociągły. 2. Jeśli (X, f) nie zawiera punktów równociągłości, to jest wrażliwy na warunki początkowe. W szczególności każdy minimalny układ dynamiczny może być albo równociągły, albo wrażliwy na warunki początkowe, ale nie może posiadać obydwu tych własności równocześnie. Kolejne twierdzenie pokazuje, że układ słabo mieszający nie może być równociągły: Twierdzenie 1.35. Niech (X, f) będzie układem słabo mieszającym, #X 2. Wtedy układ (X, f) jest wrażliwy na warunki początkowe. Dowód. Ustalmy p, q X, p q i oznaczmy δ = d(p, q). Niech U, V będą otoczeniami odpowiednio p i q takimi, że U V =. Bez straty ogólności możemy przyjąć, że: U = {x X : d(p, x) < δ 3 } oraz V = {x X : d(q, x) < δ 3 }. Przyjmijmy ε = δ i ustalmy dowolny zbiór otwarty W X. Z własności słabego 3 mieszania wynika, że istnieją x, y W oraz k N takie, że f k (x) U oraz f k (y) V, ale w takim razie: d(f k (x), f k (y)) > ε, co oznacza, że układ jest wrażliwy na warunki początkowe. 16

Za [58] wprowadzimy podstawowe pojęcia dotyczące teorii ergodycznej, zajmującej się badaniem długoterminowego zachowania układów dynamicznych pod kątem probabilistycznym. Definicja 1.36. Niech (X, B, µ 1 ) i (Y, C, µ 2 ) będą przestrzeniami probabilistycznymi i niech T : X Y. 1. Odwzorowanie T nazywamy mierzalnym, jeśli T 1 (A) B dla dowolnego A C. 2. Odwzorowanie T nazywamy zachowującym miarę, jeśli jest mierzalne oraz dla dowolnego C C zachodzi: µ 1 (T 1 (C)) = µ 2 (C). 3. jeśli T : X X jest odwzorowaniem zachowującym miarę oraz µ 1 = µ 2, to miarę µ 1 nazywamy T -niezmienniczą. Zauważmy, że własność zachowywania miary zależy od definicji rodziny B oraz miary µ 1 w (X, B, µ 1 ). Jeśli spełniony jest punkt 2. z definicji 1.36, to czwórkę (X, B, µ 1, T ) nazywamy układem zachowującym miarę. Definicja 1.37. Niech (X, B, µ) będzie przestrzenią probabilistyczną i niech T będzie odwzorowaniem zachowującym miarę. Odwzorowanie T nazywamy ergodycznym, jeśli dla dowolnego zbioru mierzalnego A B spełniającego warunek T 1 (A) = A zachodzi µ(a) {0, 1}. Przy założeniach definicji 1.36 przyjmujemy oznaczenie L 1 µ 1 funkcji mierzalnych f : X C, które spełniają warunek: f dµ 1 <. na zbiór wszystkich Warto zaznaczyć, że tak zdefiniowana przestrzeń L 1 µ 1 jest przestrzenią Banacha. Następujące twierdzenie udowodnione przez G.D.Birkhoffa jest jednym z podstawowych wyników w teorii ergodycznej: Twierdzenie 1.38. Niech (X, B, µ) będzie przestrzenią probabilistyczną, f L 1 µ i niech T : X X będzie odwzorowaniem zachowującym miarę. Wtedy istnieje T -niezmiennicza funkcja f L 1 µ taka, że: n 1 1 lim f(t i (x)) = f (x) n n i=0 prawie wszędzie. Ponadto f T = f oraz jeśli µ(x) < to f dµ = fdµ. Jeśli T jest ergodyczne, to f jest stała prawie wszędzie oraz jeśli µ(x) < to f = fdµ. Bardziej szczegółowe własności miar niezmienniczych można znaleźć w [58]. 17

2 Podstawowe pojęcia dynamiki symbolicznej Teoria układów dynamicznych bada zjawiska fizyczne, czy biologiczne tworząc ich matematyczne modele. Często jednak zjawiska te są na tyle złożone, że już na etapie tworzenia odpowiadającego im modelu matematycznego potrzebne jest pewne ich uproszczenie. Jednym z możliwych uproszczeń w ogólnej teorii jest dyskretyzacja czasu w badanym układzie, czym zajmuje się teoria dyskretnych układów dynamicznych. Oznacza to, że badając zachowanie danego obiektu w ustalonej przestrzeni obserwujemy stany, w jakich znajduje się ten obiekt w pewnych konkretnych odstępach (jednostkach) czasu nie zajmując się tym co dzieje się z obiektem pomiędzy pomiarami. Dynamika symboliczna idzie o krok dalej, dyskretyzując także obserwowaną przestrzeń, czyli dzieląc ją na pewną, skończoną lub nieskończoną, liczbę rozłącznych obszarów. Obserwacja takiego układu prowadzona jest w dyskretnych jednostkach czasu i polega na odnotowaniu etykiet tych obszarów, w których znajduje się obserwowany obiekt w danych jednostkach czasu. Kolejność symboli w takim nieskończonym ciągu etykiet opisującym trajektorię tego obiektu jest zgodna z kolejnością odwiedzania przez badany obiekt obszarów o poszczególnych etykietach. Niech A oznacza dowolny zbiór skończony. Zgodnie z konwencją przyjmujemy, że A jest zbiorem postaci {0, 1,..., k 1} dla pewnego k N. Taki zbiór A nazywamy alfabetem o mocy k, a jego elementy nazywamy literami lub symbolami. Przez A oznaczamy wolny monoid generowany przez alfabet A. Elementami tego monoidu są skończone ciągi liter z alfabetu A, które nazywamy słowami. Długością słowa x A nazywamy liczbę liter występujących w tym słowie (wraz z powtórzeniami) i oznaczamy przez x. Zauważmy, że każdą literę z alfabetu A możemy traktować jako słowo długości 1, z czego wprost wynika, że alfabet A zawiera się w monoidzie A. Monoid A rozważamy wraz z operacją konkatenacji, zdefiniowaną dla dowolnych elementów a = a 0... a m, b = b 0... b n A następująco: ab = a 0... a m b 0... b n. Elementem neutralnym konkatenacji jest słowo puste, oznaczane przez ɛ. Przyjmujemy, że ɛ = 0. Rozważmy zbiór nieskończonych ciągów nad alfabetem A: A N 0 = {x = {x n } n N0 : x n A dla każdego n N 0 }. Elementy powyższego zbioru zapisywane jako x = x 0 x 1 x 2... nazywamy nieskończonymi słowami lub ciągami. Każdy skończony podciąg kolejnych symboli elementu x A N 0 nazywamy podsłowem, słowem lub blokiem. Uwaga: W niektórych przypadkach będziemy stosować notację skróconą, przyjmujemy więc, że dla dowolnego słowa u A symbol u k oznacza konkatenację k bloków u, natomiast u oznacza słowo nieskończone złożone z bloków u. Podsłowo postaci x k x k+1... x j dla k j oznaczamy przez x [k,j], przy czym przyjmujemy, że x [k,k] = x k. Dla skończonego słowa x = x 0... x n oraz ustalonego k n podsłowo postaci x [0,k] nazywamy prefiksem słowa x, natomiast podsłowo postaci x [k,n] nazywamy sufiksem słowa x. Analogicznie definiujemy prefiks słowa nieskończonego x = x 0 x 1 x 2... jako podsłowo postaci x [0,k] dla k N 0. 18

W zbiorze A N 0 możemy wprowadzić następującą metrykę: d(x, y) := { 2 min{n N: x n y n} dla x y, 0 w przeciwnym przypadku. W myśl metryki d dwa ciągi są położone tym bliżej siebie, im dłuższy jest ich wspólny prefiks. Zbiór A N 0 jest zwartą przestrzenią metryczną, w której możemy zadać topologię pochodzącą od metryki d. Zbiory otwarte tworzące bazę tej topologii to tak zwane zbiory cylindryczne, które definiujemy następująco dla dowolnego skończonego słowa w = w 0... w k A : [w] = {x A N 0 : x [0,k] = w}. Definicja 2.1. Niech σ : A N 0 A N 0 będzie odwzorowaniem zdefiniowanym następująco: (σ(x)) n = x n+1 dla każdego n N 0. Odwzorowanie σ nazywamy odwzorowaniem przesunięcia lub, krócej, przesunięciem. Łatwo zauważyć, że jest to odwzorowanie ciągłe. Uwaga: W literaturze funkcjonuje także zapożyczona z języka angielskiego nazwa shift, odnosząca się zarówno do zdefiniowanego powyżej odwzorowania σ, jak i do symbolicznego układu dynamicznego, w którym σ jest odwzorowaniem. Żeby uniknąć niejednoznaczności w niniejszej pracy stosować będziemy wprowadzoną w definicji 2.1 nazwę przesunięcie na odwzorowanie σ oraz przestrzeń z przesunięciem na zdefiniowany poniżej symboliczny układ dynamiczny. Definicja 2.2. Niech X A N 0. Parę (X, σ X ) nazywamy przestrzenią z przesunięciem, jeśli spełnia następujące warunki: 1. X jest domknięty, 2. X jest σ-niezmienniczy, tzn. σ(x) X. W szczególności powyższą definicję 2.2 spełnia cały zbiór A N 0. Układ dynamiczny (A N 0, σ) nazywamy pełną przestrzenią z przesunięciem nad alfabetem mocy k. Podprzestrzenią przestrzeni z przesunięciem (X, σ X ) nazywamy parę (Y, σ Y ) taką, że Y X, która spełnia definicję 2.2. Widać, że dowolna przestrzeń z przesunięciem jest jednocześnie podprzestrzenią pełnej przestrzeni z przesunięciem (A N 0, σ). Uwaga: W definicji 2.2 restrykcja przesunięcia σ X jest jednoznacznie związana ze zbiorem X. W związku z tym w dalszej części rozprawy będziemy stosować oznaczenie σ zamiast σ X, odnosząc ten symbol każdorazowo do odpowiedniego zawężenia przesunięcia σ z definicji 2.1. Uwaga: Definicje własności dynamicznych wprowadzonych w rozdziale 1 odnoszą się także do przestrzeni z przesunięciem. Wart zaznaczenia jest fakt, że w przypadku tych przestrzeni odwzorowanie z definicji 1.1 układu dynamicznego jest zawsze tym samym przesunięciem σ, zawężonym jedynie do aktualnie rozważanego podzbioru X A N 0. Własności dynamiczne przestrzeni z przesunięciem zależą więc 19

w większej mierze od tego jakie elementy zawiera rozważany podzbiór X A N 0, niż od samego odwzorowania. W związku z tym określenia przestrzeń z przesunięciem będziemy używać w odniesieniu do danego zbioru X nieskończonych ciągów spełniającego warunki definicji 2.2, mając na myśli parę (X, σ). Podobnie będziemy pomijać odwzorowanie σ w notacji T rans(x), Rec(X), P er(x) oznaczającej odpowiednio zbiór punktów tranzytywnych, rekurencyjnych i okresowych przestrzeni z przesunięciem X. Własności takie jak tranzytywność, słabe mieszanie, własność specyfikacji, jednostajna sztywność, entropia będziemy odnosić bezpośrednio do zbioru X z definicji 2.2. Uwaga: W sytuacjach, gdy z kontekstu jasno wynika, że X jest przestrzenią z przesunięciem będziemy stosować określenie przestrzeń X. Definicja 2.3. Ciąg u A N 0 nazywamy minimalnym jeśli dla każdego n N istnieje K N takie, że dla każdego j N 0 zachodzi: {i N 0 : x [i,i+n] = x [0,n] } [j, j + K]}. Oznacza to, że ciąg u A N 0 jest minimalny jeśli dowolne skończone podsłowo występuje w ciągu u nieskończenie wiele razy, a długości przerw pomiędzy dwoma kolejnymi wystąpieniami tego podsłowa są ograniczone z góry. Dla dowolnego u A N 0 możemy zdefiniować przestrzeń z przesunięciem generowaną przez ten element jako X u = O(u), gdzie O(u) oznacza orbitę punktu u w myśl definicji 1.2. Tego typu konstrukcja zapewnia, że dla pary (O(u), σ) są spełnione warunki z definicji 2.2, w szczególności zbiór O(u) jest domknięty i σ-niezmienniczy. Ciąg u nazywamy wtedy ciągiem generującym lub generatorem przestrzeni X, natomiast o przestrzeni X mówimy, że jest generowana przez ciąg u. Dość oczywistym wydaje się fakt, że własności ciągu generującego przestrzeń z przesunięciem zdefiniowanej w powyższy sposób nie pozostają bez wpływu na własności całego układu. W szczególności zachodzi związek pomiędzy minimalnością ciągu, a minimalnością generowanej przez niego przestrzeni. Nie każda bowiem przestrzeń z przesunięciem zdefiniowana jako domknięcie orbity pewnego nieskończonego ciągu jest minimalna, co pokazuje następujący przykład: Przykład 2.4. Niech A = {0, 1}, u = 1 3 0 i niech X = O(u). Wtedy X = {1 3 0, 1 2 0, 10, 0 } zawiera minimalną podprzestrzeń Y = {0 }. Zachodzi natomiast następujący fakt, którego dowód można znaleźć w [34]: Fakt 2.5. Przestrzeń z przesunięciem X u = O(u) jest minimalna wtedy i tylko wtedy, gdy u jest ciągiem minimalnym. Definicja 2.6. Dla dowolnej przestrzeni z przesunięciem X językiem słów dopuszczalnych przestrzeni X (lub krócej: językiem przestrzeni) nazywamy zbiór: L(X) = L n (X), n=0 gdzie L n (X) oznacza zbiór wszystkich słów długości n N występujących jako podsłowa w elementach przestrzeni X, to znaczy: L n (X) = {w A : w = n oraz istnieją x X, i, j N 0 takie, że i j, w = x [i,j] }. 20

Elementy L(X) nazywamy słowami dopuszczalnymi przestrzeni X. Z własnościami słów należących do języka L(X) związane jest następujące pojęcie nieredukowalności: Definicja 2.7. Mówimy, że przestrzeń z przesunięciem X jest nieredukowalna, jeśli dla dowolnych słów u, v L(X) istnieje słowo w L(X) takie, że uwv L(X). Definicja 2.7 oznacza, że dowolne dwa słowa dopuszczalne dla danej przestrzeni można skleić przy pomocy konkatenacji kolejnym słowem należącym do języka tej przestrzeni, otrzymując także słowo dopuszczalne. Przejdziemy do własności dynamicznych symbolicznych układów dynamicznych, prezentując odpowiedniki definicji wprowadzonych w rozdziale 1 dla przestrzeni z przesunięciem. Na początek podamy warunek równoważny tranzytywności dla tych przestrzeni. Fakt 2.8. Przestrzeń z przesunięciem X jest tranzytywna wtedy i tylko wtedy, gdy jest nieredukowalna. Dowód. Założmy, że przestrzeń X jest tranzytywna i ustalmy dowolne dopuszczalne słowa u, v L(X). Niech [u], [v] oznaczają zbiory cylindryczne odpowiadające tym słowom. Z tranzytywności wynika, że istnieje n N takie, że σ n ([u]) [v], bądź, równoważnie, [u] σ n ([v]). Niech więc z będzie elementem tego przecięcia. Wtedy blok: z [0,n+ v 1] = uz [ u,n 1] v jest dopuszczalny, czyli dla w = z [ u,n 1] spełniona jest definicja nieredukowalności. Niech teraz X będzie nieredukowalną przestrzenią z przesunięciem. Ustalmy dwa dowolne słowa dopuszczalne u, v L(X) i rozważmy ich zbiory cylindryczne [u], [v]. Pokażemy najpierw, że istnieje n N takie, że σ n ([u]) [v]. Z nieredukowalności X wynika, że istnieje słowo w L(X) takie, że uwv jest dopuszczalne w X. Jeśli przyjmiemy n = uw, to [u] σ n ([v]). Weźmy teraz dwa dowolne, otwarte, niepuste zbiory U, V X. Istnieją wtedy słowa u U oraz v V takie, że: dla pewnych k, l N. {x X : x [k,k+ u 1] = u} U, {x X : x [l,l+ v 1] = v} V Za pracą [27] przytaczamy następujący lemat: Lemat 2.9. Niech X będzie tranzytywną przestrzenią z przesunięciem i niech x X będzie punktem tranzytywnym. Przestrzeń X jest jednostajnie sztywna wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje rosnący ciąg liczb naturalnych {n k } k N taki, że dla dowolnego ε > 0 istnieje N > 0 takie, że: x nk +j x j < ε dla k > N, j > 0. 21

Zauważmy, że powyższy lemat oznacza, że dla ciągu {n k } k N kolejne iteracje punktu x zmierzają do identyczności. To mogłoby sugerować, że jednostajnie sztywne przestrzenie z przesunięciem będą raczej układami uporządkowanymi, czyli o dość prostej strukturze, i nie spotkamy się w nich ze skomplikowaną dynamiką. Istnieją jednak przykłady układów jednostajnie sztywnych i jednocześnie słabo mieszających. Konstrukcję takiej przestrzeni zaprezentujemy w rozdziale 5. Jednym z podstawowych pojęć tej pracy jest pojęcie entropii topologicznej. Entropia topologiczna w przypadku przestrzeni z przesunięciem generowanych przez pewien nieskończony ciąg może być interpretowana w następujący sposób: każda z liter alfabetu A, nad którym zbudowany jest ciąg generujący, występuje w nim z pewnym prawdopodobieństwem. Jeśli przypiszemy każdemu z możliwych słów ze zbioru L n (X) liczbę wystąpień tego słowa w ciągu generującym, to entropia topologiczna określa jak bardzo rozkład prawdopodobieństwa pojawienia się danego słowa długości n odbiega od rozkładu jednostajnego, w którym każde słowo ustalonej długości n ma takie samo prawdopodobieństwo wystąpienia w ciągu (dla rozważanego w tej pracy alfabetu dwuelementowego prawdopodobieństwo to wynosi 2 n ). Poniższą definicję entropii topologicznej dla przestrzeni z przesunięciem wprowadzamy za [40]: Definicja 2.10. Entropię topologiczną przestrzeni z przesunięciem X definiujemy jako: 1 h(x) = lim n n log L n(x). Dowód faktu, że dla dowolnej przestrzeni z przesunięciem granica z definicji 2.10 istnieje można znaleźć w [40], podobnie jak dowód równoważności definicji 2.10 z definicją 1.20. Polega on na wykazaniu, że Span(σ, n, 2 k ) = L n+2k (X). Z definicji wynika, że wartość h(x) należy do przedziału [0, 1] dla dowolnej przestrzeni z przesunięciem X nad alfabetem dwuelementowym {0, 1}. Oznacza to w szczególności, że wartość entropii topologicznej dla takiej przestrzeni nigdy nie jest nieskończona. Na początku rozdziału zaznaczyliśmy, że domknięcie orbity pewnego nieskończonego ciągu ze zbioru A N 0 jest przestrzenią z przesunięciem. Istnieją także inne możliwości zdefiniowania domkniętego i σ-niezmienniczego podzbioru A N 0, jakim jest taka przestrzeń. W zależności od wybranej metody konstrukcji i narzuconych warunków dodatkowych możemy spodziewać się różnych własności otrzymanego układu. Poniżej zaprezentujemy trzy z pośród możliwych sposobów definicji przestrzeni z przesunięciem: poprzez zbiór słów zabronionych, przez podstawienie oraz przez grafy etykietowane. Wprowadzimy także pojęcie przestrzeni z przesunięciem rzędu N dla N N. Jest to uogólnienie definicji 2.2, w którym rolę alfabetu odgrywa nie zbiór symboli, lecz zbiór skończonych słów. Wśród skonstruowanych przestrzeni wyróżnimy też pewne specjalne klasy. W przypadku przestrzeni z przesunięciem definiowanych przez zbiór słów zabronionych będą to przestrzenie skończonego typu, w przypadku przestrzeni podstawieniowych - przestrzenie z przesunięciem generowane przez podstawienie niewymazujące. Przy definicji grafowej interesować nas będą przestrzenie typu sofic, a zwłaszcza ich jednoznaczna w prawo reprezentacja grafowa. Oznaczmy przez F dowolny podzbiór A. Dla takiego zbioru słów F możemy zdefiniować X F A N 0 jako zbiór wszystkich elementów A N 0, które nie zawierają 22