Detekcja rozkładów o ciężkich ogonach
|
|
- Zofia Urbaniak
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Detekcja rozkładów o ciężkich ogonach J. Śmiarowska, P. Jamer Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechnika Warszawska 24 kwietnia 2012 J. Śmiarowska, P. Jamer (Politechnika Warszawska) Detekcja rozkładów o ciężkich ogonach 24 kwietnia / 40
2 Spis treści 1 Rozkłady o ciężkich ogonach Informacje wstępne Rodzina podwykładnicza Rozkłady typu Pareto 2 Detekcja rozkładów o grubych ogonach Analiza problemu Wykresy kwantylowe Empiryczna średnia nadwyżka J. Śmiarowska, P. Jamer (Politechnika Warszawska) Detekcja rozkładów o ciężkich ogonach 24 kwietnia / 40
3 Spis treści 1 Rozkłady o ciężkich ogonach Informacje wstępne Rodzina podwykładnicza Rozkłady typu Pareto 2 Detekcja rozkładów o grubych ogonach Analiza problemu Wykresy kwantylowe Empiryczna średnia nadwyżka J. Śmiarowska, P. Jamer (Politechnika Warszawska) Detekcja rozkładów o ciężkich ogonach 24 kwietnia / 40
4 Definicja Rozkład o lekkim ogonie Niech X będzie nieujemna zmienna losowa o dystrybuancie F. Zmienna losowa X ma rozkład o lekkim ogonie przy x, jeśli ( A, b > 0) ( x 0 > 0) ( x x 0 ) F (x) Ae bx. Rozkład o ciężkim ogonie Nieujemna zmienna losowa X ma rozkład o ciężkim ogonie przy x, jeśli nie ma rozkładu o lekkim ogonie. J. Śmiarowska, P. Jamer (Politechnika Warszawska) Detekcja rozkładów o ciężkich ogonach 24 kwietnia / 40
5 Warunek równoważny Twierdzenie Zmienna losowa nieujemna X ma ciężki ogon wtedy i tylko wtedy, gdy ( t > 0) M X (t) =. Dowód: Pokażemy, że zmienna losowa ma lekki ogon wtedy i tylko wtedy, gdy ( t < t 0 ) M X (t) <. J. Śmiarowska, P. Jamer (Politechnika Warszawska) Detekcja rozkładów o ciężkich ogonach 24 kwietnia / 40
6 Warunek równoważny ( ) Z założenia mamy, że istnieja A, b, x 0 > 0 takie, że Zatem mamy ( ) M X (t) = E e tx = ( x x 0 ) F (x) Ae bx. 0 e tx df (x) = = [ e tx F (x) ] 0 + t F (x) e tx dx <, bo dla odpowiednio małych t : 0 0 e tx df (x) = [ lim x e tx F (x) ] [ lim x e tx Ae bx] [ = lim x Ae (t b)x ] = 0, 0 F (x) etx dx 0 Ae bx e tx dx = 0 Ae(t b)x dx <. J. Śmiarowska, P. Jamer (Politechnika Warszawska) Detekcja rozkładów o ciężkich ogonach 24 kwietnia / 40
7 Warunek równoważny ( ) Załóżmy nie wprost, że zachodzi ( t t 0 ) M X (t) <, ale zmienna losowa nie ma lekkiego ogona. Zatem ( A, b > 0) ( x 0 > 0) ( x x 0 ) F (x) > Ae bx. Wówczas M X (t) = [ e tx F (x) ] 0 + t F (x) e tx dx <, 0 ale dla t > b [ lim e tx F (x) ] [ lim e tx Ae bx] [ = lim Ae (t b)x] =. x x x Zatem M X (t) =, co prowadzi do sprzeczności. J. Śmiarowska, P. Jamer (Politechnika Warszawska) Detekcja rozkładów o ciężkich ogonach 24 kwietnia / 40
8 Twierdzenie Definicja Niech α F := lim sup x gdzie F (0 ) = 0, F - dystrybuanta. Twierdzenie ln F (x), x Załóżmy, że α F = 0, wówczas F ma ciężki ogon. J. Śmiarowska, P. Jamer (Politechnika Warszawska) Detekcja rozkładów o ciężkich ogonach 24 kwietnia / 40
9 Twierdzenie Dowód: Niech α F = 0. Wówczas Zatem po przeskalowaniu a stad ( ε > 0) ( x > 0 ) ( x x ) ln F (x) εx. ( x 0) F (x) ce εx, ( s ε) 0 e sx F (x) dx =. Z dowolności ε dostajemy, że F ma ciężki ogon. J. Śmiarowska, P. Jamer (Politechnika Warszawska) Detekcja rozkładów o ciężkich ogonach 24 kwietnia / 40
10 Przykłady Rozkład Lognormalny Rozkład Lognormalny Y e tx, X N (µ, σ 2) Policzmy k-ty moment Y : ( m k,y = E Y k) ( ) = E e ktx = M X (kt) = e µkt+ 1 2 σ2 k 2 t 2. Zatem k=0 m k,y k! t k =. Co jest równoważne temu, że nie istnieje M Y (t), t > 0. Zastosowanie: ubezpieczenia komunikacyjne. J. Śmiarowska, P. Jamer (Politechnika Warszawska) Detekcja rozkładów o ciężkich ogonach 24 kwietnia / 40
11 Przykłady Rozkład Weibulla Rozkład Weibulla X W (r, c), F (x) = e cx r, x > 0, c > 0. Bezpośrednio z definicji widać, że gdy r 1, to rozkład Weibulla ma lekki ogon, gdy r < 1, to rozkład Weibulla ma ciężki ogon. J. Śmiarowska, P. Jamer (Politechnika Warszawska) Detekcja rozkładów o ciężkich ogonach 24 kwietnia / 40
12 Przykłady Rozkład Pareto Rozkład Pareto X Par (α, c), ( c ) α F (x) =, x > c x Bezpośrednio z definicji widać, że rozkład ma ciężki ogon. Zastosowanie: ubezpieczenia przeciwpożarowe. J. Śmiarowska, P. Jamer (Politechnika Warszawska) Detekcja rozkładów o ciężkich ogonach 24 kwietnia / 40
13 Spis treści 1 Rozkłady o ciężkich ogonach Informacje wstępne Rodzina podwykładnicza Rozkłady typu Pareto 2 Detekcja rozkładów o grubych ogonach Analiza problemu Wykresy kwantylowe Empiryczna średnia nadwyżka J. Śmiarowska, P. Jamer (Politechnika Warszawska) Detekcja rozkładów o ciężkich ogonach 24 kwietnia / 40
14 Rodzina podwykładnicza Definicja Dystrybuanta F, F (0 ) = 0, jest podwykładnicza, jeśli Oznaczenie: F S. F 2 (x) lim = 2. x F (x) J. Śmiarowska, P. Jamer (Politechnika Warszawska) Detekcja rozkładów o ciężkich ogonach 24 kwietnia / 40
15 Twierdzenie Twierdzenie Jeśli F S, to F ma ciężki ogon. Lemat Niech F S. Wówczas dla każdego x > 0 : 1 lim x F (x x ) F (x) 2 lim x x 0 = 1, F (x y) df (y) = 1. F (x) J. Śmiarowska, P. Jamer (Politechnika Warszawska) Detekcja rozkładów o ciężkich ogonach 24 kwietnia / 40
16 Twierdzenie Dowód: Niech F S. Przyjmijmy m (x) := ln F (x). Wówczas z wcześniejszego twierdzenia wynika, iż wystarczy pokazać, że m (x) α F = lim sup = 0. x x Z lematu mamy, że dla każdego x > 0 : F (x x ) lim = 1. x F (x) Co dla każdego x > 0 daje nam ( ( lim ln F x x ) ln F (x) ) ( ( = lim m (x) m x x )) = 0. x x J. Śmiarowska, P. Jamer (Politechnika Warszawska) Detekcja rozkładów o ciężkich ogonach 24 kwietnia / 40
17 Twierdzenie Zatem Wynika stad, że ( ε > 0) ( x 0 > 0) ( x x 0 ) m (x) m (x 1) < ε. m (x) m (x 1) + ε m (x 2) + 2ε... m (x n) + nε, gdzie x 0 x n < x Możemy więc ogólniej napisać m (x) Ostatecznie z dowolności ε dostajemy sup m ( x ) + (x x 0 ) ε, x x 0. x 0 x x 0 +1 m (x) lim = 0. x x J. Śmiarowska, P. Jamer (Politechnika Warszawska) Detekcja rozkładów o ciężkich ogonach 24 kwietnia / 40
18 Spis treści 1 Rozkłady o ciężkich ogonach Informacje wstępne Rodzina podwykładnicza Rozkłady typu Pareto 2 Detekcja rozkładów o grubych ogonach Analiza problemu Wykresy kwantylowe Empiryczna średnia nadwyżka J. Śmiarowska, P. Jamer (Politechnika Warszawska) Detekcja rozkładów o ciężkich ogonach 24 kwietnia / 40
19 Rozkłady typu Pareto Definicja Powiemy, że funkcja L : [0, ) (0, ) jest wolno zmieniajac a się funkcja przy x wtedy i tylko wtedy, gdy Oznaczenie: L R 0. Definicja ( t > 0) lim x L (tx) L (x) = 1 Dystrybuanta F jest typu Pareto z wykładnikeim α > 0, jeśli F (x) x α L (x) przy x, gdzie L jest funkcja wolno zmieniajac a się. Oznaczenie: F R α F L (x) x α, x, gdzie L R 0. J. Śmiarowska, P. Jamer (Politechnika Warszawska) Detekcja rozkładów o ciężkich ogonach 24 kwietnia / 40
20 Twierdzenie Twierdzenie Jeśli F R α, to F S. Dowód: Niech X, X 1, X 2 iid F R α. Niech x > 0. Wówczas dla dowolnego ε (0, 1) zdarzenie implikuje zdarzenie {X 1 + X 2 > x} {X 1 > (1 ε) x} {X 2 > (1 ε) x} {X 1 > εx X 2 > εx}. Wynika stad, że P (X 1 + X 2 > x) 2P (X > (1 ε) x) + (P (X > εx)) 2 P (X 1 + X 2 > x) 2F ((1 ε) x) + ( F (εx) ) 2 J. Śmiarowska, P. Jamer (Politechnika Warszawska) Detekcja rozkładów o ciężkich ogonach 24 kwietnia / 40
21 Twierdzenie Zatem F 2 (x) P (X 1 + X 2 > x) lim sup = lim sup 2 x F (x) x F (x) Z drugiej strony dla dowolnej dystrybuanty F mamy F 2 (x) F (x) x = F (x y) df (y) 1 + F (x), F (x) co po przejściu do granicy daje nam F 2 (x) lim inf 2 x F (x) J. Śmiarowska, P. Jamer (Politechnika Warszawska) Detekcja rozkładów o ciężkich ogonach 24 kwietnia / 40
22 Spis treści 1 Rozkłady o ciężkich ogonach Informacje wstępne Rodzina podwykładnicza Rozkłady typu Pareto 2 Detekcja rozkładów o grubych ogonach Analiza problemu Wykresy kwantylowe Empiryczna średnia nadwyżka J. Śmiarowska, P. Jamer (Politechnika Warszawska) Detekcja rozkładów o ciężkich ogonach 24 kwietnia / 40
23 Oznaczenia {U i : 1 i n} portfel roszczeń. X n = U 1 + U U n całkowita suma roszczeń. U (1), U (2),..., U (n) roszczenia uporzadkowane tak, że min U i = U (1) U (2)... U (n) = max U i. 1 i n 1 i n J. Śmiarowska, P. Jamer (Politechnika Warszawska) Detekcja rozkładów o ciężkich ogonach 24 kwietnia / 40
24 Intuicje Wysokie roszczenie Roszczenie będziemy nazywać dużym, gdy łaczna suma roszczeń jest w znacznej mierze przez nie determinowana. Powyższe stwierdzenie znajduje wiele interpretacji. Przykładowo roszczenie możemy nazywać dużym, gdy jego wartość jest nietypowa, pojawia się rzadko. stosunek U (n) do X n jest duży. Czyli powiemy, że U (n) jest duże, gdy d = Z U (n)/x n ma większość masy prawdopodobieństwa w okolicy 1. stanowi ono duża część całkowitej sumy roszczeń X n. Czyli powiemy, że U (m) jest duże, gdy m min { k : U (k) > px n }, gdzie p to odpowiednio duża część całkowitej sumy roszczeń. J. Śmiarowska, P. Jamer (Politechnika Warszawska) Detekcja rozkładów o ciężkich ogonach 24 kwietnia / 40
25 Formalizm Podejście I Podejście I Całkowita suma roszczeń jest duża, ponieważ największe roszczenie jest duże. Czyli matematycznie P (X n > x) P ( U (n) > x ), x. Takie podejście prowadzi w naturalny sposób do podwykładniczej rodziny rozkładów S. Statystyczna weryfikacja hipotezy F = F U S jest jednak daleka od prostoty. J. Śmiarowska, P. Jamer (Politechnika Warszawska) Detekcja rozkładów o ciężkich ogonach 24 kwietnia / 40
26 Formalizm Podejście II Podejście II Opierajac się na jednym z wcześniejszych twierdzeń. Rozkłady o ciężkich ogonach możemy wykrywać w oparciu o warunek log (1 F (x)) α F = lim sup = 0. x x Statystycznie interesowałoby nas analizowanie warunku log (1 F n (U n k )) log n k lim sup = lim sup = 0, x U n k x U n k gdzie k /n 0. Jest on niestety nieweryfikowalny z uwagi na granicę we wzorze. J. Śmiarowska, P. Jamer (Politechnika Warszawska) Detekcja rozkładów o ciężkich ogonach 24 kwietnia / 40
27 Formalizm Podejście III Podejście III Możemy oprzeć nasze wnioskowanie na funkcji µ F (x) = E (U x U > x) = wiedzac, że zachodzi relacja lim µ F (x) = α F = 0. x x 1 F (y) 1 F (x) dy, Na potrzeby obliczeń powyższy wzór przekształcić można do postaci ( ) 1 n ( ) µ n U(n k) = U(j) U k (n k), k/n 0. j=n k+1 Nie jest jednak statystycznie oczywistym jak badać, czy powyższe wyrażenie zbiega do. J. Śmiarowska, P. Jamer (Politechnika Warszawska) Detekcja rozkładów o ciężkich ogonach 24 kwietnia / 40
28 Konkluzje Ściśle formalne, statystyczne postawienie problemu wykrywania rozkładów o ciężkich ogonach okazało się być zadaniem trudnym. Koniecznym jest poświęcenie formalizmu na rzecz prostoty. Skupimy się na porównywaniu ogonów rozkładów empirycznych z ogonami rozkładów wzorcowych. Dobrym rozkładem wzorcowym jest tutaj rozkład wykładniczy f (x) = λe λx I (0, ) (x), λ > 0. Powiemy, że rozkład F ma cięższy ogon niż rozkład wykładniczy, jeżeli 1 F (x) > ce ax, x 0, a, c > 0. Zachodzenie powyższej nierówności dla wszystkich a > 0 gwarantuje nam, że α F = 0. J. Śmiarowska, P. Jamer (Politechnika Warszawska) Detekcja rozkładów o ciężkich ogonach 24 kwietnia / 40
29 Spis treści 1 Rozkłady o ciężkich ogonach Informacje wstępne Rodzina podwykładnicza Rozkłady typu Pareto 2 Detekcja rozkładów o grubych ogonach Analiza problemu Wykresy kwantylowe Empiryczna średnia nadwyżka J. Śmiarowska, P. Jamer (Politechnika Warszawska) Detekcja rozkładów o ciężkich ogonach 24 kwietnia / 40
30 Idea Rozkład wykładniczy Rozważamy jako rozkład wzorcowy standardowy rozkład wykładniczy o dystrybuancie G Exp (1). Jesteśmy zainteresowani sprawdzeniem, czy dystrybuanta empiryczna wielkości roszczenia F ma ten sam rozkład co G z dokładnościa do parametru λ : F Exp (λ). Sprawdzenia powyższego dokonamy tworzac wykres kwantylowy funkcji kwantylwej Q G G oraz Q n F. J. Śmiarowska, P. Jamer (Politechnika Warszawska) Detekcja rozkładów o ciężkich ogonach 24 kwietnia / 40
31 Funkcja kwantylowa Definicja Niech F będzie dystrybuanta pewnego rozkładu prawdopodobieństwa. Wówczas mianem funkcji kwantylowej tego rozkładu określimy funkcję zdefiniowana następujaco Definicja Q F (y) = F 1 (y) = inf {x : F (x) y}. Niech F n będzie dystrybuanta empiryczna zbudowana na bazie próbki n elementowej. Niech U (1) U (2)... U (n) będzie wspomniana próbka po uporzadkowaniu. Empiryczna funkcja kwantylowa zbudowana na bazie powyższej próbki nazwiemy funkcję spełniajac a poniższy warunek Q n (y) = U (k) k 1 n < y k n. J. Śmiarowska, P. Jamer (Politechnika Warszawska) Detekcja rozkładów o ciężkich ogonach 24 kwietnia / 40
32 Wykres kwantylowy Rozkład wykładniczy Nanosimy na układ współrzędnych punkty ( ( ) ( )) k k Q G, Q n = n n ( 1λ log ( 1 k n ), U (k) ). Jeżeli nasze dane pochodza z rozkładu o ogonie zbliżonym do tego, jaki posiada rozkład wykładniczy, to na wykresie uzyskamy w przybliżeniu linię prosta. Parametr λ 1 wyraża nachylenie tej prostej. Jeżeli nasze dane pochodza z rozkładu o ogonie cięższym do tego, jaki posiada rozkład wykładniczy, wówczas funkcja rośnie szybciej niż linia prosta. Jeżeli nasze dane pochodza z rozkładu o ogonie lżejszym do tego, jaki posiada rozkład wykładniczy, wówczas funkcja rośnie wolniej niż linia prosta. J. Śmiarowska, P. Jamer (Politechnika Warszawska) Detekcja rozkładów o ciężkich ogonach 24 kwietnia / 40
33 Wykres kwantylowy Poprawka na ciagłość Zauważmy, że dla k = n zachodzi ( ) k Q G =. n Z tego względu, rysujac wykres kwantylowy, często zamiast punktów { } k n : 1 k n, nanosi się na niego punkty { } k n + 1 : 1 k n. J. Śmiarowska, P. Jamer (Politechnika Warszawska) Detekcja rozkładów o ciężkich ogonach 24 kwietnia / 40
34 Estymacja parametru rozkładu Jeżeli F ma w przybliżeniu rozkład wykładniczy o parametrze λ. Wówczas parametr ten możemy wyestymować z pomoca MNK: ( ) n ˆλ 1 k=1 U k (k)q G n+1 = ( )) 2. n k=1 (Q k G n+1 J. Śmiarowska, P. Jamer (Politechnika Warszawska) Detekcja rozkładów o ciężkich ogonach 24 kwietnia / 40
35 Siła zależności liniowej Możemy zbadać siłę zależności liniowej między Q G oraz Q n wykorzystujac empiryczny współczynnik korelacji: n ( k=1 u(k) u ) ( ( ) ) Q k G n+1 Q G r (u 1, u 2,..., u n ) = n ( ( ) ) 2 k=1 Q k G n+1 Q n ( G k=1 u(k) u ), 2 gdzie: u = 1 n n k=1 u k = 1 n n k=1 u (k), Q G = 1 ( ) n n k=1 Q k G n+1 = 1 n ) n k=1 (1 log k n+1. J. Śmiarowska, P. Jamer (Politechnika Warszawska) Detekcja rozkładów o ciężkich ogonach 24 kwietnia / 40
36 Dane ucięte Niech U Exp (λ). Wówczas ogonem dystrybuanty uciętego rozkładu wykładniczego nazwiemy funkcję F [0,a] (x) = P (U > x U > a) = Odpowiadajaca jej funkcja kwantylowa, to P (U > x) P (U > a) = e λ(x a), x > a. Q [0,a] (y) = a 1 log (1 y), 0 < y < 1. λ Estymatorem parametru a tak zdefiniowanego rozkładu jest punkt przecięcia wykresu kwantylowego z prosta y = 0. J. Śmiarowska, P. Jamer (Politechnika Warszawska) Detekcja rozkładów o ciężkich ogonach 24 kwietnia / 40
37 Inne rozkłady Przy tworzeniu wykresu kwantylowego, jako rozkład wzorcowy można rozważać oczywiście nie tylko rozkład wykładniczy. Rozkład normalny N ( µ, σ 2) ( ( ) ) : Φ 1 k n+1, U (k). Wyraz wolny prostej estymuje parametr µ. Współczynnik kierunkowy prostej estymuje parametr σ. ( ( ) ) Rozkład lognormalny: Φ 1 k n+1, log U (k). ( ( ) ) Rozkład Pareto Par (α, c) : log 1 k n+1, log U (k). Wyraz wolny prostej estymuje parametr log c. Współczynnik kierunkowy prostej estymuje parametr α 1. ( ( ( )) ) Rozkład Weibulla W (r, c) : log log 1 k n+1, log U (k). Wyraz wolny prostej estymuje parametr r 1 log c. Współczynnik kierunkowy prostej estymuje parametr r 1. J. Śmiarowska, P. Jamer (Politechnika Warszawska) Detekcja rozkładów o ciężkich ogonach 24 kwietnia / 40
38 Przykład 1 J. Śmiarowska, P. Jamer (Politechnika Warszawska) Detekcja rozkładów o ciężkich ogonach 24 kwietnia / 40
39 Przykład 2 J. Śmiarowska, P. Jamer (Politechnika Warszawska) Detekcja rozkładów o ciężkich ogonach 24 kwietnia / 40
40 Przykład 3 J. Śmiarowska, P. Jamer (Politechnika Warszawska) Detekcja rozkładów o ciężkich ogonach 24 kwietnia / 40
41 Spis treści 1 Rozkłady o ciężkich ogonach Informacje wstępne Rodzina podwykładnicza Rozkłady typu Pareto 2 Detekcja rozkładów o grubych ogonach Analiza problemu Wykresy kwantylowe Empiryczna średnia nadwyżka J. Śmiarowska, P. Jamer (Politechnika Warszawska) Detekcja rozkładów o ciężkich ogonach 24 kwietnia / 40
42 Wzór empiryczny Rozważać będziemy funkcję średniej nadwyżki µ F (x) = x 1 F (y) 1 F (x) dy. Wyprowadzimy dla niej wzór empiryczny przy k takim, że k /n 0. = n k n 1 i=n k = 1 k µ n ( U(n k) ) = U(i+1) U (i) n j=n k+1 U (n k) (1 F n (y)) = 1 k 1 F n (y) 1 F n ( U(n k) )dy = n 1 i=n k U (j) ku (n k) = 1 k (n i) ( U (i+1) U (i) ) = n j=n k+1 ( U(j) U (n k) ). J. Śmiarowska, P. Jamer (Politechnika Warszawska) Detekcja rozkładów o ciężkich ogonach 24 kwietnia / 40
43 Idea Zauważmy, że dla rozkładu wykładniczego z parametrem λ µ F (x) = λ 1 = const. Podobnie, jeśli µ F (x) = const, to F jest dystrybuanta rozkładu wykładniczego. ( ) Możemy więc stosujac empiryczna funkcję µ n U(n k) porównywać rozkłady wartości roszczeń z rozkładem wykładniczym. J. Śmiarowska, P. Jamer (Politechnika Warszawska) Detekcja rozkładów o ciężkich ogonach 24 kwietnia / 40
44 Interpretacja Jeśli dystrybuanta F ma cięższy ogon niż dystrybuanta rozkładu wykładniczego. Wówczas jej empiryczna średnia nadwyżka { µn ( U(n k) ) : 1 < k n } będzie znajdowała się powyżej analogicznej funkcji dla rozkładu wykładniczego (będzie rosła). Jeśli dystrybuanta F ma lżejszy ogon niż dystrybuanta rozkładu wykładniczego. Wówczas jej empiryczna średnia nadwyżka { µn ( U(n k) ) : 1 < k n } będzie znajdowała się poniżej analogicznej funkcji dla rozkładu wykładniczego (będzie malała). J. Śmiarowska, P. Jamer (Politechnika Warszawska) Detekcja rozkładów o ciężkich ogonach 24 kwietnia / 40
45 Wykresy J. Śmiarowska, P. Jamer (Politechnika Warszawska) Detekcja rozkładów o ciężkich ogonach 24 kwietnia / 40
46 Dziękujemy za uwagę! J. Śmiarowska, P. Jamer (Politechnika Warszawska) Detekcja rozkładów o ciężkich ogonach 24 kwietnia / 40
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 4 - zagadnienie estymacji, metody wyznaczania estymatorów
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 4 - zagadnienie estymacji, metody wyznaczania estymatorów Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 4 1 / 23 ZAGADNIENIE ESTYMACJI Zagadnienie
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 6. Witold Bednorz, Paweł Wolff. Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, Uniwersytet Warszawski. 1 Instytut Matematyki
WYKŁAD 6 Witold Bednorz, Paweł Wolff 1 Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, 2010-2011 Własności Wariancji Przypomnijmy, że VarX = E(X EX) 2 = EX 2 (EX) 2. Własności
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej
Bardziej szczegółowoJeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Wykład 4 Rozkłady i ich dystrybuanty Dwa typy zmiennych losowych Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Momenty Zmienna losowa jest wystarczająco dokładnie opisana przez jej rozkład prawdopodobieństwa. Względy praktyczne dyktują jednak potrzebę znalezienia charakterystyk
Bardziej szczegółowoWYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 11 i 12 - Weryfikacja hipotez statystycznych
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 11 i 12 - Weryfikacja hipotez statystycznych Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 11 i 12 1 / 41 TESTOWANIE HIPOTEZ - PORÓWNANIE
Bardziej szczegółowoWykład 3 Momenty zmiennych losowych.
Wykład 3 Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 19 października 2016r Momenty zmiennych losowych Wartość oczekiwana - przypomnienie Definicja 3.1: 1 Niech X będzie daną zmienną losową. Jeżeli X jest zmienną
Bardziej szczegółowoWykład 3 Momenty zmiennych losowych.
Wykład 3 Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 18 października 2017r Momenty zmiennych losowych Wartość oczekiwana - przypomnienie Definicja 3.1: 1 Niech X będzie daną zmienną losową. Jeżeli X jest zmienną
Bardziej szczegółowoPrzykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru
Bardziej szczegółowoZmienne losowe. dr Mariusz Grzadziel. rok akademicki 2016/2017 semestr letni. Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu
Zmienne losowe dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu rok akademicki 2016/2017 semestr letni Definicja 1 Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór
Bardziej szczegółowoMETODY ESTYMACJI PUNKTOWEJ. nieznanym parametrem (lub wektorem parametrów). Przez X będziemy też oznaczać zmienną losową o rozkładzie
METODY ESTYMACJI PUNKTOWEJ X 1,..., X n - próbka z rozkładu P θ, θ Θ, θ jest nieznanym parametrem (lub wektorem parametrów). Przez X będziemy też oznaczać zmienną losową o rozkładzie P θ. Definicja. Estymatorem
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Ilość szkód N ma rozkład o prawdopodobieństwach spełniających zależność rekurencyjną:
Zadanie. Ilość szkód N ma rozkład o prawdopodobieństwach spełniających zależność rekurencyjną: Pr Pr ( = k) ( N = k ) N = + k, k =,,,... Jeśli wiemy, że szkód wynosi: k= Pr( N = k) =, to prawdopodobieństwo,
Bardziej szczegółowoPEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA
PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Trójkę (Ω, F, P ), gdzie Ω, F jest σ-ciałem podzbiorów Ω, a P jest prawdopodobieństwem określonym na F, nazywamy przestrzenią probabilistyczną. 2. Rodzinę F
Bardziej szczegółowoStatystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory
Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl
Bardziej szczegółowo6. Zmienne losowe typu ciagłego ( ) Pole trapezu krzywoliniowego
6. Zmienne losowe typu ciagłego (2.04.2007) Pole trapezu krzywoliniowego Przypomnienie: figurę ograniczoną przez: wykres funkcji y = f(x), gdzie f jest funkcją ciągłą; proste x = a, x = b, a < b, oś OX
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu.
Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu. A Teoria Definicja A.1. Niech (Ω, F, P) będzie przestrzenią probabilistyczną. Zmienną losową określoną na przestrzeni Ω nazywamy dowolną
Bardziej szczegółowoEstymacja parametrów w modelu normalnym
Estymacja parametrów w modelu normalnym dr Mariusz Grządziel 6 kwietnia 2009 Model normalny Przez model normalny będziemy rozumieć rodzine rozkładów normalnych N(µ, σ), µ R, σ > 0. Z Centralnego Twierdzenia
Bardziej szczegółowoW4 Eksperyment niezawodnościowy
W4 Eksperyment niezawodnościowy Henryk Maciejewski Jacek Jarnicki Jarosław Sugier www.zsk.iiar.pwr.edu.pl Badania niezawodnościowe i analiza statystyczna wyników 1. Co to są badania niezawodnościowe i
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Liczba szkód N w ciągu roku z pewnego ryzyka ma rozkład geometryczny: k =
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 0.0.006 r. Zadanie. Liczba szkód N w ciągu roku z pewnego ryzyka ma rozkład geometryczny: k 5 Pr( N = k) =, k = 0,,,... 6 6 Wartości kolejnych szkód Y, Y,, są i.i.d.,
Bardziej szczegółowoZmienne losowe. dr Mariusz Grządziel Wykład 12; 20 maja 2014
Zmienne losowe dr Mariusz Grządziel Wykład 2; 20 maja 204 Definicja. Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która przyjmuje
Bardziej szczegółowoWSTĘP. Tematy: Regresja liniowa: model regresji liniowej, estymacja nieznanych parametrów. Wykład:30godz., ćwiczenia:15godz., laboratorium:30godz.
Tematy: WSTĘP 1. Wprowadzenie do przedmiotu. Próbkowe odpowiedniki wielkości populacyjnych. Modele statystyczne i przykładowe zadania wnioskowania statystycznego. Statystyki i ich rozkłady. 2. Estymacja
Bardziej szczegółowoPrawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne
, centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne
Bardziej szczegółowoCentralne twierdzenie graniczne
Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski Wykład 4 Ważne uzupełnienie Dwuwymiarowy rozkład normalny N (µ X, µ Y, σ X, σ Y, ρ): f XY (x, y) = 1 2πσ X σ Y 1 ρ 2 { [ (x ) 1
Bardziej szczegółowoWykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn
Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średniej Wrocław, 21 grudnia 2016r Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja 10.1 Przedziałem
Bardziej szczegółowoWykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe
Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną Definicja 1 Jednowymiarowa zmienna losowa (o wartościach rzeczywistych), określoną na przestrzeni probabilistycznej
Bardziej szczegółowoKomputerowa Analiza Danych Doświadczalnych
Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Prowadząca: dr inż. Hanna Zbroszczyk e-mail: gos@if.pw.edu.pl tel: +48 22 234 58 51 konsultacje: poniedziałek, 10-11, środa: 11-12 www: http://www.if.pw.edu.pl/~gos/students/kadd
Bardziej szczegółowoEstymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014
Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich Wrocław, 5 grudnia 2014 Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja Przedziałem ufności dla paramertu
Bardziej szczegółowoWykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady
Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady Magdalena Frąszczak Wrocław, 11.10.2017r Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe Doświadczenie
Bardziej szczegółowoRozkłady i ich dystrybuanty 16 marca F X (t) = P (X < t) 0, gdy t 0, F X (t) = 1, gdy t > c, 0, gdy t x 1, 1, gdy t > x 2,
Wykład 4. Rozkłady i ich dystrybuanty 6 marca 2007 Jak opisać cały rozkład jedną funkcją? Aby znać rozkład zmiennej X, musimy umieć obliczyć P (a < X < b) dla dowolnych a < b. W tym celu wystarczy znać
Bardziej szczegółowoStatystyka i eksploracja danych
Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych
Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta
Bardziej szczegółowoIdea. θ = θ 0, Hipoteza statystyczna Obszary krytyczne Błąd pierwszego i drugiego rodzaju p-wartość
Idea Niech θ oznacza parametr modelu statystycznego. Dotychczasowe rozważania dotyczyły metod estymacji tego parametru. Teraz zamiast szacować nieznaną wartość parametru będziemy weryfikowali hipotezę
Bardziej szczegółowoStatystyka w przykładach
w przykładach Tomasz Mostowski Zajęcia 10.04.2008 Plan Estymatory 1 Estymatory 2 Plan Estymatory 1 Estymatory 2 Własności estymatorów Zazwyczaj w badaniach potrzebujemy oszacować pewne parametry na podstawie
Bardziej szczegółowoElementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa
Spis treści Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa Romuald Kotowski Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009 Spis treści Spis treści 1 Wstęp Bardzo często interesujący
Bardziej szczegółowo6.4 Podstawowe metody statystyczne
156 Wstęp do statystyki matematycznej 6.4 Podstawowe metody statystyczne Spóbujemy teraz w dopuszczalnym uproszczeniu przedstawić istotę analizy statystycznej. W szczególności udzielimy odpowiedzi na postawione
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki. 1.1 Definicja zmiennej losowej
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Zbiór możliwych wyników eksperymentu będziemy nazywać przestrzenią zdarzeń elementarnych i oznaczać Ω, natomiast
Bardziej szczegółowoZestaw 2: Zmienne losowe. 0, x < 1, 2, 2 x, 1 1 x, 1 x, F 9 (x) =
Zestaw : Zmienne losowe. Które z poniższych funkcji są dystrybuantami? Odpowiedź uzasadnij. Wskazówka: naszkicuj wykres. 0, x 0,, x 0, F (x) = x, F (x) = x, 0 x
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji a styczna do wykresu funkcji. Autorzy: Tomasz Zabawa
Pochodna funkcji a do wykresu funkcji Autorzy: Tomasz Zabawa 2018 Pochodna funkcji a do wykresu funkcji Autor: Tomasz Zabawa Pojęcie stycznej do wykresu funkcji f w danym punkcie wykresu P( x 0, f( x 0
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład
Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji: zastosowania przyrodnicze wykłady 7 i 8
Pochodna funkcji: zastosowania przyrodnicze wykłady 7 i 8 dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu sem. zimowy, r. akad. 2016/2017 Funkcja logistyczna 40 Rozważmy
Bardziej szczegółowoZmienne losowe ciągłe i ich rozkłady
Statystyka i opracowanie danych W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Rozkład Poissona. Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i funkcja gęstości
Bardziej szczegółowoOśrodkowość procesów, proces Wienera. Ośrodkowość procesów, proces Wienera Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski,
Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136 27 luty, 2012 Ośrodkowość procesów Dalej zakładamy, że (Ω, Σ, P) jest zupełną przestrzenią miarową. Definicja.
Bardziej szczegółowo4. ZNACZENIE ROZKŁADU WYKŁADNICZEGO
Znaczenie rozkładu wykładniczego 4 51 4. ZNACZENIE ROZKŁADU WYKŁADNICZEGO 4.1. Rozkład wykładniczy Zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy, jeżeli funkcja gęstości prawdopodobieństwa f ( x) = λe λx x 0,
Bardziej szczegółowoZmienne losowe ciągłe i ich rozkłady
Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka - W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i unkcja gęstości rozkładu
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3.
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3. ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA. Zmienną losową X nazywamy funkcję (praktycznie każdą) przyporządkowującą zdarzeniom elementarnym liczby rzeczywiste. X : Ω R (dokładniej:
Bardziej szczegółowoWYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 13 i 14 - Statystyka bayesowska
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 13 i 14 - Statystyka bayesowska Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 13 i 14 1 / 15 MODEL BAYESOWSKI, przykład wstępny Statystyka
Bardziej szczegółowo4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03)
4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03) Definicja 1 Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która przyjmuje wszystkie
Bardziej szczegółowoSpis treści 3 SPIS TREŚCI
Spis treści 3 SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 1. WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE JAKO DYSCYPLINA MATEMATYCZNA... Metody statystyczne w analizie i prognozowaniu zjawisk ekonomicznych... Badania statystyczne podstawowe
Bardziej szczegółowoDyskretne zmienne losowe
Dyskretne zmienne losowe dr Mariusz Grządziel 16 marca 2009 Definicja 1. Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych.
Bioinformatyka Wykład 6 Wrocław, 7 listopada 2011 Temat. Weryfikacja hipotez statystycznych dotyczących proporcji. Test dla proporcji. Niech X 1,..., X n będzie próbą statystyczną z 0-1. Oznaczmy odpowiednio
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 3..007 r. Zadanie. Każde z ryzyk pochodzących z pewnej populacji charakteryzuje się tym że przy danej wartości λ parametru ryzyka Λ rozkład wartości szkód z tego ryzyka
Bardziej szczegółowoZmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014
Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014 Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład XIV: Metody Monte Carlo 19 stycznia 2016 Przybliżone obliczanie całki oznaczonej Rozważmy całkowalną funkcję f : [0, 1] R. Chcemy znaleźć przybliżoną wartość liczbową całki 1 f (x) dx. 0 Jeden ze
Bardziej szczegółowoWYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 9 i 10 - Weryfikacja hipotez statystycznych
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 9 i 10 - Weryfikacja hipotez statystycznych Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 9 i 10 1 / 30 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 6 Magdalena Alama-Bućko 8 kwietnia 019 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 8 kwietnia 019 1 / 1 Rozkłady ciagłe Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 8
Bardziej szczegółowoWYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 7 i 8 - Efektywność estymatorów, przedziały ufności
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 7 i 8 - Efektywność estymatorów, przedziały ufności Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 7 i 8 1 / 9 EFEKTYWNOŚĆ ESTYMATORÓW, próba
Bardziej szczegółowoAKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA Wydział Matematyki Stosowanej ROZKŁAD NORMALNY ROZKŁAD GAUSSA
AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA Wydział Matematyki Stosowanej KATEDRA MATEMATYKI TEMAT PRACY: ROZKŁAD NORMALNY ROZKŁAD GAUSSA AUTOR: BARBARA MARDOSZ Kraków, styczeń 2008 Spis treści 1 Wprowadzenie 2 2 Definicja
Bardziej szczegółowoGranica funkcji wykład 4
Granica funkcji wykład 4 dr Mariusz Grządziel 27 października 2008 Problem obliczanie prędkości chwilowej Droga s, jaką przemierzy kulka ołowiana upuszczona z wysokiej wieży po czasie t: s = gt2 2, gdzie
Bardziej szczegółowo1 Gaussowskie zmienne losowe
Gaussowskie zmienne losowe W tej serii rozwiążemy zadania dotyczące zmiennych o rozkładzie normalny. Wymagana jest wiedza na temat własności rozkładu normalnego, CTG oraz warunkowych wartości oczekiwanych..
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1 Funkcją tworzącą momenty (transformatą Laplace a) zmiennej losowej X nazywamy funkcję M X (t) := Ee tx, t R. 1. Oblicz funkcję tworzącą momenty zmiennych o
Bardziej szczegółowoTablice trwania życia
ROZDZIAŁ 3 Tablice trwania życia 1 Przyszły czas życia Osobę, która ukończyła x lat życia, będziemy nazywać x-latkiem i oznaczać symbolem x Jej przyszły czas życia, tzn od chwili x do chwili śmierci, będziemy
Bardziej szczegółowoWykład 3. Rozkład normalny
Funkcje gęstości Rozkład normalny Reguła 68-95-99.7 % Wykład 3 Rozkład normalny Standardowy rozkład normalny Prawdopodobieństwa i kwantyle dla rozkładu normalnego Funkcja gęstości Frakcja studentów z vocabulary
Bardziej szczegółowodla t ściślejsze ograniczenie na prawdopodobieństwo otrzymujemy przyjmując k = 1, zaś dla t > t ściślejsze ograniczenie otrzymujemy przyjmując k = 2.
Zadanie. Dla dowolnej zmiennej losowej X o wartości oczekiwanej μ, wariancji momencie centralnym μ k rzędu k zachodzą nierówności (typu Czebyszewa): ( X μ k Pr > μ + t σ ) 0. k k t σ *
Bardziej szczegółowoStatystyka, Ekonometria
Statystyka, Ekonometria Wykład dla Geodezji i Kartografii 11 kwietnia 2011 () Statystyka, Ekonometria 11 kwietnia 2011 1 / 31 LITERATURA J. Hozer, S.Kokot, W. Kuźmiński metody analizy statystycznej w wycenie
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 4.04.0 r. Zadanie. Przy danej wartości λ parametru ryzyka Λ liczby szkód generowane przez ubezpieczającego się w kolejnych latach to niezależne zmienne losowe o rozkładzie
Bardziej szczegółowoNiech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX = 4 i EY = 6. Rozważamy zmienną losową Z =.
Prawdopodobieństwo i statystyka 3..00 r. Zadanie Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX 4 i EY 6. Rozważamy zmienną losową Z. X + Y Wtedy (A) EZ 0,
Bardziej szczegółowoBiostatystyka, # 3 /Weterynaria I/
Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Głęboka 28, p. 221 bud. CIW, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych.
Statystyka Wykład 10 Wrocław, 22 grudnia 2011 Testowanie hipotez statystycznych Definicja. Hipotezą statystyczną nazywamy stwierdzenie dotyczące parametrów populacji. Definicja. Dwie komplementarne w problemie
Bardziej szczegółowoZawansowane modele wyborów dyskretnych
Zawansowane modele wyborów dyskretnych Jerzy Mycielski Uniwersytet Warszawski grudzien 2013 Jerzy Mycielski (Uniwersytet Warszawski) Zawansowane modele wyborów dyskretnych grudzien 2013 1 / 16 Model efektów
Bardziej szczegółowoStatystyka Matematyczna Anna Janicka
Statystyka Matematyczna Anna Janicka wykład X, 9.05.206 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH II: PORÓWNYWANIE TESTÓW Plan na dzisiaj 0. Przypomnienie potrzebnych definicji. Porównywanie testów 2. Test jednostajnie
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Zadanie. Niech (X, Y) ) będzie dwuwymiarową zmienną losową, o wartości oczekiwanej (μ, μ, wariancji każdej ze współrzędnych równej σ oraz kowariancji równej X Y ρσ. Staramy się obserwować niezależne realizacje
Bardziej szczegółowo7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej
7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej Definicja 1 n-elementowa losowa próba prosta nazywamy ciag n niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach
Bardziej szczegółowoWykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa
Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Marek Kubiak Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Plan wykładu Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa Rozkład
Bardziej szczegółowoMODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH
MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH WYKŁAD 3: WYZNACZANIE ROZKŁADU CZASU PRZYSZŁEGO ŻYCIA 1 Hipoteza jednorodnej populacji Rozważmy pewną populację osób w różnym wieku i załóżmy, że każda z tych osób
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne Teoria estymacji Jędrzej Potoniec Bibliografia Bibliografia Próba losowa (x 1, x 2,..., x n ) Próba losowa (x 1, x 2,..., x n ) (X 1, X 2,..., X n ) Próba losowa (x 1, x 2,...,
Bardziej szczegółowo... i statystyka testowa przyjmuje wartość..., zatem ODRZUCAMY /NIE MA POD- STAW DO ODRZUCENIA HIPOTEZY H 0 (właściwe podkreślić).
Egzamin ze Statystyki Matematycznej, WNE UW, wrzesień 016, zestaw B Odpowiedzi i szkice rozwiązań 1. Zbadano koszt 7 noclegów dla 4-osobowej rodziny (kwatery) nad morzem w sezonie letnim 014 i 015. Wylosowano
Bardziej szczegółowoWYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 3 - model statystyczny, podstawowe zadania statystyki matematycznej
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 3 - model statystyczny, podstawowe zadania statystyki matematycznej Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 3 1 / 8 ZADANIE z rachunku
Bardziej szczegółowoO ŚREDNIEJ ARYTMETYCZNEJ I MEDIANIE
Ryszard Zieliński, IMPAN Warszawa O ŚREDNIEJ ARYTMETYCZNEJ I MEDIANIE XXXIX Ogólnopolska Konferencja Zastosowań Matematyki Zakopane-Kościelisko 7-14 września 2010 r Model statystyczny pomiaru: wynik pomiaru
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 4 / 9 Przekształcenia zmiennej losowej X
Bardziej szczegółowoO ŚREDNIEJ STATYSTYCZNEJ
Od średniej w modelu gaussowskim do kwantyli w podstawowym modelu nieparametrycznym IMPAN 1.X.2009 Rozszerzona wersja wykładu: O ŚREDNIEJ STATYSTYCZNEJ Ryszard Zieliński XII Międzynarodowe Warsztaty dla
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 2 i 3 1 / 19 Zmienna losowa Definicja Dana jest przestrzeń probabilistyczna
Bardziej szczegółowoEstymacja gęstości prawdopodobieństwa metodą selekcji modelu
Estymacja gęstości prawdopodobieństwa metodą selekcji modelu M. Wojtyś Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechnika Warszawska Wisła, 7 grudnia 2009 Wstęp Próba losowa z rozkładu prawdopodobieństwa
Bardziej szczegółowoModele i wnioskowanie statystyczne (MWS), sprawozdanie z laboratorium 1
Modele i wnioskowanie statystyczne (MWS), sprawozdanie z laboratorium 1 Konrad Miziński, nr albumu 233703 1 maja 2015 Zadanie 1 Parametr λ wyestymowano jako średnia z próby: λ = X n = 3.73 Otrzymany w
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne 13. Elementy statystki matematycznej I Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 17.01.2019 1 / 30 Zagadnienia statystki Przeprowadzamy
Bardziej szczegółowoWykład 11: Martyngały: Twierdzenie o zbieżności i Hoeffdinga
RAP 412 21.01.2009 Wykład 11: Martyngały: Twierdzenie o zbieżności i Hoeffdinga Wykładowca: Andrzej Ruciński Pisarz: Łukasz Waszak 1 Wstęp Na ostatnim wykładzie przedstawiliśmy twierdzenie o zbieżności
Bardziej szczegółowoWykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału
Wykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału Magdalena Frąszczak Wrocław, 22.02.2017r Zasady oceniania Ćwiczenia 2 kolokwia (20 punktów każde) 05.04.2017 oraz 31.05.2017 2 kartkówki
Bardziej szczegółowoCiągłość funkcji f : R R
Ciągłość funkcji f : R R Definicja 1. Otoczeniem o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O(x 0, δ) := (x 0 δ, x 0 + δ). Otoczeniem prawostronnym o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O +
Bardziej szczegółowo1 Wykład 3 Generatory liczb losowych o dowolnych rozkładach.
Wykład 3 Generatory liczb losowych o dowolnych rozkładach.. Metoda odwracania Niech X oznacza zmienna losowa o dystrybuancie F. Oznaczmy F (t) = inf (x : t F (x)). Uwaga Zauważmy, że t [0, ] : F ( F (t)
Bardziej szczegółowozadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych
zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych 1. [E.A 5.10.1996/zad.4] Funkcja gęstości dana jest wzorem { 3 x + 2xy + 1 y dla (x y) (0 1) (0 1) 4 4 P (X > 1 2 Y > 1 2 ) wynosi:
Bardziej szczegółowoStopę zbieżności ciagu zmiennych losowych a n, takiego, że E (a n ) < oznaczamy jako a n = o p (1) prawdopodobieństwa szybciej niż n α.
Stopy zbieżności Stopę zbieżności ciagu zmiennych losowych a n, takiego, że a n oznaczamy jako a n = o p (1 p 0 a Jeśli n p n α 0, to a n = o p (n α i mówimy a n zbiega według prawdopodobieństwa szybciej
Bardziej szczegółowoHipotezy proste. (1 + a)x a, dla 0 < x < 1, 0, poza tym.
Hipotezy proste Zadanie 1. Niech X ma funkcję gęstości f a (x) = (1 + a)x a, dla 0 < x < 1, Testujemy H 0 : a = 1 przeciwko H 1 : a = 2. Dysponujemy pojedynczą obserwacją X. Wyznaczyć obszar krytyczny
Bardziej szczegółowoAnaliza zależności cech ilościowych regresja liniowa (Wykład 13)
Analiza zależności cech ilościowych regresja liniowa (Wykład 13) dr Mariusz Grządziel semestr letni 2012 Przykład wprowadzajacy W zbiorze danych homedata (z pakietu R-owskiego UsingR) można znaleźć ceny
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji c.d.-wykład 5 ( ) Funkcja logistyczna
Pochodna funkcji c.d.-wykład 5 (5.11.07) Funkcja logistyczna Rozważmy funkcję logistyczną y = f 0 (t) = 40 1+5e 0,5t Funkcja f może być wykorzystana np. do modelowania wzrostu masy ziaren kukurydzy (zmienna
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Prawdopodobieństwo i statystyka 9.06.999 r. Zadanie. Rzucamy pięcioma kośćmi do gry. Następnie rzucamy ponownie tymi kośćmi, na których nie wypadły szóstki. W trzeciej rundzie rzucamy tymi kośćmi, na których
Bardziej szczegółowoProces rezerwy w czasie dyskretnym z losową stopą procentową i losową składką
z losową stopą procentową i losową składką Instytut Matematyki i Informatyki Politechniki Wrocławskiej 10 czerwca 2008 Oznaczenia Wprowadzenie ξ n liczba wypłat w (n 1, n], Oznaczenia Wprowadzenie ξ n
Bardziej szczegółowoDefinicja 1 Statystyką nazywamy (mierzalną) funkcję obserwowalnego wektora losowego
Rozdział 1 Statystyki Definicja 1 Statystyką nazywamy (mierzalną) funkcję obserwowalnego wektora losowego X = (X 1,..., X n ). Uwaga 1 Statystyka jako funkcja wektora zmiennych losowych jest zmienną losową
Bardziej szczegółowoEstymatory kwantylowe i estymacja kwantyli
Tomasz Rychlik Instytut Matematyczny PAN Chopina 12, 87 100 Toruń e-mail: trychlik@impan.gov.pl XXXVIII Konferencja Statystyka Matematyczna Sesja poświȩcona pamiȩci prof. Ryszarda Zielińskiego Wisła, 3
Bardziej szczegółowoPODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek
PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Piotr Wiącek ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA Jest to miara probabilistyczna określona na σ-ciele podzbiorów borelowskich pewnej przestrzeni metrycznej. σ-ciało podzbiorów
Bardziej szczegółowoLiteratura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III.
Literatura Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K, Wasilewski M., Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna w Zadaniach, cz. I. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej
Bardziej szczegółowo