PRZEWODNIK DO ĆWICZEŃ Z ALGEBRY. dla studentów Wydziału Elektrycznego. ELŻBIETA KASPERSKA, ANDRZEJ KASPERSKI wersja robocza

PRZEWODNIK DO ĆWICZEŃ Z ALGEBRY dla studentów Wydziału Elektrycznego ELŻBIETA KASPERSKA, ANDRZEJ KASPERSKI wersja robocza

I. Relacje Definicja Mówimy, że w zbiorze Ω określiliśmy parę uporządkowaną, jeżli wyróżniliśmy dwa elementy tego zbioru i wskazaliśmy, który z nich uważamy za pierwszy. Jeśli wyróżniliśmy elementy a, b Ω i a uważamy za pierwszy element, to parę tą oznaczamy symbolem (a, b). Własności pary uporządkowanej: (a, b) = (b, a) a = b, (a, b) = (c, d) a = c i b = d. Definicja Iloczynem kartezjańskim zbiorów A i B, oznaczamy A B, nazywamy zbiór par uporządkowanych (a, b) takich, że a A i b B, a więc A B = {(a, b) : a A b B} Przykład. Niech A = {,, 5} [, 4], B = [, ]. Przedstawiamy graficznie A B. Definicja Relacj R w zbiorze X nazywamy dowolny podzbiór iloczynu kartezjańskiego X X, czyli R X X. Graficzne zadanie relacji. Niech X = {x, x, x,..., x n }, gdzie x i zadane liczby rzeczywiste. * oznacza parę elementów które są z sobą w relacji x x x... x n x x x... x n

x Rx ( mówimy, że x jest w relacji z x ), x Rx ( mówimy, że x jest w relacji z x ), x n Rx ( mówimy, że x n jest w relacji z x ). Podstawowe typy relacji:. Jeżeli dla każdego x X, xrx, to R nazywamy relacją zwrotną. Jeżeli dla dowolnych x, y X z warunku xry wynika, że yrx, to R nazywamy relacją symetryczną. Jeżeli dla dowolnych x, y X, z warunku xry yrx wynika, że x = y, to R nazywamy relacją antysymetryczną 4. Jeżeli dla dowolnych x, y, z X, z warunku xry yrz wynika, że xrz, to R nazywamy relacją przechodnią 5. Jeżeli dla dowolnych x, y X, xry yrx, to R nazywamy relacją spójną. Relację o własnościach.,.,. nazywamy relacją równoważności. Relację o własnościach.,., 4. nazywamy relacją porządkującą. Definicja 4 Niech P będzie ustalonym podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych R. Niech a, b P. Mówimy, że a b jest podzielne przez k P, piszemy k a b, jeżeli istnieje n P takie, że a b = kn. Przykład. Niech X będzie zbiorem liczb parzystych. Dla dowolnych x, y X, xry x y. Zbadać czy R jest relacją równoważności. Dla każdego x X, x x = =, czyli R jest zwrotna, jeżeli dla dowolnych x, y X, xry, to istnieje k X takie, że x y = k ale wtedy y x = k i k X, czyli y x, a więc R jest symetryczna. jeżeli dla dowolnych x, y, z X, xry i yrz, to istnieją k, n X takie, że x y = k i y z = n. Wtedy x z = (k + n) i k + n X, a więc xrz, czyli R jest przechodnia. Czyli relacja R jest relacją równoważności. Przykład. Niech X będzie zbiorem liczb rzeczywistych. Dla dowolnych x, y X, xry x y. Sprawdzić, że R jest relacją porządkującą. Dla każdego x X, x x, a więc xrx, czyli R jest relacją zwrotną. Dla dowolnych x, y X, jeżeli xry i yrx, to x y i y x, ale wtedy x = y, czyli R jest relacją antysymetryczną. Dla dowolnych x, y, z X, jeżeli xry i yrz, to x y i y z, ale wtedy x z, czyli xrz, czyli R jest relacją przechodnią, a więc jest relacją porządkującą. Definicja 5 Niech R będzie relacją równoważności w X. Niech a X. Klasą abstrakcji elementu a względem relacji R nazywamy zbiór wszystkich elementów x X, takich, że arx, oznaczamy [a] R = {x X : arx}. Przykład 4. Niech X będzie zbiorem liczb całkowitych. Relację R określomy następująco: xry wtedy i tylko wtedy, gdy x + y. Można wykazać, że R jest relacją równoważności. Wyznaczmy klasy abstrakcji elementów i względem tej relacji. Rx wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje k X takie, że + x = k, wtedy x = k, czyli [] R = {k : k X}.

Rx wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje k X takie, że + x = k, wtedy x = k, czyli [] R = {k : k X}. Relacja R pozwala więc wyodrębnić w X dwie różne klasy abstrakcji. Twierdzenie ( Zasada abstrakcji ) Relacja równoważności R określona na niepustym zbiorze X dzieli X na rozłączne i niepuste klasy abstrakcji, tzn. jeżeli istnieje a X takie, że a [x] R i a [y] R, to [x] R = [y] R. Dowód. Klasy abstrakcji są niepuste ponieważ dla każdego x X, x [x] R bo R jest zwrotna. Załóżmy, że a [x] R i a [y] R. Wtedy xra i ary, a więc z przechodniości relacji R mamy xry. Pokażemy, że [x] R = [y] R. Niech b [x] R, wtedy brx i xry, a więc bry, czyli [x] R [y] R. Niech b [y] R, wtedy bry i yrx, a więc brx, czyli [y] R [x] R. Ponieważ dla każdego x X, x [x] R, a więc [x] R = X. Funkcje jako relacje. x X Definicja 6 Niech X, Y bądą zadanymi zbiorami niepustym. Relację R X Y o własnościach: a) dla każdego x X istnieje y Y taki, że xry, b) dla każdego x X i dowolnych y, z Y, z warunku (xry xrz) wynika, że y = z nazywamy funkcją odwzorowującą X w Y. Piszemy wówczas: f R : X Y lub f R (x) = y zamiast xry. Definicja 7 Niech f : X Y, A X, B Y. Zbiór f(a) = {y Y : x X, y = f(x)} nazywamy obrazem zbioru A przez odwzorowanie f. Zbiór f (B) = {x X : y B, y = f(x)} nazywamy przeciwobrazem zbioru B przez odwzorowanie f. Definicja 8 Niech f : X Y. Mówimy, że f odwzorowuje X na Y, jeżeli f(x) = Y. Jeżeli dla dowolnych x, x X z warunku f(x ) = f(x ) wynika, że x = x, to f nazywamy odwzorowaniem różnowartościowym. Odwzorowanie różnowartościowe i na nazywamy bijekcją. Przykład 5. Niech X, Y = R, f(x) = x dla każdego x R. Ponieważ f( ) = f() =, a więc f nie jest różnowartościowe. Ponieważ nie istnieje x R takie, że f(x) =, a więc f nie jest odwzorowaniem na. 4

Przykład 6. Niech f : R R dane będzie wzorem: { x+ f(x) = x, dla x, dla x = Dla x, y = x+ y+ x czyli x = y dla y. Czyli dla y = nie istnieje x takie, że f(x) =, a więc f nie jest odwzorowzniem na. Zauważmy również, że f() = f( ) =, czyli f nie jest różnowartościowe. Przykład 7. Dla jakiej wartožci parametru a odwzorowanie f dane wzorem { x+ f(x) = x, dla x a, dla x = jest bijekcj R na R.. Sprawdzamy dla jakiej wartości parametru a f jest odwzorowaniem na. Dla y R \ {a} mamy St d y = x + y(x ) = x + x(y ) = + y. x x = + y y dla y. Czyli dla y istnieje x R takie, że f(x) = y. Przyjmując a =, otrzymamy f() =, a więc f jest odwzorowaniem na.. Sprawdzamy, czy f jest różnowartožciowe dla a =. Dla x, x mamy x + x = x + x (x + )(x ) = (x + )(x ) x = x. Dla x, x = mamy x + x = x + = x =. Powyższa sprzeczność oznacza, że z warunku f(x ) = f(x ) otrzymujemy, że x = x, czyli f jest różnowartościowe. Twierdzenie Niech X, Y będą zadanymi zbiorami niepustymi, f : X Y : a) dla dowolnych A, B X f(a B) = f(a) f(b), b) dla dowolnych A, B X f(a B) f(a) f(b). Jeżeli f jest różnowartožciowe, to f(a B) = f(a) f(b). DOWÓD. a) Jeżeli a f(a B), to istnieje x A B takie, że a = f(x). Stąd (x A a = f(x)) lub (x B a = f(x)). Stąd a f(a) lub a f(b), czyli a f(a) f(b), a więc f(a B) f(a) f(b). Jeżeli a f(a) f(b), to a f(a) lub a f(b). Wtedy istnieje x A takie, że a = f(x) lub istnieje 5

x B takie, że a = f(x). Czyli istnieje x A B taki, że a = f(x), więc a f(a B). Stąd f(a) f(b) f(a B). b) Jeżeli a f(a B), to istnieje x A B takie, że a = f(x). Stąd x A i a = f(x) oraz x B i a = f(x). Czyli a f(a) i a f(b), a więc a f(a) f(b). Stąd f(a B) f(a) f(b). Załóżmy teraz, że f jest różnowartościowe. Niech a f(a) f(b). Wtedy istnieje x A takie, że a = f(x) i istnieje y B takie, że a = f(y). Czyli f(x) = f(y). Ponieważ f jest różnowartościowe, więc x = y. Stąd istnieje x A B takie, że a = f(x), a wi c a f(a B). Czyli f(a B) = f(a) f(b). Odwzorowanie odwrotne. Jeżeli f : X Y jest bijekcją, to możemy mówić o odwzorowaniu odwrotnym f : Y X. Odwzorowaniem odwrotnym nazywamy takie odwzorowanie f, że dla każdego x X, f (f(x)) = x i dla każdego y Y f(f (y)) = y. Jeżeli f nie jest bijekcją, to możemy mówić o odwzorawaniach częściowo odwrotnych tzn. takich, które spełniają jeden z powyższych warunków. Mówimy wtedy o odwzorowaniu lewostronnie albo prawostronnie odwrotnym. Przykład 8. Niech X = R, Y = R +, f(x) = x dla każdego x R. f nie jest bijekcją, a więc nie istnieje odwzorowanie odwrotne. Ale dla każdego y R + (y ) = y, czyli istnieje odwzorowanie prawostronnie odwrotne. Zauważmy, że dla każdego x R (x ) = x. Przykład 9. Niech X = Y = R +, f(x) = x dla każdego x X. Wtedy f : X Y jest bijekcją. Odwzorowanie odwrotne f istnieje i dane jest wzorem f (y) = y dla każdego y Y. Przykład. Niech X = [ π, π ], Y = [, ], f(x) = sin x dla każdego x X. Wtedy f : X Y jest bijekcją, odwzorowanie odwrotne f istnieje i f (y) = arc sin y dla każdego y [, ]. Zadania kontrolne. Sprawdzić, czy prawdziwe są równości: a) (A B) C = (A C) (B C) b) (A B) C = (A C) (B C) c) (A B) C = (A C) (B C) d) (A \ B) C = (A C) \ (B C) e) A (B \ C) = (A B) \ (A C).. Zbadać, które z podanych relacji R X są relacjami równoważności oraz określić klasy abstrakcji dla relacji równoważności. a) Niech X będzie zbiorem liczb parzystych, xry x y. b) Niech X będzie zbiorem liczb rzeczywistych, xry x +x = y +y. c) Niech X będzie zbiorem liczb rzeczywistych, xry sin x = sin y. d) Niech X będzie zbiorem liczb zespolonych, xry Argx = Argy. e) Niech X będzie zbiorem liczb zespolonych, xry x = y. f) Niech X będzie zbiorem liczb rzeczywistych, xry x = y. g) Niech X będzie zbiorem liczb rzeczywistych, xry sin x = cos y.. Sprawdzić, czy podane odwzorowanie f : R R jest bijekcją: 6

a) b) c) f(x) = f(x) = f(x) = { x x+, gdy x, gdy x = { x, gdy x, gdy x = { x+ x, gdy x, gdy x = 4. Dla danej relacji R definiujemy R = {(y, x) : (x, y) R}. a) Udowodnić, że na to aby relacja R była symetryczna potrzeba i wystarcza by R R. b) Udowodnić, że R R R = R. 5. Dla jakiej wartości parametru a odwzorowanie f : X Y jest bijekcją; a) { a x f(x) = x, gdy x a, gdy x = b) c) f(x) = f(x) = { a x x, gdy x a, gdy x = { a x 5 x, gdy x a, gdy x = Odpowiedzi do zadań. a),b),d),e) prawdziwa, c) fałszywa ( np. A, B, C = [, ] ).. a) Trzy różne klasy abstrakcji [] R = {6n : n N}, [] R = {6n + : n N}, [4] R = {6n + 4 : n N}, gdzie N jest zbiorem liczb naturalnych, b) [x] R = {x, x }, c) [x] R = {x kπ, x + π + kπ : k =, ±, ±,...}, d) [x] R prosta ϕ = arg x, e) [x] R okrąg o žrodku w zerze i promieniu x, f) [x] R = {x, x}, g) nie jest relacją równoważności.. a), b) jest bijekcją, c) nie jest na i nie jest różnowartościowe. 5. a) bijekcja dla a = lub a =, b) bijekcja dla a = lub a =, c) bijekcja dla a = lub a =. 7

II. Liczby zespolone Definicja 9 Niech A będzie niepustym zbiorem. Każde odwzorowanie f : A A A nazywamy działaniem w A. Definicja Strukturą algebraiczną nazywamy niepusty zbiór z wyróżnionym w nim skończonym zbiorem elementów oraz z określonym na nim skończonym zbiorem działań. Definicja Strukturą algebraiczną addytywnie zapisaną < A, > nazywamy grupą przemienną z dodawaniem, jeżeli: dla dowolnych a, b A a b = b a, dla dowolnych a, b, c A (a b) c = a (b c), istnieje O A ( element neutralny ze względu na dodawanie ) takie, że dla każdego a A, a O = a, dla każdego a A istnieje b A (element przeciwny ) takie, że a b = O. Definicja Strukturą algebraiczną multyplikatywnie zapisaną < A, > nazywamy grupą przemienną z mnożeniem, jeżeli: dla dowolnych a, b A a b = b a dla dowolnych a, b, c A (a b) c = a (b c) istnieje e A ( element neutralny ze względu na mnożenie ) takie, że dla ka dego a A a e = a, dla każdego a A \ {O} istnieje b A ( element odwrotny ) takie, że a b = e. Definicja Strukturę algebraiczną < A,, > nazywamy ciałem jeżeli: < A, > jest grupą przemienną z dodawaniem, < A, > jest grupą przemienną z mnożeniem, dla dowolnych a, b, c A, a (b c) = (a b) (a c). Przykład. Niech Z p =< {,,..., p },, >, gdzie: a b = reszta z dzielenia a + b przez p, a b = reszta z dzielenia a b przez p. Jeżeli p jest liczbą pierwszą, to Z p jest ciałem liczbowym Wiadomości ogólne. Równanie x + = nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych dlatego naturalnym jest pytanie o rozszerzenie zbioru liczb rzeczywistych na takie ciało liczbowe w którym to równanie posiada rozwiązanie. Niech i będzie taką liczbą, że i =. Niech C = {a + bi : a, b R}. W C wprowadzamy działania dodawania i mnożenia następująco: dla dowolnych z, z C, z = a + b i, z = a + b i z z = a + a + (b + b )i z z = a a b b + (a b + a b )i. 8

a a +b, b a +b ). Wtedy < C,, > jest ciałem liczbowym i nazywamy je ciałem liczb zespolonych. Ciało liczb zespolonych można wprowadzić inaczej. Niech C = R R. Działania w C wprowadzamy następująco: dla dowolnych a, b, c, d R (a, b) (c, d) = (a+c, b+d), (a, b) (c, d) = (ac bd, ad+bc). < C,, > jest ciałem liczbowym równoważnym ciału liczb zespolonych i takim, że (, ) jest elementem neutralnym ze względu na dodawanie, (, ) jest elementem neutralnym ze względu na mnożenie, elementem przeciwnym do (a, b) jest ( a, b), a elementem odwrotnym do (a, b) (, ) jest ( To drugie podejście do liczb zespolonych pozwala na wprowadzenie łatwej geometrycznej interpretacji liczb zespolonych. Oś odciętych będziemy dalej nazywać osią rzeczywistą. Wersorem na niej jest jedynka. Na osi rzędnych wprowadzamy wersor i. Oś tą będziemy dalej nazywać osią urojonych. Przy tej interpretacji liczbie zespolonej z = a + bi odpowiada na tej płaszczyżnie punkt (a, b). Używamy również zapisu z = Rez +iimz. Kąt jaki tworzy wektor a+bi z osią rzeczywistą nazywamy argumentem liczby zespolonej z, a długość wektora z = a+bi nazywamy modułem liczby zespolonej z i oznaczamy z. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa otrzymamy, że z = (a + b ). Wyrażenie: z = z (cos arg z + i sin arg z) nazywamy postacią trygonometryczną liczby zespolonej z. z = z Rez = Rez Imz = Imz Przykład. Przedstawić w postaci trygonometrycznej liczbę zespoloną z = + i. 9

Mamy a =, b =. St d z = + =. { cos ϕ = a z = sin ϕ = b z = St d arg z = Π 4, czyli w postaci trygonometrycznej z = (cos( Π 4 ) + i sin( Π 4 )). Przykład. Przedstawić w postaci trygonometrycznej liczbę zespoloną z = + + i. Mamy z =, cos ϕ = sin ϕ = + cos ϕ sin ϕ =, czyli ϕ = Π 4, a wi c ϕ = Π 8 i z = (cos Π 8 + i sin Π 8 ). Jeżeli z = x + iy, to liczbę z = x iy nazywamy liczbą sprzężon do liczby z. Własności operacji sprzężenia: z z = z, z = z z, z + z = z + z, z z = z z. Twierdzenie Jeżeli z = z (cos ϕ + i sin ϕ ) z = z (cosϕ + i sin ϕ ), to Dowód. Mamy z z = z z (cos(ϕ + ϕ ) + i sin(ϕ + ϕ )), z = z z z (cos(ϕ ϕ ) + i sin(ϕ ϕ )). z z = z z (cos ϕ cos ϕ sin ϕ sin ϕ + i(cos ϕ sin ϕ + cos ϕ sin ϕ )) = z z (cos(ϕ + ϕ ) + i sin(ϕ + ϕ )), z = z (cos ϕ + i sin ϕ )(cos ϕ i sin ϕ ) z z (cos ϕ + i sin ϕ )(cos ϕ i sin ϕ ) = z z (cos ϕ cos ϕ + sin ϕ sin ϕ + i(sin ϕ cos ϕ cos ϕ sin ϕ )) = z z (cos(ϕ ϕ ) + i sin(ϕ ϕ )). Wniosek Dla każdej liczby naturalnej n z n = z n (cos n arg z + i sin n arg z).

St d Z Wniosku otrzymujemy następujący wzór Moivre a (cos ϕ + i sin ϕ) n = cos nϕ + i sin nϕ. Przykład 4. Stosując wzór Moivre a wyrazić cos 4ϕ jako funkcję cos ϕ. Mamy (cos ϕ + i sin ϕ) 4 = cos 4 ϕ + 4i cos ϕ sin ϕ 6 cos ϕ sin ϕ 4i cos ϕ sin ϕ + sin 4 ϕ = cos 4ϕ + i sin 4ϕ. cos 4ϕ = cos 4 ϕ 6 cos ϕ sin ϕ + sin 4 ϕ = cos 4 ϕ 6 cos ϕ( cos ϕ) + ( cos ϕ) = 8 cos 4 ϕ 8 cos ϕ +. Przykład 5. Wykorzystując wzór Moivre a obliczyć ( + i).. Przedstawiamy liczbę + i w postaci trygonometrycznej. Mamy + i = (cos Π 4 + i sin Π 4 ). A więc ( + i) = 5 (cos( Π 4 ) + i sin( Π 4 )) = (cos 5Π + i sin 5Π ) = i. Przykład 6. Obliczyć i n, gdzie n jest dowolną liczbą naturalną. Mamy i = cos Π + i sin Π. A więc i n = cos nπ + i sin nπ = { ( ) k, n = k i( ) k+, n = k dla k=,,...,. Pierwiastki n-tego stopnia z liczb zespolonych. n a = b b n = a. Ponieważ w postaci trygonometrycznej z = z (cos(ϕ + kπ) + i sin(ϕ + kπ)), a więc n ϕ + kπ z = z n (cos + i sin ϕ + kπ ) n n i dla k =,,..., n otrzymujemy n różnych liczb zespolonych. Przykład 7. Wyznaczyć wszystkie różne pierwiastki 6-tego stopnia z 7. W postaci trygonometrycznej 7 = 7(cos Π + i sin Π).

Oznaczając przez z k k-ty pierwiastek 6-tego stopnia z 7 mamy: z = (cos Π 6 + i sin Π 6 ) = + i z = (cos Π + Π 6 z = (cos Π + 4Π 6 z = (cos Π + 6Π 6 z 4 = (cos Π + 8Π 6 + i sin Π + Π ) = i 6 + i sin Π + 4Π ) = 6 + i + i sin Π + 6Π ) = 6 i + i sin Π + 8Π ) == i 6 z 5 = (cos Π + Π + i sin Π + Π ) = 6 6 i. Niekiedy dla wyznaczenia pierwiastków drugiego stopnia stosujemy inną procedurę niż wzór ogólny na pierwiastki n-tego stopnia z liczby zespolonej. Jeżeli x + iy = a + ib, gdzie a, b są liczbami rzeczywistymi, to a b = x, a ab = y. A więc wyznaczanie pierwiastków stopnia -giego sprowadzamy do rozwiązania układu równań z dwiema niewiadomymi. Przykład 8. Obliczyć + i. Mamy + i = a + ib. A więc { a b = ab = Wstawiając do pierwszego równania b = a otrzymamy 4a 4 4a = Podstawiając a = t otrzymamy równanie 4t 4t =. Równanie to ma dwa pierwiastki: t = i t = +. Pierwszy z nich + odrzucamy, bo z definicji t. A więc a = ±, b = ±. I ostatecznie + + i = ±( + i ). Wyrażenie W n (z) = a z n + a z n +... + a n z + a n, gdzie a n C, nazywamy wielomianen n-tego stopnia o współczynnikach zespolonych.

Twierdzenie 4 ( Zasadnicze twierdzenie algebry) W dziedzinie zespolonej każdy wielomian W n (z) ma n pierwiastków. Twierdzenie 5 Jeżeli współczynniki wielomianu W n (z) są liczbami rzeczywistymi i liczba z jest pierwiastkiem tego wielomianu, to liczba z jest też pierwiastkiem tego wielomianu. Dowód. Jeżeli a jest liczbą rzeczywistą, to a = a. Ponieważ W n (x) =, a więc W n (x) =. Stąd wykorzystując własności operacji sprzężenia łatwo otrzymamy, że W n (x) =. Przykład 9. Rozwiązać równanie z + ( i)z + 8 + 4i =. łatwo wyliczyć, że = 5 i. Powtarzając konstrukcję poprzedniego przykładu otrzymamy, że = 5 i = 6i. Stąd z = + i ( 6i) = i + i + ( 6i) z = = 4i. Przykład. Rozwiązać równanie z n (z ) n =. Po prostych przekształceniach otrzymamy dla z równanie z n (z ) n =. Stąd otrzymamy równanie a stąd otrzymujemy równania z z = n, dla k =,,..., n. Oznaczmy ϕ k = kπ n z kπ = cos z n + i sin kπ n dla k =,,..., n. Otrzymamy z z = cos ϕ k + i sin ϕ k. Stąd po prostych przekształceniach dla cos ϕ k i sin ϕ k otrzymamy z = cos ϕ k i sin ϕ k cos ϕ k i sin ϕ k. St d z = ( cos ϕ k i sin ϕ k )( cos ϕ k + i sin ϕ k ) ( cos ϕ k i sin ϕ k )( cos ϕ k + i sin ϕ k ) = cos ϕ k i sin ϕ k cos ϕ k

= sin ϕ k i sin ϕ k cos ϕ k 4 sin ϕ k = i ctg ϕ k dla k =,..., n. Przykład. Podać interpretację geometryczną zbioru {z C : z i }. Podstawiając z = x + iy otrzymamy x + (y ). A więc podany zbiór to koło o środku w punkcie (, ) i promieniu. Przykład. Podać interpretację geometryczną zbioru {z C : z + z + = }. Podstawiając z = x + iy otrzymamy: (x ) + y + (x + ) + y =. Stąd Stąd Czyli (x ) + y = ( (x + ) + y ). x 5 = 5 (x + ) + y. (x + 5) = 5((x + ) + y ). I po prostych przekształceniach otrzymamy równanie x 5 + y =, które jest równaniem elipsy o środku w początku układu i półosiach a = 5, b =. Definicja 4 Punkty p, q nazywamy punktami sprzężonymi względem okręgu z z = r, jeżeli arg(p z ) = arg(q z ) oraz p z q z = r. Przykład. Wyznaczyć parę punktów jednocześnie sprzężonych względem okręgów z = i z i = 6. Niech p, q będą szukanymi punktami. Mamy { p q = p i q i = 6 4

oraz punkty p i q leżą na prostej przechodzącej przez punkty z = i, z =. Prosta przechodząca przez punkty z, z dana jest równaniem z = z + t(z z ), gdzie t R. A więc równanie tej prostej ma postać z = i + t( i) = t + i( t). St d p = t p + i( t p ), q = t q + i( t q ) oraz { (tp ) + ( t p ) (t q ) + ( t q ) = t p + t p t q + t q = 6 czyli { tp t q = t p t q = Ponieważ arg(p ) = arg(q ) i arg(p i) = arg(q i), więc z własności punktów sprzężonych otrzymamy, że t p oraz t q, czyli musimy rozwiązać układ równań { (tp )(t q ) = t p t q = Otrzymamy t p =, t q =, a więc ostatecznie p = i, q = i. Przykład 4. Niech ɛ, ɛ,..., ɛ n będą pierwiastkami n-tego stopnia z jedności. Wykazać, że: a) ɛ ɛ... ɛ n = ( ) n, b) n k= ɛ k =, gdy n. Wiemy, że ɛ k = cos kπ kπ n + i sin n. a) Wykorzystując twierdzenie o iloczynie liczb zespolonych otrzymamy n ɛ ɛ... ɛ n = cos b) Wiemy, że dla z, n k= kπ n n + sin k= kπ n = cos(n )Π + i sin(n )Π = ( ) n. + z +... + z n = zn z. Wykorzystując ten wzór dla z = cos Π n + i sin Π n otrzymamy, że n ɛ k = k= Zadania kontrolne. (cos Π + i sin Π) (cos Π n + i sin Π n ) =. 5

f). Obliczyć: a) 4 + 7 + 4 w ciele z 7, b) 5 + 5 w ciele z, c) 6 + 5 w ciele z 7, d) 4 5 w ciele z 7.. Przedstawić w postaci trygonometrycznej podane liczby zespolone a) i, b) + i, c) 4 + i4, d) 6 + + i( 6 ), e) + i tg α, +i tg α i tg α, dla α < Π, g) + cos α + i sin α dla α < Π.. Stosując wzór Moivre a wyrazić jako wielomian od cos ϕ albo sin ϕ: a) sin ϕ, b) cos ϕ, c) sin ϕ, d) cos ϕ, e) sin 4ϕ. 4. Wyznaczyć wszystkie różne pierwiastki a) i, b) 4, c), d) 6, e) 6, f) i 8 + 8i, g) +i. 5. Obliczyć a) 8i, b) 6 6i, c) + 4i, d) + i. 6. Rozwiązać w dziedzinie zespolonej podane równania: a) z + ( 4i)z + (5 + 5i) =, b) z + z + ( + i) =, c) z + ( + 4i)z + ( 4 + i) =, d) z + 7iz 6 =, e) z + iz + (7 6i) =, f) z 4 z + 4 =, g) z 4 + (5 + 7i)z + (8 5i) =. 7. Rozwiązać w dziedzinie zespolonej podane równania: a) (z + ) n i(z ) n =, b) (z ) n + i(z + ) n =, c) z+i n z i = i, d) z n (z + ) n =. 8. Podać interpretację geometryczną podanych zbiorów: a) A = {z C : z 4}, b) A = {z C : Re(z ) = [Im(z + i)] = }, c) A = {z C : z + 5 z 5 = 6}, d) A = {z C : z + = z }, e) A = {z C : Re[z( + i)] = }. Odpowiedzi do zadań.. a) 5, b), c) 6, d).. a) (cos 7Π 6 + i sin 7Π 6 ), b) (cos Π + i sin Π ), c) 8(cos Π + i sin Π ), d) 4(cos Π + isin Π ), e) cos α (cos α + i sin α), f) cos α + i sin α, g) cos α (cos α + i sin α ).. 6

a) sin ϕ cos ϕ, b) cos ϕ sin ϕ, c) sin ϕ 4 sin ϕ, d) 4 cos ϕ cos ϕ, e) 4cos ϕ sin ϕ 4 cos ϕ sin ϕ. 4. a) z = + i, z = + i, z = i, b) z =, z = i, z =, z = i, c) z =, z = + i, z = i, d) z = + i, z = i, z = + i, z = i, z 4 = i, z 5 = i, e) z =, z = + i, z = + i, z =, z 4 = i, z 5 = i, f) z = 6 (cos Π + i sin Π ) = 6 (cos( Π Π 4 ) + i sin Π Π 4 ) = ( + + i( )), g) z = 6 (cos Π 4 + i sin Π 4 ) = 6 ( + i ), z = 6 (cos 7Π = 7 6 (cos 7Π + i sin 7Π ) + i sin 7Π ) = 7 6 (cos( Π + Π 4 ) + i sin(π + Π 4 ) = ( + i( + ), z = Π Π 6 (cos + i sin 6 6 ), z = 7Π 7Π 6 (cos + i sin 6 6 ), z = 6Π 6Π 6 (cos + i sin 6 6 ), 5. a) ±( i), b) ±( 8i), c) ±( + 6i), d) ±( + i ). 6. a) z = 5i, z = i, b) z = i, z = + i, c) z = i, z = i, d) z = i, z = i, e) z = + i, z = 4i, 7

f) z = i, z = + i, z = + i, z 4 = i, g) z = ( + i), z = ( + i), z = 4i, z 4 = + 4i. 7. a) z k = i ctg Π +kπ n dla k =,,..., n, b) z k = i ctg (+4k)Π 4n dla k =,,..., n, c) z k = ctg Π+4kΠ 4n dla k =,,..., n, d) z k = + i ctg kπ n dla k =,..., n. 8. a) pierścień kołowy o žrodku w zerze, promieniu wewnętrznym r = i zewnętrznym R = 4, b) {±, 6 i), 6 i}, c) hiperbola x 9 y 6 = d) prosta x =, e) prosta x y =. 8

III. Przestrzenie liniowe Definicja 5 Niech < K, +, > będzie ciałem, < E, > niech będzie grupą przemienną z dodawaniem. Odwzorowanie : K E E będziemy nazywać mnożeniem elementów grupy < E, > przez elementy cia a < K, +, >. Definicja 6 Strukturę algebraiczną < E, K, +,,, > nazywamy przestrzenią liniową nad ciałem K jeżeli: ) < K, +, > jest ciałem, ) < E, > jest grupą przemienną z dodawaniem, ) dla każdego x E e x = x, 4) dla każdego a K i dowolnych x, y E a (x y) = (a x) (a y) 5) dla dowolnych a, b K i każdego x E (a b) x = a (b x) (a + b) x = (a x) (b x) Własność: Dla każdego x E, O x = Θ, gdzie Θ jest elementem neutralnym ze względu na dodawanie w < E, >. O x = ( ) x = ( x) ( x) = x x = Θ. Przykład. Niech E = R n, K = R, x = [x,..., x n ], y = [y,..., y n ], a R, x i, y i R dla i =,..., n. Definiujemy x y = [x + y,..., x n + y n ], a x = [a x,..., a x n ], Θ = [,..., ], to < E, R, +,,, > jest przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych. Dalej o ile działania nie będą specjalnie definiowane będziemy mówić skrótowo o przestrzeni E nad ciałem K, elementy przestrzeni E nazywać będziemy wektorami, a elementy ciał a K skalarami. Twierdzenie 6 Niech E będzie przestrzenią liniową nad ciałem K i E E. E jest przestrzenią liniową nad ciałem K wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych x, y E, a, b K (a x) (b y) E. Definicja 7 Jeżeli E jest przestrzenią liniową nad ciałem K i E E jest przestrzenia liniową nad ciałem K ( z tymi samymi działaniami ), to E nazywamy podprzestrzenią liniową przestrzeni E. 9

Twierdzenie 7 Niech E, E będą podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni liniowej E nad ciałem K. Niech E E = {y E : y E y E }, E + E = {y E : y = y y, y E, y E }. Wtedy E + E i E E są podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni E. DOWŁD. Niech x, y E + E, a, b K. Wtedy istnieją x, y E, x, y E takie, że x = x x i y = y y. Ale wtedy (a x ) (b y ) E i (a x ) (b y ) E oraz (a x) (b y) = (a (x x )) (b (y y )) = (a x ) (b y ) (a x ) (b y ). Stąd (a x) (b y) E + E, a więc na podstawie Twierdzenia 6 E + E jest podprzestrzenią liniową przestrzeni E. Niech x, y E E, a, b K. Wtedy (a x) (b y) E i (a x) (b y) E. Stąd (a x) (b y) E E. A więc na podstawie Twierdzenia 6 E E jest podprzestrzenią liniową przestrzeni E. Dalej dla dodawanie wektorów będziemy używać zwykłego symbolu +, tak jak przy dodawaniu liczb rzeczywistych, a przy mnożeniu wektora przez skalar, tak jak w przypadku mnożenia liczb rzeczywistych, symbol mnożenia będziemy opuszczać. Definicja 8 Niech E będzie przestrzenią liniową nad ciałem K. Niech x, x,..., x n E i a, a,..., a n K. Wyrażenie a x + a x +... + a n x n nazywamy kombinacją liniową wektorów x,..., x n. Definicja 9 Niech E będzie przestrzenią liniową nad ciałem K. Niech x,..., x n E, a,..., a n K. Jeżeli z równania wektorowego a x + a x +... + a n x n = Θ wynika, że a = a =... = a n =, to mówimy, że wektory x, x,..., x n są liniowo niezależne. Jeżeli istnieją a i K, i =,..., n, nie wszystkie równe zero takie, że a x + a x +... + a n x n = Θ to mówimy, że wektory x,..., x n są liniowo zależne. Przykład. Niech E = R, x = [,, ], x = [,, ], x = [,, 6]. Sprawdzić, czy wektory x, x, x są liniowo niezależne. Wektorowe równanie a x + a x + a x = Θ

jest równoważne układowi równań a + a + a = a + a + a = a + a + 6a = Mnożąc pierwsze i drugie równanie przez i dodając do trzeciego równania otrzymamy układ równań a + a + a = a + a + a = = którego rozwiązanie ma postać a = a = c, a = c, gdzie c jest dowolną liczbą rzeczywistą, a więc wektory x, x, x są liniowo zależne. Mamy również x = x + x. Wniosek Jeżeli wektory x, x,..., x n są liniowo zależne, to jeden z nich można przedstawić jako kombinację liniową wektorów pozostałych. Definicja Niech A będzie niepustym zbiorem indeksów. Zbiór {e i E : i A} nazywamy układem generatorów przestrzeni liniowej E, jeżeli każdy element przestrzeni E można przedstawić jako kombinację liniową elementów wybranych z tego zbioru. Definicja Niech A będzie niepustym zbiorem indeksów, niech E będzie przestrzenią liniową. Zbiór {x i E : i A} nazywamy liniowo niezależnym, jeżeli każdy skończony układ wektorów wybranych z niego jest liniowo niezależny. Definicja Bazą przestrzeni liniowej E nazywamy każdy liniowo niezależny układ generatorów tej przestrzeni. Ilość wektorów bazy nazywamy jej wymiarem i oznaczamy dime. Twierdzenie 8 Jeżeli e, e,..., e n jest bazą przestrzeni liniowej E, a e + a e +... + a n e n = b e + b e +... + b n e n, to a = b, a = b,..., a n = b n. DOWÓD. Jeżeli to a e +... + a n e n = b e +... + b n e n, (a b )e + (a b )e +... + (a n b n )e n = Θ, stąd i z liniowej niezależności wektorów e,..., e n otrzymamy, że a = b,..., a n = b n.

Przykład. Niech E = R 4. Niech E będzie przestrzenią generowaną przez wektory e = [,,, 5], e = [,,, 4], e = [4,,, ]. Niech E będzie przestrzenią generowaną przez wektory e = [,,, ], e = [,,, ]. Wyznaczyć bazy przestrzeni E E i E + E. Mamy E = {a e + a e + a e : a, a, a R}, E = {b e + b e : b, b R}. Wyznaczamy bazy w E i w E. Wektory e i e są liniowo niezależne, a więc stanowią bazę w E. Sprawdzamy czy wektory e, e, e są liniowo niezależne. Mamy a + a + 4a = a + a + a = a + a + a = 5a + 4a = Układ ten będziemy rozwiązywać metodą eliminacji Gaussa. Metoda ta polega na zastąpieniu danego układu równoważnym mu układem trójkątnym. Mnożąc pierwsze równanie odpowiednio przez,, 5 i dodając odpowiednio do równania -giego, -ciego i 4-tego otrzymamy układ równań: a + a + 4a = a 9a = a 5a = 6a a = drugie równanie tego układu mnożymy przez a + a + 4a = a + a = a 5a = 6a a = i otrzymujemy układ równań Teraz drugie równanie dodajemy do trzeciego oraz drugie mnożymy przez 6 i dodajemy do 4-tego, otrzymujemy układ równań a + a + 4a = a + a = a = a = Teraz równanie -cie mnożymy przez i dodajemy do 4-tego, otrzymujemy układ równań a + a + 4a = a + a = a = =

Równanie 4-te jest zawsze prawdziwe. Z równania -ciego a =, a więc podstawiając do równania -giego otrzymamy a = i podstawiając do równania -szego otrzymamy a =. Stąd wektory e, e, e są liniowo niezależne, a więc staniwią bazę przestrzeni E. Teraz wyznaczymy bazę przestrzeni E E. zatem x E E x E x E, x = a e + a e + a e = a e + a e Z tego równania wektorowego otrzymamy następujący układ równań po współrzędnych a + a + 4a a = a + a + a a = a + a + a a = 5a + 4a a = Mnożąc pierwsze równanie odpowiednio przez,, 5 i dodając odpowiednio do równania -go, -go, 4-go otrzymamy układ równań a + a + 4a a = a 9a + 8a = a 5a + 6a a = 6a a + 5a a = Teraz -cie rówmanie mnożymy przez i wpisujemy je jako równanie -gie, otrzymamy układ równań a + a + 4a a = a + 5a 6a + a = a 9a + 8a = 6a a + 5a a = Teraz równanie -gie mnożymy odpowiednio przez, 6 i dodajemy odpowiednio do rownania -ciego i 4-tego, otrzymujemy układ równań a + a + 4a a = a + 5a 6a + a = 6a a + 6a = a a + a = Teraz -cie równanie mnożymy przez 6, otrzymujemy układ równań a + a + 4a a = a + 5a 6a + a = a 6 a + a = a a + a =

Teraz równanie -cie mnożymy przez i dodajemy do 4-tego, otrzymamy układ równań a + a + 4a a = a + 5a 6a + a = a 6 a + a = a + a = Ponieważ ilość równań jest mniejsza od ilości niewiadomych w ostatnim równaniu przyjmujemy a = c. Wtedy a = c i wstawiając odpowiednio do wyższych równan otrzymamy odpowiednio a = 8 c, a = c, a = c. Tak więc przestrzeń E E jest jednowymiarowa i E E = {c[ 9,,, ] : c R}. Z ostatniego układu równań odczytujemy również, że przestrzeń E + E jest czterowymiarowa, a wektory e, e, e, e stanowią jej bazę. Przykład 4. Niech { E = {x R 5 x + x : + x + x 5 = x 4 + x 5 = } Udowodnimy, że E jest przestrzenią liniową, korzystając z Twierdzenia 6. Niech x, y E, a, b R. Mamy { ax + ax + ax + ax 5 = ax 4 + ax 5 = oraz { by + by + by + by 5 = by 4 + by 5 = i dodając stronami otrzymujemy układ rownań { (ax + by ) + (ax + by ) + (ax + by ) + (ax 5 + by 5 ) = (ax 4 + by 4 ) + (ax 5 + by 5 ) = st d ax + by E, a wi c E jest przestrzenią liniową. Teraz poszukamy bazy tej przestrzeni. Zauważmy, że układ definiujący E możemy zapisać następująco { x + x 4 = x x x 5 x 4 = x 5 Przyjmujemy: x = a, x = b, x 5 = c. Otrzymamy: x = a b c, x 4 = c i ostatecznie x a x x x 4 = b a b c c = a + b + c x 5 c 4

Wektory [,,,, ], [,,,, ] i [,,,, ] stanowią bazę przestrzeni E. Definicja Niech E będzie przestrzenią liniową. Niech E będzie podprzestrzenią liniową przestrzeni E i niech x E. Zbiór M = x + E = {y E : y = y + x, y E } nazywamy rozmaitością liniowa. Jeżeli dime < i dime dime =, to M nazywamy hiperpłaszczyzną. Przykład 5. Niech M = {x R 5 : { x + x + x + x 5 = x 4 + x 5 = }. Opisać rozmaitość liniową M. Układ równań opisujący zbiór M możemy zapisać następująco: { x = x x x 5 x 4 = x 5 Przyjmując x = a, x = b, x 5 = c otrzymamy: x a x x x 4 = b a b c c = a + b x 5 c + c + tak więc x = [,,,, ] a przestrzeń E generowana jest przez wektory [,,,, ], [,,,, ], [,,,, ]. Zadania kontrolne. Zbadać liniową zależność podanych wektorów a) x = [,, 7, ], x = [,,, 4], x = [,,, ], b) x = [, ], x = [, ], x = [, ], x 4 = [, ], c) x = [,,, ], x = [,,, ], x = [,,, ], d) x = [,, ], x = [,, 5], x = [4,, ], x 4 = [,, 7], e) x = [,,, 4, ], x = [,,,, ], x = [5, 5,,, 5], x 4 = [,, 6,, ].. Opisać rozmaitość liniową M a) { M = {x R 4 x + x : + x + x 4 = x x = } b) M = {x R 4 : { x + x + x + x 4 = x + x = } 5

c) d) e) M = {x R 4 : M = {x R 5 : M = {x R 5 : { 4x + x + x x 4 = x + x + x 4 = } { x + x + 4x 5 = x + 4x + x 4 = } { x + x + x 4 = x + x + x 5 = } Odpowiedzi do zadań kontrolnych.. a) wektory są liniowo niezależne, b) wektory x i x są liniowo niezależne, x = x + x, x 4 = 5x + 4x, c) wektory są liniowo niezależne d) wektory x, x, x są liniowo niezależne, x 4 = x + x x e) wektory x, x są liniowo niezależne, x = x x, x 4 = x x.. a) M = x + E, gdzie x = [,,, ], E = {a[, 7,, ] + b[,,, ] : a, b R}, b) M = x + E, gdzie x = [,,, ], E = {a[,,, ] + b[,,, ] : a, b R}, c) M = x + E, gdzie x = [,,, ], E = {a[,,, ] + b[,,, ] : a, b R}, d) M = x + E, gdzie x = [,,,, 8 ], E = {a[,,,, ] + b[,,,, ] + c[ 4,,, 8, ] : a, b, c R} e) M = x + E, gdzie x = [,,,, ], E = {a[,,,, ] + b[,,,, ] + c[,,,, ] : a, b, c R}. 6

IV. PRZESTRZEŃ EUKLIDESOWA Niech E będzie przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych. Odwzorowanie ( ) : E E R takie, że. (x x) oraz [(x x) = x = Θ],. (x y) = (y x),. (ax y) = a(x y), 4. (x y + z) = (x y) + (x z) dla dowolnych x, y, z E, a R nazywamy iloczynem skalarnym w E. Skończeniewymiarowa przestrzeń liniową nad ciałem liczb rzeczywistych z iloczynem skalarnym nazywamy przestrzenią euklidesową. Iloczyn skalarny możemy wprowadzić w przestrzeni liniowej nad ciałem liczb zespolonych, ale wtedy modyfikacji ulega aksjomat., zastępujemy go aksjomatem. (x y) = (y x). Niech < E, ( ) > będzie przestrzenią euklidesową wielkość x = (x x) nazywamy długością wektora x. Twierdzenie 9 Jeżeli < E, ( ) > jest przestrzenią euklidesową, x, y E, to (x y) x y. St d czyli DOWŁD. Niech x, y E, t R. Mamy (x + ty x + ty) = (x x) + t(x y) + t (y y) = 4(x y) 4(x x)(y y), (x y) x y. Powyższe twierdzenie pozwala wprowadzić cosinus kąta między wektorami wzorem (x y) cos(x, y) = x y. Jeżeli (x y) =, to mówimy, że wektory x i y są prostopadłe, piszemy x y. Twierdzenie ( Twierdzenie Pitagorasa ) Niech < E, ( ) > będzie przestrzenią euklidesową, x, y E. Jeżeli x y, to x + y = x + y. DOWŁD. Jeżeli x y, to (x y) =, a więc mamy x + y = (x + y x + y) = (x x) + (x y) + (y y) = x + y. Dalej w przestrzeni R n bazą złożoną z wektorów e = [,,..., ], e = [,,,..., ],..., e n = [,...,, ] 7

będziemy nazywać bazą kanoniczną. Przyjmując {, i = j (e i e j ) =, i j dla wektor w x = [x, x,..., x n ], y = [y, y,..., y n ] otrzymamy (x y) = x y + x y +... + x n y n, x = x + x +... + x n. Dalej w przestrzeni R n będziemy używać tylko tak zdefiniowanego iloczynu skalarnego o ile nie będzie zaznaczone inaczej. Przykład. Niech < E, ( ) > będzie przestrzenią euklidesową. Zbiór K(o, r) = {x E : x r} nazywamy kulą o žrodku w zerze i promieniu r. Baza ortonormalna. Jeżeli wektory b, b,..., b n tworzą bazę w n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej E, (b i b j ) = dla i j oraz b i = dla i =,..., n, to wektory te nazywamy bazą ortonormalną w E. Z każdej bazy możemy zbudować bazę ortonormalną stosując następujący algorytm: Jeżeli wektory a, a,..., a n tworzą bazę w n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej E, to przyjmujemy, że i ogólnie z = a, e = z z, z = a (a e )e, e = z z k z k = a k (a k e i )e i, e k = z k z k i= dla k =,..., n. Przykład. Wektory a = [,,, ], a = [,,, ], a = [,,, ] stanowią bazę przestrzeni E R 4. Zbudować bazę ortonormalną w przestrzeni E oraz wyznaczyć wektor x R 4 taki, że x E. Po pierwsze zbudujemy bazę ortonormalną w E. Mamy z = [,,, ], z = 5, e = [ 5 5 5,,, ], 5 z = [ 5, 4 5,, ], z = 5 5, e = [ 5, 4 5 5 5, 5 5 5, ], z = [ 9, 4 9, 4 9, ], z = 7 9, e 4 4 9 = [,,, ]. 7 7 7 7 8

Aby wyznaczyć wektor x E wystarczy wyznaczyć wektor x taki, że x e, x e, x e. Jeżeli x = [x, x, x, x 4 ], to musimy rozwiązać układ równań 5 5 x + 5 5 x = 5 x + 4 5 5 x + 5 5 5 x = 4 7 x 4 7 x + 9 7 x + 7 x 4 = 5 Układ ten jest równoważny układowi x + x = x + 4x + 5x = x 4x + 4x + 9x 4 = Dodając drugie równanie do trzeciego a następnie pierwsze do drugiego otrzymamy układ równań x + x = 5x + 5x = 9x + 9x 4 = Przyjmując x 4 = a otrzymamy, że x = a[,,, ]. Zadania kontrolne. Sprawdzić czy odwzorowanie ( ) : R R R jest iloczynem skalarnym. a) (x y) = x + x x + y y, b) (x y) = x y + x y + x y, c) (x y) = x y x y + x y, gdzie x = [x, x, x ], y = [y, y, y ]..Niech E = {αa + βa + γa : α, β, γ R}. Zbudować bazę ortonormalną w E oraz wyznaczyć wektor x R 4 taki, że x E. a) a = [,,, ], a = [,,,, ], a = [,,, ], b) a = [,,, ], a = [,,, ], a = [,,, ], c) a = [4,,, ], a = [,,, ], a = [,,, ]. Odpowiedzi do zadań. a) nie, b) tak, c) nie.. a) e = [,,, ], e = [,,, ], e = [,,, ], x = a[,,, ]. b) e = [,,, ], e = [ 6 6, 6 6, 6 6, ], e = [,,, ], x = a[,,, ]. c) e = [,,, ], e = [,,, ], e = [, 6 6, 6 6, 6 6 ], x = a[,,, ]. 9

V. ALGEBRA MACIERZY, WYZNACZNIKI Niech K będzie ciałem. Tablicę a a... a m a A = a... a m... a n a n... a nm gdzie a ij K dla i =,..., n, j =,..., m nazywamy macierzą a n wierszach i m kolumnach. Piszemy również A = [a ij ], i =,..., n, j =,..., m, i jest numerem wiersza, j jest numerem kolumny. Jeżeli m = n, to mówimy, że macierz A jest kwadratowa. Dodawanie macierzy Definicja 4 Jeżeli A = [a ij ], B = [b ij ], i =,..., n, j =,..., m, to przez sumę macierzy A i B, oznaczamy A+B, rozumiemy taką macierz C = [c ij ], że c ij = a ij + b ij dla wszystkich i =,..., n, j =,..., m. Mnożenie macierzy przez liczbę Definicja 5 Niech A = [a ij ], i =,..., n, j =,..., m, a K. Przez iloczyn liczby a i macierzy A, piszemy a A, rozumiemy tak macierz B = [b ij ], i =,..., n, j =,..., m, e [b ij ] = [aa ij ], dla wszystkich i =,..., n, j =,..., m. Macierze jednostkowe Macierze kwadratowe postaci...... E =...... nazywamy macierzami jednostkowymi. Mnożenie macierzy Definicja 6 Jeżeli A = [a ij ], i =,..., n, j =,..., m, B = [b ij ], i =,..., m], j =,..., l, to możemy mówić o iloczynie macierzy A razy B, piszemy A B, i przez ten iloczyn rozumiemy taką macierz C = [c ij ], że c ij = m k= a ikb kj, dla wszystkich i =,..., n, j =,..., l. Używając wprowadzonego iloczynu skalarnego w R m możemy zapisać c ij = (a i. b.j ), gdzie a i. oznacza i-ty wiersz macierzy A, a b.j oznacza j-tą kolumnę macierzy B. Uwaga Z definicji iloczynu macierzy wynika, że jeżeli A B jest wykonalne, to B A nie musi być wykonalne, a jeżeli jest wykonalne, to nie zawsze A B = B A ale zawsze gdy mnożenia są wykonalne. A (B C) = (A B) C,

Twierdzenie Zawsze, gdy A jest macierzą kwadratową A E = E A = A Dla każdego naturalnego n i kwadratowej macierzy A definiujemu A = E, A n = A A n. Przykład. Niech A = ( ), B = ( ) 4. 4 Wtedy Przykład. Niech A = A B = ( ) 4 4, B A = 8 5, B = ( 5 8 ), C = 7 Obliczyć A B C D. Mamy Macierz transponowana ( ) 4 4 E = C D = 6, F = B E = ( ), A B C D = A F = 6 5 5. 7 4 7, D = ( ). Definicja 7 Jeżeli A = [a ij ], to macierz A T = [a ji ] nazywamy macierzą transponowaną do macierzy A, tzn. wiersze macierzy A T są kolumnami macierzy A, a kolumny macierzy A T są wierszami macierzy A. Twierdzenie jeżeli A B istnieje. (A B) T = B T A T, Wyznacznik macierzy kwadratowej Wyznacznik macierzy A, oznaczamy deta, wprowadzmy wzorem rekurencyjnym: Jeżeli A = [a], to deta = a.

Jeżeli ( ) a b A =, c d to deta = ad bc. Załóżmy teraz, że wiemy jak obliczyć wyznacznik macierzy kwadratowej o n- wierszach i kolumnach. Niech A będzie macierzą kwadratową o n wierszach i kolumnach. Niech M ij będzie macierzą która powstaje z macierzy A przez wykreślenie z niej i-tego wiersza i j-tej kolumny. Liczbę A ij = ( ) i+j detm ij nazywamy dopełnieniem algebraicznym elementu a ij w macierzy A. Wtedy deta = n a ij A ij = i= n a ij A ij dla j =,..., n albo i =,..., n. Taki sposób oblicznia wyznacznika nazywamy rozwinięciem Laplace a odpowiednio względem j-tej kolumny albo i-tego wiersza. Własności wyznacznika: - jeżeli jeden wiersz lub jedna kolumna macierzy składa się z samych zer, to jej wyznacznik jest równy zero, - jeżeli w macierzy dwa wiersze lub dwie kolumny są identyczne, to jej wyznacznik jest równy zero, - wyznacznik macierzy nie ulegnie zmianie jeżeli do jednego wiersza ( kolumny ) dodamy inny wiersz ( kolumnę ) pomnożony przez dowolną stałą, - jeżeli jeden wiersz (kolumnę ) macierzy pomnożymy przez dowolną stałą, to wyznacznik też należy pomnożyć przez tą stałą, - jeżeli macierze A i B s kwadratowe i mają te same wymiary, to det(a B) = detadetb. - deta = deta T. Macierz odwrotna Definicja 8 Jeżeli deta, to macierz A = [a ij ] = [ Aji deta ] nazywamy macierzą odwrotną do macierzy A, tzn. aby wyznaczyć macierz odwrotną należy dopełnienia algebraiczne elementów macierzy transponowanej dzielić przez wyznacznik macierzy. W praktyce numerycznej posługujemy się metodą Gaussa wyznaczania macierzy odwrotnej. Metoda ta polega na jednoczesnych takich samych działaniach arytmetycznych na wierszach danej macierzy i macierzy jednostkowej, gdy z danej macierzy otrzymamy macierz jednostkową, to macierz powstała z macierzy jednostkowej jest szukaną macierzą odwrotną. Przykład. Niech A =. Wyznaczyć A. j=

. Metoda Gaussa. Mnożymy drugi wiersz przez i dodajemy do pierwszego, otrzymujemy macierze,. Teraz mnożymy trzeci wiersz przez i dodajemy do drugiego, otrzymujemy macierze,. Teraz wiersz drugi dodajemy trzeciego wiersza, otrzymujemy macierze,. Teraz drugi wiersz mnożymy przez, otrzymujemy macierze,. Tak więc A =.. Z definicji. deta =, A T =, A =, A =, A =, A =, A =, A =, A =, A =, A =. a =, a =, a =, a =, a =, a =, a =, a =, a =. Przykład 4. Obliczyć wyznacznik macierzy 4 5 4 5 A = 4 5. 4 5 5 4 Mnożymy pierwszy wiersz przez i dodajemy go odpowiednio do drugiego, trzeciego i czwartego wiersza, otrzymamy 4 5 deta = det. 5 4

Teraz mnożymy piąty wiersz przez 5 i dodajemy do pierwszego wiersza, otrzymamy 4 8 6 deta = det. 5 4 Rozwijając względem piątej kolumny, otrzymamy 4 8 6 deta = det. Teraz dodajemy kolumnę pierwszą do kolumny drugiej, otrzymamy 4 4 6 deta = det. 4 Rozwijając względem drugiego wiersza, otrzymamy 4 6 deta = det. 4 Dodając pierwszą kolumnę do drugiej, otrzymamy 4 54 6 deta = det. 4 Rozwijając względem drugiego wiersza, otrzymamy ( ) 54 6 deta = det = (6 + 8) = 8 = 6. Przykład 5. Metodą Gaussa wyznaczyć macierz odwrotną do macierzy A = 4.. Mnożymy drugi wiersz przez i dodajemy do pierwszego, trzymujemy macierze,. 4

Teraz trzeci wiersz mnożymy przez i dodajemy do drugiego, otrzymamy macierze,. Teraz wiersz drugi mnożymy przez i dodajemy do pierwszego, otrzymujemy macierze,. Układy równań liniowych Jeżeli A jest macierzą kwadratową o n wierszach i kolumnach, b R n, to równanie macierzowe A x = b opisuje układ równań, którego rozwiązaniem, o ile istnieje, jest wektor x R n. Jeżeli deta, to rozwiązanie istnieje oraz x = A b, taki układ równań będziemy nazywać układem kramerowskim, a jego rozwiązanie opisują wzory Cramera. Twierdzenie Rozwiązanie układu kramerowskigo wyraża się wzorem: x i = W i W, dla i =,..., n, gdzie W = deta, W i jest wyznacznikiem macierzy postałej przez zastąpienie i-tej kolumny macierzy A kolumną b. Przykład 6. Stosując wzory Cramera rozwiązać układ równań x x =. x Mamy W = det ( ) = det =, W = det = det = 8 + = 4, 6 8 W = det = det = ( ) =, W = det = ( ) =. 5

Tak wi c x = 4, x =, x =. Macierz A nie musi być macierzą kwadratową, tak więc będziemy rozpatrywać układ równań A x = b w przypadku, gdy A jest macierzą o n wierszach i m kolumnach, b R m, wtedy oczywiście x R m, o ile istnieje. Interesować nas będzie również pytanie czy rozwiązanie jest jednoznaczne. Wiersze i kolumny macierzy A traktujemy jako wektory odpowiednio przestrzeni liniowej m wymiarowej i n wymiarowej. Definicja 9 Rzędem macierzy A, oznaczamy rza, nazywamy ilość liniowo niezalażnych wierszy macierzy A. Uwaga Dla dowolnej macierzy ilość liniowo niezależnych wierszy jest równa ilości liniowo niezależnych kolumn. Uwaga Rząd macierzy nie ulegnie zmiani jeżeli: - przestawimy dowolne dwa wiersze albo dwie kolumny, - do jednego wiersza dodamy dowolny inny wiersz pomnożony przez dowolną stałą, - do jednej kolumny dodamy inną kolumnę pomnożoną przez dowolną stałą. Dalej przez [A, b] będziemy rozumieć macierz o n wierszach i m+ kolumnach powstałą przez dodanie do macierzy A dodatkowej kolumny b, taką macierz będziemy dalej nazywać macierzą uzupełnioną i oznaczać A u. Twierdzenie 4 (Kroneckera Capelliego) Równanie A x = b posiada rozwiązanie, gdy rza = rza u. Rozwiązanie jest jednoznaczne, gdy dodatkowo rza = m. Przykład 7. Zbadać rozwiązalność podanego układu równań w zależności od parametru a R x + y + z = a ax + y + z = x + ay + z = Mamy A(a) = a, b = a, A u (a) = a a, a a rza(a) = rz a = rz a a a a = rz a a = rz a a a 6

= rz { a, gdy ( a)( a) + = =, gdy ( a)( a) + ( a)( a) + Ponieważ ( a)( a) + > dla każdego a R, a więc rza(a) =, czyli układ posiada dokładnie jedno rozwiązanie dla każdego a R. Rozwiązanie wyznaczymy stosując wzory Cramera. Mamy W = a a+, W = a +5a 4, W = a + a, W = a 5a + 5. Czyli x = a+5a 4 a a+, y = a +a a a+, z = a 5a+5 a a+. Przykład 8. Zbadać rozwiązalność podanego układu równań w zależności od parametru a R Mamy x + y + z = a ax + y + z = z + ay + z = A(a) = a, A u (a) = a a. a a rza(a) = rz a = rz a a a a = rz a a a = {, gdy a, gdy a = Czyli dla a istnieje dokładnie jedno rozwiązanie: x =, y =, z = a a, a bo W = (a ), W = (a ), W = ( a), W = ( a)( a a ). Ponieważ rza u () =, więc dla a = układ posiada nieskończenie wiele rozwiązań. łatwo wyliczyć, że wtedy x y z = + c + d Zadania kontrolne. Wyznaczyć f(a), jeżeli: a) f(x) = x x, a A =.. 7

b) f(x) = x 5x +, A = ( ). c) f(x) = x x + x, A = ( ). d) f(x) = x x + x, A =. ( ) a b. Wykazać, że macierz A = spełnia równanie c d X (a + d) X + (ad bc) E = [], gdzie [] = ( ).. Rozwiązać równania: a) X = ( ). b) X + 6 =. 4. Rozwiązać równania: a) b) c) det = x + det x x = 4 det x + = 5 x 8

5. Wykazać, że: a) cos α sin α det cos β sin β = sin(β α) b) cos ϕ sin ϕ det r sin ϕ r cos ϕ = r 6. Metodą macierzy odwrotnej rozwiązać podany układ równań A x = b: a) 7 A =, b =, 4 b) c) d) e) f) A =, b = 4 6 A = 8, b = 5, 9 8, 6 4 A =, b =, 8 8 4 8 4 8 A =, b =, 8 A =, b =. 8 7. Zbadać rozwiązalność podanych układów równań w zależności od parametrów i rozwiązać, gdy rozwiązanie istnieje: 9

a) x + y + z = x + 6y + z = ax y z = a b) x + y + z = x + 6y + z = ax y z = b c) x + y + z = 4 6x + y z = ax y z = b d) x + y + z = 4x y + z = ax y z = b e) x + y + z = 6x + y + z = ax y z = b f) x + 4y + 4z = x + ay + z = x y z = g) x + 4y + 4z = x + ay + z = x y z = h) Odpowiedzi do zadań.. c) 5 a) ax + y + z = x + ax + z = a x + y + az = a 5 8 ( ) 8, d) 7 48, b) ( ), 5 9 9 9 5 9. 9 9 6 4

a) x = [m, n, m + n ], m, n R, b) x = [ 9 7, 7, 8 7 ], 4. a) x =, b) x =, x =, c) x = 4, x = 6. 6. a) x = [,,, ], b) x = [,,, ], c) x = [,,, ], d) x = [,,, ], e) x = [,,, ], f) x = [,,, ]. 7. a) Dla a istnieje dokładnie jedno rozwiązanie x =, y = 5, z = 5. Dla a = istnieje nieskończenie wiele rozwiązań: x y z = c 5 + 4, c R. b) Dla a istnieje dokładnie jedno rozwiązanie x = + b + a, y = a b b a +, z = 5( + a) 5( + a) Dla a = i b układ sprzeczny. Dla a = b = istnieje nieskończenie wiele rozwiązań: x y = c 5 +, c R. z 4 c) Dla a istnieje dokładnie jedno rozwiązanie x = (b + ) + a 6a 4b, y =, z = ( + a) 6a + 8b +. ( + a) Dla a =, b układ jest sprzeczny. Dla a = i b = istnieje nieskończenie wiele rozwiązań: x y z = c 7 4 +, c R. d) Dla a istnieje dokładnie jedno rozwiązanie x = b + + a, y = 6b a + b + 4a, z =. ( + a) ( + a) Dla a = i b układ jest sprzeczny. Dla a = i b = układ posiada nieskończenie wiele rozwiązań: x y x = c +, c R. 4

e) Dla a układ posiada dokładnie jedno rozwiązanie x = + b + a, y = 4b a +, z = + a 5b + a. + a Dla a = i b układ jest sprzeczny. Dla a = b = istnieje nieskończenie wiele rozwiązań: x y = c 4 +, c R. z 5 f) Dla a układ posiada dokładnie jedno rozwiązanie x = 5 5 5a 4 6a, y = 4 a, z = a + 5 6a. Dla a = układ jest sprzeczny. g) Dla a układ posiada dokładnie jedno rozwiązanie x =, y =, z =. Dla a = układ posiada nieskończenie wiele rozwiązań: x y z = c 4 9 7 +, c R. h) Dla a i a układ posiada dokładnie jedno rozwiązanie x = a a +, y = (a + ), z = a + a +. Dla a = układ jest sprzeczny. Dla a = układ posiada nieskończenie wiele rozwiązań x y = + c + d, c, d R. z 4

VI. Geometria analityczna w R. Przyjmujemy oznaczenia: i = [,, ], j = [,, ], k = [,, ], r = [x, y, z]. Niech A = (x A, y A, z A ), B = (x B, y B, z B ). Wtedy AB = [x B x A, y B y A, z B z A ]. Jeżeli przez α, β, γ oznaczymy kąty jakie tworzy wektor AB z osiami układu współrzędnych, to cos α = x B x A u, cos β = y B y A u, cos γ = z B z A, u gdzie u = (x B x A ) + (y B y A ) + (z B z A ). Jeżeli a = [a x, a y, a z ], b = [b x, b y, b z ], to (a b) = a x b x + a y b y + a z b z. Iloczyn wektorowy Odwzorowanie : R R R, a b = c, takie, ze c a, c b, trójka wektorów a, b, c ma orientację zgodną z orientacją przestrzeni, c = a b sin(a, b) nazywamy iloczynem wektorowym wektorów a, b. Twierdzenie 5 Dla dowolnych a, b, c R : a b = (b a), a (b + c) = (a b) + (a c), 4

(λa) b = λ(a b), a (b c) = b(a c) c(b b), a b = i j k a x a y a z. b x b y b z Iloczyn mieszany Wyrażenie (a, b, c) = (a b c) nazywamy iloczynem mieszanym wektorów a, b, c. Jeżeli (a, b, c) =, to wektory a, b, c są komplanarne, tzn. leżą na jednej płaszczyżnie. Uwaga 4 Objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach a, b, c wyliczamy ze wzoru V = (a, b, c) = det a x a y a z b x b y b z. c x c y c z Przykład. Wyznaczyć kat między wektorami a = i + j, b = i j + k. Wykorzystując wzór na cosinus kąta między wektorami w przestrzni euklidesowej mamy (a b) cos(a, b) = a b = =. 9 Czyli kąt między wektorami a, b wynosi Π 4. Przykład. Dane są wektory a = i+j +k, b = i j +k, c = i+j 4k. Wyznaczyć wektor x taki, że (x a) = 5, (x b) =, (x c) =. Przyjmując, że x = x i + x j + x k musimy rozwiązać układ równań x x + x = 5 x x + x = x + x 4x = Rozwiązując ten układ metodą eliminacji Gaussa otrzymamy, że x =, x =, x =, tak więc x = i + j k. Przykład. Obliczyć pole równoległoboku zbudowanego na wektorach a = i + j + k, b = i j + k. Z definicji iloczynu wektorowego otrzymamy, że pole równoległoboku P zbudowanego na wektorach a, b dane jest wzorem P = a b. Czyli w naszym zadaniu P = i j k = 5i 5j 5k = 5. 44

Przykład 4. Sprawdzić cy wektory a = [,, ], b = [,, ], c = [,, ] s komplanarne. Mamy (a, b, c) = det = det 4 5 = 5. 9 5 Czyli te wektory nie leżą na jednej płaszczyźnie, a więc są liniowo niezależne. Przykład 5. Wyznaczyć objętość czworościanu o wierzchołkach w punktach A(,, ), B(, 4, ), C(,, 7), D(, 4, 9) oraz jego wysokość poprawadzoną z wierzchołka D. Objętość tego czworościanu jest równa 6-tej objętości równoległościanu zbudowanego na wektorach AB, AC, AC. Tak więc V c = 6 V = (AB, AC, AD) 6 = (8i + j + 6k j + 8k) = 4. 6 Pole równoległoboku zbudowanego na wektorach AB, AC jest równe AB AC = 54. Tak więc szukana wysokość d = V 54 = 4. Płaszczyzna w R Niech π będzie zadaną płaszczyzną, niech A(x, y, z ) π, niech n π, gdzie n = [n x, n y, n z ], i niech A (x, y, z) będzie dowolnym punktem płaszczyzny π. Wtedy AA n, czyli (AA n) =, a więc n x (x x ) + n y (y y ) + n z (z z ) = oznaczając n x x + n y y + n z z = s otrzymamy ostatecznie n x x + n y y + n z z s =, albo używając innych oznaczeń otrzymamy równanie Ax + By + Cz + D = które nazywamy równaniem kanonicznym płaszczyzny π, a wektor [A, B, C] jest wektorem prostopad ym do tej p aszczyzny oraz Ax + By + Cz = D. Odległość punktu od płaszczyzny Niech płaszczyzna π dana będzie równaniem Ax + By + Cz + D =, niech M(x M, y M, z M ) R, wtedy odległość punktu M od płaszczyzny π dana jest wzorem d(m, π) = Ax M + By M + Cz M + D A + B + C. Pęk płaszczyzn Jeżeli płaszczyzny π i π nie są równoległe i π π = l, to zbiór wszystkich prostych przechodzących przez prostą l nazywamy pękiem płaszczyzn generowanym przez płaszczyzny π, π. Jeżeli π dana jest równaniem A x + B y + 45