Uniwersytet Jagielloński Wydział Matematyki i Informatyki Instytut Matematyki. Wykłady z Analizy Matematycznej I, II, III, IV.

Uniwersytet Jagielloński Wydział Matematyki i Informatyki Instytut Matematyki Wykłady z Analizy Matematycznej I, II, III, IV Marek Jarnicki (Wersja z 13 czerwca 2015

Spis treści Część I. Analiza Matematyczna I.................................................. 1 Rozdział 1. Wstęp............................................................................. 3 1.1. Logika................................................................................ 3 1.2. Zbiory................................................................................ 4 1.3. Relacje............................................................................... 4 1.4. Odwzorowania........................................................................ 5 1.5. Zbiory przeliczalne.................................................................... 6 1.6. Grupy, ciała, ciała uporządkowane.................................................... 7 1.7. Konstrukcja Cantora liczb rzeczywistych.............................................. 8 1.8. Kresy................................................................................. 10 1.9. Nieprzeliczalność R................................................................... 11 1.10. Funkcje monotoniczne i okresowe...................................................... 11 1.11. Uzupełniony (rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych................................... 12 1.12. Liczby zespolone...................................................................... 12 Rozdział 2. Ciągi liczbowe..................................................................... 15 2.1. Ciągi liczbowe........................................................................ 15 2.2. Pierwiastkowanie i potęgowanie....................................................... 16 2.3. Liczba e.............................................................................. 19 2.4. Granice górne i dolne................................................................. 20 Rozdział 3. Przestrzenie metryczne............................................................ 23 3.1. Przestrzenie metryczne................................................................ 23 3.2. Przestrzenie zwarte................................................................... 25 3.3. Przestrzenie spójne................................................................... 26 3.4. Iloczyn kartezjański przestrzeni metrycznych.......................................... 27 3.5. Przestrzenie unormowane............................................................. 27 Rozdział 4. Ciągłość........................................................................... 29 4.1. Funkcje ciągłe........................................................................ 29 4.2. Granica w punkcie.................................................................... 30 4.3. Własności funkcji ciągłych............................................................ 31 4.4. Krzywe............................................................................... 34 Rozdział 5. Pochodna......................................................................... 35 5.1. Podstawowe pojęcia................................................................... 35 5.2. Twierdzenia o wartościach średnich.................................................... 37 5.3. Reguła de L Hôpitala................................................................. 39 5.4. Pochodne wyższych rzędów........................................................... 40 5.5. Wzór Taylora......................................................................... 42 5.6. Funkcje wypukłe...................................................................... 45 Część II. Analiza Matematyczna II................................................ 49 Rozdział 6. Szeregi............................................................................ 51 6.1. Szeregi liczbowe....................................................................... 51 3

4 Marek Jarnicki, Wykłady z Analizy Matematycznej I, II, III, IV, wersja z 13 czerwca 2015 Spis treści 6.2. Iloczyny szeregów..................................................................... 55 6.3. Ciągi i szeregi funkcyjne.............................................................. 57 6.4. Szeregi potęgowe...................................................................... 62 6.5. Szeregi potęgowe rzeczywiste.......................................................... 65 6.6. Szereg Taylora........................................................................ 66 6.7. Funkcje analityczne................................................................... 67 Rozdział 7. Całka............................................................................. 71 7.1. Całka Riemanna...................................................................... 71 7.2. Długość krzywej...................................................................... 78 7.3. Przykłady zastosowania całek......................................................... 80 7.4. Całka niewłaściwa.................................................................... 83 Rozdział 8. Szeregi Fouriera................................................................... 87 8.1. Szeregi Fouriera....................................................................... 87 Część III. Analiza Matematyczna III.............................................. 95 Rozdział 9. Elementy topologii................................................................ 97 9.1. Przestrzenie metryczne II............................................................. 97 9.2. Funkcje półciągłe..................................................................... 100 9.3. Funkcje wypukłe II................................................................... 102 9.4. Przestrzenie unormowane II........................................................... 104 9.5. Rodziny sumowalne................................................................... 112 9.6. Szeregi potęgowe...................................................................... 118 9.7. Operator odwracania w algebrach Banacha............................................ 119 9.8. Twierdzenie aproksymacyjne Stone a Weierstrassa.................................... 120 9.9. Wielomiany Bernsteina............................................................... 123 Rozdział 10. Różniczkowanie odwzorowań....................................................... 125 10.1. Różniczkowanie odwzorowań zmiennej rzeczywistej.................................... 125 10.2. Wzór Taylora......................................................................... 133 10.3. Szereg Taylora........................................................................ 135 10.4. Funkcje analityczne................................................................... 136 10.5. Pochodne kierunkowe................................................................. 138 10.6. Różniczkowanie odwzorowań określonych w przestrzeni unormowanej.................. 141 10.7. Druga pochodna...................................................................... 149 10.8. Przestrzenie unormowane III.......................................................... 152 10.9. Pochodne wyższych rzędów........................................................... 155 10.10. Wzór Taylora......................................................................... 159 10.11. Szereg Taylora........................................................................ 161 10.12. Ekstrema lokalne...................................................................... 163 10.13. Twierdzenie o odwzorowaniu odwrotnym i twierdzenie o odwzorowaniu uwikłanym.... 165 10.14. Odwzorowania analityczne............................................................ 172 10.15. Twierdzenie o rzędzie................................................................. 175 10.16. Podrozmaitości....................................................................... 177 10.17. Ekstrema warunkowe................................................................. 185 Część IV. Analiza Matematyczna IV.............................................. 189 Rozdział 11. Całka Riemanna.................................................................. 191 11.1. Całka Riemanna na kostce............................................................ 191 11.2. Całka Riemanna na zbiorze regularnym............................................... 197 11.3. Własności całki Riemanna............................................................ 199 11.4. Całki krzywoliniowe. Wzór Greena.................................................... 201 Rozdział 12. Teoria miary i całki............................................................... 207

Marek Jarnicki, Wykłady z Analizy Matematycznej I, II, III, IV, wersja z 13 czerwca 2015 Spis treści 5 12.1. Miara i całka repetytorium......................................................... 207 12.2. Całka Riemanna a całka Lebesgue a................................................... 215 12.3. Zasada Cavalieriego. Twierdzenia Tonellego i Fubiniego................................ 216 12.4. Twierdzenie o zmianie zmiennych w całce Lebesgue a.................................. 220 12.5. Funkcje dane całką.................................................................... 223 12.6. Gęstość C 0 (Ω, C w L p (Ω, C, L n...................................................... 224 12.7. Splot................................................................................. 224 12.8. Regularyzacja......................................................................... 226 12.9. Rozkład jedności...................................................................... 228 12.10. Miara i całka Lebesgue a na podrozmaitościach w R n.................................. 230 Rozdział 13. Twierdzenie Stokesa............................................................... 233 13.1. Orientacja............................................................................ 233 13.2. Formy różniczkowe.................................................................... 238 13.3. Twierdzenie Stokesa................................................................... 247 Rozdział 14. Wybrane rozdziały analizy matematycznej......................................... 255 14.1. Szeregi Fouriera II.................................................................... 255 14.2. Odwzorowania o wahaniu ograniczonym............................................... 259 14.3. Kryterium Jordana II................................................................. 261 14.4. Transformacja Fouriera............................................................... 262 Rozdział Literatura......................................................................... 267 Rozdział Indeks nazwisk.................................................................... 269 Rozdział Indeks............................................................................. 271

Część I Analiza Matematyczna I

ROZDZIAŁ 1 Wstęp 1.1. Logika Będziemy rozważać zdania, o których możemy zawsze stwierdzić, czy są prawdziwe, czy fałszywe. Z punktu widzenia logiki istotne jest wyłącznie to, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe. Fakt, iż zdanie p jest prawdziwe zapisujemy p = 1, zaś, gdy jest fałszywe piszemy p = 0. Jeżeli p = 1, to mówimy, że p ma wartość logiczną 1, jeżeli p = 0, to p ma wartość logiczną 0. Zaprzeczenie (negację zdania p oznaczamy p. Oczywiście, p = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy p = 1. Parom zdań (p, q możemy przy pomocy pewnych reguł (funktorów przyporządkowywać nowe zdania p q. W tym celu wystarczy podać wartość logiczną zdania p q w zależności od wartości logicznych zdań p i q. Trzeba więc wypełnić tabelkę: p q p q 0 0? 0 1? 1 0? 1 1? gdzie w miejscach pytajników należy wpisać 1 lub 0 (ich układ wyznacza jednoznacznie funktor. Łatwo widać, że mamy 2 4 = 16 możliwości. Podstawowe funktory to: (1 Alternatywa (suma logiczna p q, inaczej oznaczana lub. (2 Koniunkcja (iloczyn logiczny p q, inaczej oznaczana i, lub samym przecinkiem. (3 Implikacja (wynikanie p = q (p nazywamy poprzednikiem, q nazywamy następnikiem. (4 Równoważność (wtedy i tylko wtedy p q. p q p q 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 p q p q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 p q p = q 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 p q p q 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Przy pomocy funktorów,,, = i możemy tworzyć bardziej skomplikowane zdania, np. ( p q, czy też (p q r. Prawa de Morgana ( 1 : (p q ( p ( q, (p q ( p ( q. Kwantyfikatory: Kwantyfikator (duży dla każdego, np. x R : x 2 0. Kwantyfikator (mały istnieje, np. x R : x 2 = 2. Istnieje dokładnie jeden!, np.! x R : x 0, x 2 = 2. Prawa de Morgana dla kwantyfikatorów: ( 1 Augustus De Morgan (1806 1871. 3

4 Marek Jarnicki, Wykłady z Analizy Matematycznej I, II, III, IV, wersja z 13 czerwca 2015 1. Wstęp ( x A : W (x x A : W (x, ( x A : W (x x A : W (x. Definiowanie: Oznaczenie := oznacza równość z definicji i stosujemy je następująco: obiekt definiowany := obiekt definiujący, np. f(x := x 2, ale też x 2 =: f(x. Podobnie, oznaczenie : oznacza równoważny z definicji, np. A B : x A : x B. 1.2. Zbiory Pojęcia zbioru oraz należenia do zbioru są pierwotne i nie są definiowane. Zbiór pusty, tzn. zbiór, do którego nie należy żaden element, oznaczamy przez. Zawieranie (inkluzja zbiorów: A B : x A : x B. Będziemy też pisać A B, jeżeli B A. Równość zbiorów: A = B : A B, B A. Będziemy pisać A B, jeżeli A B i A B. Zbiór wszystkich podzbiorów zbioru (potęga zbioru X: P(X := {A : A X}. P({1, 2} = {, {1}, {2}, {1, 2}}. P( = { }, P(P( = {, { }},.... Jeżeli zbiór X ma N elementów, X = {x 1,..., x N }, to zbiór P(X ma 2 N elementów. Suma zbiorów: Jeżeli (A i i I P(X, to A i := {x X : i I : x A i }. i I Jeżeli I = {k, k + 1,..., N}, to piszemy N A j. Jeżeli I = {k, k + 1,... }, to piszemy A j. j=k j=k Iloczyn (przecięcie zbiorów: A i := {x X : i I : x A i }; podobnie jak dla sumy zbiorów definiujemy N j=k A j i j=k A j. i I Różnica zbiorów: Jeżeli A, B X, to A \ B := {x A : x / B}; A c := X \ A dopełnienie zbioru A. Prawa de Morgana dla zbiorów: ( A i c = A c i, ( A i c = A c i. i I i I Iloczyn kartezjański dwóch zbiorów: A B := {(x, y : x A, y B}, gdzie (x, y := {{x}, {x, y}}. Jeżeli A = B, to zamiast A A, piszemy często A 2. Iloczyn kartezjański skończonej liczby zbiorów: A 1 A n := {(x 1,..., x n : x 1 A 1,..., x n A n }, gdzie (x 1,..., x n := {{x 1 }, {x 1, x 2 },..., {x 1,..., x n }}; A A =: A }{{} n. n razy Ćwiczenie 1.2.1. Udowodnić, że (x 1,..., x n = (y 1,..., y n x 1 = y 1,..., x n = y n. i I i I Zbiory liczbowe: N zbiór liczb naturalnych 1, 2,..., N 0 := N {0}, N k := {n N : n k} (k N, Z zbiór liczb całkowitych, Q zbiór liczb wymiernych, R zbiór liczb rzeczywistych, C zbiór liczb zespolonych. Oczywiście N N 0 Z Q R C. A := A \ {0}, np. Q. A + := {x A : x 0}, np. Z + (= N 0. A >0 := {x A : x > 0}, np. R >0. Podobnie definiujemy A, A <0. 1.3. Relacje Definicja 1.3.1. Relacją w zbiorze X nazywamy dowolny zbiór R X X. Zamiast pisać (x, y R piszemy zwykle xry. Relację R nazywamy równoważnościową, jeżeli: (i (zwrotność x X : xrx, (ii (symetryczność x,y X : (xry = yrx, (iii (przechodniość x,y,z X : ((xry, yrz = xrz.

Marek Jarnicki, Wykłady z Analizy Matematycznej I, II, III, IV, wersja z 13 czerwca 2015 1.4. Odwzorowania 5 Jeżeli R X X jest relacją równoważnościową, to dla dowolnego x X definiujemy klasę równoważności (abstrakcji x względem R [x] R := {y X : xry}. Rodzinę X/R := {[x] R : x X} P(X nazywamy przestrzenią ilorazową. Oczywiście, x [x] R oraz [x] R = [y] R xry (Ćwiczenie. Przykład 1.3.2. X = Z, xry : 2 (x y. Wtedy Z/R = {[0] R, [1] R }. 1.4. Odwzorowania Definicja 1.4.1. Dane niech będą zbiory X oraz Y. Zbiór f X Y nazywamy odwzorowaniem (funkcją, jeżeli x X! y Y : (x, y f. Jeżeli f X Y jest odwzorowaniem, to piszemy f : X Y. Zamiast pisać (x, y f, piszemy y = f(x. Jest to zgodne z tradycyjną definicją odwzorowania f : X Y jako przyporządkowania każdemu elementowi x X pewnego elementu y = f(x Y. Dla A X definiujemy obraz A poprzez f jako zbiór f(a := {f(x : x A}. Dla B Y definiujemy przeciwobraz B poprzez f jako zbiór f 1 (B := {x X : f(x B}. Zamiast pisać f 1 ({b} piszemy f 1 (b. Odwzorowanie f : X Y nazywamy: surjekcją, jeżeli Y = f(x; injekcją (odwzorowaniem różnowartościowym, jeżeli dowolnych x 1, x 2 X z tego, że f(x 1 = f(x 2 wynika, że x 1 = x 2 (równoważnie: jeżeli x 1 x 2, to f(x 1 f(x 2 ; bijekcją, jeżeli jest równocześnie injekcją i surjekcją. Dla bijekcji f : X Y definiujemy odwzorowanie odwrotne (funkcję odwrotną f 1 : Y X przy pomocy przepisu f 1 (y = x : y = f(x. Jeżeli f : X Y, to dla A X określamy zacieśnienie (zawężenie, restrykcję odwzorowania f do A jako odwzorowanie f A : A Y dane wzorem f A (x := f(x, x A. Jeżeli f j : X j Y, j = { 1, 2, oraz f 1 X1 X 2 = f 2 X1 X 2, to odwzorowanie f 1 f 2 : X 1 X 2 Y f 1 (x, gdy x X 1 dane wzorem (f 1 f 2 (x := nazywamy sklejeniem odwzorowań f 1 i f 2. f 2 (x, gdy x X 2 Jeżeli f : X Y oraz g : Y Z, to odwzorowanie g f : X Z dane wzorem (g f(x := g(f(x, x X, nazywamy złożeniem odwzorowań f oraz g. Jeżeli f j : X Y j, j = 1,..., N, to odwzorowanie (f 1,..., f N : X Y 1 Y N dane wzorem (f 1,..., f N (x := (f 1 (x..., f N (x nazywamy zestawieniem odwzorowań f 1,..., f N. Jeżeli f j : X j Y j, j = 1,..., N, to odwzorowanie (f 1 f N : X 1 X N Y 1 Y N dane wzorem (f 1,..., f N (x 1,..., x N := (f 1 (x 1..., f N (x N nazywamy iloczynem kartezjańskim odwzorowań f 1,..., f N. Jeżeli zbiór f(x jest jednopunktowy, to mówimy, że f jest odwzorowaniem stałym. Odwzorowanie X x id X x X nazywamy odwzorowaniem identycznościowym. Każde odwzorowanie f : N X nazywamy ciągiem w X. Zwykle kładziemy f n := f(n, n N, i piszemy (f n n=1 X lub (f n n N X, np. (1/n n=1 Q. Podciągiem ciągu f : N X jest nazywamy dowolny ciąg postaci f ϕ : N X, gdzie ϕ : N N jest odwzorowaniem takim, że ϕ(1 < ϕ(2 <... (zauważmy, że ϕ musi być injekcją. Kładąc n k := ϕ(k, k N, piszemy wtedy, że (f nk k=1 jest podciągiem ciągu (f n n=1. Jeżeli A X, to przez χ A,X : X {0, 1} oznaczamy funkcję charakterystyczną zbioru A, { 1, gdy x A χ A,X (x := 0, gdy x X \ A ; jeżeli zbiór X nie budzi wątpliwości, to będziemy pisać χ A.

Marek Jarnicki, Wykłady z Analizy Matematycznej I, II, III, IV, wersja z 13 czerwca 2015 6 1. Wstęp Obserwacja 1.4.2. (a Jeżeli f : X Y, to f( A i = f(a i oraz f( A I f(a i (Ćwiczenie: znaleźć przykład funkcji f : R R oraz zbiorów A, B R takich, że = f(a B i I i I i I i I f(a f(b. (b Jeżeli f : X Y, to f 1 ( B j = f 1 (B j oraz f 1 ( B j = f 1 (B j. j J j J (c Składanie odwzorowań jest łączne, tzn. h (g f = (h g f. (d Odwzorowanie f : X Y jest bijekcją wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje odwzorowanie g : Y X takie, że g f = id X oraz f g = id Y. (e Jeżeli f : X Y i g : Y Z są injekcjami (odp. surjekcjami, bijekcjami, to g f jest injekcją (odp. surjekcją, bijekcją. Ponadto, jeżeli f i g są bijekcjami, to (g f 1 = f 1 g 1. (f Jeżeli f : X Y jest bijekcją, to f 1 : Y X jest również bijekcją, (f 1 1 = f oraz f 1 (B(przeciwobraz poprzez f = f 1 (B(obraz poprzez f 1. j J j J 1.5. Zbiory przeliczalne Twierdzenie 1.5.1 (Zasada indukcji matematycznej. Niech A Z. Jeżeli k 0 A oraz to {k Z : k k 0 } A. k Z (k A = k + 1 A, Twierdzenie 1.5.2 (Zasada minimum. Niech A N. Wtedy tzn. k 0 = min A. k0 A k A : k 0 k, Definicja 1.5.3. Dwa zbiory X oraz Y nazywamy równolicznymi, jeżeli istnieje bijekcja ϕ : X Y. Zbiór A nazywamy skończonym, jeżeli A = lub A jest równoliczny ze zbiorem {1,..., n} dla pewnego n N (wtedy mówimy, że A jest n-elementowy. Zbiory nieskończone to takie, które nie są skończone. Mówimy, że A jest przeliczalny, jeżeli A jest równoliczny z N; zapisujemy to jako #A = ℵ 0. Zbiór A nazywamy co najwyżej przeliczalnym, jeżeli jest skończony lub przeliczalny; zapisujemy to jako #A ℵ 0. Zbiór A nazywamy nieprzeliczalnym, jeżeli nie jest co najwyżej przeliczalny. Obserwacja 1.5.4. (a Relacja równoliczności zbiorów jest relacją równoważnościową. (b Zbiór jest przeliczalny, jeżeli wszystkie wyrazy tego zbioru można ustawić w ciąg różnowartościowy. (c N 0, Z są przeliczalne. (d Każdy nieskończony zbiór C N można ustawić w ciąg ściśle rosnący a : N C, tzn. a(n < a(n + 1, n N. Istotnie, korzystając z zasady minimum definiujemy a(1 : = min C, a(n : = min(c \ {a(1,..., a(n 1}, n 2. Trzeba tylko pokazać, że a jest odwzorowaniem surjektywnym. Przypuśćmy, że c 0 C \a(n. Wtedy n a(n c 0 dla dowolnego n N, co daje sprzeczność. (e Dowolny nieskończony podzbiór B zbioru przeliczalnego A jest przeliczalny. Istotnie, ponieważ A jest przeliczalny, istnieje bijekcja ϕ : N A. Niech C := ϕ 1 (B; jest to zbiór nieskończony oraz ϕ C : C B jest bijekcją. Wiemy, że C można ustawić w ciąg ściśle rosnący a : N C. Teraz ψ := ϕ a jest bijekcją N B. Twierdzenie 1.5.5. Załóżmy, że rodzina (A i i I P(X jest taka, że #I ℵ 0 oraz #A i ℵ 0, i I. Wtedy zbiór A := A i jest co najwyżej przeliczalny. i I Dowód. Wystarczy pokazać, że w przypadku gdy #I = ℵ 0 oraz #A i = ℵ 0, i I, zbiór A jest przeliczalny. Możemy założyć, że I = N oraz, że każdy zbiór A i jest ustawiony w ciąg (a i,n n=1. Elementy wszystkich

Marek Jarnicki, Wykłady z Analizy Matematycznej I, II, III, IV, wersja z 13 czerwca 2015 1.6. Grupy, ciała, ciała uporządkowane zbiorów ustawiamy w nieskończoną tablicę a 1,1 a 1,2 a 1,3 a 1,4...... a 2,1 a 2,2 a 2,3 a 2,4...... a 3,1 a 3,1 a 3,3 a 3,4...... a 4,1 a 4,2 a 4,3 a 4,4...... i teraz wszystkie elementy zbioru A ustawimy w ciąg zgodnie ze strzałkami. 7 Wniosek 1.5.6. Jeżeli X 1,..., X n są co najwyżej przeliczalne, to X 1 X n jest co najwyżej przeliczalny. Dowód. Indukcja względem n. Przypadek n = 1 jest oczywisty. Przechodzimy do kroku indukcyjnego n n + 1. Wtedy X 1 X n+1 = X 1 X n {x n+1 } x n+1 X n+1 i możemy zastosować Twierdzenie 1.5.5. Wniosek 1.5.7. Zbiór Q jest przeliczalny. Dowód. Q możemy utożsamiać z pewnym nieskończonym podzbiorem Z 2. Twierdzenie 1.5.8 (Cantor ( 2. Zbiór X wszystkich ciągów N {0, 1} jest nieprzeliczalny. Dowód. Oczywiście X jest nieskończony. Przypuśćmy, że ustawiliśmy go w ciąg a : N X. Teraz zdefiniujemy pewien element x X: Ponieważ, x / a(n dostajemy sprzeczność. x(n := 1 a(n(n, n N. Powyższa metoda dowodu nosi nazwę metody przekątniowej. 1.6. Grupy, ciała, ciała uporządkowane Definicja 1.6.1. Grupą przemienną (abelową nazywamy dowolną parę (G,, gdzie G jest zbiorem niepustym, zaś : G G G jest działaniem spełniającymi następujące warunki: (a a,b,c G : (a b c = a (b c (łączność, (b e G a G : a e = e a = a (element neutralny, (c a G a G : a a = a a = 0 (element odwrotny; jeżeli spełnione są warunki (a, (b i (c, to mówimy, że (G, jest grupą, (d a,b G : a b = b a (przemienność. Ciałem nazywamy dowolną trójkę (F, +,, gdzie F jest niepustym zbiorem, zaś są działaniami spełniającymi następujące warunki: + : F F F, : F F F (a (F, + jest grupą przemienną (element neutralny względem + oznaczamy przez 0, zaś element odwrotny przez a, (b (F, jest grupą przemienną (element neutralny względem oznaczamy przez 1, zaś element odwrotny przez a 1, (c a,b,c F : a (b + c = a b + a c (rozdzielność mnożenia względem dodawania. ( 2 Georg Cantor (1845 1918.

8 Marek Jarnicki, Wykłady z Analizy Matematycznej I, II, III, IV, wersja z 13 czerwca 2015 1. Wstęp Mówimy, że czwórka (F, +,, < jest ciałem uporządkowanym jeżeli (F, +, jest ciałem, zaś < jest relacją w F taką, że: (P1 a,b F : zachodzi dokładnie jedna z możliwości: a < b, a = b, b < a (spójność, (P2 a,b,c F : ((a < b, b < c = a < c (przechodniość. (P3 a,b,c F : (b < c = a + b < a + c (zgodność relacji z dodawaniem, (P4 a,b,c F : (0 < a, b < c = a b < a c (zgodność relacji z mnożeniem. Mówimy, że ciało uporządkowane (F, +,, < spełnia aksjomat ciągłości (aksjomat Dedekinda ( 3, jeżeli niemożliwe jest przedstawienie F = A B, gdzie (C1 A, B, (C2 a A, b B : a < b, (C3 a A a A : a < a, (C4 b B b B : b < b. Obserwacja 1.6.2. (Q, +,, < jest ciałem uporządkowanym, które nie spełnia aksjomatu Dedekinda. Istotnie, Q = {x Q : (x 0 (x > 0, x 2 < 2} {x Q : x 2 > 2}. 1.7. Konstrukcja Cantora liczb rzeczywistych Zakładamy, że znamy ciało uporządkowane (Q, +,, < wraz ze standardową wartością bezwzględną : Q Q +. Definicja 1.7.1. Mówimy, że ciąg a = (a n n=1 Q jest ciągiem Cauchy ego ( 4, jeżeli ε Q>0 N N m,n N : a n a m ε. Dla ciągów a = (a n n=1, b = (b n n=1 Q definiujemy a b : ε Q>0 N N n N : a n b n ε. Niech C = {a = (a n n=1 Q : a jest ciągiem Cauchy ego}. Łatwo widać, że jest relacją równoważności w C. Definiujemy zbiór liczb rzeczywistych R := C/. Konstrukcja 1.7.2 (Budowa struktury zbioru liczb rzeczywistych. Poniżej a = (a n n=1, b = (b n n=1, c = (c n n=1, d = (d n n=1 C. (a a + b := (a n + b n n=1 C. Jeżeli a c oraz b d, to a + b c + d. (b Istnieje M Q + takie, że a n M, n N. Istotnie, biorąc w definicji ciągu Cauchy ego, ε = 1 wnioskujemy, że istnieje N N takie, że a n a N 1 dla n N. W takim razie wystarczy wziąć M := max{ a 1,..., a N 1, a N + 1}. (c a b := (a n b n n=1 C. Istotnie, niech M Q + będzie takie, że a n, b n M dla n N. Wtedy a n b n a m b m M( a n a m + b n b m. (d Jeżeli a c oraz b d, to a b c d. Istotnie, niech M Q + będzie takie, że b n, c n M dla n N. Wtedy a n b n c n d n M( a n c n + b n d n. (e Powyższe własności pozwalają zdefiniować w C/ działania dodawania i mnożenia: [a] + [b] := [a + b], [a] [b] := [a b]. Jest oczywiste, że działania te są łączne i przemienne. Ponadto, mnożenie jest rozdzielne względem dodawania. (f Dla r Q przez r rozumiemy ciąg stały r n := r, n N. Oczywiście r C. Teraz definiujemy τ : Q R, τ(r = [r], r Q. Zauważmy, że τ jest injektywne oraz τ(r 1 + r 2 = τ(r 1 + τ(r 2, τ(r 1 r 2 = τ(r 1 τ(r 2, czyli τ jest zgodne z działaniami. ( 3 Julius Dedekind (1831 1916. ( 4 Augustin Cauchy (1789 1857.

Marek Jarnicki, Wykłady z Analizy Matematycznej I, II, III, IV, wersja z 13 czerwca 2015 1.7. Konstrukcja Cantora liczb rzeczywistych 9 (g Elementy τ(0 = [0] oraz τ(1 = [1] są neutralne odp. względem dodawania i mnożenia. Łatwo też widać, że element [ a] jest odwrotny do [a] względem dodawania, gdzie a := ( a n n=1. Krótko: [a] = [ a]. (h a b ε0 Q >0, N N : ( n N : a n b n + ε 0 ( n N : b n a n + ε 0. Istotnie, implikacja = jest oczywista. Dla dowodu implikacji = wprost z definicji relacji wnioskujemy, że istnieje ε Q >0 oraz ciąg liczb (n k k=1 N takie, że n 1 < n 2 <... i a nk b nk > ε. Niech I + := {k N : a nk b nk > ε}, I := {k N : b nk a nk > ε}. Co najmniej jeden z tych zbiorów musi być nieskończony. Przyjmijmy, że I +. Zastępując ciąg (n k k=1 stosownym podciągiem, możemy założyć, że I + = N. Wobec definicji ciągu Cauchy ego istnieje N N takie, że a n a m ε/3 i b n b m ε/3 dla n, m N. Ustalmy k N takie, że n k N. Wtedy dla n N mamy a n b n a nk b nk a n a nk b n b nk > ε/3 =: ε 0. (i Niech a 0 i niech ε 0 Q >0 oraz N N będą takie, że a n ε 0 dla n N. Zdefiniujmy a = (c n n=1, c n := 0 dla 1 n N 1 i c n := 1/a n dla n N. Wtedy a C oraz [a] [a ] = [1], czyli, że [a ] = [a] 1. Istotnie, dla m, n N mamy 1/a n 1/a m 1 a ε 2 n a m. 0 (j Wykazaliśmy, że (R, +, jest ciałem. (k Wprowadzamy porządek: [a] < [b] : ε Q>0, N N : n N : a n + ε b n. Jest to relacja poprawnie określona, spójna, przechodnia i zgodna z działaniami. Istotnie, jeżeli a c, b d, oraz a n + ε b n dla n N, to dobieramy N 1 N takie, że a n c n ε/3, b n d n ε/3 dla n N 1. Wtedy, dla n N 1 mamy c n + ε/3 a n + 2ε/3 b n ε/3 d n. (P1 wynika natychmiast z (h. (P2: Jeżeli a n + ε 1 b n dla n N 1 i b n + ε 1 c n dla n N 2, to biorąc ε := min{ε 1, ε 2 }, dla n max{n 1, N 2 }, mamy a n + 2ε b n + ε c n. (P3: Jeżeli b n + ε c n dla n N, to a n + b n + ε a n + c n dla n N. (P4: Jeżeli 0 + ε 1 a n dla n N 1 oraz b n + ε 2 c n dla n N 2, to dla ε := ε 1 ε 2 i n max{n 1, N 2 } mamy a n b n + ε a n (b n + ε 2 a n c n dla n N. (l (R, +,, < jest ciałem uporządkowanym. (m Dla r 1, r 2 Q mamy r 1 < r 2 τ(r 1 < τ(r 2, co oznacza, że τ jest zgodnie z relacjami <. (n Utożsamiamy Q z τ(q. W szczególności, piszemy 0, 1 zamiast τ(0, τ(1. (o W R wprowadzamy relacje, >, oraz wartość bezwzględną : R R: a b : (a = b (a < b, a > b : b < a, a b : (a = b (a > b, a, jeżeli a > 0 a := 0, jeżeli a = 0, a, jeżeli a < 0 (p Oczywiście powyższa wartość bezwzględna zgadza się na Q z wyjściową wartością bezwzględną dla liczb wymiernych ( τ(r = r dla r Q. Łatwo można sprawdzić (Ćwiczenie, że dla a, b R mamy a b = a b, a + b a + b. (q Wprowadzamy przedziały: [a, b] := {x R : a x b} dla a b, [a, b := {x R : a x < b}, (a, b] := {x R : a < x b}, (a, b := {x R : a < x < b} dla a < b, [a, + := {x R : x a}, (a, + := {x R : x > a} dla a R, (, b] := {x R : x b}, (, a := {x R : x < b} dla b R, (, + := R,, R + := [0, +, R >0 := (0, +, R := (, 0], R <0 := (, 0. (r Jeżeli a, b R, a < b, to istnieje r Q takie, że r (a, b (gęstość Q w R. Niech a n + ε b n dla n N 1. Dobieramy N 2 takie, że a n a m, b n b m ε/4 dla n, m N 2. Niech N = max{n 1, N 2 }, r := a N + ε/2. Dla n N mamy a n + ε/4 a N + ε/2 = r < r + ε/4 = (a N + ε/2 + ε/4 b N ε/4 b n. (s Spełniony jest aksjomat Dedekinda.

10 Marek Jarnicki, Wykłady z Analizy Matematycznej I, II, III, IV, wersja z 13 czerwca 2015 1. Wstęp Istotnie, przypuśćmy, że R = A B is spełnione są (C1 (C4. Korzystając z tych warunków oraz (r, wnioskujemy, że istnieją liczby r 1, s 1 Q, r 1 < s 1, takie, że r 1 A, s 1 B. Rozważmy, punkt q := 1 2 (r 1 + s 1. Leży on albo w A albo w B. Jeżeli w A to definiujemy r 2 = q, s 2 := s 1. Jeżeli leży w B, to kładziemy r 2 = r 1, s 2 := q. Powtarzamy procedurę. Dostajemy ciągi r = (r n n=1, s = (s n n=1 Q takie, że r n A, s n B, r 1 r 2... r n < s n s n 1... s 1 i s n r n = 1 2 (s n 1 1 r 1 dla dowolnego n N. Dla n, m N mamy r n r m s N r N. Wynika stąd natychmiast, że r C. Podobnie s C. Oczywiście, r s, a więc [r] = [s] =: c. Przypuśćmy, że c A. Niech c A będzie takie, że c < c. Wobec (r, musi istnieć t Q takie, c < t < c. Oznacza to w szczególności, że istnieją ε Q >0 i N N takie, że r n + ε t < s n dla n N, co daje sprzeczność. Przypadek, gdy c B jest analogiczny (Ćwiczenie. (t (R, +,, < jest ciałem uporządkowanym spełniającym aksjomat Dedekinda. Można pokazać, że (R, +,, < jest jedynym ciałem uporządkowanym spełniającym aksjomat Dedekinda takim, że istnieje odwzorowanie injektywne τ : Q R, które jest zgodne z działaniami i relacjami. Dokładniej, jeżeli ( R, +,, < jest ciałem uporządkowanym spełniającym aksjomat Dedekinda takim, że istnieje odwzorowanie injektywne τ : Q R, które jest zgodne z działaniami i relacjami (<, <, to istnieje bijekcja ϕ : R R zgodna z działaniami i relacjami ( < i < taka, że ϕ τ = τ. 1.8. Kresy Definicja 1.8.1. Niech A R. Mówimy, że A jest ograniczony od góry, jeżeli istnieje M R takie, że x M dla dowolnego x A. Każdą taką liczbę M nazywamy ograniczeniem górnym (majorantą zbioru A. Zbiór wszystkich ograniczeń górnych zbioru A oznaczamy Maj A. Mówimy, że A jest ograniczony od dołu, jeżeli istnieje m R takie, że m x dla dowolnego x A. Każdą taką liczbę m nazywamy ograniczeniem dolnym (minorantą zbioru A. Zbiór wszystkich ograniczeń dolnych zbioru A oznaczamy Min A. Mówimy, że A jest ograniczony, jeżeli jest jednocześnie ograniczony od dołu i od góry. Mówimy, że element a A jest maksimum zbioru A, jeżeli x a dla dowolnego x A. Piszemy a = max A. Mówimy, że element a A jest minimum zbioru A, jeżeli a x dla dowolnego x A. Piszemy a = min A. Jeżeli zbiór Maj A ma element minimalny, to nazywamy go supremum (kresem górnym zbioru A i oznaczamy sup A. To znaczy, że sup A := min(maj A. Jeżeli zbiór Min A ma element maksymalny, to nazywamy go infimum (kresem dolnym zbioru A i oznaczamy inf A. To znaczy, że inf A := max(min A. Obserwacja 1.8.2. (a Jeżeli a Maj A i b > a, to b Maj A. Jeżeli a Min A i b < a, to b Min A. (b Maj R = Min R =. (c jest ograniczony, ale nie ma kresów. (d sup A i inf A są wyznaczone jednoznacznie. (e Jeżeli max A (odp. min A istnieje, to max A = sup A (odp. min A = inf A. (f Każdy niepusty zbiór skończony A R ma maksimum i minimum. (g max A = min( A, sup A = inf( A, gdzie A := { x : x A}. Jeżeli A jest ograniczony od góry (odp. od dołu, to A jest ograniczony od dołu (odp. od góry. (h A R jest ograniczony od góry (odp. od dołu i a 0 R, to następujące warunki są równoważne: a 0 = sup A (odp. a 0 = inf A; a 0 Maj A oraz ε>0 a A : a > a 0 ε (odp. a 0 Min A oraz ε>0 a A : a < a 0 + ε. Twierdzenie 1.8.3. Każdy niepusty zbiór ograniczony od góry (odp. od dołu ma supremum (odp. infimum. Dowód. Niech P := R \ Maj A, Q := Maj A. Wtedy: P Q = R; P, Q ; jeżeli a P, b Q, to a < b; jeżeli a P, to istnieje b A takie, że a < b; biorąc a < a < b dostajemy a P takie, że a < a ; z zasady ciągłości wynika, że istnieje b 0 Q takie, że b 0 b dla dowolnego b Q, czyli b 0 = sup A.

Marek Jarnicki, Wykłady z Analizy Matematycznej I, II, III, IV, wersja z 13 czerwca 2015 1.10. Funkcje monotoniczne i okresowe Przypadek infimum przebiega analogicznie (Ćwiczenie. 11 Obserwacja 1.8.4. Zbiór I R jest przedziałem wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych x, y I, x < y, mamy [x, y] I. Oczywiście każdy przedział ma wyżej wymienioną własność. Załóżmy teraz, że I R ma tę własność. Jeżeli I jest ograniczony, to definiujemy a := inf I, b := sup I. Gdy a = b, to I = {a} = [a, a]. Jeżeli a < b, to, w zależności od tego, czy a i/lub b należą do I, mamy I {[a, b], (a, b], [a, b, (a, b}. Jeżeli I jest ograniczony od góry, ale nie jest ograniczony od dołu, to definiujemy b := sup I. Wtedy I {(, b], (, b}. Jeżeli I jest ograniczony od dołu, ale nie jest ograniczony od góry, to definiujemy a := inf I. Wtedy I {[a, +, (a, + }. Jeżeli I nie jest ograniczony ani od góry ani od dołu, to I = R. 1.9. Nieprzeliczalność R Twierdzenie 1.9.1 (Twierdzenie Cantora. Niech I n := [a n, b n ] R, I n+1 I n, n N. Wtedy I n. n=1 Dowód. Dla dowolnych m, n mamy a n b m. Niech A := {a 1, a 2,... }. Jest to zbiór ograniczony z góry. Niech a := sup A. Wtedy a n a b n dla dowolnego n. Stąd a I n. Ćwiczenie 1.9.2. Jeżeli w twierdzeniu Cantora ε>0 N N : b N a N ε, to I n musi być jednopunktowy. Twierdzenie 1.9.3. Dowolny przedział I R taki, że #I 2 jest zbiorem nieprzeliczalnym. n=1 n=1 Dowód. Przypuśćmy, że I = {c 1, c 2,... }. Ustalmy a, b I, a < b. Jeżeli c 1 / I 0 := [a, b], to kładziemy I 1 := I 0. Jeżeli c 1 I 0, to dobieramy mniejszy przedział I 1 = [a 1, b 1 ] I 0 taki, że a 1 < b 1 i c 1 / I 1. Jeżeli c 2 / I 1, to kładziemy I 2 := I 1. Jeżeli c 2 I 1, to dobieramy mniejszy przedział I 2 = [a 2, b 2 ] I 1 taki, że a 2 < b 2 i c 2 / I 2. Powtarzamy rozumowanie. Dostajemy zstępujący ciąg przedziałów I n = [a n, b n ], a n < b n, n N taki, że c 1,..., c n / I n, n N. Wynika stąd, że I n = sprzeczność. Wniosek 1.9.4. Zbiór R \ Q jest gęsty w R. n=1 1.10. Funkcje monotoniczne i okresowe Definicja 1.10.1. Niech A R i f : A R. Mówimy, że f jest rosnąca (odp. silnie rosnąca, jeżeli dla dowolnych x, y A stąd, że x < y wynika, że f(x f(y (odp. f(x < f(y. Mówimy, że f jest malejąca (odp. silnie malejąca, jeżeli dla dowolnych x, y A stąd, że x < y wynika, że f(x f(y (odp. f(x > f(y. Funkcje rosnące lub malejące nazywamy monotonicznymi Funkcje silnie rosnące lub silnie malejące nazywamy silnie monotonicznymi Oczywiście, powyższe definicje dotyczą też ciągów f : N R. Mówimy, że funkcja f jest okresowa jeżeli istnieje liczba ω > 0 (zwana okresem taka, że: x A : x + ω, x ω A, x A : f(x + ω = f(x. Jeżeli istnieje okres minimalny, to nazywamy go okresem zasadniczym (podstawowym. Widać, że f jest rosnąca (odp. silnie rosnąca wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja f jest malejąca (odp. silnie malejąca. Przykład 1.10.2. Funkcja f := χ Q,R jest okresowa (dowolna liczba ω Q >0 jest jej okresem, ale f nie posiada okresu zasadniczego.

12 Marek Jarnicki, Wykłady z Analizy Matematycznej I, II, III, IV, wersja z 13 czerwca 2015 1. Wstęp 1.11. Uzupełniony (rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych R := R {, + }, gdzie, + / R i +. Dodawanie i mnożenie rozszerzamy na R tylko częściowo: a, b R = a + b = b\a R +? R a + b + +? + + a, b R = a b = b\a R <0 0 R >0 + + +? R <0 + a b 0 a b 0? 0 0 0? R >0 a b 0 a b + +? + + Dalej rozszerzamy relację < na x, y R: x < y : (x, y R, x < y (x =, y R {+ } (x R { }, y = +. Dostajemy relację spójną i przechodnią (Ćwiczenie. Możemy więc rozszerzyć na R relacje, > i. Dla dowolnych a, b R, a < b, definiujemy przedziały [a, b], (a, b], [a, b, (a, b. Ponadto, definiujemy ± := +. Pojęcia Maj A, Min A, max A, min A, sup A, inf A przenosimy na A R. Ponieważ x + dla dowolnego x R, zatem wszystkie zbiory A R są ograniczone. Ponadto, jeżeli A, to sup A i inf A istnieją. Istotnie: jeżeli zbiór A R jest niepusty i ograniczony od góry, to przyjmujemy sup A := sup(a R (po prawej stronie bierzemy supremum w starym sensie; jeżeli zbiór A R jest niepusty i nieograniczony od góry, to przyjmujemy sup A := + ; jeżeli + A, to sup A := + ; jeżeli A = { }, to sup A :=. Podobnie dla infimum (Ćwiczenie. Odnotujmy, że sup :=, inf := +. Ćwiczenie 1.11.1. Odwzorowanie ϕ : R [ 1, 1], jest ściśle rosnącą bijekcją. ϕ(x := { x 1+ x, jeżeli x R ±1, jeżeli x = ± 1.12. Liczby zespolone W zbiorze C := R R wprowadzamy działania: dodawanie: (x, y = (u, v := (x + u, y + v, mnożenie: (x, y (u, v := (xu yv, xv + yu. Ćwiczenie 1.12.1. (C, +, jest ciałem, przy czym: (0, 0 jest elementem neutralnym dla dodawania. (x, y = ( x, y. (1, 0 jest elementem ( neutralnym dla mnożenia. (x, y 1 x = x 2+y, y 2 x 2 +y dla (x, y (0, 0. 2 Odwzorowanie R x (x, 0 C jest injekcją zgodną z działaniami, co pozwala utożsamiać R z podzbiorem C. W konsekwencji x = (x, 0 dla x R, np. 0 = (0, 0, 1 = (1, 0. Niech i := (0, 1 C; i nazywamy jednostką urojoną. Wtedy i 2 = 1 oraz (x, y = (x, 0 + (0, 1 (y, 0 = x + iy.

Marek Jarnicki, Wykłady z Analizy Matematycznej I, II, III, IV, wersja z 13 czerwca 2015 1.12. Liczby zespolone 13 Jeżeli z = x + iy to: x =: Re z nazywamy częścią rzeczywistą z, y =: Im z częścią urojoną z, z := x 2 + y 2 modułem (wartością bezwzględną z, z := x iy liczbą sprzężoną z z. Ćwiczenie 1.12.2. Niech w, z = x + iy C. Wtedy: (a z = z, (b z = z z = x R, (c x = Re z = 1 2 (z + z, y = Im z = 1 2 (z z, (d z = z, (e z 2 = z z, (f operator sprzężenia C z z C jest zgodny z działaniami, tzn. w + z = w + z oraz wz = wz, (g wz = w z, (h max{ x, y } z 2 max{ x, y }, z x + y, (i (nierówność trójkąta w z w + z w + z, (j 1 z = 1 z dla z 0. Twierdzenie 1.12.3 (Nierówność Schwarza ( 5. Dla dowolnych a 1,..., a n C, b 1,..., b n C mamy n 2 n n a j b j a j 2 b j 2, przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, wektory wektory (a 1,..., a n oraz (b 1,..., b n są C- liniowo zależne. Dowód. Niech A := n a j 2, B := n b j 2, C := n a j b j. Jeżeli AB = 0, to twierdzenie jest oczywiste. Załóżmy więc, że AB > 0. Mamy: n 0 Ba j Cb j 2 = n = B 2 a j 2 BC n (Ba j Cb j (Ba j Cb j = n a j b j CB n b j a j + C 2 n b j 2 = = B 2 A BCC CBC + C 2 B = B 2 A B C 2 = B(BA C 2. Wynika stąd natychmiast, że C 2 AB oraz, że równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy Ba j = Cb j, j = 1,..., n. ( 5 Hermann Schwarz (1789 1857.

ROZDZIAŁ 2 Ciągi liczbowe 2.1. Ciągi liczbowe Chwilowo będziemy rozważać tylko ciągi liczbowe (a n n=1 K, gdzie K {R, C}. Definicja 2.1.1. Mówimy, że ciąg (a n n=1 jest zbieżny do liczby g K, jeżeli ε>0 N N n N : a n g ε. Piszemy wtedy g = lim a n lub a n g, a liczbę g nazywamy granicą ciągu. n + Mówimy, że ciąg (a n n=1 jest ciągiem Cauchy ego, jeżeli ε>0 N N n,m N : a n a m ε. Mówimy, że własność W zachodzi dla prawie wszystkich wyrazów ciągu (a n n=1, jeżeli istnieje N N takie, że a n ma własność W dla n N. Obserwacja 2.1.2. (a Ciąg może być zbieżny tylko do jednej granicy. (b Jeżeli a n = c = const dla prawie wszystkich n N, to a n c. (c 1/n 0. (d Każdy ciąg zbieżny jest ciągiem Cauchy ego. (e Każdy ciąg Cauchy ego jest ograniczony. (f Jeżeli a n = b n dla prawie wszystkich n N i a n g, to b n g. (g Jeżeli a n = b n dla prawie wszystkich n N i (a n n=1 jest ciągiem Cauchy ego, to (b n n=1 jest ciągiem Cauchy ego. (h Dla (a n n=1, (b n n=1 R oraz a, b R mamy: a n + ib n a + ib a n a, b n b. Podobnie, ciąg (a n +ib n n=1 jest ciągiem Cauchy ego wtedy i tylko wtedy, gdy (a n n=1 i (b n n=1 są ciągami Cauchy ego. Istotnie, a n +ib n (a+ib a n a + b n b oraz max{ a n a, b n b } a n +ib n (a+ib. (i Jeżeli a n a, b n a, to a n + b n a + b. (j Jeżeli a n a, b n a, to a n b n ab. (k Jeżeli a n a i a 0, to 1/a n 1/a. (l Jeżeli R + a n a 0, to a n a. Istotnie, przypadek a = 0 jest elementarny. Jeżeli a > 0 to istnieje ε 0 > 0 takie, że a n ε 0 dla n N. Wtedy dla n N mamy a n a = an a an+ a 1 2 ε 0 a n a. (m Jeżeli a n g, to a n g. (n Dla (a n n=1, (b n n=1 R oraz a, b R, jeżeli a n a, b n b i a < b, to a n < b n dla prawie wszystkich n N. (o Dla (a n n=1, (b n n=1 R oraz a, b R, jeżeli a n a, b n b i a n b n dla prawie wszystkich n N, to a b. (p (Twierdzenie o trzech ciągach Jeżeli a n b n c n dla prawie wszystkich n N, oraz a n g i c n g, to b n g. (q Jeżeli ciąg (a n n=1 R jest rosnący i ograniczony od góry, to jest zbieżny i lim a n = sup{a 1, a 2,... }. n + (r Jeżeli ciąg (a n n=1 R jest malejący i ograniczony od dołu, to jest zbieżny i lim (s Jeżeli a n g, to a nk g dla dowolnego podciągu (a nk k=1. (t Jeżeli (a n n=1 jest ciągiem Cauchy ego oraz a nk g, to a n g. Obserwacja 2.1.3. Rozważmy ciąg geometryczny (q n n=1, gdzie q C. Wtedy: 15 n + a n = inf{a 1, a 2,... }.

16 Marek Jarnicki, Wykłady z Analizy Matematycznej I, II, III, IV, wersja z 13 czerwca 2015 2. Ciągi liczbowe dla q < 1 ciąg jest zbieżny do 0, dla q > 1 ciąg jest rozbieżny, dla q = 1 ciąg jest zbieżny do 1, dla q = 1 ciąg jest rozbieżny. Twierdzenie 2.1.4 (Twierdzenie Bolzano ( 1 Weierstrassa ( 2. Z dowolnego ciągu ograniczonego można wybrać podciąg zbieżny. W szczególności, każdy ciąg Cauchy ego jest zbieżny. Dowód. Wystarczy rozważyć ciąg rzeczywisty (a n n=1 R. Możemy założyć, że c a n c, n N, dla pewnego c > 0. Niech I 1 = [p 1, q 1 ] := [ c, c], n 1 := 1. Któryś z przedziałów [ c, 0] lub [0, +c] musi zawierać nieskończenie wiele wyrazów ciągu. Oznaczamy go przez I 2 = [p 2, q 2 ] i wybieramy n 2 > 1 takie, że a n2 I 2. Teraz dzielimy I 2 na pół i powtarzamy rozumowanie. Dostajemy zstępujący ciąg przedziałów I k = [p k, q k ], k N, i podciąg p k a nk q k, k N. Zauważmy, że ciąg (p k k=1 jest rosnący i ograniczony, zaś ciąg (q k k=1 jest malejący i ograniczony. Wiemy, że p k p, q k q oraz q k p k = c. Stąd p = q. Teraz z twierdzenia o trzech ciągach wnioskujemy, że a 2 k 2 nk p. Definicja 2.1.5. Niech (a n n=1 R. Mówimy, że ciąg (a n n=1 jest zbieżny do + (odp., jeżeli piszemy wtedy M R N N n N : a n M (odp. a n M; lim a n = + (odp., lub a n + (odp.. n + Niech (a n, (b n R, a n a R, b n b R. Pojawiają się naturalne pytania, czy i do czego są zbieżne ciągi a n + b n, a n b n, a n /b n. Obserwacja 2.1.6. (a Jeżeli a+b ma sens, to a n +b n a+b. Prowadzi to do symbolu nieoznaczonego. (b Jeżeli a b ma sens, to a n b n a b. Prowadzi to do symbolu nieoznaczonego 0. (c Jeżeli a an b ma sens, to b n a b. Prowadzi to do symboli nieoznaczonych i 0 0. Ćwiczenie 2.1.7. Uzasadnić, że symbole nieoznaczone są rzeczywiście nieoznaczone. W przypadku symbolu oznacza to, że: dla dowolnego g R istnieją ciągi (a n n=1, (b n n=1 takie, że a n +, b n i a n +b n g, istnieją ciągi (a n n=1, (b n n=1 takie, że a n +, b n i ciąg (a n + b n n=1 nie jest zbieżny (ani do granicy skończonej, ani nieskończonej. Podobne przykłady znaleźć dla pozostałych symboli nieoznaczonych 0, i 0 0. 2.2. Pierwiastkowanie i potęgowanie Twierdzenie 2.2.1. Dla dowolnych a R + i n N istnieje dokładnie jedna liczba p R + taka, że a = p n. Piszemy p =: n a i nazywamy p pierwiastkiem n-tego stopnia z a. Dowód. Przypadek a = 0 jest oczywisty. Zakładamy, że a > 0 oraz n 2. Jedyność wynika z tego, że jeżeli p 1 < p 2, to p n 1 < p n 2 (korzystamy z (P4. Przypadek a = 1 jest oczywisty, więc zakładamy dalej, że a 1. Zauważmy, że możemy również założyć, że a > 1. Istotnie, jeżeli przyjmiemy, że umiemy już obliczać pierwiastek n-tego stopnia dla a > 1 i weźmiemy 0 < a < 1, to wtedy wiemy, że istnieje q R >0 takie, że q n = 1/a, a stąd (1/q n = a. Niech więc a > 1. Aby wykazać istnienie p definiujemy A := {q R >0 : q n a}. Oczywiście, 1 A. Ponadto, jeżeli q A, to q a (dla q > a, na podstawie (P4 mamy q n > a n > a, a więc A jest ograniczony z góry. Niech p := sup A. Wiemy, że istnieje rosnący ciąg (q s s=1 A taki, że q s p. Stąd q n s p n a, a więc p A. Zauważmy, że dla 0 < x < y mamy ( 1 Bernhard Bolzano (1781 1848. ( 2 Karl Weierstrass (1815 1897. y n x n = (y x(y n 1 + y n 2 x + + x n 1 < n(y xy n 1.

Marek Jarnicki, Wykłady z Analizy Matematycznej I, II, III, IV, wersja z 13 czerwca 2015 2.2. Pierwiastkowanie i potęgowanie Gdyby p n < a, to biorąc w powyższej nierówności x := p, y := p+h dla h = min{1, co oznacza, że p + h A sprzeczność. (p + h n p n < hn(p + h n 1 hn(p + 1 n 1 a p n, 17 a p n n(p+1 n 1 }, dostajemy Obserwacja 2.2.2. Dla a, b 0 oraz m, n N mamy: (a n ab = n a n b. (b nm a = m n a. (c Jeżeli b > 0, to n a b = n a n b. (d Jeżeli a < b, to n a < n b. (e Jeżeli R + a s a, to n a s n a. Istotnie, przypadek a = 0 jest elementarny. Jeżeli a > 0 to istnieje ε 0 > 0 takie, że a s ε 0 dla s N. Wtedy dla s N mamy n a s n a a = s a ( n a s n 1 +( n a s n 2 n a+ +( n 1 a n 1 n( n ε 0 a n 1 s a. (f Jeżeli 0 < a < 1, to n a < n+1 a; (g Jeżeli a > 1 to n a > n+1 a. Obserwacja 2.2.3. Jeżeli n jest nieparzyste, to definicję n a można rozszerzyć do a < 0, kładąc n a := n a. Istotnie, ( n a n = ( 1 n ( a = a. Dla a > 0 i q := l/m Q, l Z, m N, kładziemy a q := ( m a l. Łatwo sprawdzić (Ćwiczenie, że definicja jest poprawna, tzn. nie zależy od przedstawienia liczby q w postaci ułamka. Obserwacja 2.2.4. Dla a, b > 0 i q, q 1, q 2 Q mamy: (a 1 q = 1, (b a 0 = 1, (c (a b q = a q b q, (d a q1+q2 = a q1 a q2 ; w szczególności, a q = 1/a q, (e (a q1 q2 = a q1q2, (f jeżeli q > 0 i a < b, to a q < b q, tzn. dla q Q >0, funkcja R >0 x x q R >0 jest ściśle rosnąca, (g jeżeli q < 0 i a < b, to a q > b q, tzn. dla q Q <0, funkcja R >0 x x q R >0 jest ściśle malejąca, (h jeżeli a > 1 i q 1 < q 2, to a q1 < a q2, tzn. dla a > 1, funkcja Q x a x R >0 jest ściśle rosnąca, (i jeżeli 0 < a < 1 i q 1 < q 2, to a q1 > a q2, tzn. dla 0 < a < 1, funkcja Q x a x R >0 jest ściśle malejąca. Definicja 2.2.5. Dla liczby a 1, x R definiujemy a x := sup{a q : q Q : q x} (Ćwiczenie: zbiór po prawej stronie jest niepusty i ograniczony of góry. Dla 0 < a < 1, x R, definiujemy ( 1 x. a x := a W wyrażeniu a x liczbę a nazywamy podstawą, zaś liczbę x wykładnikiem potęgi a x. Obserwacja 2.2.6. (a Jeżeli x Q, to powyższe a x zgadza się z poprzednią definicją. (b 1 x = 1 dla dowolnego x R. (c Jeżeli a > 1, x R \ Q oraz (q n n=1 Q jest taki, że q n x i q n x, n N, to a qn a x. Istotnie, oczywiście a qn a x. Dla ε > 0 niech Q q < x będzie taki, że a q a x ε. Niech N N będzie takie, że q n q dla n N. Wtedy a qn a q a x ε dla n N. Twierdzenie 2.2.7. Niech a > 0, (b n n=1 Q. (a n a 1. (b Jeżeli b n ±, to a 1/bn 1. (c Jeżeli b n 0, to a bn 1. (d Jeżeli b n x R, to a bn a x.

18 Marek Jarnicki, Wykłady z Analizy Matematycznej I, II, III, IV, wersja z 13 czerwca 2015 2. Ciągi liczbowe Dowód. (a Wystarczy rozważyć przypadek a > 1. Niech n a = 1 + δ n, n N. Chcemy pokazać, że δ n 0. Mamy a = (1 + δ n n 1 + nδ n. Wynika stąd, że 0 < δ n (a 1/n, n N, i teraz wystarczy skorzystać z twierdzenia o trzech ciągach. (b Możemy założyć, że a > 1 oraz b n > 1, n N. Niech k n N będzie takie, że k n b n < k n + 1, n N. Zauważmy, że k n +. Wobec (a dostajemy a 1/kn 1. Ponieważ 1 < a 1/bn a 1/kn, wystarczy skorzystać z twierdzenia o trzech ciągach. (c Wynika z (b wyrazy ciągu (b n n=1 dzielimy na trzy grupy: wyrazy dodatnie, równe zero i ujemne. Jeżeli grupa dodatnia jest nieskończona, to stosujemy do niej (b. Jeżeli grupa ujemna jest nieskończona, to korzystamy z (b dla wyrazów przeciwnych. (d Wobec definicji a x możemy założyć, że a > 1. Jeżeli x Q to na podstawie (c mamy a bn = a x a bn x a x. Jeżeli x / Q, to na podstawie Obserwacji 2.2.6(c wystarczy rozważyć przypadek, gdy b n > x, n N. Niech (q n n=1 Q, q n x, q n < x, n N. Wtedy, na podstawie Obserwacji 2.2.6(c oraz (b mamy a bn = a qn a bn qn a x. Przykład 2.2.8. Niech 0 < a 1 < a 2 < < a k. Wtedy lim Istotnie, n n a n 1 + a n 2 + + an k = a k. a k n a n 1 + an 2 + + an k n ka n k = n ka k a k. Teraz, korzystając z Twierdzenia 2.2.7(d, przenosimy Obserwację 2.2.4 na dowolne potęgi rzeczywiste (Ćwiczenie. Obserwacja 2.2.9. Dla a, b > 0 i x, x 1, x 2 R mamy: (a (a b x = a x b x, (b a x1+x2 = a x1 a x2 ; w szczególności, a x = 1/a x, (c (a x1 x2 = a x1x2, (d jeżeli x > 0 i a < b, to a x < b x, tzn. dla p R >0, funkcja R >0 x x p R >0 jest ściśle rosnąca, (e jeżeli x < 0 i a < b, to a x > b x, tzn. dla p R <0, funkcja R >0 x x p R >0 jest ściśle malejąca, (f jeżeli a > 1 i x 1 < x 2, to a x1 < a x2, tzn. dla a > 1, funkcja Q x a x R >0 jest ściśle rosnąca, (g jeżeli 0 < a < 1 i x 1 < x 2, to a x1 > a x2, tzn. dla 0 < a < 1, funkcja Q x a x R >0 jest ściśle malejąca. Twierdzenie 2.2.10 (Por. Twierdzenie 2.2.7(d. Niech a > 0. (a Dla dowolnego ciągu (b n n=1, jeżeli b n +, to a 1/bn 1. (b Dla dowolnego ciągu (b n n=1, jeżeli b n 0, to a bn 1. (c Jeżeli x n x, to a xn a x. (d Jeżeli x n x, a n 1, to a xn n 1. (e Jeżeli x n x, a n a, to a xn n a x. Dowód. (a Możemy założyć, że a > 1 i b n > 1, n N. Niech k n N będzie takie, że k n b n < k n + 1, n N. Zauważmy, że k n +. Ponieważ 1 < a 1/bn a 1/kn, wystarczy skorzystać z twierdzenia o trzech ciągach. (b wynika z (a. (c Możemy założyć, że a > 1. Niech q n Q, q n x n 1/n, n N. Wtedy q n x. Wobec Twierdzenia 2.2.7(d mamy a qn a x. Teraz, na podstawie (b, a xn = a qn a xn qn a x. (d Można założyć, że a n 1. Niech x n [p, q], N, gdzie p, q Z. Wtedy a p n a xn n a q n, n N, i korzystamy z twierdzenia o trzech ciągach. (e Korzystamy z (c i (d: a xn n = (a n /a xn a xn a x. W kontekście Twierdzenia 2.2.10(e, powstaje naturalne pytanie ( (x n n=1 R, (a n n=1 R >0, x n x R, a n a [0, + ] = lim n + axn n =? Prowadzi ono do kolejnych trzech symboli nieoznaczonych 1, 0 0 i 0 :

Marek Jarnicki, Wykłady z Analizy Matematycznej I, II, III, IV, wersja z 13 czerwca 2015 2.3. Liczba e Twierdzenie 2.2.11. (a n n 1. (b Jeżeli a n +, to a 1/an n 1. x\a 0 (0, 1 1 (1, + + + + 1 0 0 (, 0 + a x 1 a x 0 0 0 0 1 1 1 0 (0, + 0 a x 1 a x + + 0 0 1 + + Dowód. (a Niech n n = 1 + δ n, n N. Chcemy pokazać, że δ n 0. Mamy n = (1 + δ n n 1 + ( n 2 δ 2 n, 2 a stąd 0 δ n n. (b Możemy założyć, że a n > 1. Niech k n N, k n a n < k n + 1. Wtedy ( kn+1 1 a 1/an 1 kn n (k n + 1 kn+1. Ćwiczenie 2.2.12. Znaleźć przykłady ilustrujące nieoznaczoność symboli 1, 0 0 i 0. Twierdzenie 2.3.1. (a Niech e n := 2.3. Liczba e ( 1 + 1 n n, n N. Wtedy e n < e n+1 < 3, n N. W konsekwencji, na mocy Obserwacji 2.1.2(q, ciąg (e n n=1 jest zbieżny. Jego granicę oznaczamy przez e (b Niech n 1 s n := k!, n N 0. k=0 Wtedy s n e. (c Dla dowolnego n 2 istnieje t n (0, 1 takie, że (d Jeżeli a n ±, to (1 + 1 a n an e. (e Jeżeli a n 0, to (1 + a n 1/an e. (f (1 + x n n e x, x R. (g e / Q. k=0 e = s n + t n n!n. Dowód. (a Wobec wzoru Newtona dostajemy n ( n 1 e n = k n k = 1 + n 1 n(n 1 1 n(n 1... (n k + 1 1 n(n 1... 2 1 1 + + + + + n 2! n2 k! nk n! = 1 + 1 + 1 2! (1 1 n + + 1 k! (1 1 n (1 2 n... (1 k 1 n + + 1 n! (1 1 n (1 2 n... (1 n 1 n. Wynika stąd, że jest to ciąg silnie rosnący. Ponadto, 2 e n 1 + 1 + 1 2! + + 1 n! 1 + 1 + 1 2 + + 1 2 n 1 < 1 + 1 1 1 = 3. 2 (b Wiemy, że e n < s n oraz dla k n dostajemy e k 1 + 1 + 1 ( 1 1 + + 1 2! k n! co przy k +, daje e s n. (c Mamy s n+k s n = ( 1 1 k ( 1 2 (... k 1 n 1 k 1 (n + 1! + + 1 (n + k! = 1 ( 1 + 1 (n + 1! n + 2 + + 1 (n + 2... (n + k, 19 n n