Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział 1); jest to tzw ciało liczb zespolonych Przypomnijmy, że elementem neutralnym dla dodawania jest 0 = 0, 0), dla mnożenia 1 = 1, 0) Elementem przeciwnym dla elementu x, y) jest x, y), elementem odwrotnym dla dowolnego niezerowego elementu x, y) jest x, y) 1 = x x + y, y x + y Dowolny element z = x, y) C możemy interpretować jako punkt wektor) płaszczyzny R Ponieważ z = x, y) = x, 0) + 0, y) = x, 0) 1, 0) + y, 0) 0, 1) ) zatem, utożsamiając liczbę zespoloną x, 0) z liczbą rzeczywistą x oraz przyjmując oznaczenie i = 0, 1), uwzględniając równość ), otrzymujemy postać kanoniczną dwumienną) liczby zespolonej z = x + iy; x = Re z) nazywamy częścią rzeczywistą, y = Im z) częścią urojoną liczby zespolonej z Dwie liczby zespolone są równe, jeżeli mają równe części rzeczywiste oraz części urojone Liczbę i = 0, 1) nazywamy jednostką urojoną Zauważmy, że i = 0, 1) 0, 1) = 1, 0) = 1 ) 6
1 Sprzężenie, moduł oraz argument liczby zespolonej Postać kanoniczna liczby zespolonej umożliwia dodawanie i mnożenie liczb zespolonych tak samo jak wielomianów, tzn podobny do podobnego w przypadku dodawania): z 1 + z = a 1 + ib 1 + a + ib = a 1 + a ) + ib 1 + b ) oraz każdy przez każdy w przypadku mnożenia): z 1 z = x 1 + iy 1 ) x + iy ) = x 1 x + ix 1 y + iy 1 x + i y 1 y = i dalej, uwzględniając warunek i = 1, = x 1 x y 1 y + i x 1 y + y 1 x ) Porównaj te wyniki ze wzorami 1) oraz ) 1 Sprzężenie, moduł oraz argument liczby zespolonej Z każdą liczbą zespoloną z = x + iy możemy stowarzyszyć liczbę zespoloną z = x iy nazywaną sprzężeniem liczby z, oraz liczbę rzeczywistą z = x + y nazywaną modułem liczby zespolonej 11 Własności sprzężenia oraz modułu liczby zespolonej Niech z, z 1, z C; wówczas: z + z = Re z), z z = Im z) ; ) z z 1 z = z 1 z, 1 z = z 1 z ; 1 ) z z = z ; z 1 z = z 1 z, z 1 z = z 1 ; z z 1 + z z 1 + z Przykład 1 Dla liczby zespolonej z = + i mamy z = i oraz z = + = 1 Niech z = x + iy będzie dowolną niezerową liczbą zespoloną Wówczas x z = x + iy = z z + i y ) = z cos α + i sin α), ) z gdzie kąt α = arg z), nazywany argumentem liczby zespolonej, wyznaczamy rozwiązując układ równań { cos α = x z sin α = y z Można łatwo wykazać, że w dowolnym przedziale postaci [r, r + π) lub r, r + π] r R) układ ten ma dokładnie jedno rozwiązanie, a dowolne dwa jego rozwiązania różnią się o całkowitą wielokrotność π Ten z argumentów liczby zespolonej, który leży w przedziale π, π] nazywamy argumentem głównym i oznaczamy Arg z) 1 Dzielenie przez liczbę zespoloną z rozumiemy jako mnożenie przez liczbę z 1 7
Postać trygonometryczna liczby zespolonej iy i Im z α = Argz) z = x + iy x Re iy z = x iy Wykres 1 Interpretacja geometryczna liczby zespolonej, jej modułu, sprzężenia oraz argumentu Przykład Dla liczby z = 1 i mamy: Re 1 i) = 1, Im 1 i) = 1, 1 i = Aby wyznaczyć argument liczby 1 i musimy rozwiązać układ równań { cos α = 1 = sin α = 1 = Jego rozwiązaniem jest każda z liczb π + kπ k Z); zatem Arg 1 i) = π Ostatecznie, uwzględniając ), możemy napisać 1 i = cos π ) + i sin π )) Postać trygonometryczna liczby zespolonej Znając moduł z oraz argument α liczby zespolonej z możemy zapisać ją w postaci z = z cos α + i sin α) nazywanej postacią trygonometryczną liczby zespolonej Dwie niezerowe liczby zespolone są równe jeżeli mają równe moduły i argumenty główne ich argumenty mogą się natomiast różnić o całkowitą wielokrotność π) Liczba 0 jest jedyną liczbą zespoloną jednoznacznie określoną przez jej moduł 1 Mnożenie oraz dzielenie liczb zespolonych zapisanych w postaci trygonometrycznej Niech z 1 = z 1 cos α 1 + i sin α 1 ) oraz z = z cos α + i sin α ) Wówczas: a) z 1 z = z 1 z cos α 1 + α ) + i sin α 1 + α )) ; b) z 1 z = z 1 cos α z 1 α ) + i sin α 1 α )), gdzie z 0 8
Postać trygonometryczna liczby zespolonej Przykład Niech z 1 = 1 + i oraz z = + i Mamy z 1 = oraz cos α 1 =, sin α 1 =, skąd otrzymujemy Arg z 1 = π Podobnie, z = oraz cos α =, sin α 1 = 1 ; mamy więc Arg z = π Aby wyznaczyć iloraz z 1 6 z ) cos π z 1 z = możemy wykorzystać wzór b) Mamy π cos π ) π + i sin 6 π )) 6 + i sin π cos π + i sin ) = π 6 6 = cos π 1 + i sin π ) 1 Aby wyznaczyć wartości cos π oraz sin π możemy liczby z 1 1 1 i z podzielić w następujący sposób: z 1 = 1 + i = 1 + i i i + i + 1 = z + i + i i + 1 1 = + i Porównując ze sobą odpowiednio cześci rzeczywiste oraz urojone, otrzymujemy: cos π + 1 6 + 1 = =, sin π 1 6 1 = = Ze wzorów na iloczyn oraz iloraz liczb zespolonych zapisanych w postaci trygonometrycznej wynikają następujące własności argumentu iloczynu oraz argumentu ilorazu liczb zespolonych: arg z 1 z) ) = arg z 1 + arg z + kπ, dla k Z; z arg 1 z = arg z 1 arg z + kπ, dla k Z; ponadto, ponieważ Arg z z) = 0: arg z = arg z + kπ, dla k Z Wzór de Moivre a Ze wzoru na iloczyn liczb zespolonych wyrażonych w postaci trygonometrycznej wynika, że cos α + i sin α) = cos α + i sin α Zależność tę można w prosty sposób uogólnić uzyskując tzw wzór de Moivre a dowód indukcyjny): cos α + i sin α) n = cos nα) + i sin nα), dla n Z 9
Przykład Aby obliczyć wartość wyrażenia Pierwiastek n tego stopnia z liczby zespolonej w = 1 i ) 9 1 + i) wygodnie jest jego licznik i mianownik sprowadzić do postaci trygonometrycznej, a następnie zastosować do nich wzór de Moivre a Niech z 1 = 1 i oraz z = 1 + i Wówczas cos α 1 = Rez 1 z 1 = 1 sin α 1 = Imz 1 z 1 = oraz Zatem Arg z 1 ) = π oraz Arg z ) = π Mamy więc: w = 1 i ) 9 1 + i) = stosując teraz wzór de Moivre a, otrzymujemy cos α = Rez z = sin α = Imz z = cos π) + i sin π))) 9 cos π + i sin π)) = = 9 cos 6π) + i sin 6π))) cos π + i sin π)) = 7 cos 9π) + i sin 9π)) = 7 Pierwiastek n tego stopnia z liczby zespolonej Niech n N będzie ustaloną liczbą naturalną, a c C ustaloną liczbą zespoloną Rozważmy następujące równanie z n = c 5) Każdą liczbę zespoloną z dla której równanie 5) jest prawdziwe nazywać będziemy jego rozwiązaniem Celem naszym będzie podanie przepisu pozwalającego znajdywać wszystkie) rozwiązania równania 5) Zapiszmy szukane rozwiązanie z oraz zadaną liczbę c w postaci trygonometrycznej: z = z cos α + i sin α), c = c cos γ + i sin γ), a następnie podstawmy je do równania 5) Po zastosowaniu wzoru de Moivre a otrzymujemy równanie z którego natychmiast wynika, że z n cos nα + i sin nα) = c cos γ + i sin γ), lub równoważnie: z n = c, z = n c, nα = γ + kπ, k Z α = γ + kπ, k Z n 10
Pierwiastek n tego stopnia z liczby zespolonej Twierdzenie 1 Jeżeli c C\ {0} oraz n N to równanie z n = c posiada n różnych rozwiązań z 0,, z n 1 przy czym z k = n c cos γ + kπ + i sin γ + kπ ), 6) n n dla k = 0,, n 1; γ = arg c Uwaga Dla c C zapis n c oznacza zbiór!) wszystkich liczb zespolonych, których n ta potęga to c; jest to więc zbiór rozwiązań równania z n = c, tj n c = {z0,, z n 1 }, gdzie liczby z k określa wzór 6) Ten sam zapis stosuje się również dla znanej ze szkoły średniej funkcji pierwiastkowej : R+ x x R + W tych dwóch przypadkach ten sam zapis ma zastosowanie do różnych obiektów: w pierwszym przypadku oznacza zbiór, w drugim liczbę O tym, że łatwo o pomyłkę najlepiej niech świadczy fakt, że w wielu podręcznikach można znaleźć niepoprawny zapis 1 = i Swoją drogą, czym należy zastąpić symbol, aby wyrażenie 1 i było poprawne? 1 Interpretacja geometryczna pierwiastka z liczby zespolonej Użytecznym przepisem na rozwiązania równania 5) jest również, wynikająca ze wzoru 6), formuła z k = z 0 cos π n + i sin π ) k 7) n = z k 1 cos π n + i sin π n ), k = 1,, n 8) w której z 0 jest jednym z rozwiązań równania 5) Wynika z niej, że liczba zespolona wektor płaszczyzny zespolonej) z 1 powstaje w wyniku obrotu z 0 o kąt π n ; podobnie z to wynik obrotu z 1 o ten sam kąt Ogólnie, z k+1 powstaje z obrotu z k o kąt π n Innymi słowy, liczby z 0,, z n 1 będące rozwiązaniami równania z n = c stanowią wierzchołki n kąta foremnego wpisanego w okrąg o promieniu n c zob Wykres ) Przykład 5 Rozważmy równanie z = 1 i Aby znaleźć jego rozwiązania posłużymy się wzorem 6) Ponieważ c = 1 i = oraz γ = Arg 1 i) = π zob przykład 1), mamy z 0 = 6 π ) π )) cos + i sin = 6 cos π 1 i sin π ), 1 z 1 = 6 cos π + π + i sin π + π ) = 6 sin π 1 + i cos π ), 1 z = 6 cos π + π + i sin π + π ) = 6 cos π i sin π ) = 1 i 11
Pierwiastek n tego stopnia z liczby zespolonej Im z 1 z 5 c z 0 Re z z Wykres Interpretacja geometryczna rozwiązań równania z 5 = c Przykład 6 Wykorzystując wyliczoną w poprzednim przykładzie wartość pierwiastka z oraz stosując wzór 7), obliczymy jawne wartości pozostałych dwóch pierwiastków Otrzymujemy odpowiednio: z 0 = z cos π + i sin π z 1 = z ) 1 ) + i = 1 + i = 1 i cos π + i sin π ) = 1 + i ) 1 + i 1 i ) Przykład 7 Rozważmy równanie z z = z Jego rozwiązań poszukamy w postaci trygonometrycznej z = r cos α + i sin α) Mamy: oraz z z = r 5 cos α + i sin α) z = cos π + i sin π) r cos α) + i sin α)) = r cos π α) + i sin π α)) Porównując moduły oraz argumenty tych liczb otrzymujemy układ równań: { r 5 = r α = π α + kπ, k Z, którego rozwiązaniem jest r {0, 1} oraz α { ± π, ± π, π} Ostatecznie, rozwiązaniem wyjściowego równania są liczby 5 5 { 1, 0, cos π 5 ± i sin π 5, cos π 5 ± i sin π } 5 1
Postać wykładnicza liczby zespolonej* Wychodząc od postaci trygonometrycznej liczby zespolonej z = z cos α + i sin α) Postać wykładnicza liczby zespolonej* oraz uwzględniając wzór którego uzasadnienie wymaga znajomości szeregów potęgowych) e iα = cos α + i sin α dla α R) otrzymujemy tzw postać wykładniczą liczby zespolonej : z = re iα, w której r 0 to moduł, a α R argument liczby zespolonej z Ciekawostka Zapisując liczbę 1 w postaci wykładniczej otrzymujemy zwarty wzór łączący pięć najważniejszych stałych matematycznych: 0 element neutralny dodawania), 1 element neutralny mnożenia), i, e oraz π e iπ + 1 = 0 Przez wielu, wzór ten jest uznawany za najpiękniejszy wzór matematyki 1