Automatyka i Robotyka. Podstawy modelowania i syntezy mechanizmów arcie w parach kinematycznych mechanizmów 1 ARCIE W PARACH KINEMAYCZNYCH MECHANIZMÓW Analiza wpływu tarcia na reakcje w parach kinematycznych i sprawność i mechanizmów. Podczas ślizgowego przemieszczania się jednego ciała po drugim powstaje opór przeciwko ruchowi zwany siłą tarcia o kierunku stycznym do trących powierzchni, a zatem o kierunku równoległym do prędkości względnej w punkcie styku tych ciał. Siły tarcia występują zawsze we wszystkich mechanizmach i maszynach, gdyż ruchowi mechanizmu towarzyszy nieodłącznie ruch względny członów tworzących pary kinematyczne. Pomijając zjawisko tarcia w parach kinematycznych przyjmuje się dla uproszczenia, że idealne smarowanie trących powierzchni minimalizuje siły tarcia. Jednak pominięcie sił tarcia prowadzi często do grubych błędów jakościowych, gdyż może się okazać, że ruch mechanizmu nie jest w ogóle możliwy. Jest to tzw. zjawisko samohamowności mechanizmu. W mechanizmach płaskich tarcie ślizgowe występuje w parach kinematycznych postępowych i obrotowych klasy 5. Natomiast w parach kinematycznych klasy 4 oprócz tarcia ślizgowego występuje dodatkowo tarcie toczne. Automatyka i Robotyka. Podstawy modelowania i syntezy mechanizmów arcie w parach kinematycznych mechanizmów 2 Model tarcia suchego Coulomba Przy założeniu modelu tarcia ślizgowego suchego Coulomba, w zastosowaniach technicznych przyjmuje się: N (1) gdzie: - współczynnik tarcia suchego tg, siła tarcia rozwiniętego (siła styczna), N nacisk normalny, (siła nacisku jest składową reakcji całkowitej) R kl R lk - całkowita reakcja w parze postępowej (k, l) s kąt tarcia spoczynkowego, s = tg s r kąt tarcia ruchowego, r = tg r Rys. 1. Stożek tarcia pary kinematycznej ślizgowej kl kąt tarcia nierozwiniętego
Automatyka i Robotyka. Podstawy modelowania i syntezy mechanizmów arcie w parach kinematycznych mechanizmów 3 Przy analizie tarcia suchego należy rozpatrzyć cztery fazy procesu występującego pomiędzy stykającymi się członami Faza I: Do członu l nie jest przyłożona żadna siła styczna F l 0. Reakcje: Rkl Rlk mają kierunek normalny do powierzchni i leżą na osi stożka. Siła tarcia jest równa kl lk 0. Człon pozostaje w spoczynku. Faza II: Do członu l jest przyłożona siła pozioma F l taka, że F l N, człon pozostaje w spoczynku, reakcja Rkl Rlk pozostaje wewnątrz stożka tarcia odchylając się od osi stożka o kąt kl, prawo tarcia nie obowiązuje. Faza III: Do członu l jest przyłożona siła F l taka, że obowiązuje prawo tarcia Fl s s N, gdzie s i s odpowiednio siła tarcia spoczynkowego i współczynnik tarcia spoczynkowego. Reakcje Rkl Rlk odchylają się od osi stożka tarcia o kąt s. człon l znajduje się w stanie równowagi granicznej. Rozpoczyna się ruch. Faza IV: człon l przemieszcza się względem członu k z prędkością względną, siła F l maleje do wartości Fl r r N, gdzie r i r odpowiednio siła tarcia ruchowego i współczynnik tarcia ruchowego. Reakcje Rkl Rlk odchylają się od osi stożka tarcia o kąt r s. v lk Automatyka i Robotyka. Podstawy modelowania i syntezy mechanizmów arcie w parach kinematycznych mechanizmów 4 Rozpatrywane problemy związane z tarciem dotyczą zawsze: Fazy III (tarcie spoczynkowe rozwinięte) lub Fazy IV (tarcie ruchowe). Doświadczenie wykazuje, że s tg s r tg r. ablica 1. Wybrane wartości współczynników tarcia ruchowego r i spoczynkowego s (Poradnik Mechanika) Materiały pary ślizgowej Współczynniki: r s Stal żeliwo 0,18 0,30 Stal stal 0,10 0,17 Stal mosiądz 0,15 0,19 Stal materiał cierny 0,28 0,50 ( r =15,6 ; s =26,5 ) Stal teflon 0,04 0,09 ( r =2,3 ; s =5,1 )
Automatyka i Robotyka. Podstawy modelowania i syntezy mechanizmów arcie w parach kinematycznych mechanizmów 5 MODELE ARCIA W PARACH KINEMAYCZNYCH POSĘPOWYCH KLASY 5 W warunkach tarcia ślizgowego rozwiniętego (zachodzi ruch względny członów, ( = r ), siła reakcji leży na tworzącej stożka tarcia i można ją przedstawić w postaci dwóch składowych: normalnej N i stycznej. kl kl Model tarcia w parze postępowej płaskiej z dociskiem jednostronnym Rys. 2. arcie w parze postępowej płaskiej z dociskiem jednostronnym Składowa normalna siły reakcji Reakcja całkowita Składowa styczna siły reakcji(siła tarcia) Należy zwrócić uwagę na zgodność zwrotu siły tarcia kl ze zwrotem liniowej prędkości względnej v oraz zgodność zwrotu siły lk ze zwrotem prędkości v lk. kl Automatyka i Robotyka. Podstawy modelowania i syntezy mechanizmów arcie w parach kinematycznych mechanizmów 6 Przykład 1. Wyznaczyć reakcje w punktach A i B oraz podać warunek równowagi granicznej dla członu spoczywającego na podłożu chropowatym. A Dane: Siła ciężkości członu G 2 oraz współczynnik tarcia podłoża w punkcie podparcia A -. arcie w punkcie B pominąć. Rozwiązanie. Uwzględniono tarcie ślizgowe w punkcie A, tarcie toczne w punkcie B pominięto A B G2 R R 0 A tg (P1.1) (P1.2) Człon 2 pozostanie w równowadze dopóki Rys. 3. Analiza układ sił przyłożonych do członu podpartego na podłożu chropowatym.
Automatyka i Robotyka. Podstawy modelowania i syntezy mechanizmów arcie w parach kinematycznych mechanizmów 7 Model tarcia w parze postępowej płaskiej z dociskiem dwustronnym Rys. 4. arcie w parze postępowej płaskiej z dociskiem dwustronnym A B R kl i R kl oznaczają w przypadku występowania tarcia ruchowego reakcje całkowite jakimi ciało k działa na ciało l odpowiednio w punktach A i B. Reakcje te odchylają się od normalnej do prowadnicy o kąt r w ten sposób, że siły tarcia A kl i B kl mają zwroty przeciwne do prędkości v, czyli prędkości suwaka l względem prowadnicy k. lk Automatyka i Robotyka. Podstawy modelowania i syntezy mechanizmów arcie w parach kinematycznych mechanizmów 8 W parze kinematycznej postępowej z dociskiem dwustronnym występuje tzw. wspólna strefa tarcia. Wspólna strefa tarcia (WS) jest to część wspólna przekrojów stożków tarcia, a zatem jest to obszar wyznaczony przez kierunki reakcji całkowitych, jakimi prowadnica oddziałuje na suwak. WS wyznacza dopuszczalne kierunki przyłożenia siły zewnętrznej przy której istnieje możliwość ruchu oraz kierunki przy których ruch jest niemożliwy (występuje zjawisko samohamowności). WS - wspólna strefa tarcia dla W przypadku, kiedy l P l leży na kierunku prostej "w" człon 2 pozostaje w spoczynku wówczas zachodzi równowaga sił zgodnie z równaniem: P l R A kl R B kl 0 WS dla Zwiększanie siły zewnętrznej P l w warunkach równowagi (kierunek prostej "w"), nie powoduje efektu ruchu lecz jedynie zwiększa reakcje R kl i Rkl A B. Rys. 5. Interpretacja graficzna wspólnej strefy tarcia pary postępowej
Automatyka i Robotyka. Podstawy modelowania i syntezy mechanizmów arcie w parach kinematycznych mechanizmów 9 Warianty działania siły zewnętrznej względem wspólnej strefy tarcia w parze kinematycznej typu: suwak-prowadnica: kierunek w siły P l przebiega przez wierzchołek wspólnej strefy tarcia - człon l jest w stanie równowagi (stan graniczny), kierunek s siły P l przechodzi przez wspólną strefę tarcia - człon l jest w spoczynku, układ jest samohamowny, kierunek r siły P l przebiega poza obszarem wspólnej strefy tarcia zachodzi możliwość ruchu członu l względem członu k. WS WS v kl Rys. 5.(powtórzony) Interpretacja graficzna wspólnej strefy tarcia pary postępowej Automatyka i Robotyka. Podstawy modelowania i syntezy mechanizmów arcie w parach kinematycznych mechanizmów 10 1 B R B A P 2 2 A R P 2 Wspólna strefa tarcia Rys. 6. Położenie WS w mechanizmie ścisku
Automatyka i Robotyka. Podstawy modelowania i syntezy mechanizmów arcie w parach kinematycznych mechanizmów 11 WS Rys. 7. Dwie WS dźwigniowokrzywkowego mechanizmu wyciskowego Automatyka i Robotyka. Podstawy modelowania i syntezy mechanizmów arcie w parach kinematycznych mechanizmów Przykład 2 Wyznaczyć wykreślnie warunek równowagi granicznej członu 2 podpartego na podporze chropowatej w punktach A i B. Dane: A A tg, nachylonym do pionu pod kątem. B B tg, punkt przyłożenia siły 2 P przemieszcza się po członie 2 arcie arcie a) b) Rys. 8. Analiza wykreślna warunku równowagi granicznej członu podpartego na podporze chropowatej: a) pochylenie członu większe od kąta tarcia w punkcie A podpory, b) pochylenie członu mniejsze niż kąt tarcia w punkcie A podpory.
Automatyka i Robotyka. Podstawy modelowania i syntezy mechanizmów arcie w parach kinematycznych mechanizmów 13 Przykład 3 A R w punkcie A oraz siłę P 2 w warunkach tarcia ślizgowego pary postępowej Wyznaczyć reakcje płaskiej. Dane: Siła ciężkości G 2 członu 2, współczynnik tarcia tg r. Równania równowagi sił przyłożonych do członu 2 mają postać: A 2 G R P2 0 (P3.1) R A G2 cos r (P3.2) P 2 G2 tg r G2 2 (P3.3) Rys. 10. Wyznaczanie reakcji w warunkach tarcia ślizgowego w parze postępowej płaskiej z dociskiem jednostronnym Automatyka i Robotyka. Podstawy modelowania i syntezy mechanizmów arcie w parach kinematycznych mechanizmów 14 Model tarcia w parze kinematycznej obrotowej Model tarcia ślizgowego w parze kinematycznej obrotowej 5 klasy o poziomej osi czopa przedstawia Rys. 11. Koło tarcia w r w - kąt wspinania się czopa l w panewce k Rys. 11. arcie w parze kinematycznej obrotowej Podobnie jak dla pary postępowej obowiązuje zasada zgodności zwrotu kątowej prędkości względnej i momentu tarcia
Automatyka i Robotyka. Podstawy modelowania i syntezy mechanizmów arcie w parach kinematycznych mechanizmów 15 Zjawisko tarcia oraz wspinania się czopa wygodnie jest wyjaśnić na przykładzie czopa 2 obciążonego siłą zewnętrzną P 2 przyłożoną w jego środku i poruszającego się względem nieruchomej panewki 1. Jeżeli P 2 jest jedyną siłą zewnętrzną to zachodzi równość: P2 R Rys.. Zjawisko wspinania się czopa w panewce Wartość momentu czynnego M 2 przyłożonego do czopa i zapewniającego jego obrót w warunkach tarcia rozwiniętego jest równa momentowi tarcia M jakim panewka działa na czop M2 M. M 2 M wyznaczymy z zależności: M(P,R ) r R h (2) Moment tarcia Z trójkąta AOB wynika, że promień koła tarcia wynosi: h r sin r (3) Wyrażając funkcję sinus tg r przez funkcję tangens mamy: h r r r (4) gdzie: 1 tg tg r - współczynnik tarcia ślizgowego czopa 2 w panewce 1. 2 r 1 2 Automatyka i Robotyka. Podstawy modelowania i syntezy mechanizmów arcie w parach kinematycznych mechanizmów 16 Przykłady rozwiązywania problemów z tarciem w mechanizmach płaskich zawierających pary postępowe i obrotowe 5 klasy W celu rozwiązania problemów z tarciem w mechanizmach płaskich zawierających pary postępowe i obrotowe 5 klasy niezbędnym jest podzielenie rozwiązania na etapy: Etap I Analiza prędkości względnych (liniowych, kątowych) w parach kinematycznych mechanizmów; celem tego etapu jest prawidłowe wyznaczenie zwrotów sił tarcia, Etap II Analiza kinetostatyczna mechanizmu bez uwzględnienia tarcia, celem tego etapu jest prawidłowe wyznaczenie zwrotu reakcji normalnych, Etap III Analiza kinetostatyczna mechanizmu z uwzględnieniem tarcia.
Automatyka i Robotyka. Podstawy modelowania i syntezy mechanizmów arcie w parach kinematycznych mechanizmów 17 Przykład 4 Wyznaczyć reakcje w parach kinematycznych mechanizmu krzywkowego i moment równoważący M r1 przyłożony do członu napędzającego z uwzględnieniem tarcia w parach kinematycznych. Dane: wymiary mechanizmu, wartość i kierunek siły oporu P 2, współczynnik tarcia jednakowy dla wszystkich par kinematycznych, promień czopa wału krzywki r. v Rozwiązanie Etap 1. Analiza prędkości względnych. Rysujemy schemat zastępczy mechanizmu i następnie rysujemy plan prędkości mechanizmu. Na podstawie planu prędkości określamy wszystkie prędkości bezwzględne prędkości względne członów. B3 v B2 v B1 v B2B1 (P4.1) II BS II BS AB II t t Prędkości względne v 21 vb2b1, v20 vb2, 1 10 (P4.2) a) b) Rys. 15. Analiza statyczna mechanizmu krzywkowego - Etap 1: a) schemat kinematyczny mechanizmu, b) schemat zastępczy i analiza prędkości względnych Automatyka i Robotyka. Podstawy modelowania i syntezy mechanizmów arcie w parach kinematycznych mechanizmów 18 Etap 2 Równania równowagi sił bez uwzględnienia tarcia Prosta Culmana c F C 2 P R02 R02 R R M 01 r1 R R 01 0 d r (P4.3) (P4.4) Rys. 16a. Analiza statyczna mechanizmu krzywkowego analiza statyczna bez uwzględniania tarcia - Etap 2
Automatyka i Robotyka. Podstawy modelowania i syntezy mechanizmów arcie w parach kinematycznych mechanizmów 19 Etap 3 Równania równowagi sił z uwzględnieniem tarcia Prosta Culmana c F C P2 R02 R02 R 0 (P4.5) R M 01 r1 R R 01 d r (P4.6) Rys. 16b. Analiza statyczna mechanizmu krzywkowego analiza statyczna z uwzględnieniem tarcia - Etap 3 Automatyka i Robotyka. Podstawy modelowania i syntezy mechanizmów arcie w parach kinematycznych mechanizmów 20 arcie toczne w parach kinematycznych mechanizmów płaskich klasy 4 Przypadek 1. Walec napędzany siłą P 2. Oś bierna walca jest napędzana przez pojazd. Kierunki siły P 2 leżące poza środkiem walca rójkąty sił dla przypadku kierunków siły P 2 poza środkiem walca 2 G R P2 0 (6) MiA 0 G2 f P2 H 0 (7) Rys. 17. Walec napędzany siłą P 2 f Ponieważ H r, P2 G2 (8) r gdzie : f - ramięoporutoczenia
Automatyka i Robotyka. Podstawy modelowania i syntezy mechanizmów arcie w parach kinematycznych mechanizmów 21 Przypadek 2. Walec napędzany parą sił o momencie M 2 (czynna oś walca napędzana silnikiem) G2 R 0 (10) MiA 0 G2 f M2 0 (11) M G2 2 f () Rys. 18. Walec napędzany momentem pary sił M 2 Ramię tarcia tocznego f (ramię oporu toczenia) nazywane jest także współczynnikiem tarcia tocznego i zależy od własności fizycznych pary tocznej. Przykładowe wartości współczynnika tarcia tocznego: - łożysko toczne kulkowe poprzeczne f = 0,002 cm, - stożkowe obciążone poprzecznie f = 0,020 cm, - koło stalowe na szynie f = 0,005 cm. Automatyka i Robotyka. Podstawy modelowania i syntezy mechanizmów arcie w parach kinematycznych mechanizmów 22 Rys. 19. Odkształcenie koła samochodowego na twardej nawierzchni
Automatyka i Robotyka. Podstawy modelowania i syntezy mechanizmów arcie w parach kinematycznych mechanizmów 23 Jazda bez poślizgu Stan graniczny Rys. 20a. Przypadki toczenia się koła po równi pochyłej Automatyka i Robotyka. Podstawy modelowania i syntezy mechanizmów arcie w parach kinematycznych mechanizmów 24 Poślizg koła zsuwanie się pojazdu z przyspieszeniem a S2 Rys. 20b. Przypadki toczenia się koła po równi pochyłej
Automatyka i Robotyka. Podstawy modelowania i syntezy mechanizmów arcie w parach kinematycznych mechanizmów 25 Literatura: 1.Felis J., Jaworowski., Cieślik J.: eoria Mechanizmow i Maszyn. Część 1. Analiza Mechanizmow. AGH, Uczelniane Wydawnictwa Naukowo-Dydaktyczne, Krakow 2008. 2.Felis J.,Jaworowski H.: eoria Mechanizmow i Maszyn. Część 2. Przykłady i zadania. AGH, Uczelniane Wydawnictwa Naukowo-Dydaktyczne, Krakow 2011.