Część VII. Analiza szeregu czasowego 1
DEFINICJA SZEREGU CZASOWEGO Szeregiem czasowym nazywamy zbiór warości cechy w uporządkowanych chronologicznie różnych momenach (okresach) czasu. Oznaczając przez = 1,..., n momeny (okresy) czasu, w kórych obserwowano warości pewnej zmiennej, a przez wyniki obserwacji, szereg czasowy zapisujemy jako zbiór ( ) y { y ; =1..., n} 2
SKŁADNIKI SZEREGU CZASOWEGO endencja rozwojowa (rend) - ogólny kierunek zmian zjawiska w czasie będący wynikiem sysemaycznych, jednokierunkowych zmian (spadek lub wzros) poziomu badanego zjawiska wahania okresowe - rymiczne wahania poziomu badanego zjawiska o określonym cyklu (okresie przebiegu) wahania koniunkuralne (cykliczne) - sysemowe wahania poziomu badanego zjawiska obserwowane w dłuższych od roku okresach wahania przypadkowe - nieregularne, nieprzewidywalne zarówno co do kierunku jak i siły zmiany poziomu badanego zjawiska 3
model addyywny: Y = T + C + S + I model muliplikaywny: Y = T C S I 4
Najczęściej esymowane modele zawierają: dwa składniki (rend i losowość): Y = T + I rzy składniki (rend, okresowość i losowość): Y = T + S + I 5
Meody wyrównywania rendu analiyczną (z wykorzysaniem określonej posaci funkcji). mechaniczną (średnie ruchome: zwykłe i scenrowane); 6
METODY ANALITYCZNE MNK S n 1 = = 0 [ y ( + )] α β 2 = min ˆ α = ˆ β = n n y y α ˆ 2 y ( ) 2 7
ZAŁOŻENIA MNK 1. Model jes liniowy względem paramerów. 2. Zmienne objaśniające są nielosowe, ich warości są rakowane jako wielkości sałe w powarzających się próbach 3. Warości oczekiwane składników losowychɛ i są równe zeru, zn. E(ɛ i ) =0 dla i=1,2,...,n 4. Wariancje składników losowych (resz) są sałe, zn. D 2 (ɛ i )=σ 2 dla i=1,2,...,n (własność homoscedasyczności) 5. Składniki losowe ɛ i, ɛ j są nieskorelowane dla i j, i,j=1,2...,n 8
Tes Durbina-Wasona Auokorelacja składnika losowego d n i i= 2 = n ( e e ) Jeżeli warość prawdopodobieńswa p jes mniejsza niż zakładany poziom isoności (α), o auokorelacja składnika losowego jes dodania. i= 1 2 e i i 1 2 Jeżeli warość prawdopodobieńswa RHOjes większa niż (1 -zakładany poziom isoności (α)), o auokorelacja składnika losowego jes ujemna. 9
Dodania auokorelacja składnika losowego powoduje, że jego wariancja jes mniejsza od rzeczywisej, co z kolei powoduje zwężenie przedziałów ufności i zarazem zwiększenie prawdopodobieńswa błędu I rodzaju, zn. odrzucenia prawdziwej hipoezy zerowej. Ujemna auokorelacja składnika losowego powoduje, że jego wariancja jes większe od rzeczywisej, co z kolei powoduje rozszerzenie przedziałów ufności i zarazem zwiększenie prawdopodobieńswa błędu II rodzaju, zn. przyjęcia fałszywej hipoezy zerowej. 10
Zjawisko sezonowości Szereg czasowy bez rendu Szereg czasowy z rendem 11
Wskaźniki wahań okresowych dla szeregu czasowego bez rendu bieżący numer obserwacji, i numer podokresu w cyklu. Średnia dla podokresu 1 ( i) yi = y ; i = 1,2,..., d n i N i Średnia dla całego okresu y 1 d = n ( ) i y i= 1 muliplikaywne y i Wahania okresowe addyywne 0i = ; i = 1, 2,..., d Si = yi y ( i = 1,2,..., d ) y 12
Wskaźniki wahań okresowych dla szeregu czasowego z rendem Wahania okresowemuliplikaywne 0 i = 1 n 1 i N i y y - surowy wskaźnik wahań okresowych k = d d 0 i= 1 i - wskaźnik korygujący 0 = 0 k - oczyszczony wskaźnik wahań okresowych i i d 0 i= 1 i = d 13
S ' i = 1 n 1 i Saysyka od podsaw z sysemem SAS Wskaźniki wahań okresowych dla szeregu czasowego z rendem Wahania okresowe addyywne ( y y ) N i - surowy wskaźnik wahań okresowych S i = k S d i= = 1 d ' 1 i d S ' i d i= 1 S ' i d i= 1 S i - wskaźnik korygujący - oczyszczony wskaźnik wahań okresowych = 0 14
Eliminacja wahańsezonowych z szeregu czasowego Wahania okresowe addyywne ~ y = y S i N i Wahania okresowe muliplikaywne ~ y = y / 0 i N i 15
Prognozowanie zjawisk Wahania okresowe addyywne pr = yˆ + T T y + S i Wahania okresowe muliplikaywne pr T y = yˆ 0 T i 16
METODY MECHANICZNE ŚREDNIE RUCHOME średnie ruchome zwykłe - oblicza się z nieparzysej liczby sąsiadujących ze sobą wyrazów szeregu, ak aby uzyskany wynik móc przyporządkować całkowiej warości znajdującej się w środku uwzględnionego w obliczeniach przedziału czasowego: k y = 1 2q + 1 q r = q y + r ( = q, q + 1,..., n q) gdzie: 2 q +1 - liczba wyrazów szeregu uwzględnianych przy obliczaniu średniej ruchomej, przy czym q jes usalony liczbą nauralną 17
średnie ruchome scenrowane - oblicza się z parzysej liczby sąsiadujących ze sobą wyrazów szeregu, uwzględniając połowę warości pierwszego wyrazu z danego cyklu wahań, nasępnie wszyskie pozosałe wyrazy składające się na pełny cykl wahań oraz połowy warości pierwszego wyrazu z nasępnego cyklu wahań: k y q 1 1 1 1 = y q + y + r + y + 2q 2 r = q+ 1 2 q ( = q, q + 1,..., n q) gdzie: q d = 2, przy czym d jes liczbą podokresów w cyklu wahań 18
Przykład kurs euro Średnia ruchoma 23 okresowa 19
Dekompozycja szeregu czasowego SAS zadłużenie publiczne Polski Model addyywny: Y=T+S+I proc expand daa=zbiór ou=zbiór; run; conver zmienna=rend / ransformou=(cd_c n); conver zmienna=sezonowosc / ransformou=(cda_s n); conver zmienna=losowe / ransformou=(cda_i n); conver zmienna=rend_i_losowe / ransformou=(cda_san); Objaśnienia: rend T sezonowosc S losowe I rend_i_losowe=t+i=y-s n liczba okresów 20
Model muliplikaywny: Y=T*S*I proc expand daa=zbiór ou=zbiór; conver zmienna=rend / ransformou=(cd_c n); conver zmienna=sezonowosc / ransformou=(cd_s n); conver zmienna=losowe / ransformou=(cd_i n); conver zmienna=rend_i_losowe / ransformou=(cd_sa n); run; Objaśnienia: rend T sezonowosc S losowe I rend_i_losowe=t*i=y/s n liczba okresów 21
22
23
24
Przykład Dekompozycja szeregu czasowego problem wyboru posaci modelu Prezenacja oryginalnego szeregu czasowego 50000 40000 30000 20000 10000 0 25 01JAN1990 01JAN1992 01JAN1994 01JAN1996 01JAN1998 01JAN2000 01JAN2002 01JAN2004 01JAN2006
Przykład Dekompozycja szeregu czasowego problem wyboru posaci modelu Model addyywny - rend 26
Przykład Dekompozycja szeregu czasowego problem wyboru posaci modelu Model addyywny wahania sezonowe 27
Przykład Dekompozycja szeregu czasowego problem wyboru posaci modelu Model addyywny wahania przypadkowe 28
Przykład Dekompozycja szeregu czasowego problem wyboru posaci modelu Model muliplikaywny - rend 29
Przykład Dekompozycja szeregu czasowego problem wyboru posaci modelu Model muliplikaywny wahania sezonowe 30
Przykład Dekompozycja szeregu czasowego problem wyboru posaci modelu Model muliplikaywny wahania przypadkowe 31
Prognozowanie zadłużenie publiczne Polski procforecas daa = zbiór ou = zbiór oues = zbiór mehod = inerval = seasons = liczba_okresów lead = liczba_okresów_prognozy rend = (1-sały, 2-liniowy, 3-kwadraowy) alpha = poziom_isoności ; id miesiac; var dlug; run; 32
Szereg czasowy przygoowanie danych 33
34
35
rend 1 ω =1 0,8 36
37
38
39
40
41