Statystyka. #6 Analiza wariancji. Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik. rok akademicki 2015/ / 14

Transkrypt

1 Statystyka #6 Analiza wariancji Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik rok akademicki 2015/ / 14

2 Analiza wariancji 2 / 14

3 Analiza wariancji Analiza wariancji jest techniką badania wyników, które zależą od jedengo lub więcej czynników działających równocześnie. Zmienną, która takiej analizie podlega nazywamy zmienną objaśnianą. Jeśli w badaniu uwzględnia się jeden czynnik, to mamy do czynienia z analizą wariancji z klasyfikacją pojedynczą (jednokierunkową analizą wariancji). Możliwe jest także badanie wpływu dwóch (lub więcej) czynników na zmienną objaśnianą. Mówimy wtedy o analizie wariancji z klasyfikacją podwójną (dwukierunkowej analizie wariancji) lub wielowymiarowej (wielokierunkowej) analizie wariancji. 3 / 14

4 Model Badamy wpływ wyodrębnionego czynnika klasyfikacyjnego, posiadającego r poziomów na zmienna objaśnianą Y. Możemy zatem, przyjmując poziomy czynnika za kryterium podziału, wyodrębnić r populacji opisanych za pomocą zmiennych Y i, i = 1,..., r, które mają rozkłady normalne o średnich m i oraz jednakowej we wszystkich populacjach wariancji σ 2. Załóżmy, że z każdej populacji pobieramy niezależną próbę losową o liczebnościach, odpowiednio, n 1, n 2,..., n r, przy czym r i=1 n i = n. 4 / 14

5 Hipoteza: średnie we wszystkich wyodrębnionych populacjach są identyczne i równe m. H 0 : m 1 = m 2 =... = m r = m Hipoteza alternatywna: H 1 : m i m j dla co najmniej jednej prary i, j 5 / 14

6 PROCEDURA W celu weryfikacji hipotezy o identyczności średnich w r populacjach przeprowadza się postępowanie polegające na dekompozycji sumy kwadratów odchyleń od średniej z próby na dwa składniki. Pierwszy składnik mierzy stopień zróżnicowania wartości zmiennej objaśnianej Y między wyróżnionymi grupami, inaczej mówiąc stopień zróżnicowania tej zmiennej wywołanego działaniem uwzględnionego czynnika. Drugi składnik wyraża zróżnicowanie zmiennej wewnątrz każdej z grup, wynikające z losowego charakteru zmiennej Y. Podstawą do oceny istotności różnic między średnimi z prób jest ocena wkładu zróżnicowania międzygrupowego i wewnątrzgrupowego do ogólnego zróżnicowania zmiennej. Im wyższy jest udział pierwszego składniak, tym wyraźniejszy jest wpływ czynnika na poziom zmiennej. 6 / 14

7 Średnia arytmetyczna ze wszystkich obserwacji: Y = 1 n r i=1 ni k=1 Y ki Średnia dla i-tej próby: Y i = 1 n i ni k=1 Y ki SKC Całkowita suma kwadratów odchyleń od średniej ogólnej: ni k=1 (Y ki Y ) 2 = r i=1 SKC = r i=1 SKC = SKW + SKM ni k=1 (Y ki Y i ) 2 + r i=1 n i(y i Y ) 2 SKW Suma kwadratów odchyleń wartości cechy od średnich grupowych, reprezentuje zmienność wewnątrzgrupową. SKW = r ni i=1 k=1 (Y ki Y i ) 2 SKM Suma kwadratów odchyleń średnich grupowych od średniej ogólnej, reprezentuje zmienność międzygrupową. SKM = r i=1 n i(y i Y ) 2 7 / 14

8 Wnioskowanie Będziemy twierdzić, że czynnik klasyfikacyjny wpływa na zmienną objaśnianą Y, gdy hipoteza zerowa (H 0 : m 1 = m 2 =... = m r = m) zostanie odrzucona. Występuje to wtedy, kiedy zróżnicowanie międzygrupowe jest dostatecznie duże w relacji do zróżnicowania wewnątrzgrupowego. Aby to ocenić stosuje się następującą statystykę: F = s2 m s 2 w, gdzie: s 2 m = SKM r 1, s2 w = SKW n r Statystyka F, przy prawdziwości H 0 ma rozkład F -Snedecora z v 1 = (r 1) oraz v 2 = (n r) stopniami swobody. Obszar krytyczny: P (F F α,v1,v 2 ) = α 8 / 14

9 Tablica analizy wariancji Źródło zmienności Suma kwadratów Stopień swobody Średni kwadrat odchyleń Czynnik SKM r-1 s 2 m Błąd losowy SKW n-r s 2 w Ogółem SKC r-1+n-r=n-1 s 2 9 / 14

10 Przykład Czy rodzaj opakowania płatków śniadaniowych wpływa na liczbę sprzedanych pudełek? Nr sklepu Opakowanie A (1) Opakowanie B (2) Opakowanie C (3) Razem / 14

11 Przykład cd. Suma kwadratów Stopień swobody Średni kwadrat odchyleń SKM = 57118, , 31 = 4638, 39 r 1 = 2 s 2 m = 2319, 2 SKW = 5530, , 39 = 1092, 16 n r = 51 3 = 48 s 2 w = 22, 75 SKC = , 45 = 5730, 45 n 1 = 51 1 = 50 s 2 = 114, 61 Wartość statystyki testowej: F = s2 m s 2 = 2319,2 w 22,75 Obszar krytyczny: P (F F α,v1,v 2 ) = α Załóżmy poziom istotności α = 0, 05 Wartość krytyczna: F 0,05;2;48 = 3, 19 = 101, 94 Wartość statystyki F znacznie przekracza wartość krytyczną, co oznacza, że odrzucamy hipotezę zerową, a więc rodzaj opakowania wpływa na wielkość sprzedaży. 11 / 14

12 Przykład cd. Wykorzystane wzory ni SKC = r i=1 SKM = r i=1 [ ( k=1 Y 2 ki ( ni SKW = SKC SKM k=1 Y ki) 2 n ] ( ri=1 ni k=1 Y ki) 2 n ri=1 ni k=1 Y ki) 2 n = r ni i=1 k=1 Y ki 2 ny 2 12 / 14

13 Przykład cd. Obliczenia pomocnicze Średnie arytmetyczne w grupach Liczba grup r = 3 (opakowanie A (1), opakowanie B (2), opakowanie C (3)) Liczebności grup: n 1 = 17, n 2 = 17, n 3 = 17 Liczebność ogółem: n = = 51 y 1 = = 43 y 2 = 569 = 33, y 3 = 336 = 19, Średnia ogólna y = 1636 = 32, Potrzebne sumy 3 ni i=1 k=1 y2 ki = ny = 52485, 45 3 i=1 [ ( n i k=1 y ki) 2 ] = , = 57118, 70 n i ( 3 ni i=1 k=1 y ki) 2 = (1636)2 = 52480, 31 n / 14

14 Dziękuję! Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik 14 / 14