Geometria odwzorowań inżynierskich Wyk lad 02

Scriptionis Geometrica Volumen I (2014), No. 2, 1 21. Geometria odwzorowań inżynierskich Wyk lad 02 Edwin Koźniewski Zak lad Informacji Przestrzennej 1. Rzuty prostok atne na dwie rzutnie - Monge a Rys. 2-01: Rzuty prostok atne na dwie rzutnie: punkt rzutowany jest w kierunku prostopad lym na dwie rzutnie. Strza lki pokazuj a sposób realizacji odwzorowania Monge a; b) uzupe lnienie rysunku pogl adowego - ilustracja punktów i ich rzutów widzianych z prawej lub z lewej strony (rzut boczny, profil) Szczególne miejsce w zastosowaniach technicznych maj a rzuty prostok atne. Zwykle, z uwagi na odwracalność odwzorowania, obiekty przedstawia siȩ za pomoc a dwóch lub wiȩcej (2 6) rzutów. Jeden rzut, nawet jeśli jest to rzut prostok atny, nie wystarcza by na jego podstawie odtworzyć obiekt. Jak to już powiedzieliśmy, oprócz rzutu punktu potrzebna jest jeszcze jakaś informacja, np. wzglȩdna wysokość punktu. Omawiana tutaj metoda Monge a polega na do l aczeniu drugiego rzutu prostok atnego, który zast api wymagan a wysokość daj ac jeszcze coś wiȩcej, mianowicie drugi obraz - tzw. widok z przodu (widok g lówny, elewacjȩ Edwin Koźniewski c 2014 Politechnika Bia lostocka, Bia lystok

2 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich 2, rzuty Monge a Rys. 2-02: Odwzorowanie Monge a: a) każdemu punktowi przyporz adkowana jest para punktów: jego rzut poziomy ( ) i rzut pionowy ( ). Przy przyjȩtej osi rzutów lub orientacji poziomej (pionowej) punkty rzut poziomy i rzut pionowy leż a na tzw. odnosz acej; b) odwzorowanie Monge a jest wzajemnie jednoznaczne, każda para punktów leż acych na odnosz acej jest obrazem pewnego punktu; c) dwa punkty nieleż ace na odnosz acej nie stanowi a obrazu żadnego punktu; d h) wzajemne po lożenie rzutów dowolnego punktu wzglȩdem osi określa równocześnie jego po lożenie wzglȩdem rzutni. obiektu, por. rys. 2-03). Rzut prostok atny jest rzutem równoleg lym o kierunku prostopad lym do rzutni. Z tego też powodu nie bȩdziemy musieli określać kierunku rzutowania, który jest wyznaczony przez po lożenie rzutni. Aby dla dowolnego punktu mieć jego wysokość

E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich 2, rzuty Monge a 3 wystarczy dla danej rzutni przyj ać drug a prostopad l a rzutniȩ. W ten sposób otrzymujemy dwie prostopad le rzutnie π 1, π 2 (π 1 π 2 ) przecinaj ace siȩ w prostej x zwanej osi a rzutów (π 1 π 2 = x). Każdy punkt X rzutować bȩdziemy na obie rzutnie: poziom a π 1 i pionow a π 2 (na rys. 2-01a X {A, B, C, D, E}) i otrzymamy parȩ punktów: rzut poziomy X (na rys. 2-01 X {A, B, C, D, E }) i rzut pionowy X (na rys. 2-01 X {A, B, C, D, E }). Dla wiȩkszej czytelności rysunku pogl adowego 2-01a obok, na rysunku 2-01b, przedstawiono jego profilowe uzupe lnienie. Jest to ilustracja tzw. rzutu bocznego punktów przedstawionych na rysunku pogl adowym. O rzucie tym bȩdziemy jeszcze mówić dok ladniej. Uk lad (π 1,π 2 ) dwu p laszczyzn (rzutni), stanowi acy aparat rzutuj acy dwurzutu Monge a, rozcina przestrzeń P 3 na cztery czȩści (ćwiartki). Przyjmujemy, że punkt A leży w czȩści I, punkt B - w czȩści II, punkt D - w czȩści III, punkt C - w czȩści IV (rys. 2-01, 2-02). Zwykle obiekt umieszczamy w I czȩści, jednak w celu rozwi azania różnych zagadnień (np. znalezienia cieni) musimy wyjść poza tȩ czȩść. Rzuty dowolnego punktu leż a na prostej prostopad lej do osi rzutów. Prost a tȩ nazywamy odnosz ac a. Powstaje pytanie, czy każda para punktów, tj. para punktów (P 1, P 2 ) leż acych na prostej prostopad lej do osi rzutów jest dwurzutem pewnego punktu P? Odpowiedź jest twierdz aca. Wynika to z faktu, że po ponownym roz lożeniu obu rzutni w przestrzeni dwie proste przechodz ace przez punkty P 1, P 2, każda prostopadle do odpowiedniej rzutni, leż a w jednej p laszczyźnie a wieȩc przecinaj a siȩ w punkcie, którego rzuty prostok atne stanowi wyjściowa para punktów (rys. 2-02b, b1, b2). Rozmowanie to nie bȩdzie mieć zastosowania do pary punków, które nie leż a na odnosz acej (rys. 2-02c, zwróćmy uwagȩ na umieszczany w podobnych przypadkach znak Uwaga! Niebezpieczeństwo! ). Taka para nie może stanowić rzutów żadnego punktu. Metoda Monge a w zakresie punktu daje pe ln a restytuowalność (odwracalność). Symbolicznie zapisujemy to w sposób nastȩpuj acy X (X, X ) (1) Oznacza to, że przy znanym po lożeniu aparatu rzutuj acego, na podstawie danych dwóch rzutów (dwurzutu-obrazu) punktu jednoznacznie odtwarzamy po lożenie punktu (znajdujemy przeciwobraz-rzutowany punkt). Na podstawie wzajemnego po lożenia rzutów potrafimy określić po lożenie punktu w przestrzeni wzglȩdem rzutni. Na rys. 2-02d h) mamy ilustracjȩ po lożenia rzutów punktów w zależności od przynależności punktów do różnych czȩści przestrzeni wyznaczonych przez rzutnie w odwzorowaniu Monge a, na rys. 2-02d1 h1 punkty te widziane z profilu. Odleg lość punktu od rzutni pionowej (a wiȩc także odleg lość rzutu poziomego tego punktu od osi x) nazywamy g lȩbokości a punktu, zaś odleg lość punktu od rzutni poziomej (a wiȩc także odleg lość rzutu pionowego tego punktu od osi x) nazywamy wysokości a punktu. Dla unikniȩcia nieporozumień przyjmujemy umowȩ: jeżeli punkt leży pod rzutni a poziom a, to ma wysokość ujemn a, jeżeli punkt leży przed rzutni a, to ma g lȩbokość dodatni a itd. Orientacjȩ określamy za obserwatorem znajduj acym siȩ w I czȩści przestrzeni, tzn. patrz acego na rzut pionowy z przodu, zaś na rzut poziomy z góry. 2. Umowy dotycz ace rzutowania: metoda europejska i amerykańska W wielu sytuacjach punkt (figura, przedmiot) rzutowany jest równocześnie na sześć rzutni tworz acych prostopad lościan (sześcian). Przyjmuje siȩ wtedy, że przedmiot znajduje siȩ wewn atrz prostopad lościanu. Pozostaje ustalenie gdzie znajduje siȩ obserwator. Konsekwencj a umów dotycz acych wzajemnego po lożenia punktu obserwacji (obserwatora) i przed-

4 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich 2, rzuty Monge a Rys. 2-03: Przyk lad odwzorowania Monge a wybranych elementów obiektu budowlanego (dom z dachem z pó lszczytem górnym pogl adowo przedstawiony w aksonometrii): rzut poziomy ( ) wybranego przekroju poziomego, w rysunku budowlanym nazywany rzutem; rzut pionowy ( ) obiektu (tzw. widok), w wyniku takiego ustawienia obiektu wzglȩdem rzutni otrzymujemy tzw. elewacjȩ g lówn a; rzut boczny ( ) wybranego przekroju pionowego budynku, w rysunku budowlanym zwany przekrojem miotu w uk ladzie rzutni jest rozróżnienie dwu zasad rzutowania: zasady europejskiej i zasady amerykańskiej. W metodzie europejskiej przyjmuje siȩ, że przedmiot (punkt, figura) znajduje siȩ miȩdzy obserwatorem i rzutni a (rys. 2-04). Natomiast w metodzie amerykańskiej przyjmuje siȩ, że rzutnia znajduje siȩ miȩdzy obserwatorem a przedmiotem rysowanym (rys. 2-05). 3. Rzuty i k lad odcinka Rzut prostok atny jest rzutem równoleg lym. Obowi azuj a wiȩc wszystkie niezmienniki rzutu równoleg lego. W szczególności rzutem odcinka jest para odcinków (rys. 2-06a1). Odcinek bȩd ac jednoznacznie określony przez swoje końce jest przez nie również jednoznacznie odwzorowany w rzutach. W odniesieniu do odcinka metoda Monge a, podobnie jak w przypadku punktu daje pe ln a restytuowalność (odwracalność), czyli [XY ] ([X Y ], [X Y ]) (2) Punkt i odcinek s a podstawowymi obiektami przy tzw. reprezentacji szkieletowej figur (bry l) geometrycznych.

E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich 2, rzuty Monge a 5 Rys. 2-04: Ilustracja metody europejskiej: a) przedmiot znajduje siȩ miȩdzy obserwatorem i rzutni a. Elementy niewidoczne zaznaczone s a lini a przerywan a; a) schemat wizualizacji w programie Auto- CAD obiektu znajduj acego siȩ w globalnym uk ladzie wspó lrzȩdnych (WCS-World Coordinate System), uk lady liczb oznaczaj a wspó lrzȩdne wektorów (wersorów) swobodnych określaj acych kierunek (i zwrot) obserwacji w WCS; c) oznaczenie graficzne metody (europejskiej) rzutowania 3.1. K lad odcinka Odcinek w rzucie prostok atnym ulega na ogó l deformacji, dok ladniej skróceniu (w rzucie równoleg lym może ulec także wyd lużeniu). W celu zmierzenia odcinka wykonujemy kon-

6 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich 2, rzuty Monge a Rys. 2-05: Ilustracja metody amerykańskiej: a) rzutnia znajduje siȩ miȩdzy obserwatorem i przedmiotem. W uk ladzie rzutów niektóre rzuty s a jak gdyby poprzestawiane w porównaniu z uk ladem rzutni wed lug metody europejskiej; Rysunek schematyczny rzutowania wed lug metody amerykańskiej - TAP (Third Angle Projection): b) sposób rozmieszczenia rzutni; c) rozwiniȩcie rzutni; d) oznaczenie graficzne metody (amerykańskiej) rzutowania strukcjȩ k ladu odcinka. K ladem 1 dowolnej figury p laskiej F na dan a rzutniȩ nazywać bȩdziemy obrót tej figury doko la prostej leż acej w p laszczyźnie figury F o taki k at, że p laszczyzna figury F uzyskuje po lożenie równoleg le do rzutni. Otrzymujemy wówczas, z uwagi na niezmiennik N5, naturalne: kszta lt i wielkość figury F. K lad odcinka przedstawia rysunek 2-06. Na rysunkach 2-06a a3 zilustrowano k lad trapezowy w ujȩciu pogl adowym. K lad trapezowy ma 1 Do pojȩcia k ladu jeszcze powrócimy przy okazji dok ladnego omówienia k ladu p laszczyzny.

E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich 2, rzuty Monge a 7 Rys. 2-06: Rzuty i k lad odcinka: a) k lad trapezowy; a1 a3) konstrukcja k ladu trapezowego w rzutach Monge a; b) k lad różnicowy; b1 b3) konstrukcja k ladu różnicowego w rzutach Monge a. ścis ly zwi azek z po lożeniem rzutni, z tzw. metod a śladow a 2 (w konstrukcji potrzebna jest oś rzutów). K lad różnicowy realizowany jest metod a bezśladow a 3, gdzie rzuty chrakteryzuj a obiekt bez odwo lywania siȩ do po lożenia wzglȩdem rzutni. W zastosowaniach rzutów prostok atnych do zapisu konstrukcji mamy do czynienia jedynie z metod a bezśdow a. Co wiȩcej, rzut poziomy i pionowy (a także) boczny czȩsto s wykonywane (drukowane) na różnych arkuszach papieru. Nie usprawiedliwia to wszakże zrezygnowania z zasady przynależności rzutów punktu do wspólnej odnosz acej (przestrog a jest rysunek 2-02c). Szczególnie jeśli konstrukcja (np. tworzenie figury bry ly geometrycznej) wykonywana jest metod a Monge a. 4. Rzuty i ślady prostej Prosta, podobnie jak punkt i odcinek, odwzorowana jest przez swoje dwa rzuty: poziomy i pionowy. Na rysunku 2-07 rzutmi prostej a s a proste a i a. Mamy nastȩpuj ac a zależność Czȩsto wygodnie jest pos lugiwać siȩ, obok rzutów prostej, jej pewnymi punktami szczególnymi, tzw. śladami prostej. Punkty przebicia prost a obu rzutni nazywać bȩdziemy śladami tej prostej. Punkt H a przebicia rzutni poziomej π 1 prost a a nazywamy śladem poziomym prostej a, punkt V a przebicia rzutni pionowej π 2 prost a a nazywamy śladem pionowym prostej a (rys. 2-07). Ślad poziomy H a prostej a leży na rzucie poziomym a prostej a i na odnosz acej punktu przeciȩcia H a rzutu pionowego a z osi a rzutów x, ślad pionowy V a leży na rzucie pionowym a prostej a i na odnosz acej punktu przeciȩcia V a rzutu poziomego a z osi a rzutów x (rys. 2-07a). Na rysunkach 2-07a1 a3 przedstawiono konstrukcjȩ śladów prostej 2 Z punktu widzenia teorii konfiguracji rzutowych metoda śladowa zwi azana jest z tzw. konfiguracj a Monge a omówion a w Dodatku 2. 3 Z punktu widzenia teorii konfiguracji rzutowych metoda bezśladowa zwi azana jest z tzw. konfiguracj a Veblena-Younga omówion a w Dodatku 2.

8 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich 2, rzuty Monge a Rys. 2-07: Rzuty i ślady prostej: a) ślady prostej w po lożeniu ogólnym; a1 a3) konstrukcja śladów prostej; b) prosta pozioma (warstwowa) i jej ślady (ślad poziomy jest punktem niew laściwym); b1 b3) konstrukcja śladów prostej poziomej (warstwowej); Różne po lożenia prostych: c) prosta pozioma lub warstwowa (w π 1 w x); d) prosta czo lowa (c π 2 c x); e) prosta równoleg la do obu rzutni (a x a x a ); f) prosta poziomorzutuj aca (k π 1 k x i k jest punktem); g) prosta pionoworzutuj aca (k π 2 k x i k jest punktem); h) prosta profilowa (p x p π 1 p π 2 ) (jedyna sytuacja w rzutach Monge a, gdzie prosta nie jest jednoznacznie określona - st ad obok znak sowy informuj acy, że sytuacja wymaga wyj atkowego zastanowienia siȩ); i k) uk lady prostych nieprzedstawiaj ace prostej w rzutach Monge a; l) prosta leż aca w p laszczyźnie dwusiecznej uk ladu rzutni Monge a w rzutach Monge a. Jeżeli prosta jest równoleg la do którejś z rzutni, to ślad na tej rzutni jest punktem niew laściwym. Na rys. 2-07b przedstawiono rzuty i ślady prostej poziomej (warstwowej). Na rysunkach 2-07b1 b3 przedstawiono rzuty i konstrukcjȩ śladów prostej poziomej w rzutach Monge a. Prosta (odcinek) może zajmować różne po lożenia wzglȩdem

E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich 2, rzuty Monge a 9 uk ladu rzutni (π 1, π 2 ), w tym także wzglȩdem osi rzutów x. Jeżeli prosta(odcinek) nie jest równoleg la ani prostopad la do żadnego z obiektów: π 1, π 2, x, to mówimy, że zajmuje po lożenie ogólne. Proste niespe lniaj ace żadnego z powyższych warunków maj a wzgȩdem rzutni po lożenia szczególne. Proste w po lożeniach szczególnych zwykle maj a także swoje specjalne nazwy: prost a równoleg l a do rzutni poziomej (czȩsto oznaczan a liter a w ), czyli spe lniaj ac a warunek: w π 1 w x, nazywamy prost a poziom a lub warstwow a (rys. 2-07c), prost a równoleg l a do rzutni pionowej (czȩsto oznaczan a liter a c ) czyli spe lniaj ac a warunek: c π 2 c x, nazywamy prost a czo low a (rys. 2-07d), prosta może być równocześnie prost a poziom a i pionow a, czyli a x a x a (rys. 2-07e), prost a prostopad l a do rzutni poziomej nazywamy poziomorzutuj ac a (rys. 2-07f), prost a prostopad l a do rzutni pionowej nazywamy pionoworzutuj ac a (Rys. 2-07g), prost a, prostopad l a do osi rzutów x, nieprostopad l a do żadnej z rzutni, nazywamy profilow a (rys. 2-07h). Zwróćmy szczególn a uwagȩ na rysunek 2-07i. Nieprzypadkowo nie zaznaczono tam śladów. Ślady - i tym samym - prosta nie s a bowiem wyznaczone jednoznacznie. Jest to jedyny przypadek, gdzie nie zachodzi zależność p (p, p ). Mamy tylko p (p, p ). Dochodzimy, przy okazji, do stwierdzenia, że restytuowalność (odwracalność) w odniesieniu do prostych w metodzie Monge a zachodzi z pewnym wyj atkiem, czyli w ograniczonym zakresie. Zachodzi mianowicie implikacja (p x p π 1 p π 2 ) = (p (p, p )) (3) Ta niepe lna odwracalność dotyczy jedynie bardzo szczególnego przypadku. Restytucjȩ w odniesieniu do prostej profilowej można osi agn ać różnymi sposobami. Omówmy dwa z nich: (1) Możemy na prostej profilowej wybrać dwa punkty i ich rzuty i wtedy mamy odwzorowany odcinek, który jest zawsze restytuowalny. (2) wprowadzamy trzeci a rzutniȩ boczn a (rys. 2-01b, 2-03) π 3 (π 1 π 3 π 2 ) i w nowym uk ladzie rzutni (π 2, π 3 ) lub (π 1, π 3 ) prosta jest już restytuowalna. 5. Cienie w rzutach Monge a St ad wyznaczenie cienia sprowadza siȩ w elementarnych przypadkach do takich zagadnień jak: wyznaczenie punktu przebicia promienia świetlnego z najbliższ a napotkan a p laszczyzn a lub powierzchni a, wyznaczenie przeciȩcia plaszczyzny świetlnej, zwykle walca lub stożka świetlnego z najbliższ a napotkan a p laszczyzn a, wyznaczenie przeciȩcia figury p laszczyzn a świetln a, wyznaczenie linii przenikania siȩ figury z walcem lub stożkiem świetlnym, wyznaczenie linii styczności walca lub stożka świetlnego z figur a. Ślad prostej możemy interpretować jako cień pewnego punktu, jeżeli prost a tȩ przyjmiemy za promień świetlny a rzutniȩ za t lo, czyli p laszczyznȩ przedmiotu na który ów oświetlony punkt rzuca cień. Jeżeli na przyk lad rzutnie Monge a uznamy odpowiednio za pod logȩ i ścianȩ pokoju, prost a zaś przyjmiemy za promień świetlny pewnego punktu przez który ta prosta przechodzi, to jeden z dwóch śladów bȩdzie cieniem punktu na odpowiedni a rzutniȩ. Bȩdzie to mianowicie ten ze śladów, który leży wcześniej na prostej (promieniu świetlnym) w orientacji wyznaczonej przez parȩ punktów: punkt świetlny (źród lo świat la) i punkt oświetlany. Na rysunkach 2-08 punkt S interpretujemy jako punktowe źród lo świat la. Punkt A rzuca cień na rzutniȩ poziom a, gdyż prosta a wcześniej przebija rzutniȩ poziom a (pod logȩ) niż rzutniȩ pionowo a (ścianȩ) w orientacji od punktu S (źród la świat la) do punktu A (punktu oświetlanego). Strza lka na rys.

10 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich 2, rzuty Monge a Rys. 2-08: Cienie w rzutach Monge a przy oświetleniu punktowym (S(S,S ) - źród lo świat la): a) cień punktu A(A,A ) na rzutniȩ poziom a; a1 a3) konstrukcja cienia punktu A(A,A ) na rzutniȩ poziom a; b) cień B(B,B ) na rzutniȩ pionow a; b1 b3) konstrukcja cienia punktu B(B,B ) na rzutniȩ pionow a; Cień odcinka w rzutach Monge a przy oświetleniu równoleg lym (K (K,K ) - źród lo świat la): c) za lożenia; c1) przez punkty A i B rysujemy promienie (proste a(a,a ), b(b,b ); c2 c3) znajdujemy ślady prostych a(a,a ), b(b,b ), punkty V a, V b wyznaczaj a cień odcinka na rzutni pionowej (przy za lożeniu, że chwilowo nie ma rzutni poziomej) i równocześnie punkt X AB za lamania siȩ cienia; c4) ostateczny cień odcinka 2-08a3 wskazuje kierunek biegu promienia. Punkt B rzuca natomiast cień na rzutniȩ pionow a, gdyż prosta b wcześniej przebija rzutniȩ pionow a (ścianȩ) niż rzutniȩ poziom a (pod logȩ) w orientacji od punktu S (źród la świat la) do punktu b (punktu oświetlanego). Strza lka na rys. 2-08b3 wskazuje kierunek biegu promienia. By znaleźć cień punktu prowadzimy przez

E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich 2, rzuty Monge a 11 Rys. 2-09: Cień ostros lupa przy oświetleniu równoleg lym: a) ostros lup [ABCDE] i kierunek oświetlenia (K (K,K ) - źród lo świat la); a1) przez punkt E rysujemy promień (prost a) e(e,e ); a2) znajdujemy ślady prostej e(e,e ) a nastȩpnie cień ostros lupa na rzutni poziomej (przy za lożeniu, że chwilowo nie ma rzutni pionowej) jako pow lokȩ wypuk l a punktów [A c B c H e D c ]; a3) równocześnie otrzymujemy punkty X BE i X DE za lamania siȩ cieni [B c H e ] i [D c H e ] odcinków [BE] i [DE] pow loki i ostateczny kszta lt cienia ostros lupa rzucony na dwie rzutnie. Punkty X BE i X DE s a punktami przeciȩcia siȩ prostych (B c H e ) i (D c H e ) z osi a rzutów x. Nie zakreskowano czȩści cienia zas loniȩtego przez ostros lup. Zauważmy ponadto, że w praktyce mówienie o tej (zas loniȩtej) czȩści cienia nie ma sensu punkt prost a (rys. 2-08a2, 2-08b2) znajdujemy ślady (rys. 2-08a3, 2-08b3) i by stwierdzić, który ślad możemy uznać za cień przesuwamy siȩ po osi x w kierunku strza lki i analizujemy po lożenie rzutów śladów danej prostej. Ten ślad danej prostej jest cieniem, który

12 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich 2, rzuty Monge a Rys. 2-10: Cienie w praktyce budowlanej. Obiekty budowlane nie mog a pozbawiać s asiaduj acych budynków dostȩpu do świat la s lonecznego. Zgodnie z prawem budowlanym obiekt mieszkalny musi być przez określony czas w bezpośrednim obszarze dzia lania promieni s lonecznych. St ad powsta la konieczność zaprojektowania wysokiego hotelu z dziur a : a) wizualizacja modelu komputerowego 3D projektu budynku z symulacj a cienia; b c) hotel w budowie - olbrzymia czȩść budynku stoi na nodze (Hotel Intercontinental w Warszawie u zbiegu ulic Siennej i Emilii Plater - najwyższy żelbetowy budynek w Polsce, 2003)

E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich 2, rzuty Monge a 13 spotkaliśmy wcześniej. Na rys. 2-08a, 2-08a3 cieniem A c punktu A jest ślad H a, na rys. 2-08b, 2-08b3 cieniem B c punktu B jest ślad V b. Jeżeli omówione wcześniej dwa punkty A i B należ a do tego samego obiektu, to cień takiego obiektu, rzucony na dwie p laszczyzny, ulegnie za lamaniu. Ograniczaj ac zagadnienie do odcinka rozwi azanie zadania znalezienia cienia przedstawia (w kilku ods lonach) rys.2-08c c4. Cień odcinka za lamuje siȩ w punkcie X AB, w którym jeden z odcinków [H a H b ], [V a V b ] przecina oś rzutów x. Zatem w odniesieniu do obiektów (bry l) o przedstawieniu szkieletowym problem zosta l rozwi azany ca lkowicie. Cień figury o reprezentacji szkieletowej, tj. zawieraj acej punkty jako wierzcho lki, odcinki jako krawȩdzie i wielok aty jako ściany wyznaczamy znajduj ac cienie jej wszystkich wierzcho lków. Nastȩpnie, jeśli jest to figura wypuk la 4, znajdujemy pow lokȩ wypuk l a 5 punktów bȩd acych cieniami wierzcho lków oświetlonej figury. 6. Odwzorowanie p laszczyzny Rzutem prostok atnym p laszczyzny, o ile nie jest ona prostopad la do rzutni, jest p laszczyzna. W takim rozumieniu rzutu odwzorowanie p laszczyzny nie ma sensu. Pozostaje wiȩc reprezentacja p laszczyzny poprzez elementy j a wyznaczaj ace. P laszczyznȩ wyznaczaj a bowiem: trzy punkty, punkt i prosta, dwie proste przecinajce siȩ (równoleg le) (rys. 2-11a c,e). Jak wiadomo, dwie proste skośne nie określaj a jednoznacznie p laszczyzny (rys. 2-11f). Ponadto, jeżeli jedna z dwu prostych jest prost a profilow a i nie jest zaznaczony w rzutach prostok atnychpunkt przeciȩcia siȩ tych prostych, to proste o takich rzutach również nie określaj a p laszczyzny (rys. 2-11d). Czasem wygodnie jest reprezentować p laszczyznȩ za pomoc a dwu specjalnych prostych, tzw. śladów, czyli takich prostych, w których p laszczyzna przecina rzutnie (rys. 2-11g g1). Czym charakteryzuj a siȩ ślady p laszczyzny? Ślady p laszczyzny przecinaj a siȩ na osi rzutów. Z drugiej strony, każde dwie proste przecinaj ace siȩ na osi x, z wyj atkiem przypadku, gdy jedna z prostych pokrywa siȩ z osi a a druga - nie (dlaczego?), s a śladami pewnej p}aszczyzny. Jeśli proste (ślady) nie pokrywaj a siȩ równocześnie z osi a x, to p laszczyzna jest określona jednoznacznie. Szczególne znaczenie w konstrukcjach w rzutach Monge a maj a p laszczyzny rzutuj ace, czyli p laszczyzny prostopad le do jednej z rzutni. P laszczyznȩ prostopad l a do rzutni poziomej nazywamy poziomorzutuj ac a (rys. 2-11h j, p laszczyznȩ prostopad l a do rzutni pionowej nazywamy pionoworzutuj ac a (rys. 2-11k m. W przypadku p laszczyzn rzutuj acych rzutem p laszczyzny jest prosta. Jest to przypadek, w którym rzut plaszczyzny jednoznacznie j a wyznacza. W tym przypadku rzut jest równocześnie śladem i drugi ze śladów jako odpowiednia prosta prostopad la do osi rzutów, jest wtedy jednoznacznie wyznaczony. W jakim przypadku śladem p laszczyzzny jest prosta niew laściwa? Wiemy już jak odwzorować p laszczyznȩ za pomoc a elementów jednoznacznie j a wyznaczaj acych. Jak uzupe lniać rzuty punktów, gdy dany jest jeden z jego rzutów? Otóż jeżeli rzutem p laszczyzny (na któr aś rzutniȩ) jest p laszczyzna, to każdy punkt tej rzutni jest rzutem pewnego punktu p laszczyzny. Można wiȩc dowolny punkt przyj ać jako rzut pewnego punktu p laszczyzny i skonstruować jego brakuj acy rzut. W przypadku, gdy p laszczyzna jest rzutuj aca uzupe lnienie brakuj acego punktu jest możliwe tylko w jedn a stronȩ (mamy na myśli jednoznaczne uzupe lnienie rzutów punktu). Konstrukcje te, fundamentalne w rzutach Monge a i aksonometrii, zostan a omówione 4 Figurȩ nazywamy wypuk l a, jeżeli zawiera wszystkie odcinki, których końcami s a dowolne punkty tej figury. 5 Pow lok a wypuk l a zbioru punktów nazywamy najmniejszy (w sensie zawierania) zbiór wypuk ly, do którego należ a wszystkie punkty wyjściowego zbioru. W grafice komputerowej wśród algorytmów wyznaczaj acych pow lokȩ wypuk l a warto wymienić algorytmy: Grahama oraz Greena i Silvermana [3].

14 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich 2, rzuty Monge a Rys. 2-11: P laszczyzna w rzutach Monge a określona przez: a) trzy punkty; b) punkt i prost a; c) dwie proste równoleg le; e) dwie proste przecinaj ace siȩ; d) nie możemy stwierdzi, czy proste określaj a jednoznacznie p laszczyznȩ: jedn a z dwu prostych jest prosta profilowa i nie jest zaznaczony wspólny punkt tych prostych; f) proste nie określaj a p laszczyzny ponieważ s a skośne (punkty przeciȩcia rzutów nie leż a na tej samej odnosz acej); g) ślady p laszczyzny w po lożeniu ogólnym; g1) p laszczyzna w po lożeniu ogólnym określona śladami; h) trzy punkty przedstawiaj ace p laszczyznȩ poziomorzutuj ac a; i) p laszczyzna poziomorzutuj aca określona śladami; j) dwie proste przedstawiaj ace p laszczyznȩ poziomorzutuj ac a; k) dwie proste równoleg le przedstawiaj ace p laszczyznȩ pionoworzutuj ac a; l) p laszczyzna pionoworzutuj aca określona za pomoc a punktu i prostej; m) p laszczyzna pionoworzutuj aca określona śladami. We wszystkich przypadkach (h m) określenia p laszczyzny s a redundantne, do jednoznacznego określenia p laszczyzny w przypadkach h j wystarczy rzut poziomy (jedna linia prosta), w przypadkach k m wystarczy rzut pionowy (jedna linia prosta) w kolejnym paragrafie.

E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich 2, rzuty Monge a 15 7. Odwzorowanie powierzchni stożka, walca i sfery Rys. 2-12: Uzupe lnianie rzutów punktów na p laszczyźnie: a) p laszczyzna jest określona przez dwie proste a(a,a ) i b(b,b ) i dany jest rzut pionowy C punktu C leż acego na tej p laszczyźnie; b) p laszczyzna określona jest za pomoc a równoleg loboku, znajdujemy rzut pionowy wybranego punktu za pomoc a prostej w po lożeniu ogólnym; c) tu znajdujemy rzut pionowy ma lego prostok ata korzystaj ac z niezmiennika równoleg lości, rozwi azanie w tym przypadku może być interpretowane jako konstrukcja uzupe lnienia w lazu na po laci dachowej Na rys. 2-12 mamy konstrukcjȩ uzupe lniania rzutów punktów na p laszczyźnie: a) p laszczyzna jest określona przez dwie proste a(a, a ) i b(b, b ) i dany jest rzut pionowy C punktu

16 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich 2, rzuty Monge a C leż acego na tej p laszczyźnie; a1) przez punkt C prowadzimy rzut pionowy w prostej poziomej w, która leży na p laszczyźnie; a2-a3) zapewniamy przynależność prostej w do p laszczyzny prostych a i b poprzez zagwarantowanie spe lnienia warunku przecinania siȩ prostej w z prostymi a i b (punkty 1 i 2 s a punkami wspólnymi prostych a i w oraz b i w); a4) znajdujemy brakuj acy rzut poziomy A punktu A. Przyjȩta pozioma prosta w przynaleṅości elementów może być dowoln a prost a. Pokazujemy to na drugiej serii rysunków. Seria b-b4 przedstawia sposób uzupe lnienia rzutu pionowego jednego z punktów (wierzcho lków) ma lego prostok ata za pomoc a dowolnej prostej (już niekoniecznie poziomej) na p laszczyźnie prostok ata. Zauważmy, że rzutem poziomym prostok ata jest prostok at. Zachowanie k ata prostego jest konsekwencj a zachowania niezmiennika charakterystycznego rzutowania prostok atnego, gdyż jedno z ramion tego k ata jest prost a równoleg l a do rzutni poziomej czyli prost a warstwow a. Seria c-c4 przedstawia sposób uzupe lniania rzutu pionowego prostok atnego wy lazu dachowego, jeśli rzuty dużego prostok ata potraktujemy jako rzuty po laci dachu budynku, której okap i kalenica s a równoleg lymi prostymi (odcinkami) warstwowymi. Korzystamy tu z niezmienników rzutowania równoleg lego, szczególnie z niezmiennika równoleg lości (prostych, odcinków). Dlatego jest to najbardziej oszczȩdna droga konstrukcji uzupe lniania rzutu pionowego ma lego prostok ata. Do znalezienia rzutu pionowego prostej wystarczy bowiem znać jeden punkt wiedz ac, że jest ona równoleg la do innej prostej. Powierzchnie stożka obrotowego, walca obrotowego i sfery, znane z matematyki szkolnej, obok p laszczyzny, najczȩściej wystȩpuj a jako geometryczne elementy obiektów technicznych. W szczególności s a to podstawowe elementy kszta ltuj ace obiekty budowlane. Oczywiście w architekturze i budownictwie znajduj a zastosowanie także inne, niezwykle interesuj ace ale i bardziej z lożone, powierzchnie, które omówimy później. Wymienione wyżej powierzchnie w wyniku przekroju pewnymi (nie wszystkimi!) p laszczyznami daj a prost a (odcinek) lub okr ag. Przekrój p laszczyzny dan a p laszczyzn a jest zawsze prost a. Dotychczasowe obiekty geometryczne (odcinek, trójk at, wielok at, prostopad lościan, ostros lup) mia ly reprezentacjȩ szkieletow a. W celu odwzorowania powierzchni stożka, walca i sfery przyjmiemy reprezentacjȩ konturow a, tzn. tak a w której rzutem powierzchni jest brzeg rzutu tej powierzchni (figury rozumianej jako zbiór rzutów wszystkich punktów powierzchni). Rzutem każdej z omawianych tu powierzchni jest trójk at, prostok at, ko lo (w reprezentacji konturowej okr ag) (rys. 2-13). 8. Istota konstrukcji geometrycznej 2D. Klasyczne konstrukcje elementarne za pomoc a cyrkla i linijki Do czasów, w których zaczȩto wykorzystywać komputer do wykonywania konstrukcji geometrycznych jedynym procesem tworzenia rysunków by l proces realizowany za pomoc a cyrkla i linijki oparty na metodzie konstrukcji klasycznych (p-o). Jest to proces polegaj acy na wykorzystaniu cyrkla (okr ag) i linijki (prosta) do wykonania każdej konstrukcji, w której realizowany jest ci ag konstrukcji elementarnych opisanych poniżej. Procesu tego nie da siȩ automatyzować. Każdy powtarzaj acy siȩ element rysunku musi być narysowany takim samym sposobem (za pomoc a tego samego algorytmu). Jedynym uproszczeniem, pomijaj ac specjalistyczne przyrz ady (np. dwie szpilki i sznurek do rysowania elipsy, siatki perspektywiczne, perspektografy), jest zastosowanie ekierki skracaj acej proces kreślenia prostej równoleg lej lub prostopad lej do danej prostej. Elementarne sk ladniki (dzisiaj mówimy entycje od angielskiego s lowa entity - wyodrȩbniona ca lość, rzecz realnie istniej aca) to prosta (odcinek), okr ag ( luk okrȩgu) i punkt. Każda wiȩc konstrukcja wykonana metod a klasyczn a sk lada siȩ z ci agu konstrukcji utworzonego z elementów wziȩtych spośród piȩciu konstrukcji elementarnych: (p),

E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich 2, rzuty Monge a 17 Rys. 2-13: Rzuty najprostszych powierzchni stopnia drugiego: a) stożka; d) sfery; g) walca; Uzupe lnianie rzutów punktów: b-b3) na stożku za pośrednictwem okrȩgu; c-c4) na stożku za pośrednictwem prostej; e-e3) punktu w po lożeniu ogólnym na sferze; f-f2) punktu na po ludniku (punkt B), na równiku (punkt C); g-g1) dowolnego punktu na walcu. W przypadku walca jednoznaczne uzupe lnienie jest możliwe tylko w przypadku, gdy dany rzut pionowy. Nic dziwnego - walec w takim, jak na rysunku, ustawieniu jest powierzchni a rzutuj ac a (tu: poziomorzutuj ac a) (o), (pp), (po), (oo) (rys. 2-14). Dla przyk ladu konstrukcja symetralnej odcinka wykonywana jest za pomoc a algorytmu: (o), (o), (oo), (p), konstrukcja zaś środka odcinka wykonywana jest za pomoc a ci agu konstrukcji elementarnych: (o), (o), (oo), (p), (pp) (rys. 2-14). Konstrukcjȩ kreślenia prostej prostopad lej do danej prostej można zautomatyzować wykorzystuj ac ekierkȩ, tj. ci ag: (o), (o), (oo) można zast apić jedn a czynności a polegaj ac a na odpowiednim przy lożeniu ekierki i linijki. Jaki ci ag czynności elementarnych zastȩpujemy rysuj ac prost a

18 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich 2, rzuty Monge a Rys. 2-14: Konstrukcje elementarne prosta - okr ag (p-o). Przyk lad konstrukcji: symetralnej odcinka (1-4), środka odcinka (1-5) równoleg l a za pomoc a ekierki? Wiele konstrukcji geometrycznych nie jest wykonalnych za pomoc a cyrkla i linijki. S a to w szczególności takie konstrukcje jak: podwojenie sześcianu 6, trysekcja k ata 7, kwadratura ko la 8, rektyfikacja okrȩgu 9. 9. Zastosowania programu CAD w konstrukcji bry l Ogólnie problem rysowania (konstruowania) za pomoc a narzȩdzi CAD (Computer AIded Design) bȩdzie omówiony w ramach oddzielnego wyk ladu. Jednak w celu oswajania siȩ z metodami komputerowymi w zakresie grafiki inżynierskiej omówimy pewne wiadomości, które pozwol a wykonywać pierwsze konstrukcje za pomoc a komputera. Przyk lady konstrukcji CAD podane w tym wyk ladzie s a konstrukcjami p laskimi (2D). Oznacza to, że otrzymany w wyniku konstrukcji wirtualny obiekt jest figur a p lask a. Obecnie mamy dwie istotnie różne metody wykonywania konstrukcji geometrycznych (rysowania, kreślenia): klasyczn a i drug a nazwijmy automatyczn a 10. Automatyzacja konstruowania przejawia siȩ m.in. poprzez możliwość 11 : 1) kreślenia za pomoc a poleceń: rysowanie linii LINE/LINIA (wielolinii PLINE/PLINIA) 6 Podwojenie sześcianu, to konstrukcja sześcianu o dwukrotnie wiȩkszej objȩtości. 7 Trysekcja k ata, to podzia l danego k ata na trzy równe czȩści. 8 Kwadratura ko la, to konstrukcja kwadratu o polu równym polu danego ko la. 9 Rektyfikacja okrȩgu, to konstrukcja odcinka o d lugości równej d lugości danego okrȩgu. 10 Chodzi tu o różnego rodzaju sposoby realizacji konstrukcji geometrycznych za pomoc a programów komputerowych. Z oczywistych powodów pos lugiwać bȩdziemy określonym programem komputerowym by unikn ać konieczności pos lugiwania siȩ metajȩzykiem czy metasystemem opisuj acym logikȩ edytora graficznego. Bȩdzie to - najbardziej popularny program - AutoCAD. 11 Dok ladny opis poleceń programu AutoCAD można znaleźć w dowolnym opracowaniu dotycz acym systemu (np. [4]) lub w specjalnej instrukcji.

E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich 2, rzuty Monge a 19 Rys. 2-15: P laska konstrukcja szkieletu domku w izometrii wojskowej realizowana za pomoc a edytora graficznego typu CAD i jej schematyczny, ideowy opis realizacji. W opisie pominiȩto niektóre elementy rysunku, na obecnym etapie mniej istotne, np. wstawianie tekstu Po wywo laniu polecenia LINE/LINIA wskazujemy pocz atek linii a nastȩpnie koniec 12. W przypadku wielolinii określamy także grubość (Width/SZer). Grubość tȩ możemy zmienić za pomoc a polecenia PEDIT/EDPLIN. Poleceniem tym możemy nadać grubość linii (LINE/LINIA), która ma, z za lożenia, grubość zerow a 12 Pocz atek i koniec rysowanego odcinka może być wskazany jako: koniec odcinka (ENDpoint/KONiec), środek odcinka (MIDpoint/SYMetria), przeciȩcie siȩ dwóch obiektów ze zbioru obiektów {linia, wielolinia, luk, okr ag}(intersec/przeciȩcie), środek okrȩgu lub luku (CENter/CENtrum).

20 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich 2, rzuty Monge a Rys. 2-16: Konstrukcja szkieletu domku w rzutach prostok atnych realizowana za pomoc a edytora graficznego typu CAD na bazie rysunku 2-15: a) wymazujemy niepotrzebne linie pozostawiaj ac prostok at odnosz ac a i dwa odcinki maj ace d lugości równe wysokości domku i wysokości ściany domku, tworzymy warstwȩ z typem linii CENTER2 i rysujemy linie symetrii; a1 a4) dalsze elementy rysujemy poprzez kopiowanie (KOPIUJ/COPY) i wyd lużanie (WYD LUŻ/EXTEND); a5) rysujemy odcinek za pomoc a polecenia LINIA/LINE; a6) kontymujemy kopiowanie; a7) zmieniamy warstwȩ na tȩ z typem linii DASHED i rysujemy dwie linie niewidoczne; b b3) eksponujemy (ZMIEŃ/CHANGE) proste w rzutach Monge a: w po lożeniu ogólnym (b), poziomorzutuj ac a (b1), warstwowe (b2, b3)

E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich 2, rzuty Monge a 21 rysowanie okrȩgu CIRCLE/OKRA G Po wywo laniu polecenia wskazujemy środek okrȩgu i promień (liczb a lub przez podanie końca promienia) lub dwa końce średnicy lub trzy punkty. 2) powielania obiektów poprzez: kopiowanie (COPY/KOPIUJ) - geometrycznie przesuniȩcie równoleg le z pozostawieniem pierwotnego obiektu, kopiowanie wraz ustawieniem w tablicȩ prostok atn a lub biegunow a (ARRAY/SZYK) - geometrycznie przesuniȩcie równoleg le lub z lożenie z przesuniȩcia równoleg lego i obrotu, przesuwanie (MOVE/PRZESUŃ) - geometrycznie przesuniȩcie równoleg le z usuniȩciem pierwotnego obiektu, odbicie zwieciadlane (MIRROR/LUSTRO) - geometrycznie symetria osiowa z pozostawieniem lub z usuniȩciem pierwotnego obiektu, obrót (ROTATE/OBRÓT) - geometrycznie obrót z usuniȩciem pierwotnego obiektu, 2) modyfikacji obiektów poprzez: ucinanie (TRIM/UTNIJ), wyd lużanie (EXTEND/WYD LUŻ), Zamieszczone na rysunkach 2-15, 2-16 opisy realizacji komputerowych maj a na celu nie tyle dok ladne przedstawienie procesu rysowania w programie komputeromym AutoCAD, co zaprezentowanie ogólnej idei tworzenia rysunków w specjalistycznych programach graficznych. Szczegó lowe, pe lne przyk lady rysowania za pomoc a edytora graficznego znajduj a siȩ w specjalnych instrukcjach. Przy okazji dowiadujemy siȩ jak niewielki udzia l w konstrukcji maj a polecenia kreuj ace linie proste i luki a jak wielki udzia l maj a polecenia powielaj ace (COPY/KOPIUJ, MOVE/PRZESUŃ, ROTATE/OBRÓT, MIRROR/LUSTRO) oraz w znacz acej mierze polecenia modyfikuj ace (TRIM/UTNIJ, EXTEND/WYD LUŻ). Można powiedzieć, że g lówn a cech a edytora graficznego jest przetwarzanie istniej acych elementów rysunku, a nie tworzenie nowych. Ta ostatnia cecha należy do niezwykle ważnych, podstawowych zalet programów typu CAD. Literatura [Bry79] M. Bryński, L. W lodarski: Konstrukcje geometryczne. Wydawnictwo Szkolne i Pedagogiczne. Warszawa 1979. [Gro95] B. Grochowski: Geometria wykreślna z perspektyw a stosowan a. Wydawnictwo Naukowe PWN. Warszawa 1995. [Jan90] M. Jankowski: Elementy grafiki komputerowej. Wydawnictwa Naukowo-Techniczne. Warszawa 1990 [Ott94] F. Otto, E. Otto: Podrȩcznik geometrii wykreślnej. Wydawnictwo Naukowe PWN. Warszawa 1994. [Pik97] A. Pikoń: AutoCAD, wersje 10, 11, 12 i 12PL, 14 i 14PL i wyższe. Wydawnictwo HELION. Gliwice 1991, 1992, 1994, 1997. [Prz82] S. Przew locki: Geometria wykreślna w budownictwie. Arkady. Warszawa 1982.